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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat Hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie Métropole~\decofourright\\juin 2012}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

Les variables $x$ et $y$ sont soumises à plusieurs contraintes :

$\bullet~~$$x$ est un nombre de desserts donc $x$ est positif ou nul $x \geqslant 0$ ;

$\bullet~~$$y$ est également un nombre de desserts donc $y$ est positif ou nul $y \geqslant 0$ ;

$\bullet~~$Contrainte sur la matière première : le montant des matières premières
pour la fabrication de $x$ desserts A est de $10x$, celui pour la fabrication
de $y$ desserts B est de $20y$. 

Donc le montant total des matières premières est de $10x + 20y$.

Or ce montant est limité à 700\euro. Donc $10x + 20y \leqslant 700$.

$\bullet~~$Contrainte sur les heures de travail : la fabrication de $x$ desserts A
nécessite $3x$ heures de travail et celle de $y$ desserts B nécessite $1,5y$
heures de travail. Or le temps de travail est limité à 120 heures.
Donc $3x + 1,5y \leqslant 120$.

Conclusion $x$ et $y$ doivent vérifier le système suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x& \geqslant& 0\\ 
y&\geqslant& 0\\ 
10x + 20y &\leqslant& 700\\
3x + 1,5y &\geqslant& 120
\end{array}\right.\]

On a $10x + 20y \leqslant 700$ ou $20y \leqslant700 - 10x$ ou encore $y \leqslant - \dfrac{1}{2}x + 35$

De même  $3x + 1,5y \geqslant 120$ peut s'écrire $6x + 3y \geqslant 240$ ou en simplifiant par 3 : 

$2x + y \geqslant 80$ et finalement $y \geqslant - 2x + 80$.

On a donc 

\[(S) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x& \geqslant& 0\\ 
y&\geqslant& 0\\ 
y &\leqslant&- \dfrac{1}{2}x +  35\\
y &\geqslant&- 2x +  80
\end{array}\right.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Voir l'annexe à la fin.
		\item Soit $I(\left(x_I~;~y_I \right)$.
		
Ses coordonnées vérifient :

$y_I =  - \dfrac{1}{2}x_I + 35 = y_I =  - 2x_I + 80 \iff  2x_I - ,\dfrac{1}{2}x_I = 80 - 35 \iff  \dfrac{3}{2}x_I = 45 \iff 3x_I = 90 \iff x_I = 30$.

On en déduit que $y_I = 80 - 2x_I = 80 - 2 \times 30 = 80 - 60 = 20$.

Le point $I$ a donc pour coordonnées (30~;~20).
	\end{enumerate}
\item Voir sur l'annexe.
\item On voit que le point de coordonnées (25~;~20) est dans la partie non hachurée : le traiteur  peut proposer ce choix.

Le point de coordonnées (20~;~30) est dans la partie hachurée : le traiteur ne peut  pas proposer ce choix.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $x$  desserts A donnent un bénéfice de $6x$ et $y$ desserts B un bénéfice de $8y$. Le bénéfice est donc $b = 6x + 8y$.
		\item Pour $b = 240$, on a donc :
		
$6x + 8y = 240 \iff \dfrac{6}{8}x + y = 30 \iff y = - \dfrac{3}{4}x + 30$, équation de la droite $d_{240}$.

On voit sur l'annexe que la droite $d_{240}$ traverse la zone non hachurée : il existe donc plusieurs couples $(x~;~y)$ donnant un bénéfice de 240~\euro.
\item De même pour $b = 400$, on a :

$400 = 6x + 8y \iff 50 = \dfrac{6}{8} +  y \iff y = 50 - \dfrac{3}{4}x$ \:équation de la droite $d_{400}$.

On constate que cette droite ne traverse pas la zone non hachurée : un bénéfice de 400~\euro{} est donc impossible à réaliser.
\item Les droites \og bénéfice \fg{} ont toutes la même pente. La droite bénéfice la plus \og haute \fg{} est celle qui contient le point de coordonnées (30~;~20), ce qui donne un bénéfice de : $6 \times 30 + 8 \times 20 = 180 + 160 = 340$~\euro.

Le bénéfice maximal est égal à 340~\euro.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

\[f(x) = 40x + \dfrac{\np{1000}}{x}\quad  \text{sur l'intervalle}\:\: [2~;~10]\]


\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La dérivée de la fonction qui à $x$ associe $\frac{1}{x}$ pour $x \ne 0$ est la fonction $- \dfrac{1}{x^2}$, donc :

pour $x \in [2~;~10]$, \: $f'(x) = 40 - \dfrac{\np{1000}}{x^2} = \dfrac{40x^2 - \np{1000}}{x^2}$.
\item On développe : $40(x - 5)(x + 5) = 40\left(x^2 + 25 \right) = 40x^2 - 40 \times 25 = 40x^2 - \np{1000}$.

