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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Centres étrangers~\decofourright\\ 15 juin 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :} 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(B) = p(B \cap A)+ p\left(B \cap \overline{A}\right)$. 
		\item Démontrer que, si les évènements $A$ et $B$ sont indépendants pour la probabilité $p$, alors les évènements $\overline{A}$ et $B$ le sont également. 
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Il faut calculer $p\left(\overline{R} \cap S\right)$.
	
Les évènements $R$ et $S$ étant manifestement indépendants, $\overline{R}$ et $S$ le sont aussi.

Donc $p\left(\overline{R} \cap S\right) = p\left(\overline{R}\right) \times p(S) = (1 - 0,1) \times 0,05 = 0,9 \times 0,05 = 0,045.$ 
		\item Il faut que Stéphane entende son réveil et que son scooter marche. La probabilité qu'il soit à l'heure est donc égale à $p\left(\overline{R} \cap \overline{S} \right)$.

D'après la propriété démontrée au-dessus $\overline{R}$ et $\overline{S}$ sont indépendants, donc
 
\[p\left(\overline{R} \cap \overline{S} \right) = p\left(\overline{R}\right) \times  p\left(\overline{S}\right) = (1 - 0,1) \times (1 - 0,05) = 0,9 \times 0,95 = 0,855.\]
 
	\item Si $X$ est la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où Stéphane entend son réveil, $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,9$.

La probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois est :

$p(X = 4) + p(X = 5) = \displaystyle\binom{5}{4}\times 0,9^4 \times 0,1 + 
\displaystyle\binom{5}{5}\times 0,9^5 \times 0,1^0 = 0,5 \times 0,9^4 + 0,9^5 = 0,9^4 \times 1,9 = \nombre{0,91854} \approx \nombre{0,9185}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item Figure 
\item 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[] $\vect{\text{OA}}(3~;~4~;~0)$, d'où OA$^2 = 9 + 16 = 25$ ;
\item[] $\vect{\text{OC}}(0~;~0~;~5)$, d'où OC$^2 = 25$ ;
\item[] $\vect{\text{AC}}(-3~;~-4~;~5)$, d'où AC$^2 = 9 + 16 + 25 = 50$ ;
\item[] $\vect{\text{OB}}(0~;~5~;~0)$, d'où OB$^2 = 25$ ;
\item[] $\vect{\text{BC}}(0~;~-5~;~5)$, d'où  BC$^2 = 25 + 25 = 50$ ;
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

On a donc $25 + 25 = 50 \iff \text{OA}^2 + \text{OC}^2 = \text{AC}^2 \iff $ (OAC est un triangle rectangle en O et isocèle car OA$^2$ = OC$^2$.
 
De même  $25 + 25 = 50 \iff \text{OB}^2 + \text{OC}^2 = \text{BC}^2 \iff $ (OBC est un triangle rectangle en O et isocèle car OB$^2$ = OC$^2$.
 
$\vect{\text{AB}}(-3~;~1~;~0)$, d'où  AB$^2 = 9 + 1 = 10$ ; on a vu que AC$^2 =  50$ et que BC$^2 = 50$

Donc le triangle ABC  est isocèle en B, mais pas rectangle.

\item  Soit H le point de coordonnées $\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item I$\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{9}{2}~;~0\right)$.
		
$\vect{\text{HC}}\left(-\dfrac{15}{19}~;~-\dfrac{45}{19}~;~5 - \dfrac{45}{19} \right)$ ou encore $\vect{\text{HC}}\left(-\dfrac{15}{19}~;~-\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{50}{19}\right)$ ;
		
$\vect{\text{CI}}\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{9}{2}~;~-5\right)$.

En comparant les dernières coordonnées de ces deux vecteurs, on constate que  $\vect{\text{HC}} = - \dfrac{10}{19}\vect{\text{CI}}$, c'est-à-dire que ces vecteurs sont colinéaires, ou encore que les points H, C et I sont alignés.
	\item I milieu de [AB] appartient au plan (ABC), donc le point H aligné avec  I et C aussi.

