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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}%crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%plus petit ou égal
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES},
pdftitle = {Antilles-Guyane  -- 22 juin  2016},
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\renewcommand{\d}{\,\text{d}}% le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}% le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 22 juin  2016}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES--L Antilles--Guyane~\decofourright\\[5pt]
juin 2016}}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{EXERCICE 1 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\cd - 1~;~3\cg$ :

\smallskip

\parbox{0.53\linewidth}{Dans l'intervalle $\cd - 1~;~3\cg$, l'équation $f(x) = 0$ admet :

\hspace*{4pt}\textbf{a.~~} exactement 3 solutions 

\fbox{\textbf{b.~~} exactement 2 solutions}

\hspace*{4pt}\textbf{c.~~} exactement 1 solution 

\hspace*{4pt}\textbf{d.~~} pas de solution}\hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2)
\psline(1.5,0)(1.5,2)
\uput[u](0.75,1.9){$x$} \uput[u](1.7,1.9){$~- 1$} \uput[u](3,1.9){$1$} \uput[u](4.5,1.9){$2$} \uput[u](5.85,1.9){$3$}
\uput[u](1.7,0){$~- 2$} \uput[d](3,2){2}\uput[u](4.5,0){$- 1$}\uput[d](5.6,2){$- 0,5$}
\psline{->}(2,0.5)(2.75,1.5) \psline{->}(3.25,1.5)(4.25,0.5)\psline{->}(4.75,0.5)(5.75,1.5)
\rput(0.75,1.25){variations}
\rput(0.75,0.75){de $f$}
\end{pspicture}}

\medskip

D'après le tableau de variation de $f$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans l'intervalle $\cd -1~;~1\cg$ et une autre dans l'intervalle $\cd 1~;~2\cg$.

\medskip

\item L'équation $\ln (2x) = 2$ admet une unique solution $x_0$ sur $\R$. On a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$x_0 = 0$
&\fbox{\textbf{b.~~}$x_0 = \dfrac{\text{e}^2}{2}$}
& \textbf{c.~~}$x_0 = \dfrac{\ln 2}{2}$ 
&\textbf{d.~~}$x_0 = \np{3,6945}$
\end{tabularx}

\medskip

$\ln(2x)=2 \iff 2x=\e^{2} \iff x = \dfrac{\e^{2}}{2}$

\medskip

\item La suite $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 400$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.

La somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $2\times \left(1 - 0,5^{10}\right)$ 
&\hspace*{4pt}\textbf{b.~~} $2\times \left(1 - 0,5^{11}\right)$ \\[5pt]
 \textbf{c.~~} $800\times\left(1 - 0,5^{10}\right)$
 &\fbox{\textbf{d.~~}$800 \times \left(1 - 0.5^{11}\right)$}
\end{tabularx}

\medskip

$u_0+u_1+ \ldots + u_{10}= \text{premier terme}\times \dfrac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}
= 400\times \dfrac{1-0,5^{11}}{1-0,5}
= 800\left (1-0,5^{11}\right )$

\medskip

\item On considère l'algorithme ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline
\textbf{Variables :}	&$n$ est un nombre entier naturel \\
								&$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement :}&Affecter à $n$ la valeur $0$ \\
								&Affecter à $U$ la valeur 50\\
								&Tant que $U < 120$ faire\\
								&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
												$U$ prend la valeur $1,2\times U$\\ 
												$n$ prend la valeur $n+1$
												\end{tabular}\\
								&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie :}						&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  
En  fin d'exécution, cet algorithme affiche la valeur :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  4 &\textbf{b.~~} $124,416$ 
&\fbox{\textbf{c.~~} 5}
&\textbf{d.~~} 96
\end{tabularx}

\medskip

On fait tourner l'algorithme qui affichera $n$ dès que $U$ sera supérieur ou égal à 120:

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|c|*6{>{\ca}p{1.5cm}|}}
\hline
$U$ &50 &60 &72 &86,4 	&103,68 &124,416 \\ \hline
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 	& 4 	&\textcolor{red}{5}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\cg 0~;~+\infty\cd$ par $f(x) = 2 + 3 \ln(x)$.

