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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%Corrigé et tapuscrit Michel Fréchet
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat S Centres étrangers~\decofourright\\[4pt]14 juin 2010}}

\end{center}
%\maketitle
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{14 juin 2010}}

\section*{Exercice 1 \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\subsection*{Question 1}

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{}, on considère les droites $(\mathcal{D}_{1)}$ et $(\mathcal{D}_{2})$ de représentations paramétriques :

\[(\mathcal{D}_{1}) \left\{\begin{array}{l c r}
x&=& - 1 + 2t\\  
y&=& - 3t\\
z&=&1 + t
\end{array}\right. (t \in \mathbbm R) \quad \text{et} \quad (\mathcal{D}_{2}) 
\left\{\begin{array}{l c r}
x&=& 1 - 2t\\
y&=& 5 - t\\ 	
z&=&-2 + t
\end{array}\right. (t \in \mathbbm R).\]
 
\emph{Affirmation} :
 
Les droites $(\mathcal{D}_{1})$ et $(\mathcal{D}_{2})$ sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ sont orthogonaux:
\[
 \vec{u_1}\left|\begin{array}{l}
2\\
-3\\
1
\end{array}\right.\cdot \vec{u_2}\left|\begin{array}{l}
-2\\
-1\\
1
\end{array}\right.=2\times -2+(-3)\times (-1) + 1\times 1 =0
\]

\subsection*{Question 2}

 Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O\,;\,\vec{\imath}\,;\,\vec{\jmath}\,;\,\vec{k})$, on considère le point A de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ et la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique :

\[(\mathcal{D})\left\{\begin{array}{l c r}
x& =& 1 + 4t\\ 
y&=& - 2 + 2t\\
z&=&3 - 2t
\end{array}\right. (t \in \mathbbm R).\]
 
\emph{Affirmation} :

Le plan $(\mathcal{P})$ contenant le point A et orthogonal à la droite $(\mathcal{D})$ a pour équation : $2 x + y - z = 0$, car un vecteur normal au plan est $\vec{u}\left|\begin{array}{l}
2\\
1\\
-1
\end{array}\right.\parallelslant \vec{v}\left|\begin{array}{l}
4\\
2\\
-2
\end{array}\right.$ qui est un vecteur directeur à la droite $(\mathcal{D})$.

De plus, le point $A(2~;~-1~;~3)$ appartient au plan car ses coordonnées vérifient l'équation du plan $(\mathcal{P})$: $2\times 2+(-1)-3=0$.

\subsection*{Question 3}

La durée de vie, exprimée en heures, d'un jeu électronique, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0003$.
 
On rappelle que, pour tout $t \geqslant  0,~ p(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 
\emph{Affirmation} :
 
La probabilité $p$ pour que la durée de vie de ce jeu soit strictement supérieure à \np{2000} heures est \textbf{supérieure} à $0,5$.

\[
 p=1-p(X\leqslant 2000)=1-\int_{0}^{2000} 0,0003 \text{e}^{- 0,0003 x}\:\text{d}x=1-\left\lbrack -\text{e}^{-0,0003x}\right\rbrack_0^{2000}=1+\text{e}^{-0,6}-1\simeq 0,549\geqslant 0,5
\]


\subsection*{Question 4}

$A$ et $B$ sont deux évènements liés à une même épreuve aléatoire qui vérifient : 

\[p(A) = 0,4, p_{A}(B) = 0,7~  \text{et}~ p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right) = 0,1.\]
 
\emph{Affirmation} :

La probabilité de l'évènement A sachant que l'évènement B est réalisé est égale à $\dfrac{14}{41}$. En effet:
\[
 p(A\cap B)=p_A(B)\times p(A)=0,4\times 0,7=0,28\ \text{et}\ p\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}\left(\overline{B}\right)=0,6\times 0,1=0,06
\]
De plus:
\[
 p\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=p\left(\overline{A\cup B}\right)=1-p(A\cup B)=1-p(A)-p(B)+p(A\cap B)\Longleftrightarrow p(B)=1-p(A)+p(A\cap B)-p\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=0,82
\]
Ainsi:
\[
 p_B(A)=\frac{0,28}{0,82}=\frac{14}{41}
\]



\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 4~cm, on considère le point A d'affixe $a = - 1$ et l'application $f$, du plan $(\mathcal{P})$ dans lui-même, qui  au point $M$ d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M' = f(M)$ d'affixe $z'$ tel que  : 

\[z' =\frac{\text{i}z}{z + 1}.\] 

\begin{enumerate}
\item Affixe des points $M$ tels que $M' = M$:
\[
 z'=z \Longleftrightarrow z=\frac{\text{i}z}{z + 1} \Longleftrightarrow z(z+1)=\text{i}z \Longleftrightarrow z^2+z(1-\text{i}) \Longleftrightarrow z\left(z-(-1+\text{i})\right) \Longleftrightarrow z=0\ \text{ou}\ z=-1+\text{i}
\]

Les points d'affixes $0$ et $-1+\text{i}$ vérifient $M'=M$?
 
