\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add}
\usepackage{tikz}
\usepackage{esvect}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\headheight15 mm
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat Spécialité},
pdftitle = {Centres étrangers (Europe) Sujet 1 21 mars 2023},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.3}
\frenchsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{20 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Centres étrangers\footnote{Europe} 21 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
\[g(x) = \ln \left(x^2\right) + x - 2\]
\begin{enumerate}
\item ~%Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x^2 = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} x = 0$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = - \infty$.

$\bullet~~$$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x^2  = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x  = + \infty$, d'où  par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
\item %On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

%Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Sur $]0~;~+\infty[$, on a $g(x) = 2\ln x + x - 2$, d'où :

$g'(x) = 2\times \dfrac1x + 1$.
On a par composition de la dérivation :

$g'(x) = 2 \times \dfrac1x + 1 = \dfrac{2 + x}{x}$.

Comme $x > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $2 + x$.

Or $x > 0 \implies 2 + x > 2 > 0$, donc $g'(x) > 0$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

La fonction $g$ est donc croissante et d'après la question précédente de moins l'infini à plus l'infini.
\item \begin{enumerate}
\item %Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif $\alpha$  tel que $g(\alpha) = 0$.
D'après la question précédente $g$ est continue car dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et croit de moins l'infini à plus l'infini : d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe donc un réel unique $\alpha \in ]0~;~+\infty[$ tel que $g(\alpha) = 0$.
\item ~%Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
La calculatrice donne :

$g(1) = - 1$ et $g(2) \approx1,4$, donc $1 < \alpha < 2$ ;

$g(1,3) \approx - 0,175$ et $g(1,4) \approx 0,07$, donc $1,3 < \alpha < 1,4$ ;

$g(1,37) \approx - 0,0004$ et $g(1,38) \approx 0,02$, donc $1,37 < \alpha < 1,38$
\end{enumerate}
\item D'où le tableau de signe :

%En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,1)
\psframe(7,1)\psline(0,0.5)(7,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.4){$x$}\uput[u](1.15,0.4){0}\uput[u](4,0.4){$\alpha$}\uput[u](6.5,0.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,-0.1){$g(x)$}\uput[u](2.5,-0.1){$-$}\uput[u](4,-0.1){$0$}\uput[u](5.5,-0.1){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par:
\[f(x) = \dfrac{(x-2)}{x}\ln(x)\]
%On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
On a successivement :

$\displaystyle\lim_{x \to 0} (x - 2) = - 2$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} x  = 0$, d'où par quotient de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(x - 2)}{x} = - \infty$ ;

D'autre part $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty.$
		\item %Interpréter graphiquement le résultat.
		Géométriquement le résultat précédent montre que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\bullet~~$On a $\dfrac{x - 2}{x} = \dfrac{x\left(1 - \frac2x\right)}{x} = 1 - \frac2x$

De $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac2x = 0$, il suit $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x - 2}{x} = 1$.

$\bullet~~$D'autre part on sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\ln x = + \infty$. 

Donc par produit de limites, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$,

%Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
Sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, on a par dérivation du produit :

$f'(x) = \dfrac{1 \times x - 1 \times (x - 2)}{x^2}\ln x + \dfrac{x - 2}{x} \times \dfrac1x = \dfrac{x - x + 2}{x^2}\ln x + \dfrac{x - 2}{x^2} = \dfrac{2\ln x + x - 2}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
\item  %En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
Comme $x^2 > 0$ sur $]0~;~+\infty[$, le signe de $f'(x)$ sur cet intervalle est celui de $g(x)$.

On a vu à la question A. 4. que :

$\bullet~~$ :sur l'intervalle $]0~;~\alpha[, \: g(x) < 0$ : la fonction $f$ est donc décroissante sur $]0~;~\alpha[$ ;

$\bullet~~$ :sur l'intervalle $]\alpha~;~+ \infty[, \: g(x) > 0$ : la fonction $f$ est donc croissante sur $]\alpha~;~\infty[$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip

%Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.Soit la fonction $d$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
\[d(x) = f(x) - \ln x = \dfrac{(x-2)}{x}\ln(x) - \ln x = \ln x\left[\dfrac{(x-2)}{x} - 1\right] = \ln x\left[\dfrac{x - 2 - x}{x}\right] = \dfrac{- 2}{x}\ln x.\]

La position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ est donnée par le signe de la fonction $d$.