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $y = \dfrac{3}{x}$ 
&\fbox{\textbf{b.~~} $y = 3x - 1$}
 &\textbf{c.~~} $y = 3x$ &\textbf{d.~~} $y = 3x + 2$
\end{tabularx}
\medskip

$f'(x)=\dfrac{3}{x}$ donc $f'(1)=3$; $f(1)=2$;
la tangente a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$ qui donne $y=3x-1$.

\end{enumerate} 


\bigskip


%\newpage

\subsection*{EXERCICE 2 \hfill {\normalsize Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L\hfill 5~points}}

%\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L.}
%
%\medskip

%\emph{\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

Une agence de location de voitures dispose de trois types de véhicules : berline, utilitaire ou luxe, et propose, au moment de la location, une option d'assurance sans franchise.

Une étude statistique a permis d'établir que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 30\,\% des clients ont loué une berline et 10\,\% ont loué un véhicule de luxe.
\item[$\bullet~~$]40\,\% des clients qui ont loué une berline ont choisi l'option d'assurance sans franchise.
\item[$\bullet~~$] 9\,\% des clients ont loué un véhicule de luxe et ont choisi l'option d'assurance sans franchise.
\item[$\bullet~~$] 21\,\% des clients ont loué un véhicule utilitaire et ont choisi l'option d'assurance sans franchise.
\end{itemize}

On prélève au hasard la  fiche d'un client et on considère les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$ : le client a loué une berline.
\item[$\bullet~~$] $L$ : le client a loué un véhicule de luxe.
\item[$\bullet~~$] $U$ : le client a loué un véhicule utilitaire.
\item[$\bullet~~$] $A$ : le client a choisi l'option d'assurance sans franchise.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-contre
Avec les données de l'énoncé, on peut dire que:

\hfill $P(B)=0,3$, $P_B(A)=0,4$, $P(L)=0,1$, $P(L\cap A)=0,09$ et $P(U \cap A)=0,21$.\hfill{}

On place ces résultats dans l'arbre:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,]{\TR{}}
	{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\ncput*{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\red 0,3}}}
		{\TR{$A$}\ncput*{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\red 0,4}}
		\TR{$\overline{A}$}}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$L$}\ncput*{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\red 0,1}}}
		{\TR{$A$}~{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\red 0,09}}
		\TR{$\overline{A}$}}	
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$U$}}
		{\TR{$A$}~{\fbox{\rule[-3pt]{0pt}{10pt}\red 0,21}}
		\TR{$\overline{A}$}}	
	}
\end{center}

\item L'évènement \og le client a loué une berline et a choisi l'option d'assurance sans franchise\fg{} est l'évènement $B\cap A$.

D'après l'arbre:
$P(B \cap A)=P(B) \times P_B(A)=0,4\times 0,3 = 0,12$.

\item% Calculer la probabilité qu'un client ait choisi l'option d'assurance sans franchise.
On cherche $P(A)$; d'après la formule des probabilités totales:

$P(A) = P(B\cap A) + P(L\cap A) + P(U\cap A) = 0,12+0,09+0,21=0,42$.

\item% Calculer $P_L(A)$, la probabilité que le client ait souscrit une assurance sans franchise sachant qu'il a loué une voiture de luxe.
$P_L(A)=\dfrac{P(L\cap A)}{P(L)} = \dfrac{0,09}{0,1}=0,9$.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Le temps d'attente au guichet de l'agence de location, exprimé en minutes, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\cd 1~; ~20\cg$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quelle est la probabilité d'attendre plus de douze minutes ? 
La probabilité d'attendre plus de 12 minutes est:
$P(T \pg 12) = P(12 \pp T \pp 20) = \dfrac{20-12}{20-1}=\dfrac{8}{19}\approx 0,42$.

\item Le temps d'attente moyen est $\dfrac{1+20}{2}=10,5$ minutes.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip

Cette agence de location propose l'option   retour du véhicule dans une autre agence.

Une étude statistique a établi que le nombre mensuel de véhicules rendus dans une autre agence peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 220$ et d'écart-type $\sigma = 30$.

Si pour un mois donné, le nombre de véhicules rendus dans une autre agence dépasse $250$~véhicules, l'agence doit prévoir un rapatriement des véhicules.

À l'aide de la calculatrice:
$P(X>250) \approx 0,16$.