D'autre part $\vect{\text{OH}}\left(\dfrac{15}{19}~;~\dfrac{45}{19}~;~\dfrac{45}{19}\right)$ et $\vect{\text{BA}}(3~;~-1~;~0)$.

Donc $\vect{\text{OH}} \cdot \vect{\text{BA}} = \dfrac{45}{19} - \dfrac{45}{19} = 0$, donc ces vecteurs sont orthogonaux.

$\vect{\text{BC}}(0~;~-5~;~5)$, donc $\vect{\text{OH}} \cdot \vect{\text{BC}} = \dfrac{45}{19} - \dfrac{45}{19} = 0$ : ces vecteurs sont orthogonaux.

Conclusion : $\vect{\text{OH}}$, orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) est orthogonal à ce plan et O a pour projeté orthogonal sur ce plan le point H.
	\item Il en résulte qu'une équation du plan (ABC) est 
	
$\dfrac{15}{19}x  + \dfrac{45}{19}y + \dfrac{45}{19}z + d = 0 \iff x + 3y + 3z + d' = 0$.

Or C(0~;~0~;~5) $\in (\text{ABC}) \iff 15 + d' = 0 \iff d' = - 15$.

Une équation du plan (ABC) est donc :

\[M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff  x + 3y + 3z -15 = 0 \]
	\end{enumerate} 
\item Calculs d'aire et de volume. 
	\begin{enumerate}
		\item On a vu que OAC et OBC  sont isocèles en O ; on a donc OA = OC = OB ; le triangle OAB est donc isocèle en O. I milieu de [AB] est donc le pied de la hauteur issue de O.

L'aire du triangle OAB est donc : $\dfrac{\text{AB} \times \text{OI}}{2}$.

On a AB$^2 = 10$, donc AB = $\sqrt{10}$ ; OI$^2 = \dfrac{9}{4} + \dfrac{81}{4} = \dfrac{90}{4}$, donc OI $ = \dfrac{3\sqrt{10}}{2}$.

L'aire est donc égale à : $\dfrac{\sqrt{10}\times \frac{3\sqrt{10}}{2}} {2} = \dfrac{15}{2}$.

On a démontré que (OC) est perpendiculaire à (OA) et à (OB), donc la droite (OC) est orthogonale au plan (OAB). [OC] est donc la hauteur relative à la base (OAB) et le volume du tetraèdre est donc :

\[V = \dfrac{\mathcal{A}_{(\text{OAB})} \times \text{OC}}{3} = \dfrac{\frac{15}{2} \times 5}{3} = \dfrac{25}{2}.\]

\item On a vu que cette distance est égale à OH.

OH$^2 = \left(\dfrac{25}{19}\right)^2 + \left(\dfrac{45}{19}\right)^2 + \left(\dfrac{45}{19}\right)^2 = \dfrac{225 + 2025 + 2025}{19^2}= \dfrac{4275}{19^2}$, d'où 

OH $ = \dfrac{15\sqrt{19}}{19}$.

\textbf{Remarque}. On peut aussi utiliser l'équation du plan (ABC) :

d$\left(\text{O;(ABC)}\right)$ = $\dfrac{|0 + 3 \times 0 + 3\times0 - 15|}{\sqrt{1^{2}+3^2+3^2}} = \dfrac{15}{\sqrt{19}}= \dfrac{15\sqrt{19}}{19}$. 

	\item D'après ce qui a été démontré au dessus [OH] est la hauteur issue de O dans le tétraèdre OABC ; donc le volume du tétraèdre OABC peut également s'écrire $\dfrac{\mathcal{A}_{(\text{ABC})} \times \text{OH}}{3}$.
	 