\item Pour tout point $M$ distinct de A et de O, on a:

\[OM'=\left|\frac{\text{i}z}{z + 1}\right|=\frac{\left|\text{i}z\right|}{\left|z+1\right|}=\frac{\left|\text{i}\right|.\left|z\right|}{\left|z+1\right|}=\frac{OM}{AM}
 \]

 
\begin{align*}
\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OM'}\right) &= \text{Arg}\left(\frac{\text{i}z}{z + 1}\right)=\text{Arg}(\text{i}z)-\text{Arg}(z+1)\qquad \left[2\pi\right]\\
	  &= \text{Arg}(\text{i})+\text{Arg}(z)-\text{Arg}(z+1)\qquad \left[2\pi\right]\\
	  &= \frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OM}\right)-\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{AM}\right)=\frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OM}\right)+\left(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{u}\right)\qquad \left[2\pi\right]\\
	  &= \frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{AM},~\overrightarrow{OM}\right)=\frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)\qquad \left[2\pi\right]
\end{align*}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $B$ le point d'affixe $b = - \dfrac{1}{2} + \text{i}$. (Voir figure en fin d'exercice)
		\item Calcul de l'affixe $b'$ du point $B'$ image du point $B$ par $f$:
\[
 b'=\cfrac{\text{i}\left(-\cfrac{1}{2}+\text{i}\right)}{-\cfrac{1}{2}+\text{i}+1}=
\cfrac{-1-\cfrac{1}{2}\text{i}}{\cfrac{1}{2}+\text{i}}=\frac{-2-\text{i}}{1+2\text{i}}=\frac{(-2-\text{i})(1-2\text{i})}{1^2+2^2}=\frac{-4}{5}+\frac{3}{5}\text{i}
\]

$B'$ appartient au cercle $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon 1, car:
\[
 \left|\frac{-4}{5}+\frac{3}{5}\text{i}\right|=\sqrt{\left(\frac{-4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16+9}{25}}=1 \Longleftrightarrow OM=1 \Longleftrightarrow M\in\mathcal{C}
\]

\item Si $M$ est sur la médiatrice $(\Delta)$, on a $OM=AM \Longleftrightarrow 1=\dfrac{OM}{AM}=OM'$. Ainsi $M'$ est sur le cercle  $(\mathcal{C})$ de centre $O$ et de rayon 1.
\item Soit $C$ le point tel que le triangle $AOC$ soit équilatéral direct.
		 
Le point $C'$ est sur le cercle $(\mathcal{C})$. On a $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OC'}\right)=\frac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CO}\right)\qquad \left[2\pi\right]$.

On trace le point $C_1$ vérifiant $\left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OC_1}\right)=\left(\overrightarrow{CA},~\overrightarrow{CO}\right)=\dfrac{\pi}{3}\quad \left[2\pi\right]$, à l'intersection du cercle $(\mathcal{C})$ et du cercle de centre $I$ et de rayon 1. On trace la perpendiculaire à $(OC_1)$ en $O$. Elle coupe le cercle $(\mathcal{C})$ en $C'$.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on se propose de déterminer, par deux méthodes différentes, l'ensemble ($\Gamma$) des points $M$ distincts de $A$ et de $O$ dont l'image $M'$ par $f$ appartient à l'axe des abscisses.
 
\begin{enumerate}
\item On pose $z = x + \text{i}y$ avec $x$ et $y$ réels tels que $(x,~y) \neq  (-1,~0)$  et $(x,~y) \neq (0,~0)$.
		 
\[
 z'=\frac{\text{i}(x+\text{i}y)}{x+\text{i}y+1}=\frac{-y+\text{i}x}{(x+1)+\text{i}y}=\frac{(-y+\text{i}x)(x+1-\text{i}y)}{(x+1)^2+y^2}=\frac{-y+\text{i}(x^2+y^2+x)}{(x+1)^2+y^2};
\ \text{d'où}\ \text{Im}\left(z'\right) = \dfrac{x^2 + y^2 + x}{(x + 1)^2 + y^2}\]
  
$M'$ appartient à l'axe des abscisses si et seulement si sa partie imaginaire est nulle, donc si et seulement si 
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
x^2+y^2+x=0\\
(x;y)\not=(-1;0)
\end{array}\right.
 \Longleftrightarrow 
\left\lbrace\begin{array}{l}
\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+(y-0)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\
(x~;~y)\not=(-1~;~0)
\end{array}\right.
\]
Ainsi $(\Gamma)$ est le cercle de centre $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,0\right)$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$, privé du point $A(-1~;~0)$.
		\item Géométriquement (k $\in\mathbbm Z$):
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\[
M'\in(xx')\ \text{avec}\ M\not=A\ \text{et}\ M\not=O \Longleftrightarrow \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{OM'}\right)= \text{k}\pi
\]

Ainsi:

$\left\lbrace\begin{array}{c}
 \dfrac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=0+2\text{k}\pi\\
\text{ou}\\
\dfrac{\pi}{2} + \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=\pi+2\text{k}\pi
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left\lbrace\begin{array}{c}
 \left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=-\dfrac{\pi}{2} + 2\text{k}\pi\\
\text{ou}\\
\left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=\dfrac{\pi}{2} + 2\text{k}\pi
\end{array}\right.\Longleftrightarrow
\left(\overrightarrow{MA},~\overrightarrow{MO}\right)=\dfrac{\pi}{2} + \text{k}\pi\Longleftrightarrow$