Comme $x > 0$, le signe de $d(x)$ est celui du produit $- 2\ln x$.

On dresse donc un tableau de signes :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,2)
\psframe(8,2)\psline(0,0.5)(8,0.5)\psline(2,0)(2,2)\psline(0,1)(8,1)\psline(0,1.5)(8,1.5)
\psline(2.1,0)(2.1,1.5)\psline(2.2,0)(2.2,1.5)
\uput[u](1,1.4){$x$}\uput[u](2.15,1.4){0}\uput[u](5,1.4){1}\uput[u](7.5,1.4){$+ \infty$}
\uput[u](1,0.9){$- 2$}\uput[u](3.5,0.9){$-$}\uput[u](6.5,0.9){$-$}
\uput[u](1,0.4){$\ln x$}\uput[u](3.5,0.4){$-$}\uput[u](5,0.4){$0$}\uput[u](6.5,0.4){$+$}
\uput[u](1,-0.1){$- 2\ln x$}\uput[u](3.5,-0.1){$+$}\uput[u](5,-0.1){$0$}\uput[u](6.5,-0.1){$-$}
%\uput[u](2.5,-0.1){$-$}\uput[u](4,-0.1){$0$}\uput[u](5.5,-0.1){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
Conclusion : sur l'intervalle $]0~;~1[$, la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de la courbe logarithme népérien et,

sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessous de la courbe logarithme népérien.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.75,-2)(7,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.95)(7,2)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,-2)(7,2)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0.1}{7}{x 2 sub x div x ln mul}\uput[dr](6,1.2){\red$\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.1}{7}{x ln}\uput[u](4,1.4){\blue $y = \ln x$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Dans un souci de préservation de l'environnement, Monsieur Durand décide de se rendre
%chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.

S'il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en
commun le lendemain avec une probabilité égale à 0,8.

S'il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale
à 0,4.

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:
\begin{itemize}
\item  $T_n$ l'évènement \og Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$-ième jour\fg
\item  $V_n$ l'évènement \og  Monsieur Durand utilise son vélo le $n$-ième jour\fg
\item On note $p_n$ la probabilité de l'évènement $T_n$,
\end{itemize}

Le premier matin, il décide d'utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de
l'évènement $T_1$ est $p_1 = 1$.

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les
2\ieme{} et 3\ieme{} jours,

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,levelsep=3cm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{$T_1$~}}
{\pstree{\TR{$T_2$~}\taput{$0,8$}}
	{
	\TR{$T_3$~}\taput{$0,8$}
	\TR{$V_3$~}\tbput{$0,2$}
	}
\pstree{\TR{$V_2$~}\tbput{$0,2$}}
	{\TR{$T_3$~}\taput{$0,6$}
	\TR{$V_3$~}\tbput{$0,4$}
	}
}
\end{center}

\item Calculer $p_3$

D'après la loi des probabilités totales : $p_3 = p\left(T_2 \cap T_3 \right)  + p\left(V_2 \cap T_3\right)$.

$p\left(T_2 \cap T_3 \right) = p\left(T_2\right) \times p_{T_2}\left(T_3\right)= 0,8 \times 0,8 = 0,64$. De même :

$p\left(V_2 \cap T_3\right) = p\left(V_2\right) \times p_{V_2}\left(T_3\right)= 0,2 \times 0,6 = 0,12$.

Donc $p_3 = 0,64 + 0,12 = 0,76$.
\item  Le 3\ieme{} jour, M. Durand utilise son vélo.

Calculer la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille.

On calcule $p_{V_3}\left(T_2\right) = \dfrac{p\left(V_3 \cap T_2\right)}{p\left(V_3\right)} =
\dfrac{p\left(T_2 \cap V_3\right)}{p\left(V_3\right)}$.