Donc $\dfrac{25}{2} = \mathcal{A}_{(\text{ABC})} \times \dfrac{15\sqrt{19}}{19} \times \dfrac{1}{3}$, d'où $\mathcal{A}_{(\text{ABC})} = \dfrac{25}{2} \times \dfrac{19}{15\sqrt{19}} = \dfrac{5\sqrt{19}}{2}.$\\
	 	 
\textbf{Remarque}. On peut aussi calculer directement $\mathcal{A}_{(\text{ABC})}$, même si ce n'est pas l'objectif des questions  :

Comme démontré précédemment, (ABC) est un triangle isocèle non rectangle en C. La hauteur issue de C est donc [IC].

$\mathcal{A}_{(\text{ABC})}$ = $\dfrac{\text{AB} \times \text{CI}}{2} = \dfrac{\sqrt{10}}{2} \times \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{9}{2}\right)^{2}+5^2}= \dfrac{5\sqrt{19}}{2}$.	 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le couple (9~;~1) est une solution relativement évidente de l'équation car $3 \times 9 + 2 \times 1 = 29.$ 
	\item $\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y &= &29\\
3 \times 9 + 2 \times 1 &=& 29
\end{array}\right.
\Rightarrow~(\text{par différence}) 3(x - 9) = 2(y - 1) = 0 \iff 3(x - 9) = 2(1 - y) \quad (1)$.

Comme 3 est premier avec 2, d'après le théorème de Gauss, 3 divise $1 - y$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $1 - y = 3k \iff y = 1 - 3k$.

En reportant dans l'égalité (1), on obtient $3(x - 9) = 2 \times 3k \iff$

$ (x - 9) = 2k \iff x = 9 + 2k.$

Vérification : quel que soit l'entier $k,~3(9 + 2k) + 2(1 - 3k) = 27 + 2 = 29$.

L'ensemble des couples est donc $\{(9 + 2k~;~1 - 3k),~k \in \Z\}$. 
		\item On a $x \geqslant  0,~ y \geqslant 0 \iff 9 + 2k \geqslant  0,~ 1 - 3k \geqslant 0 \iff k \geqslant - \dfrac{9}{2}~\text{et}~x \leqslant \dfrac{1}{3}$.

Les valeurs possibles pour $k$ sont donc : $-4~;~-3~ ;~- 2~ ;~-1~;~0$ ce qui correspond aux couples solutions : (1~;~13), (3~;~10), (5~;~7),~(7~ ;~4) et (9~;~1) déjà trouvé.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item On sait qu'un vecteur $\vect{n}$ normal au plan $\mathcal{P}$  a pour coordonnées (3~;~2~;~0) et $\vect{k}(0~ ;~0~;~1)$. Donc $\vect{n} \cdot \vect{k} = 0$. $\vect{k}$ et $\vect{n}$ sont orthogonaux, ce qui montre que $\mathcal{P}$ est parallèle à l'axe (O$z$). 
	\item \setlength\parindent{5mm}
\begin{enumerate}
\item[$\bullet~$] L'axe (O$x$) est défini par le système $y = 0$ et $z = 0$ ; les points communs à $\mathcal{P}$ et à (O$x$) vérifient donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y &=& 29\\
y &=& 0\\
z &=& 0\\
\end{array}\right. \Rightarrow x = \dfrac{29}{3}$. Le point commun a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{29}{3}~;~0~;~0\right)$.
\item[$\bullet~$] L'axe (O$y$) est défini par le système $x = 0$ et $z = 0$ ; les points communs à $\mathcal{P}$ et à (O$y$) vérifient donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 2y &=& 29\\
x &=& 0\\
z &=& 0\\
\end{array}\right. \Rightarrow y = \dfrac{29}{2}$. Le point commun a donc pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac{29}{2}~;~0\right)$.
\end{enumerate}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\item L'intersection du plan $\mathcal{P}$ et du plan $x$O$y$ est la droite (AB).

$\mathcal{P}$ étant parallèle à (O$z$) l'intersection de $\mathcal{P}$ et du plan $x$O$z$ est la droite contenant A et parallèle à (O$z$).

