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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\Métropole--La Réunion 11 septembre 2014}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Un restaurateur augmente de 3\,\%, chaque premier janvier, le tarif de son menu gastronomique.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le prix d'un menu en 2014 est de 36,05~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel sera le prix d'un menu, en euros, en 2015 ? 
Augmenter un prix de 3\,\%, c'est multiplier celui-ci par $1 + \frac{3}{100} = 1,03$.

Le prix en 2015 sera donc : $36,05 \times 1,03 = 37,595 \approx 35,60$~\euro.
		\item %Quel était le prix d'un menu, en euros, en 2013 ?
Si $t$ était le prix en 2013, on doit avoir :

$t \times 1,03 = 36,05 \iff t = \frac{36,05}{1,03} = 35$~\euro.
	\end{enumerate} 
\item %On note $P_{n}$ le prix en euros du menu pour l'année $2014 + n$ 

(ainsi $P_{0} = 36,05$). 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner $P_{1}, P_{2}$ et $P_{3}$.
On a calculé $P_1 \approx 35,60$.

$P_2 = P_1 \times 1,03 \approx 37,69$~\euro, puis $P_3 = P_2 \times 1,03 \approx 38,82$~\euro.
		\item %Reconnaître la nature de la suite $\left(P_{n}\right)$ et donner sa raison.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par le facteur constant 1,03 : on a donc les termes successifs d'une suite géométrique de premier terme $P_0$ et de raison $r = 1,03$. 
		\item %En déduire l'expression de $P_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout naturel $n, \: P_n = P_0 \times r^n $ ou encore :

$P_n = 36,05 \times 1,03^n$.
		\item %Quel sera, selon ce modèle, le prix en euros du menu en 2022 ?
		2022 correspond à $n = 8$, d'où $P_8 =  36,05 \times 1,03^8 \approx 45,67$~\euro.
		\item %Selon ce modèle, au cours de quelle année le prix du menu sera-t-il le double du prix de 2014 ?
Il faut résoudre l'équation : $P_n = P_0 \times r^n = 2P_0 \iff r^n = 2$ ou encore $n \ln 1,03 = \ln 2 \iff n = \dfrac{\ln 2}{\ln 1,03} \approx 23,4$

$n$ devant être un entier, il faut donc attendre 24 ans pour que le prix double, soit en 2038.
	\end{enumerate} 
\item %Ce restaurateur prétend ainsi que l'augmentation obtenue au bout de 10 ans sera exactement de 30\,\%. A-t-il raison ? Proposer une réponse argumentée.
Au bout de 10 ans le nouveau prix est $P{10} = 36,05 \times 1,03^{10} \approx 48,45$~\euro.

Ce nouveau prix correspond à une augmentation en pourcentage de :

$\dfrac{48,45 - 36,05}{36,05}\times 100 = \dfrac{12,4}{36,05}\times 100 \approx 34$\,\%.

Le restaurateur n'a pas raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = ax + \np{25000} + 250 \ln (x),\]

%où $a$ est un nombre réel positif.
% 
%On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
% 
%On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ donnée en annexe dans un repère orthogonal.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut l'écrire sous la forme $f'(x) = \dfrac{ax + 250}{x}$. 
Sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$,on a :

$f'(x) = a + 250 \times \frac{1}{x} = \dfrac{ax}{x} + \dfrac{250}{x} =  \dfrac{ax + 250}{x}$.
\item %Sachant que la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur $400$ montrer que $a = 150$.
Le  coefficient directeur  de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1 est égal au nombre dérivé $f'(1)$.

On a donc $f'(1) = 400 \iff \dfrac{a\times 1 + 250}{1} = 400 \iff a + 250 = 400 \iff $

$a  = 150$.
\item %Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
On a donc sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$, \: $f'(x) = \dfrac{150x + 250}{x}$.

Comme $x \geqslant 1 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $150x + 250$.

$\bullet~~150x + 250 > 0 \iff 150x > - 250 \iff x > - \dfrac{250}{150} \iff x > - \dfrac{5}{3}$.

Or $x \geqslant 1$, donc $x > - \dfrac{5}{3}$, donc $f'(x)  > 0$ sur l'intervalle  $[1~;~+\infty[$, ce qui montre que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Le propriétaire d'un camping 3 étoiles investit dans l'achat de bungalows.
% 
%On admettra que ce propriétaire doit dépenser par bungalow et pour $x$ semaines d'exploitation du camping ($x$ nombre entier supérieur ou égal à 1) une somme, incluant le prix d'achat, modélisée par la fonction $f$ définie dans la partie A.
% 
%On supposera dans cette partie que : 

\[f(x) = 150x + \np{25000} + 250 \ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide du graphique fourni en annexe représentant la fonction $f$, donner le nombre de semaines d'exploitation au bout desquelles la dépense par bungalow dépassera \np{30000}~\euro. On laissera apparents les traits de construction. 
On trace la droite horizontale d'équation $y = \np{30000}$ qui coupe la courbe représentative de $f$ en un point dont l'abscisse est environ : 28 (en fait un peu moins mais $x$ est un entier).

La calculatrice donne $f(28) \approx \np{30033} > \np{30000}$~\euro
\item %Le propriétaire loue, en moyenne, un bungalow 750~\euro{} par semaine. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, en fonction de $x$, l'expression du chiffre d'affaires $A(x)$ réalisé par l'exploitation d'un  bungalow pendant $x$ semaines.
On a $A(x) = 750x$. 
		\item %Sur la feuille donnée en annexe (à rendre avec la copie), tracer, dans le même repère, la  droite $(d)$ d'équation : $y = 750x$.
Voir à la fin. 
		\item %Au bout de combien de semaines d'exploitation le propriétaire du camping sera-t-il bénéficiaire ? Expliquer la démarche mise en œuvre.
Les deux courbes sont sécantes en un point dont l'abscisse est supérieure à 43.

On a $f(43) \approx \np{32390,30}$ et $A(43) = \np{32250}$ ;

$f(44) \approx \np{32546}$ et $A(44) = \np{33000}$ : les recettes sont supérieures à la dépense.

Le propriétaire sera bénéficiaire s'il loue ses  bungalows au moins 44 semaines.
	\end{enumerate} 
\item %Le propriétaire souhaite que le seuil de rentabilité soit atteint au bout d'une saison, c'est-à-dire dès 22 semaines d'exploitation.

%Combien devrait-il louer en moyenne un bungalow pour atteindre cet objectif ? Expliquer la démarche mise en œuvre.
La dépense en 22 semaines est : $f(22) \approx \np{29072,80}$.

Si $\ell$ est le prix de la location pour une semaine, il faut que la recette soit supérieure ou égale à la dépense, soit :

$22\ell \geqslant  \np{29072,80} \iff \ell \geqslant \dfrac{\np{29072,80}}{22}$

Or $\dfrac{\np{29072,80}}{22} \approx \np{1321,49}$.

Le seuil de rentabilité sera atteint sur la saison s'il loue ses bungalows au moins \np{1322}~\euro la semaine.
\end{enumerate}
\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
~
\medskip
~
\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2 : } courbe de la fonction
\end{flushleft}
~
\vspace{2cm}
~
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\begin{pspicture}(-2,-15)(62,420)
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\end{center}
\end{landscape}
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