Or $p\left(V_3\right) = 1 - p_3 = 1 - 0,76 = 0,24$ et 

$p\left(T_2 \cap V_3\right) = 0,8 \times 0,2 = 0,16$, d'où 

$p_{V_3}\left(T_2\right) = \dfrac{0,16}{0,24} = \dfrac{16}{24} = \dfrac{2}{3}$.

\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les
$n$-ième et $(n + 1)$-ième jours.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,levelsep=3cm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T_n$~}\taput{$p_n$}}
	{
	\TR{$T_{n+1}$~}\taput{$0,8$}
	\TR{$V_{n+1}$~}\tbput{$0,2$}
	}
\pstree{\TR{$V_n$~}\tbput{$1 - p_n$}}
	{\TR{$T_{n+1}$~}\taput{$0,6$}
	\TR{$V_{n+1}$~}\tbput{$0,4$}
	}
}
\end{center}

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$.

On a $p_{n+1} = p\left(T_{n+1}\right) = p\left(T_n \cap T_{n+1} \right)  + p\left(V_n \cap T_{n+1}\right) = 0,8p_n + 0,6\left(1 - p_n\right) = 0,8p_n + 0,6 - 0,6p_n = 0,2p_n + 0,6$.
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a
\[p_n = 0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1}.\]

\emph{Initialisation} : pour $n = 1$, on a $p_1 = 0,75 + 0,25 \times 0,2^{1-1} = 0,75 + 0,25 \times 0,2^0 = 0,72 + 0,25 = 1$ : la relation est vraie au rang 1.

\emph{Hérédité} : soit $n \geqslant 1$ tel que $p_{n} = 0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1}$.

Alors d'après la question \textbf{5.} $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$, d'où en utilisant l'hypothèse de récurrence :

$p_{n+1} = 0,2\left(0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1}\right) + 0,6 = 
0,15 + 0,25\times 0,2^{n} + 0,6 = 0,75 + 0,25\times 0,2^{n}$ : l'égalité est vraie au rang $n + 1$.

\emph{Conclusion} : la relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang $n$ au moins égal à 1 elle l'est aussi au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence :

pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = 0,75 + 0,25 \times 0,2^{n-1}$.
\item Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de
l'exercice.

Comme $- 1 < 0,2 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  0,2^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,25\times  0,2^{n-1} = 0$ et par somme de limites $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_n = 0,75 = \dfrac34$.

Au bout d'un certain nombre de jours Monsieur Durand prendra les transports en commun 3 jours sur 4.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
%Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Les cinq questions sont indépendantes.}
%
%\bigskip

%Dans tout l'exercice, $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une primitive de la fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x) =x\text{e}^x$, est la fonction $F$, définie sur $\R$, par :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
%\textbf{a.~~} $F(x) =\dfrac{x^2}{2}\text{e}^x$&\textbf{c.~~} $F(x) = (x + 1)\text{e}^x$\\
%\textbf{b.~~} $F(x) = (x - 1)\text{e}^x$ &\textbf{d.~~} $F(x) =x^2 \text{e}^{x^2}$ 
%\end{tabularx}
%\end{center}
Avec $F(x) = (x - 1)\text{e}^x$, on a $F'(x) = 1\text{e}^x + (x - 1)\text{e}^x = \text{e}^x(1 + x - 1) = x\text{e}^x$. Réponse \textbf{b.}

\item On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = \ln \left(\dfrac{x - 1}{2x+ 4}\right).$

%La fonction $g$ est définie sur:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
%\textbf{a.~~}$\R$				& \textbf{c.~~} $]-\infty~;~-2[ \cup ]1~;~+\infty[$\\
%\textbf{c.~~}$]-2~;~ +\infty[$ 	&\textbf{d.~~} $]-2~;~1[$
%\end{tabularx}
%\end{center}
La fonction est définie quand l'argument du logarithme est supérieur à zéro donc quand 

$\dfrac{x - 1}{2x+ 4} > 0$ ou ce qui revient au même quand $(x - 1)(2x + 4) = 0$.