$M\in\mathcal{C}_{\text{diamètre}\ [AO]}-\left\lbrace O;A\right\rbrace$


\begin{center}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=4.0cm,y=4.0cm]
\shorthandoff{:};
\draw[->,color=red] (-1.3,0) -- (2.3,0);
\foreach \x in {-1,-0.5,0.5,1,1.5,2}
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below right] {\footnotesize $\x$};
\draw[->] (0,-1.3) -- (0,1.3);
\foreach \y in {-1,-0.5,0.5,1}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[above left] {\footnotesize $\y$};
\draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-1.3,-1.3) rectangle (2.3,1.3);
\draw (0.05756,0.09969) -- (-0.04214,0.15725) -- (-0.09969,0.05756);% -- (0,0) -- cycle; 
\draw [shift={(0,0)}] (0,0) -- (0:0.1628) arc (0:60:0.1628) -- cycle;
\draw [shift={(-0.5,0.86603)}] (0,0) -- (-120:0.1628) arc (-120:-60:0.1628) -- cycle;
\draw (-0.5,-1.3) -- (-0.5,1.3);
\draw (0,0) circle (4cm);
\draw[color=blue] (-0.5,0) circle (2cm);
\draw (-0.5,0.86603)-- (0,0);
\draw (-0.5,0.86603)-- (-1,0);
\draw [dashed,color=green] (1,0) circle (4cm);
\draw[dashed,color=green] (0.5,0.86603)-- (0,0);
\draw [dashed,color=green,domain=-1.3:2.3] plot(\x,{(-0-0.5*\x)/0.86603});
\draw  (-1,0) circle (2pt);\fill[color=white]  (-1,0) circle (1.5pt);
\draw (-1.08086,-0.06646) node {$A$};
\fill  (-0.5,1) circle (1.5pt);
\draw (-0.46223,1.07312) node[color=blue] {$B$};
\draw (0,0) circle (2pt);\fill[color=white]  (0,0) circle (1.5pt);
\draw (-0.06608,-0.04476) node {$O$};
\draw (-0.34284,1.9468) node {$\Delta$};
\draw (-0.18547,1.08397) node {$(\mathcal{C})$};
\fill  (-0.5,0.86603) circle (1.5pt);
\draw (-0.54362,0.91575) node[color=blue] {$C$};
\fill  (-0.8,0.6) circle (1.5pt);
\draw (-0.86379,0.67698) node[color=red] {$B'$};
%\fill  (-1,0) circle (1.5pt);
\fill  (1,0) circle (1.5pt);
\draw (1.06265,0.07463) node {$I$};
\fill  (0.5,0.86603) circle (1.5pt);
\draw (0.54169,0.95373) node[color=green] {$C_1$};
\fill  (-0.86603,0.5) circle (1.5pt);
\draw (-0.97233,0.48705) node[color=red] {$C'$};
\draw (-0.04438,0.24285) node {$\frac{\pi}{2}$};
\draw (0.2161,0.11261) node {$\frac{\pi}{3}$};
\draw (-0.47,0.64) node {$\frac{\pi}{3}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$ d'unité graphique 1~cm, on considère les points $A,~B,~C,~M,~N$ et $P$ d'affixes respectives :
 
\[a = 1 + \text{i},~ b = -1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-5.46)(10,5.29)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.1,-5.46)(10,5.29)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.1,-5.46)(10,5.29)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,2)(1,1)(2,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](9,1)(5,-1)(7,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,2)(1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(2,3)
\psline[linecolor=zzttqq](2,3)(-1,2)
\psline[linecolor=zzttqq](9,1)(5,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](5,-1)(7,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](7,-5)(9,1)
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](1.23,1.3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,2)
\rput[bl](-0.8,2.31){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3)
\rput[bl](2.19,3.32){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-5)
\rput[bl](7.21,-4.68){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,-1)
\rput[bl](5.23,-0.68){\blue{$N$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9,1)
\rput[bl](9.23,1.3){\blue{$P$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}

\vskip 0.2 cm
	
		\item On calcule les longueurs des côtés :
		 
$AB=\mid b-a\mid =\mid 2+\text{i}\mid=\sqrt 5$; $AC= \mid 1+2\text{i}\mid=\sqrt 5$; 

$BC=\mid 3+\text{i}\mid=\sqrt{10}$ donc $AB=AC$, le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et $BC^2 =  10$ ; $BA^2 + AC^2 = 5 + 5 = 10$, donc 
		
$BC^2=BA^2+AC^2$ le triangle $ABC$ est isocèle rectangle en $A$.\\ $NP=\mid p-n\mid =\mid 4+2\text{i}\mid=\sqrt{20}$; $NM = \mid 2-4\text{i}\mid=\sqrt{20}$; $MP=\mid 2+6\text{i}\mid=\sqrt{40}$ donc $NP = NM$, le triangle $NPM$ est isocèle en $N$ et $MP^2 = 40$ ; $MN^2 + NP^2 = 20 + 20 = 40$, donc $MP^2 = MN^2 + NP^2$ le triangle $MNP$ est isocèle rectangle en $N$.
		\item Deux triangles isocèles rectangles ont leur côtés proportionnels (ici il faut multiplier par $2$, pour passer des dimensions de $ABC$ aux dimensions de $MNP$), donc  ces deux triangles sont semblables.
	\end{enumerate}
\item Soit $s$ la similitude directe qui transforme le point $A$ en $N$ et le point $B$ en $P$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On cherche $a$et $b$ complexes, tels que la forme complexe de $s$ soit $z' = az + b$ avec   $a\neq 0$ et $s$ est telle que elle transforme le point $A$ en $N$ et le point $B$ en $P$. Donc
		 