$\mathcal{P}$ étant parallèle à (O$z$) l'intersection de $\mathcal{P}$ et du plan $y$O$z$ est la droite contenant B et parallèle à (O$z$).
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,4)
%\psgrid
\psline{->}(0,-3)(0,4)\psline{->}(-5,2)(5,-1)
\psline{->}(2,4)(-2,-3)
\psline[linecolor=blue](-5,-0.6)(5,-0.4)
\psline[linecolor=blue](-0.6,-3)(-0.6,4)
\psline[linecolor=blue](3.15,-3)(3.15,4)
\uput[ur](0,0.5){O}\uput[ul](-0.6,-0.5){A}\uput[ur](3.15,-0.4){B}
\uput[ul](-2,-3){$x$}\uput[ul](5,-1){$y$}\uput[r](0,3.9){$z$}
\psdots(2.88,-0.42)(2.08,-0.44)(1.27,-0.46)(0.47,-0.48)(-0.13,-0.5)
\end{pspicture} 
	\item Ces points correspondent aux couples solutions de l'équation initiale avec des termes positifs, soit les points :

(1~;~13~;~0), (3~;~10~;~0), (5~;~7~;~0),~(7~ ;~4~;~0) et (9~;~1~;~0) (voir la figure au dessus).
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient 
	
$\left\{\begin{array}{l c l}
4z &=&xy\\
z &=& 0
\end{array}\right. \Rightarrow xy = 0  \Rightarrow x= 0~\text{ou}~y = 0$.

La réponse est la figure \no 3. 
	\item Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient 
	
$\left\{\begin{array}{l c l}
4z &=&xy\\
z &=& 1
\end{array}\right. \Rightarrow xy = 4  \Rightarrow  y = \dfrac{4}{x}$. On reconnait l'équation d'une hyperbole.

La réponse est la figure \no 1.	

	\item Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient 
	
$\left\{\begin{array}{l c l}
4z &=&xy\\
y &=& 8\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 4z& =& 8x \\
y&=&8\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} z&=&2x\\
y &=& 8.\end{array}\right.$

On reconnait l'équation d'une droite de coefficient directeur 2.
 
La réponse est la figure \no 4. 
	\item Les points de cette section ont des coordonnées qui vérifient 
	
	$\left\{\begin{array}{l c l}
4z&=&xy\\
3x + 2y &=& 29
\end{array}\right.$

On a trouvé à la question précédente les points dont les coordonnées vérifient la deuxième équation :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $x = 1,~ y = 13 \Rightarrow 4z = 13 \iff z = \dfrac{13}{4}$ ;
\item[$\bullet~$] $x = 3,~y = 10 \Rightarrow 4z = 30 \iff z = \dfrac{15}{2}$ ;
\item[$\bullet~$] $x = 5,~y = 7  \Rightarrow 4z = 35 \iff z = \dfrac{35}{4}$ ;
\item[$\bullet~$] $x = 7,~y = 4  \Rightarrow 4z = 28 \iff z = 7$ ;
\item[$\bullet~$] $x = 9,~y = 1   \Rightarrow 4z = 9 \iff z = \dfrac{9}{4}$.
\end{itemize} 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Si $z = x + \text{i}y,~ \text{alors}~ z^2 = x^2 - y^2 + 2\text{i}xy$.

Alors Re$\left({z^2}\right) = x^2 - y^2$ et $\left(\text{Re}(z)\right)^2 = x^2.$ 

La proposition est fausse.

\item  Les trois points appartiennent à un même cercle de centre si et seulement si leur modules sont égaux.

Or $\left|\overline{z}\right| = |z|$ et $\left|\dfrac{z^2}{\overline{z}}  \right| = \dfrac{\left|z^2\right|}{\left|\overline{z} \right|} = \dfrac{|z|^2}{|z|} = |z|$.

La proposition est vraie.
\item  On a  $|1 + \text{i}z| = |1- \text{i}z| \iff |\text{i}z - (-1)| = |\text{i}z - 1|$ qui signifie que le point d'affixe $\text{i}z$ est équidistant des points d'affixe 1 et $-1$. Ces points étant sur l'axe des abscisses et symétriques autour de O, il en résulte que le point d'affixe $\text{i}z$ est sur l'axe des ordonnées, ou encore $\text{i}z = \text{i}\alpha (\alpha \in \R) \iff z = \alpha$.