\smallskip

\emph{Remarque}

C'est un résultat que l'on aurait pu trouver sans calculatrice car $P(X>250)$ correspond à 

$P(X > \mu +\sigma)$ et que l'on sait que $P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu +\sigma) \approx 0,68$; donc $P(X>\mu+\sigma) = \dfrac{1-0,68}{2}$.

\bigskip

\subsection*{EXERCICE 2 \hfill Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points} 

%\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip
%
%\emph{\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

\parbox{0.46\linewidth}
{Des touristes sont logés dans un hôtel H.

Un guide souhaite faire visiter la région à ces touristes en empruntant les routes signalées comme d'intérêt touristique par l'office du tourisme.

Les tronçons de route qu'il souhaite emprunter sont représentés sur le graphe ci-contre.

Le long de chaque arête  figure la distance en kilomètres des différents tronçons.}
\hfill 
\parbox{0.52\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.75,0)(5.5,5)
%\psgrid
\psdots(0.5,3.5)(2.5,0.75)(2.75,4.5)(3,1.5)(4,4)(4.25,0.5)(5,1)%BGHCDEF
\uput[l](0.5,3.5){B} \uput[dl](2.5,0.75){G} \uput[u](2.75,4.5){H} 
\uput[l](3,1.5){C} \uput[r](4,4){D} \uput[d](4.25,0.5){E} 
\uput[r](5,1){F}
\pspolygon(0.5,3.5)(2.5,0.75)(3,1.5)(2.75,4.5)%BGCH
\psline(2.75,4.5)(4,4)(5,1)(3,1.5)(4,4)%HDFCD
\psline(3,1.5)(5,1)(4.25,0.5)(2.5,0.75)(5,1)%CFEGF
\rput(1.5,4.25){12}\rput(3.4,4.45){9}\rput(4.8,2.5){21}
\rput(4.7,0.4){3} \rput(3.4,0.3){9} \rput(1.2,2){13}\rput(2.6,3){20}
\rput(3.7,2.75){8}\rput(2.5,1.2){7}\rput(3.4,1.1){5}\rput(4,1.45){11}
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel et en y revenant ? Justifier la réponse.
Rechercher un chemin qui part d'un sommet, qui passe par toutes les arêtes une seule fois et qui revient au sommet de départ, c'est chercher un cycle eulérien dans le graphe.

D'après le théorème d'\textsc{Euler}, un graphe possède un cycle eulérien si et seulement si tous les sommets sont de degrés pairs.

On cherche les degrés des sommets:

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|c|*7{>{\ca}p{1cm}|}}
\hline
Sommets & H & B & C & D & E & F & G \\
\hline
Degrés & 3 & 2 & 4 & 3 & 2 & 4 & 4 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Il y a deux sommets de degrés impairs, donc il n'y a pas de cycle eulérien dans ce graphe: 
le guide ne peut pas emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel et en y revenant.

		\item% Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d'eux, en partant de l'hôtel mais sans forcément y revenir ? Justifier la réponse.
Le guide souhaite partir de l'hôtel et parcourir tous les tronçons de route sans forcément revenir à l'hôtel; il s'agit alors de trouver une chaîne eulérienne dans ce graphe.

D'après le théorème d'\textsc{Euler}, un graphe contient une chaîne eulérienne si et seulement si exactement deux de ses sommets sont de degrés impairs. C'est le cas ici car seuls les sommets H et D sont de degrés impairs; on peut donc trouver un parcours partant de H et arrivant à D passant une et une seule fois par chaque tronçon de route.

Voici un tel parcours:
HB -- BG -- GC -- CH -- HD -- DC -- CF -- FG -- GE -- EF -- FD

	\end{enumerate}

\item Un musée est situé en E.% Déterminer le plus court chemin menant de l'hôtel H au musée E. Justifier la réponse.