$S:\left\{\begin{array}{cccc}
 az_A  & +&b  &=z_N   \\
 az_B  & +&b  &=z_P  \\\end{array}\right.$; donc ce système aux inconnues $a,b$ admet une unique \\
 $S:\left\{\begin{array}{cccc}
 a(1+\text{i})  & +&b  &=5-\text{i}  \\
 a(-1 + 2\text{i})  & +&b  &=9 + \text{i}  \\\end{array}\right.$\\

$S: \left\{\begin{array}{lc r l}
 & &b  &=5-\text{i}-a(1+\text{i})  \\
 a(-1 + 2\text{i})  & +&5-\text{i}-a(1+\text{i})  &=9 + \text{i}  \\\end{array}\right.$\\ 
  
La dernière ligne ne comporte que l'inconnue $a$ , on la résout:\\$ a(-2 + \text{i})=4+2\text{i}$ donc $a=\dfrac{4+2\text{i}}{-2+\text{i}}$ donc $a=\dfrac{(4+2\text{i})(-2-\text{i})}{(-2+\text{i})(-2-\text{i})}$\\ $a = \dfrac{1}{5}((-8+2)+\text{i}(-4-4))$\\$a= \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)$  on trouve $b$\:;\:$b  = 5 - \text{i}- a(1+\text{i}) = 5 - \text{i}+ \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)(1+\text{i})$; donc $b= \left(5+\dfrac{6}{5}-\dfrac{8}{5}\right)+\text{i}\left(-1+\dfrac{6}{5} +\dfrac{8}{5}\right)= \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}$.
   
L'écriture complexe de la similitude $s$ est:

\[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}.\]
 
		\item Le rapport, c'est $\mid a\mid=\sqrt {\left(-\dfrac{6}{5}\right)^2+ \left(-\dfrac{6}{5}\right)^2}=2$. L'angle c'est $\theta=\arg(a)$ avec $\cos(\theta)=\dfrac{\dfrac{-6}{5}}{2}=\dfrac{-3}{5}$ et 
		
		$\sin(\theta)=\dfrac{\frac{-8}{5}}{2}=\dfrac{-4}{5}$ c'est un angle du 4\up{e} quadrant c'est $233$  au degrés environ.\\Le centre de la similitude $s$, c'est le point fixe $W$ de $s$ , on résout $z'=z$. \\$\begin{array}{cc}
z'=z \iff &z= \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}\\
z'=z \iff &5z=( -6 - 8\text{i})z + 23 + 9\text{i}\\
z'=z \iff &(11+8\text{i})z= 23 + 9\text{i}\\
z'=z \iff &z= \dfrac{23 + 9\text{i}}{(11+8\text{i})}\\
z'=z \iff &z= \dfrac{(23 + 9\text{i})(11-8\text{i})}{(11+8\text{i})(11-8\text{i})}\\z'=z \iff &z= \dfrac{253+72 + (99-184)\text{i}}{185}\\z'=z \iff &z= \dfrac{325+ (-85)\text{i}}{185}\\
z'=z \iff &z= \dfrac{65+ (-17)\text{i}}{37}\\\end{array}$\vskip 0.2 cm

\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-5.46)(10,5.29)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.1,-5.46)(10,5.29)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.1,-5.46)(10,5.29)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,2)(1,1)(2,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](9,1)(5,-1)(7,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,2)(1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(2,3)
\psline[linecolor=zzttqq](2,3)(-1,2)
\psline[linecolor=zzttqq](9,1)(5,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](5,-1)(7,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](7,-5)(9,1)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=zzttqq](5,-1)(1.7567,-0.4594)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=zzttqq](1,1)(1.7567,-0.4594)
\psdots(1.7567,-0.4594)(3.37,-0.72)
\rput(1.7567,-0.54594){{\small $W$}}
\rput(1.6567,-0.74594){{\small $\simeq 233^0$}}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](1.23,1.3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,2)
\rput[bl](-0.8,2.31){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3)
\rput[bl](2.19,3.32){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-5)
\rput[bl](7.21,-4.68){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,-1)
\rput[bl](5.23,-0.68){\blue{$N$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9,1)
\rput[bl](9.23,1.3){\blue{$P$}}
\psarc(1.7567,-0.4594){0.5}{115}{348}
\psarc[linestyle=dashed](1.7567,-0.4594){1.6}{115}{348}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}


		\item  Calculons l'affixe de $s(C)$ :
		 
c'est $z'= (- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i})(2+3\text{i}) + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}\\z'=\dfrac{1}{5}[(-12 + 24 + 23) + (-18 - 16 + 9)\text{i}]$

$z'=\dfrac{1}{5}[  (35)+(-25)\text{i}]\\z'=7 - 5\text{i}$

donc $s(C) = M$.
		