Or ce trinôme du second degré a deux zéros$- 2$ et 1 et son coefficient dominant est $+ 2$, donc ce trinôme est positif sauf entre les racines $- 2$ et 1. Réponse \textbf{c.}
\item  La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)= (x + 1)\text{e}^{x}$ est :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
%\textbf{a.~~} concave sur $\R$& \textbf{c.~~} convexe sur $] -\infty~;~-3]$ et concave sur $[-3~;~+\infty[$\\
%\textbf{b.~~} convexe sur $\R$& \textbf{d.~~} concave sur $]-\infty~;~-3]$ et convexe sur $[-3~;~+\infty[$
%\end{tabularx}
%\end{center}
On peut calculer $h'(x) = (x + 2)\text{e}^x$, puis $h''(x) = (x + 3)\text{e}^x$.

Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$ le signe de $h''(x)$ est celui de $x + 3$ qui est positif sur 

$]-3~;~+ \infty[$. Sur cet intervalle la fonction est convexe. Réponse \textbf{d.}

\item Une suite $\left(u_n\right)$ est minorée par 3 et converge vers un réel $\ell$.

%On peut affirmer que :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
%\textbf{a.~~} $\ell = 3$ 		&\textbf{c.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.\\
%\textbf{b.~~} $\ell \geqslant 3$ &\textbf{d.~~} La suite $\left(u_n\right)$ est constante à partir d'un certain rang.
%\end{tabularx}
%\end{center}
La limite est supérieure ou égale à 3. Réponse \textbf{b.}

\item  La suite $\left(w_n\right)$ est définie par $w_1 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif, 

$w_{n+1} = \dfrac1n w_n$.
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
%\textbf{a.~~} La suite $\left(w_n\right)$ est géométrique&\textbf{c.~~} $w_5 = \dfrac{1}{15}$\\
%\textbf{b.~~} La suite $\left(w_n\right)$ n'admet pas de limite&\textbf{d.~~}La suite $\left(w_n\right)$ converge vers 0.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On peut démontrer rapidement par récurrence de :

$w_1 = 2$, \quad $w_2 = \dfrac{2}{1} = 2$, \quad $w_3 = 1, \quad w_4 = \dfrac{1}{3}w_3 = \dfrac13 = \dfrac{2}{2 \times 3} = \dfrac{2}{(4 - 1)!}$, ...

que $w_n = \dfrac{2}{(n-1)!}$, avec $n! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times n$.

Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{2}{(n- 1)!} = 0$. Réponse \textbf{d.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk, on considère les
points
\begin{center}A$(-1~;~-3~;~2)$,\qquad B$(3~;~-2~;~6)$ \quad et \quad  C$(1~;~2~;~-4)$.\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera $\mathcal{P}$.
On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent donc un plan $\mathcal{P}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$  est normal au plan $\mathcal{P}$.
On a :

$\bullet~~$$\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 4 \times 13 + 1 \times (- 16) + 4 \times (-9) = 52 - 16 - 36 = 52 - 52 = 0$ ;

$\bullet~~$$\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = 2 \times 13 + 5 \times (- 13) + (- 6 \times (-9) = 26 - 65 + 54  = 52 - 52 = 0$.

Le vecteur $\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathcal{P}$ : il est normal à ce plan.
		\item %Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $P$ est $13x - 16y - 9z- 17 = 0$.
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff ax + by + cz + d = 0$ et que $a, b $ et $c$ sont les composantes d'un vecteur normal à ce plan donc par exemple $\vect{n}$.
		
On a donc $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 13x - 16y -9z + d = 0$.
		
par exemple C$(1~;~2~;~- 4) \in \mathcal{P} \iff 13\times 1 + 2\times  (-16) -9 \times (- 4) + d = 0   + d = 0 \iff 13 - 32 + 36 + d = 0 \iff 17 + d = 0 \iff d = - 17$.
		