On va déterminer le chemin le plus court reliant H à E en utilisant l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\small
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*{7}{>{\ca}p{0.8cm}|} c |}
\hline 
 H &  B & C & D & E & F & G  &{\small On garde} \\ 
\hline 
\sur{0} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & H \\
\hline
 & 12 H & 20 H & \sur{9 H} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & D (H) \\
\hline
 & \sur{12 H} & \sout{20 H} &  & $\infty$ &       & $\infty$ & B (H) \\[-3pt]
 &            & 17 D        &  &          & 30 D  &          &       \\
\hline
 &  & \sur{17 D} &  & $\infty$ & 30 D & 25 B & C (D) \\
\hline
 &  &  &  & $\infty$ & \sout{30 D} & \sout{25 B} &  \\[-3pt]
 &  &  &  &          & 28 C        & \sur{24 C}  & G (C) \\
\hline
 &  &  &  & 33 G & \sur{28 C} &  & F (C)  \\
\hline
 &  &  &  & \sout{33 G} &  &  &   \\[-3pt]
 &  &  &  & \sur{31 F}  &  &  & E (F)  \\
\hline
\end{tabular} }
\end{center} 


Le chemin de longueur minimale 31~km entre H et E est:
H $\stackrel{9}{\longrightarrow}$
D $\stackrel{8}{\longrightarrow}$
C $\stackrel{11}{\longrightarrow}$
F $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ E


\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

L'office de tourisme évalue chaque année les hôtels de sa région et répertorie les meilleurs sur son site internet. On admet que dans cette région, la création ou la disparition d'hôtels est négligeable. 

On constate que, chaque année :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10\,\% des hôtels répertoriés ne seront plus répertoriés l'année suivante ;
\item[$\bullet~~$] 20\,\% des hôtels non répertoriés sur le site seront répertoriés l'année suivante.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On notera $R$ l'évènement \og  l'hôtel est répertorié \fg{}   et $\overline{R}$ son évènement contraire; on réalise un graphe décrivant la situation:

%\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(4,1.2)
\centering
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{$R$}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{$\overline R$}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{0,1}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{0,2}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{0,9}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{0,8}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}%   définition des sommets
\ncarc{->}{G}{D} \Aput{\valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc{->}{D}{G} \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90]{->}{G}{4mm}   \Bput{\valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
%\end{center}

\item% Écrire la matrice de transition de ce graphe.
D'après le cours, en prenant les sommets dans l'ordre $R$ et $\overline R$, la matrice de transition de ce graphe est

\[M = \begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}.\]

\item En 2015, 30\,\% des hôtels de la région étaient répertoriés.
On appelle $P_n$ l'état donnant la répartition des hôtels répertoriés et ceux qui ne le sont pas l'année $2015+n$; on représente cet état par une matrice 1 ligne 2 colonnes. On a donc pour l'année 2015, correspondant à $n = 0$:
$P_0 =\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}$.
 
En 2016 l'état sera:

$P_1 = P_0 \times M =
\begin{pmatrix} 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,3\times 0,9 + 0,7\times 0,2 & 0,3\times 0,1 + 0,7\times 0,8 \end{pmatrix}
=$

$\begin{pmatrix} 0,41 & 0,59 \end{pmatrix}$

Donc le pourcentage d'hôtels répertoriés en 2016 sera de 41\,\%.

En 2017 l'état sera:

$P_2 = P_1 \times M =
\begin{pmatrix} 0,41 & 0,59 \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,41\times 0,9 + 0,59\times 0,2 & 0,41\times 0,1 + 0,59\times 0,8 \end{pmatrix}\\
\phantom{P_1}
=
\begin{pmatrix} 0,487 & 0,513 \end{pmatrix}$

Donc le pourcentage d'hôtels répertoriés en 2017 sera de 48,7\,\%.

\item% Quel pourcentage d'hôtel serait répertorié à long terme ?
La matrice de transition ne comportant aucun zéro, l'état $P_n$ converge vers l'état stable du système, c'est-à-dire la matrice 
$P= \begin{pmatrix} r & 1-r \end{pmatrix}$
telle que $P\times M = P$.

$P\times M = P
\iff
\begin{pmatrix} r & 1-r \end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,2 & 0,8 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} r & 1-r \end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
0,9r+0,2(1-r) & r\\
0,1r + 0,8(1-r) & 1-r
\end{array}
\right. 
\iff
0,2 =0,3r
\iff
r=\dfrac{2}{3}
$

L'état stable du système est donc la matrice
$P=\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$.

Donc, à long terme, il y aura les deux tiers des hôtels qui seront répertoriés, soit 66,67\,\%.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{EXERCICE 3 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 7 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\cd 0~;~6\cg$.