	\end{enumerate}
	 
\item
% Une similitude indirecte
 
Soit $s'$ la similitude dont l'écriture complexe est :

\[z'= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}.\]
 

	\begin{enumerate}
		\item  On calcule $z'$ avec $z=(1+\text{i})$\\$z'= 2\text{i}(1-\text{i} +3 - 3\text{i}=5-\text{i}=n$\\
		On calcule $z'$ avec $z = (-1+2\text{i})$\\$z'= 2\text{i}(-1-2\text{i} +3 - 3\text{i}=7- 5\text{i}=m$ \\On calcule $z'$ avec $z=(2+3\text{i})$\\$z'= 2\text{i}(2-3\text{i}) + 3 - 3\text{i}=9+\text{i}=p$\\ 
		\item On résout $z'=z$ avec $s'$.\\On a $z= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}$ donc en conjuguant:\\ $\overline{z}= -2\text{i}z +3 + 3\text{i}$\\ donc en revenant
		 à la première équation \\$z= 2\text{i}\times( -2\text{i}z +3 + 3\text{i}) +3 - 3\text{i}$, \\
		 on a alors une équation du premier degré en $z$ donc \\$z=4z  +6\text{i} -6 +3 - 3\text{i}$\\
		 $-3z=-3 + 3\text{i}$\\ donc $z=1-\text{i}$\\ Comme la méthode a été compliquée , on vérifie:\\
		 $2\text{i}(\overline{1-\text{i}}) +3 - 3\text{i}= 2\text{i}(1+\text{i}) +3 - 3\text{i}=\\
		 =2\text{i}-2+3 - 3\text{i}=1-\text{i}$\\

Le point fixe de $s'$ est le point $K$ d'affixe $1-\text{i}$
		\item Soit $h$ l'homothétie de centre $K$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et $J$ le point d'affixe $2$. 

On pose : $f = s'\circ h$.
Comme $h(K)=K$ et $s(K)=K$, alors  $s'\circ h(K)=K$ .
Pour $J$, par $h$ $J$ est transformé en $J'$ point d'affixe $z_{J'}$ et comme $\vec{KJ'}=\dfrac{1}{2}\vec{KJ}$ on peut dire que $J'$ est le milieu de $[KJ]$ donc $\dfrac{2+(1-\text{i})}{2}=z_{J'}$ donc $z_{J'}=\dfrac{1}{2}(3-\text{i})$.\\ Calculons ensuite l'affixe de $s'(J')$ c'est \vskip 0.2 cm$2\text{i}\overline{\dfrac{1}{2}(3-\text{i})} +3 - 3\text{i}=\text{i}(3+\text{i})++3 - 3\text{i}=2$ on trouve bien que $K$ et $J$ sont invariants par $f$.\\ $F$ est une composée de similitudes l'une directe, l'autre indirecte, donc $f$ est une similitude indirecte, qui conserve deux points ,donc c'est la symétrie axiale par rapport à la droite portant ces deux points donc par rapport à la droite $(KJ)$.
		\item On a établi que $ s'\circ h=s_{(KJ)}$ donc $s'\circ h\circ h^{-1}=s_{(KJ)}\circ h^{-1}$ donc $s'$ est la composée d'une homthétie et d'une symétrie axiale car $ h^{-1}$ est l'homothétie de centre $K$ et de rapport $2$.\\$s'=s_{(KJ)}\circ h_{K;2}$
\vskip 0.2 cm \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-1.1,-5.46)(10,8.29)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-1.1,-5.46)(10,8.29)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.1,-5.46)(10,8.29)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](-1,2)(1,1)(2,3)
\pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](9,1)(5,-1)(7,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](-1,2)(1,1)
\psline[linecolor=zzttqq](1,1)(2,3)
\psline[linecolor=zzttqq](2,3)(-1,2)
\psline[linecolor=zzttqq](9,1)(5,-1)
\psline[linecolor=zzttqq](5,-1)(7,-5)
\psline[linecolor=zzttqq](7,-5)(9,1)

\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,1)
\rput[bl](1.23,1.3){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,2)
\rput[bl](-0.8,2.31){\blue{$B$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,3)
\rput[bl](2.19,3.32){\blue{$C$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](7,-5)
\rput[bl](7.21,-4.68){\blue{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5,-1)
\rput[bl](5.23,-0.68){\blue{$N$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9,1)
\rput[bl](1.8,0){\blue{$J$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2,0)
\rput[bl](9.23,1.3){\blue{$P$}}\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,-1)
\rput[bl](0.8,-1){\blue{$K$}}
\psline (-3,-5)(10,8)
\psline (1,-1)(3,7)
\psline (3,7)(9,1)
\psdots (6,4)
\rput (5.8,4){$I$}
\rput (2.8,7){$C_1$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}		 \end{enumerate}
	\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

On considère les deux courbes $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$  d'équations respectives $y = \text{e}^x$ et 
$y = -x^2 - 1$ dans un repère orthogonal du plan.
 
\begin{enumerate}
\item Lecture graphique de l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$: $a\simeq 0,8$ et l'abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$: $b\simeq -1,2$. 
\item On désigne par $a$ et $b$ deux réels quelconques, par $A$ le point d'abscisse $a$ de la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ et par $B$ le point d'abscisse $b$ de la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$.

On a alors: $A\left(a;\text{e}^a\right)$ et $B\left(b;-b^2-1\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item \'Equation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{1}\right)$ au point A:
\[
 y-\text{e}^a=\text{e}^a(x-a) \Longleftrightarrow y=\text{e}^ax+\text{e}^a(1-a)
\]
		\item \'Equation de la tangente $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ à la courbe $\left(\mathcal{C}_{2}\right)$ au point B:
\[
 y-(-b^2-1)=-2b(x-b) \Longleftrightarrow y=(-2b)x+b^2-1
\]
		\item $\left(\mathcal{T}_A\right)=\left(\mathcal{T}_B\right)$. En identifiant terme à terme les deux équations, on obtient:
		
\[
\left(\mathcal{T}_A\right)=\left(\mathcal{T}_B\right)\Longleftrightarrow (S):
\left\{\begin{array}{l}
\text{e}^a = - 2b \\
\text{e}^a(1 - a) = b^2 - 1
\end{array}\right.\] 
		\item  Montrer que le système $(S)$ est équivalent au système ($S'$) :
	\end{enumerate} 		
\[
(S) \Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
b=-\frac{\text{e}^a}{2}\\
\text{e}^a(1 - a) = \left(-\frac{\text{e}^a}{2}\right)^2 - 1
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
b=-\frac{\text{e}^a}{2}\\
4\text{e}^a(1 - a) = \left(\text{e}^a\right)^2 - 4
\end{array}\right.
\Longleftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l c l}
\text{e}^a& =& - 2b \\
\text{e}^{2a} + 4a\text{e}^a - 4\text{e}^a - 4& =& 0
\end{array}\right.\]  
	