La proposition est vraie.
\item  Soit P le point tel que O$MPM'$ soit un parallélogramme.

On a $z + z' = \vect{\text{O}M} + \vect{\text{O}M'} = \vect{\text{O}P}$ ;

De même $z - z' = \vect{\text{O}M} - \vect{\text{O}M'} = \vect{\text{O}M}  + \vect{M'\text{O}} = \vect{M'M}$.

Donc $|z + z'| = |z - z'| \iff \text{O}P = M'M$.

Donc le parallélogramme O$MPM'$ a ses diagonales de même longueur, autrement dit c'est un rectangle et donc les droites (O$M$) et (O$M'$) sont perpendiculaires.

La proposition est vraie.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie A :}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soient $n$ et $p$ deux naturels distincts. 

$f_{n}(x) = f_{p}(x) \iff \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}} = \dfrac{\text{e}^{-px}}{1 + \text{e}^{-x}} \iff \text{e}^{-nx} = \text{e}^{-px}~(\text{car}~ 1 + \text{e}^{-x} > 0) \iff -nx = - px~(\text{par croissance de la fonction ln}) \iff x = 0 \:(\text{car} n \neq p)$.

Quel que soit $n \in \N,~f_{n}(0) = \dfrac{\text{e}^0}{1 + \text{e}^0} = \dfrac{1}{2}$.

Toutes les courbes $\mathcal{C}_{n}$ contiennent le point $\left(0~,~\dfrac{1}{2}\right)$.

\emph{Remarque:} On peut également calculer directement $f_n(0) = \ldots = \dfrac{1}{2}$. 
\item Étude de la fonction $f_{0}$
 
	\begin{enumerate}
		\item $f_{0}(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}$.
	
Cette fonction est dérivable sur $\R$ et $f'_{0}(x) = -\dfrac{- \text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2} = \dfrac{ \text{e}^{-x}}{\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2}$.
Comme $\text{e}^{-x} > 0$  et $\left(1 + \text{e}^{-x} \right)^2 > $, on en déduit que $f'_{0}(x) > 0$.

La fonction $f_{0}$ est donc croissante sur $\R$.
	\item On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$. Donc $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$.

Donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{n}(x) = 0$. Ceci signifie que l'axe des abscisses est asymptote à la   courbe $\mathcal{C}_{0}$ au voisinage de $- \infty$.

On sait  que $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{0}(x) = 1$.

Ceci signifie que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{0}$ au voisinage de $+ \infty$.
	\item   Tableau très simple : sur $\R,~f_{0}$ croît de 0 à 1.
	\end{enumerate} 
	
\item Étude de la fonction $f_{1}$
 
	\begin{enumerate}
		\item On a $f_{1}(-x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + \text{e}^x} = \dfrac{1}{\text{e}^{-x} + 1} = f_{0}(x)$ en multipliant chaque terme par le facteur non nul $\text{e}^{-x}.$ 
	\item On a $ \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(-x) =  \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{1}(x) =  \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{0}(x) = 1$

De même  $ \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{1}(-x) =  \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(x) =  \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{0}(x) = 0$.

Comme $f_{0}(x) = f_{1}(-x), f_{0}$ fonction croissante est la composée de $f_{1}$ et de la fonction $x \longmapsto -x$ qui est décroissante. Il en résulte que $f_{1}$ est décroissante sur $\R$.
	\item $f_{0}(x) = f_{1}(-x)$ signifie que deux points d'abscisses de $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$  ont la même ordonnée : ces points sont symétriques par rapport à l'axe (O$y$).