ABCD est un rectangle, le point D a pour coordonnées (2~;~0) et le point C a pour coordonnées (4~;~0).

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1,-1.2)(6.2,3.1)
\def\f{10 x mul 5 sub 2.71828 x exp div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{4}{\f}
\psplot{4}{2}{0}
\closepath
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=.3pt](0,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,-1.2)(6.2,3.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{\f}
\pspolygon[showpoints=true](2,0)(4,0)(4,1.15)(2,1.15)%DCBA
\uput[ur](4,0){C}    \uput[ur](4,1.15){B} 
\uput[ul](2,1.15){A} \uput[ul](2,0){D} 
\end{pspicture*}
\end{center} 
                                                                                         \subsubsection*{Partie A}

%Dans cette partie A, les réponses seront données à partir d'une lecture graphique.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) > 0$.
$f(x)>0 \iff x \in \cg 0,5~;~6\cg$

\item% Avec la précision permise par le graphique, donner une valeur approchée du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~6].
Une valeur approchée du maximum de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~6\cg$ est 2,2.

\item% Quel semble être le signe de $f’(x)$ sur l'intervalle 
Sur l'intervalle $\cd 2~;~6\cg$, la fonction $f$ est décroissante donc $f'(x)$ est négatif.

\item% Pour quelle(s) raison(s) peut-on penser que la courbe admet un point d'inflexion ?
Pour $x=1,5$, la courbe est en dessous de sa tangente; pour $x=5$, la courbe est au dessus-de sa tangente. Il semble donc qu'entre 1,5 et 5, la fonction va passer de concave à convexe et donc qu'il y aura un point d'inflexion sur $\cd 1,5~;~5\cg$.

\item% Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de   
Comme la fonction $f$ est positive sur $\cd 2~;~4\cg$, $\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x$ est, en unité d'aire, l'aire du domaine grisé sur le graphique.

Il semble que $2 < \displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x < 3$.

\end{enumerate}

%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
 
La fonction $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $\cd 0~;~6\cg$ par 
$f(x) = (10 x - 5)\text{e}^{- x}$.
 
%Un logiciel de calcul formel a donné les résultats suivants (on ne demande pas de les justifier):

%\[f’(x) = (- 10x + 15)\text{e}^{- x} \text{ et } f’’(x) = (10x - 25)\text{e}^{- x}.\]

On donne $f'(x)=(-10x+15)\e^{-x}$ et $f''(x)=(10x-25)\e^{-x}$.

\begin{enumerate}

\item% Dresser le tableau de variation de $f$ en précisant la valeur de l'extremum et les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition.
$f'(x)=(-10x+15)\e^{-x}$ et on sait que, pour tout $x$, $\e^{-x}>0$; donc $f'(x)$ est du signe de $-10x+15$.

$-10x+15 >0 \iff 15 > 10x \iff 1,5 > x \iff x < 1,5$

$f(x)=(10x-5)\e^{-x}$ donc $f(0)=-5\e^{0}=-5$ et $f(6)=55\e^{-6} \approx 0,14$

$f(1,5)=10\e^{-1,5}\approx 2,23$ est le maximum de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~6\cg$, atteint pour $x=1,5$.

D'où le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 1,5 & \hspace*{\esp} & 6 \\ 
\hline
-10x+15 &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{10\e^{-1,5}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-5} &   &  &  &   \Rnode{min2}{55\e^{-6}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

\item% Étudier la convexité de $f$ sur l'intervalle [0~;~6].
La convexité de la fonction $f$ dépend du signe de sa dérivée seconde $f''$.

$f''(x) = (10x-25)\e^{-x}$ et, pour tout $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f''(x)$ est du signe de $10x - 25$:

$10x-25 >0 \iff 10x > 25 \iff x > 2,5$

Sur $\cd 0~;~2,5\cd$, $f''(x) < 0$ donc la fonction $f$ est concave.

Sur $\cg 2,5~;~6\cg$, $f''(x) > 0$ donc la fonction $f$ est convexe.

En $x=2,5$, la fonction $f''$ s'annule et change de signe, donc la courbe représentant la fonction $f$ admet un point d'inflexion d'abscisse 2,5.