\item $(\text{E})~~:\quad  \text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4 = 0.$
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbbm R$ par : $f(x) =  \text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4$.

	\begin{enumerate}
		\item Sur $]- \infty~;~0[$, la fonction $x\to\text{e}^{2x}$ est croissante et strictement positive, donc:
\[
\left( \text{e}^{2x}\leqslant\text{e}^{2\times 0}=1<4\Longrightarrow \text{e}^{2x} - 4 < 0\right)
\ \text{et}\ 
 \left(x\in]- \infty~;~0[\Longleftrightarrow x<0\Longleftrightarrow x-1<-1<0\Longrightarrow 4\text{e}^{x}(x - 1) < 0\right)
\]
		\item L'équation (E) n'a pas de solution dans l'intervalle $]- \infty~;~0[$, car sur cet intervalle,

 $\text{e}^{2x} + 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x} - 4 < 0$ .
		\item La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, car sa dérivée est positive:
\[
 f'(x)=2\text{e}^{2x}+4\text{e}^x+ 4 x\text{e}^{x} - 4\text{e}^{x}=2\text{e}^{2x}+ 4 x\text{e}^{x}>0\ \text{(somme de nombres strictement positifs)}
\]
 
		\item Démontrer que l'équation (E) admet une solution unique dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. En effet:

$f(0) = - 7\ \text{et}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)= \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\text{e}^{2x}\left(1+4\frac{x}{\text{e}^x}-\frac{4}{\text{e}^x}-\frac{4}{\text{e}^{2x}}\right)= +\infty$

$\text{car}  \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\text{e}^x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{4}{\text{e}^{nx}}= 0$.

$(n=1\ \text{ou}\ 2)$

La fonction $f$ est continue et strictement croissante	sur $[0~;~+ \infty[$; elle réalise donc une bijection de $[0~;~+ \infty[$ sur $[-3~;~+\infty[$.

Or $0\in[-3~;~+\infty[$, donc $0$ possède un unique antécédent, noté $a$ vérifiant $f(a)=0$.	 

Encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $a$ (en utilisant le théorème des valeurs intermédiaires):

\[
 f(0,84)\simeq -0,117\ \text{et}\ f(0,85)\simeq 0,07\Longrightarrow 0,84\leqslant a \leqslant 0,85
\]

	\end{enumerate} 
\item On prend pour A le point d'abscisse $a$. Encadrement d'amplitude $10^{-1}$ du réel $b$ pour lequel les droites $\left(\mathcal{T}_{\text{A}}\right)$ et $\left(\mathcal{T}_{\text{B}}\right)$ sont confondues:
\[
 0,84\leqslant a \leqslant 0,85\Longleftrightarrow 2,31<\text{e}^{0,84}\leqslant \text{e}^a \leqslant \text{e}^{0,85}< 2,34\Longleftrightarrow 1,155\leqslant \frac{\text{e}^x}{2}\leqslant 1,17 \Longleftrightarrow -1,2\leqslant b=-\frac{\text{e}^x}{2}\leqslant -1,1
\]
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 (Exercice 3, question 1)}

\vspace{0.5cm}

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=1.0cm,y=1.0cm]
\shorthandoff{:};
\draw [dashed, color=gray, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-5,-5) grid (5,5);
\draw (-5,0) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (1,0);\draw (1,0) -- (5,0);
\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw (0,-5) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (0,1);\draw (0,1) -- (0,5);
\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4}
\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-5,-5) rectangle (5,5);
\draw[smooth,samples=300,domain=-5.0:5.0] plot(\x,{exp(\x)});
\draw[smooth,samples=300,domain=-5.0:5.0] plot(\x,{0-\x^2-1});
\draw (1.9,4) node[fill=white] {$(\mathcal{C}_1)$};
\draw (2,-3) node[fill=white] {$(\mathcal{C}_2)$};
\draw [domain=-5:5] plot(\x,{2.31637*\x+0.37062});
\fill (0.84,2.31637) circle (1.5pt);
\draw (0.84,2.31637) node[right] {$A$};
\fill (-1.16,-2.3456) circle (1.5pt);
\draw (-1.16,-2.3456) node[left] {$B$};
\draw[color=red] (0.84,0) node[above] {$a$};
\fill[color=red] (0.84,0) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (-1.16,0) node[below left] {$b$};
\fill[color=red] (-1.16,0) circle (1.5pt);
\draw[color=red,dashed] (0.84,0) -- (0.84,2.31637);
\draw[color=red,dashed] (-1.16,0) -- (-1.16,-2.3456);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[ f(x) = 6 -  \frac{5}{x + 1}.\]
 