On a donc $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff 13x - 16y - 9z - 17 = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point F$(15~;~-16~;~-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item %Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
La droite $\mathcal{D}$ étant orthogonale au plan $\mathcal{P}$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{n}$ normal au plan $\mathcal{P}$.

On a donc $M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{D} \iff \vect{\text{F}M} = t \vect{n}, \quad t \in \R$, soit $\left\{\begin{array}{l c l}
x - 15&=&13t\\
y + 16&=&- 16t\\
z + 8&=&- 9t
\end{array}\right., \quad t \in \R$
\item %On appelle E le point d'intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.
Si E$(x~;~y~;~z)$ est commun à la droite $\mathcal{D}$ et au plan $\mathcal{P}$, ses coordonnées vérifient les équations de la droite et celle du plan donc le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 15&=&13t\\
y + 16&=&- 16t\\
z + 8&=&- 9t\\
13x - 16y - 9z - 17 &=& 0
\end{array}\right., \quad t \in \R$.

En remplaçant $x, y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans l'équation du plan, on obtient :

$13(13t + 15) - 16(16t - 16)- 9(- 9t - 8) - 17 = 0 \iff 169t + 195 + 256t + 256 +81t + 72 - 17 = 0 \iff 506t + 506 = 0 \iff t = - 1$.

En reportant cette valeur dans les équations paramétriques de la droite $\mathcal{D}$, on obtient  :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 15&=&-13 \\
y + 16&=&16\\
z + 8&=&9\\
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2 \\
y &=&0\\
z &=&1\\
\end{array}\right.$

Donc E(2~;~0~;~1).
%Démontrer que le point E a pour coordonnées (2~;~0~;~1).
\item %Déterminer la valeur exacte de la distance du point F au plan $\mathcal{P}$.
F et E appartiennent à la droite $\mathcal{D}$ perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$, donc la distance du point F au plan est égale à FE.

Or FE$^2 = (- 13)^2 + 16^2 + 9^2 = 169 + 256 + 81 = 506$. D'où FE $ = \sqrt{506}$.
\item %Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$ est égale à la moitié de la distance du point F au plan $\mathcal{P}$.
Comme précédemment si $M \in \mathcal{D}$ perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ la distance de ce point au plan $\mathcal{P}$ est $M$E.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(8,1)
\psline(8,0)
\psdots(1,0)(3,0)(5,0)(7,0)
\uput[d](1,0){F} \uput[d](3,0){$M_1$} \uput[d](5,0){E} \uput[d](7,0){$M_2$}
\multido{\n=1.9+2.0,\na=2.1+2.0}{3}{\psline(\n,-0.2)(\na,0.2)}
\end{pspicture}
\end{center}

$\bullet~~$Premier point répondant à la question : $M_1$ tel que $\vect{\text{E}M_1} = \dfrac12 \vect{\text{EF}}$.

De $\vect{\text{EF}}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$, on déduit que $\dfrac12 \vect{\text{EF}} = \vect{\text{E}M_1}\begin{pmatrix}6,5\\-8\\-4,5\end{pmatrix}$, soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x_1 - 2&=&6,5\\
y_1 - 0&=&- 8\\
z - 1&=&-4,5
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x_1 &=&8,5\\
y_1 &=&- 8\\
z &=&-3,5
\end{array}\right.$

$\bullet~~$Deuxième point répondant à la question : $M_2$ tel que $\vect{\text{E}M_2} = -\dfrac12 \vect{\text{EF}}$.

De $\vect{\text{EF}}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$, on déduit que $-\dfrac12 \vect{\text{EF}} = \vect{\text{E}M_2}\begin{pmatrix}-6,5\\8\\4,5\end{pmatrix}$, soit 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x_2 - 2&=&-6,5\\
y_2 - 0&=& 8\\
z_2 - 1&=&4,5
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x_2 &=&- 4,5\\
y_2 &=& 8\\
z_2 &=&5,5
\end{array}\right.$

Donc $M_1(8,5~;~-8~;~- 3,5)$ et $M_2(-4,5~;~ 8~;~5,5)$.
\end{enumerate}
\end{document}