\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\cd 0~;~6\cg$ par
 $F(x) = (- 10 x - 5)\e^{- x}$.

$F'(x)=-10\e^{-x}+(-10x-5)(-1)\e^{-x}=(-10+10x+5)\e^{-x}=(10x-5)\e^{-x}= f(x)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~6\cg$.

\item% En déduire la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de  
On en déduit que
$\displaystyle\int_2^4 f(x)\:\text{d}x
= F(4)-F(2)
= -45\e^{-4} - \left (-25\e^{-2}\right )
= 25\e^{-2}- 45\e^{-4}
\approx 2,56$ unités d'aire.

\item On souhaite que l'aire du rectangle ABCD soit égale à l'aire du domaine grisé sur la  figure.% Déterminer, à $0,01$ près, la hauteur AD de ce rectangle.

L'aire du rectangle est $\text{AD}\times \text{DC}=2\text{AD}$.

Cette aire doit être égale à l'aire grisée donc à $25\e^{-2}- 45\e^{-4}$:

$2\text{AD} = 25\e^{-2}- 45\e^{-4} \iff \text{AD} = 12,5\e^{-2}- 22,5\e^{-4}$ donc $\text{AD}\approx 1,28$

\smallskip

\emph{Remarque}

La hauteur AD est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur $\cd 2~;~4\cg$:
$\text{AD} = \dfrac{1}{4-2} \ds\int_{2}^{4} f(x) \d x$.
 
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{EXERCICE 4 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

Afin de lutter contre la pollution de l'air, un département a contraint dès l'année 2013 certaines entreprises à diminuer chaque année la quantité de produits polluants qu'elles rejettent dans l'air.

Ces entreprises ont rejeté $410$~tonnes de ces polluants en 2013 et $332$~tonnes en 2015. On considère que le taux de diminution annuel de la masse de polluants rejetés est constant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que l'on peut considérer que l'évolution d'une année sur l'autre correspond à une diminution de 10\,\%.
Diminuer de 10\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{10}{100}= 0,9$.

Diminuer de 10\,\% deux années de suite, c'est multiplier par $0,9^2 = 0,81$.

Les entreprises on rejeté 410 tonnes en 2013; avec une diminution de 10\,\% par an deux années de suite, la masse de polluants rejetés serait de $410\times 0,81= 332,1$ tonnes, voisins des 332 tonnes rejetées en 2015.

On peut donc considérer que l'évolution d'une année sur l'autre correspond à une diminution de 10\,\%.


\item On admet que ce taux de diminution de 10\,\% reste constant pour les années à venir.%, déterminer à partir de quelle année la quantité de polluants rejetés par ces entreprises ne dépassera plus le seuil de $180$~tonnes  fixé par le conseil départemental.

Soit $(m_n)$ la suite donnant la masse de produits polluants rejetés l'année $2015 + n$. 

On a donc $m_0=332$ et, pour tout $n$, $m_{n+1}=0,9m_n$.

La suite $(m_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $m_0=332$ et de raison $q=0,9$. 

Donc, pour tout $n$, $m_n=m_0\times q^n = 332 \times 0,9^n$.

On cherche la première valeur de $n$ pour laquelle $m_n \pp 180$; pour cela, on résout l'inéquation:

\begin{center}
$\begin{array}{l !{\iff} l l}
m_n \pp 180 & 332 \times 0,9^n \pp 180 & \\[5pt]
            & 0,9^n \pp \dfrac{180}{332} & \\[8pt]
            & \ln\left (0,9^n\right ) \pp \ln \dfrac{180}{332} & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg0~;~+\infty \cd \\[8pt]
            & n \times \ln 0,9 \pp \ln \dfrac{180}{332} & \text{propriété de la fonction ln}\\[8pt]
            & n \pg \dfrac{\ln \dfrac{180}{332}}{\ln 0,9} & \text{ car } \ln 0,9 < 0
\end{array}$
\end{center}

$\dfrac{\ln \dfrac{180}{332}}{\ln 0,9\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 5,8$ donc l'objectif de produire moins de 180 tonnes de polluants sera atteint pour $n\pg 6$, c'est-à-dire à partir de 2021.
\end{enumerate}
\end{document}