Le but de cet exercice est d'étudier des suites $\left(u_{n}\right)$ définies par un premier terme positif ou nul $u_{0}$ et v\'erifiant pour tout entier naturel $n$ :
 
\[u_{n+1} = f\left(u_{n}\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item  Étude de propriétés de la fonction $f$ 
\begin{enumerate}
\item Sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$:
\[
 f'(x)=\frac{5}{(x+1)^2}>0;\quad \text{la fonction $f$ est donc strictement croissante sur}\ [0~;~+ \infty[
\]

\item Résolution dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'équation $f(x) = x$:
\[
 f(x)=x \Longleftrightarrow 6 -  \frac{5}{x + 1}=x \Longleftrightarrow \frac{6x+6-5}{x+1}=x \Longleftrightarrow 6x+1=x^2+x \Longleftrightarrow x^2-5x-1=0
\]
\[
 \Delta=(-5)^2-4\times 1\times (-1)=29;\quad\text{donc}\ 
\left\lbrace\begin{array}{l}
\alpha=\frac{5+\sqrt{29}}{2}\simeq 5,193\in[0~;~+ \infty[\\
\beta=\frac{5-\sqrt{29}}{2}\simeq -0,193\notin[0~;~+ \infty[
\end{array}\right.
\]
 
\item La fonction $f$ étant croissante sur $[0~;~+ \infty[$:
\[
 0\leqslant x \leqslant \alpha \Longleftrightarrow 0<1=f(0)\leqslant f(x) \leqslant \alpha=f(\alpha)
\]
		 
De même:
\[
 x\geqslant \alpha \Longleftrightarrow f(x) \geqslant \alpha=f(\alpha)
\]
\end{enumerate}
	 
\item Étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $u_{0} = 0$.
 
Dans cette question, on considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 0$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n + 1} = f\left(u_{n}\right) = 6 - \dfrac{5}{u_{n} + 1}.\] 

\begin{enumerate}
\item Voir annexe 2.
		 
Conjectures peut-on émettre quant au sens de variations et à la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$: la suite  $\left(u_{n}\right)$ est croissante et converge vers $\alpha$.

\item Pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant \alpha$

\textbf{récurrence:} $\forall n,\ n\in \mathbbm{N},\ 0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$:
\begin{itemize}
\item $u_0=0\ \text{et}\ u_1=1 \Longrightarrow 0 \leqslant u_0=0 \leqslant u_1=1 \leqslant \alpha\simeq 5,193$
\item Supposons que pour un $n$ donné, on ait: $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$. La fonction $f$ étant croissante sur $[0\,;\,\alpha]$:
\[
 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha \Longleftrightarrow 0<1=f(0) \leqslant u_{n+1}=f(u_n) \leqslant u_{n+2}=f(u_{n+1})  \leqslant \alpha=f(\alpha)
\]
\item Ainsi, $\forall n,\ n\in\mathbbm{N},\ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.
\end{itemize}

\item La suite $\left(u_{n}\right)$ étant croissante et majorée par $\alpha$, elle est convergente vers $\ell$.

La fonction $f$ étant continue sur $[0\,;\,\alpha]$, $\ell$ vérifie:
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}f(u_n)=u_{n+1}=f(\ell)\Longrightarrow f(\ell)=\ell
\]
Nous savons que seul $\alpha$ vérifie $f(x)=x$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Ainsi:
\[
 \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha
\]
	\end{enumerate} 
\item Étude des suites $\left(u_{n}\right)$ selon les valeurs du réel positif ou nul $u_{0}$
 
\begin{itemize}
 \item Si $u_0\in[o\,;\,\alpha[$, la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbbm{N}}$ est croissante et converge vers $\alpha$.
\item Si $u_0=\alpha$, la suite est constante et égale à $\alpha$.
\item Si $u_0\in]\alpha\,;\,+\infty[$, la suite est décroissante et converge vers $\alpha$.
\end{itemize}
Les démonstrations se font de la même manière que pour $u_0=0$.