$\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
	
\item  Étude de la fonction $f_{n}$ pour $n \geqslant  2$ 
	\begin{enumerate}
		\item  $f_{n}(x) = \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}$. En multipliant chaque terme par $\text{e}^{nx} > 0,$
		
$f_{n}(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}}.$
	\item  Pour $p \geqslant 2, \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{px} = + \infty$, donc en utilisant l'écriture du \textbf{a.},
	
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f_{n}(x) = 0.$

Limite en $- \infty$ : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{nx} = 0_{+}$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{(n - 1)x} = 0_{+}$ donc par limite de l'inverse $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$
	\item  $f_{n}$ quotient de sommes de fonctions dérivables est dérivable car 

$\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x}> 0$.

En utilisant l'écriture trouvée au début de la question :

$f'_{n}(x) = - \dfrac{n\text{e}^{nx} + (n - 1)\text{e}^{(n - 1)x}}{\left(\text{e}^{nx} + \text{e}^{(n - 1)x} \right)^2}$.

Comme $n \geqslant 2$, cette dérivée est négative quel que soit $x$ réel. Les fonctions ($f_{n},~n \geqslant 2$) sont donc décroissantes de $+ \infty$ à $0$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center} \textbf{Partie B :} \emph{Étude d'une suite liée aux fonctions} $f_{n}$ \end{center} 

\begin{enumerate}
\item $\bullet~~$$u_{1}(x) = \displaystyle\int_{0}^1  f_{1}(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1  \dfrac{\text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x$.

En posant $u(x) = 1 + \text{e}^{-x},~u'(x) = - \text{e}^{-x}$, on remarque que la fonction à intégrer est $-\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ dont une primitive est la fonction $- \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)$.

Donc $u_{1}(x) = \left[- \ln \left(1 + \text{e}^{-x} \right)  \right]_{0}^1 = - \ln \left(1 + \text{e}^{-1} \right) + \ln 2$.

$\bullet~~$$u_0 = \displaystyle\int_0^1 f_0\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\left(1+ \text{e}^{-x}\right) -  \text{e}^{-x}}{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = $

$\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1+ \text{e}^{-x} }{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x + \displaystyle\int_0^1 \dfrac{ -  \text{e}^{-x}}{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 1\:\text{d}x - u_1(x) = 1 - u_1(x)$.

Or $u_0 = 1 - u_1(x) \iff u_{0} + u_{1} = 1$.

$\bullet~~$Autre méthode (plus simple) :

$u_{0} + u_{1} = \displaystyle\int_0^1 f_0\:\text{d}x + \displaystyle\int_0^1 f_1\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \left(f_0 + f_1\right) \:\text{d}x$ (par linéarité de l'intégrale).

$u_{0} + u_{1} = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1+ \text{e}^{-x}} + \dfrac{\text{e}^{-x}}{1+ \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1+ \text{e}^{-x}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^1 1\:\text{d}x = [x]_0^1 = 1$.

Donc $u_0 = 1 - u_1(x) = 1 - \left(- \ln \left(1 + \text{e}^{-1} \right) + \ln 2\right) = 1 + \ln \left(1 + \text{e}^{-1} \right) - \ln 2$. 
\item On a la suite d'inéquations :

$\text{e}^{-x} > 0 \iff 1 + \text{e}^{-x} > 1 \iff 0 < \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}} < 1 \iff 0 < \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}} < \text{e}^{-nx}$.

En intégrant ces trois fonctions sur [0~;~1] :

$0 < \displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^{-nx}}{1 + \text{e}^{-x}}\:\text{d}x  < \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x \iff 0 < u_{n}< \displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x$.
\item $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{-nx}\:\text{d}x = \left[- \dfrac{1}{n}\text{e}^{-nx}  \right]_{0}^1 = - \dfrac{1}{n}\left( \text{e}^{-n} - 1\right) = \dfrac{1}{n}\left(1 - \text{e}^{-n}\right).$
 
Par limite au voisinage de $+ \infty :$

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-n} = 0,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \text{e}^{-n} = 1,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, donc par produit :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{n}\left(1 - \text{e}^{-n}\right) = 0$.

En utilisant l'encadrement de la question \textbf{2.}, et d'après le théorème des \og gendarmes \fg, on obtient $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u_{n} = 0$. La suite est donc convergente.
\end{enumerate}
\end{document}