\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{0.25cm}
 


\vspace{0.5cm}

\textbf{Annexe 2 (Exercice 4, question 2. a.)}

\vspace{0.5cm}

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=2.5cm,y=2.5cm]
\shorthandoff{:};
\draw [dashed, color=gray, xstep=1.5cm,ystep=1.5cm] (0,0) grid (5.4,5.4);
\draw[->] (-0.2,0) -- (5.4,0);
\foreach \x in {,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5}
\draw[shift={(\x,0)},color=blue] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below right] {\footnotesize $\x$};
\draw[->] (0,-0.2) -- (0,5.4);
\foreach \y in {,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5}
\draw[shift={(0,\y)},color=blue] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[below left] {\footnotesize $\y$};
\draw (0,0) node[below left] {$0$};
\clip(-0.2,-0.2) rectangle (5.4,5.4);
\draw[smooth,samples=300,domain=-0:5.4] plot(\x,{6-5/(\x+1)});
\draw[smooth,samples=300,domain=-0:5.4] plot(\x,{\x});
\draw [dashed,color=red] (5.19258,0) -- (5.19258,5.4);
\draw [dashed] (0,1)-- (1,1);
\draw [dashed] (1,0)-- (1,3.5);
\draw [dashed] (0,3.5)-- (3.5,3.5);
\draw [dashed] (3.5,4.88889)-- (3.5,0);
\draw [dashed] (0,4.88889)-- (4.88889,4.88889);
\draw [dashed] (4.88889,5.15094)-- (4.88889,0);
\draw [dashed] (0,5.15094)-- (5.15094,5.15094);
\draw [dashed] (5.15094,5.15094)-- (5.15094,0);
\draw (-0.14197,-0.3673) node {$f$};
\draw (-0.24828,-0.3673) node {$g$};
\fill [color=red] (5.19258,5.19258) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (5.27954,5.13216) node {$A$};
\draw[color=red] (5.09528,5.5432) node {$a$};
\fill [color=red] (5.19258,0) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (5.19258,0) node[below right] {$\alpha$};
\fill [color=red] (0,0) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (0,0) node[below right] {$A_0$};
\fill  (0,1) circle (1.5pt);
\draw (0,1) node[above left] {$u_1$};
\fill  (0,1) circle (1.5pt);
\fill  (1,1) circle (1.5pt);
\fill  (1,0) circle (1.5pt);
\fill  (1,3.5) circle (1.5pt);
\fill  (0,3.5) circle (1.5pt);
\draw (0,3.5) node[above left] {$u_2$};
\fill  (3.5,3.5) circle (1.5pt);
\fill [color=red] (3.5,0) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (3.5,0) node[below left] {$A_2$};
\fill  (3.5,4.88889) circle (1.5pt);
\fill  (0,4.88889) circle (1.5pt);
\draw (-0,4.88889) node[below left] {$u_3$};
\fill  (4.88889,4.88889) circle (1.5pt);
\fill [color=red] (4.88889,0) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (4.88889,0) node[below left] {$A_3$};
\fill  (4.88889,5.15094) circle (1.5pt);
\fill [color=red] (1,0) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (1,0) node[below left] {$A_1$};
\fill  (0,5.15094) circle (1.5pt);
\draw (0,5.15094) node[left] {$u_4$};
\fill  (5.15094,5.15094) circle (1.5pt);
\fill [color=red] (5.15094,0) circle (1.5pt);
\draw[color=red] (5.15094,0) node[below] {$A_4$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=latex,x=1.0cm,y=1.0cm]
\shorthandoff{:};
\draw [dashed, color=gray, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-0.6,-0.6) grid (9.5,9.5);
\draw (-0.6,0) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (1,0);\draw (1,0) -- (9.5,0);
\foreach \x in {,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\x$};
\draw (0,-0.6) -- (0,0);\draw[->] (0,0) -- (0,1);\draw (0,1) -- (0,9.5);
\foreach \y in {,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\y$};
\draw (0pt,-10pt) node[right] {\footnotesize $0$};
\clip(-0.6,-0.6) rectangle (9.5,9.5);
\draw[smooth,samples=300,domain=0:9.5] plot(\x,{6-5/(\x+1)});
\draw[smooth,samples=300,domain=0:9.5] plot(\x,{\x});
\draw (-0.24,-3.22) node {$f$};
\draw (-1.4,-1.7) node {$g$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
%\vspace{0.25cm}
\end{document}
\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-5}{1.59}{2.71828 x exp}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-2}{2}{x dup mul 1 add neg}
\end{pspicture} 

\vspace{0.25cm}



\vspace{0.25cm} 

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9.5,10)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{6 5 x 1 add div sub}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{10}{x}
\end{pspicture} 
\end{center}


\end{document}

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$ d'unité graphique 1~cm, on considère les points $A,~B,~C,~M,~N$ et $P$ d'affixes respectives :
 
\[a = 1 + \text{i},~ b = -1 + 2\text{i},~ c = 2 + 3\text{i},~m = 7 - 5\text{i},~n = 5 - \text{i},~p = 9 + \text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points $A,~ B,~C,~M,~N$ et $P$ dans le repère. 
		\item Calculer les longueurs des côtés des triangles $ABC$ et $NMP$. 
		\item En déduire que ces deux triangles sont semblables.
	\end{enumerate}
	 
\emph{Dans la suite de l'exercice, on se propose de mettre en évidence deux similitudes qui transforment le triangle ABC en le triangle $MNP$.}
 
\item Une similitude directe
 
Soit $s$ la similitude directe qui transforme le point $A$ en $N$ et le point $B$ en $P$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer qu'une écriture complexe de la similitude $s$ est: 

\[z' = \left(- \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}\text{i}\right)z + \dfrac{23}{5} + \dfrac{9}{5}\text{i}.\]
 
		\item Déterminer le rapport, la valeur de l'angle arrondie au degré, ainsi que le centre de la similitude $s$. 
		\item Vérifier que la similitude $s$ transforme le point $C$ en $M$.
	\end{enumerate}
	 
\item Une similitude indirecte
 
Soit $s'$ la similitude dont l'écriture complexe est :

\[z'= 2\text{i}\overline{z} +3 - 3\text{i}.\]
 

	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que : $\left\{\begin{array}{l c l}
s'(A) &=& N\\ 
s'(B) &=& M\\
s'(C) &=& P
\end{array}\right.$ 
		\item Démontrer que $s'$ admet un unique point invariant $K$ d'affixe $k = 1 - \text{i}$. 
		\item Soit $h$ l'homothétie de centre $K$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et $J$ le point d'affixe $2$. 

On pose : $f = s'\circ h$.
 
Déterminer les images des points $K$ et $J$ par la transformation $f$. En déduire la nature précise de la transformation  $f$.
		\item Démontrer que la similitude $s'$ est la composée d'une homothétie et d'une réflexion. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}