On a bien $f'(x) = \dfrac{40(x - 5)(x + 5)}{x^2}$.
\item Comme $x^2 > 0$, pour $x \in [2~;~10]$, le signe de $f'(x)$ est celui du produit $(x - 5)(x + 5)$.

Un tableau de signes donne le signe de ce produit, donc de la dérivée $f'(x)$, d'où on déduit les variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(2,0)(2,4)
\psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(0,3)(8,3)\psline(0,3.5)(8,3.5)
\uput[u](1,3.4){$x$} \uput[u](2.1,3.4){$2$} \uput[u](5,3.4){$5$} \uput[u](7.8,3.4){$10$} 
\rput(1,3.2){\footnotesize signe de $x - 5$} \uput[u](3.5,2.9){$-$}\uput[u](5,2.9){$0$}\uput[u](6.5,2.9){$+$}
\rput(1,2.7){\footnotesize signe de $x + 5$} \uput[u](3.5,2.4){$+$}\uput[u](6.5,2.4){$+$}
\rput(1,2.2){\footnotesize signe de $f'(x)$} \uput[u](3.5,1.9){$-$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.5,1.9){$+$}
\rput(1,1){\footnotesize Variations de $f$}\uput[d](2.3,2){580}\uput[u](5,0){400} \uput[d](7.7,2){500}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

$\bullet~~$$f(2) = 40\times 2 + \dfrac{\np{1000}}{2} = 80 + 500 = 580$ ;

$\bullet~~$$f(5) = 40\times 5 + \dfrac{\np{1000}}{5} = 200 + 200 = 400$ ;

$\bullet~~$$f(10) = 40\times 10 + \dfrac{\np{1000}}{10} = 400 + 100 = 500$.
\item Le tableau montre que le coût de production est minimum pour $x = 5$ ; il est alors égal à $f(5) = 400$~euros. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item La recette pour $x$ séjours vendus est $110x$, donc pour 3 séjours vendus, le bénéfice est :

$b(3) = 110\times 3 - f(3) = 330 - \left(40\times 3 + \dfrac{\np{1000}}{3}\right) = 330 - 120 - \dfrac{\np{1000}}{3} \approx 210 - 333,33 \approx - 123,33$~euros.
\item De même pour 9 séjours vendus, le bénéfice est égal à :

$110 \times 9 - f(9) = 990 - 40\times 9 - \dfrac{\np{1000}}{9} = 990 - 360 - \dfrac{\np{1000}}{9} \approx 630 - 111,11 \approx 518,89$.
\item On a $R(x) = 110x$.
\item ~
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.02cm,arrowsize=2pt 5}
\begin{pspicture}(10,600)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,600)}
\multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(10,600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(0,0)(10,600)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{10}{40 x mul 1000 x div add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5.454}{110 x mul }
\uput[u](9.5,485){\blue$\mathcal{C}$}\rput{65}(4.8,550){$y = 110x$}
\psdots[linecolor=blue](2,580)(3,453)(4,410)(5,400)(6,407)(7,423)(8,445)(9,471)(10,500)
\psline[linestyle=dashed]{->}(4,440)(4,0)\psline[linestyle=dashed]{->}(4,440)(0,440)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item  Le premier point de la droite d'équation $y = 110x$, d'abscisse entière et dont l'ordonnée est supérieure à celle du point de $\mathcal{C}$ de même abscisse est obtenu pour $x = 4$. Pour être bénéficiaire, il faut vendre au moins 4 séjours.
\end{enumerate}


\medskip


\begin{center}
{\large \textbf{ANNEXE}}

\bigskip
 
{\large \textbf{À remettre avec la copie}}

\vspace{1cm}
 
\textbf{Pour l'exercice 1 question 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.09cm}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture*} (-30,-25)(100,95)
\multido{\n=-30+5}{27}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-25)(\n,95)}
\multido{\n=-25+5}{25}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](-30,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-29,-24)(100,95)
\uput[d](98,0){$x$}\uput[l](0,93){$y$}\uput[dl](0,0){\small O}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-30}{100}{35 0.5 x mul sub}\uput[d](95,-12.5){$D_1$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-30}{100}{80 2 x mul sub}\uput[l](50,-20){$D_2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-30}{100}{30 0.75 x mul sub}\uput[dl](35,6){$d_{240}$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{-30}{100}{50 0.75 x mul sub}
\uput[dl](10,45){$d_{400}$}
\psframe[fillstyle=hlines](-30,-25)(100,0)
\psframe[fillstyle=vlines](-30,-25)(0,95)
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,95)(0,35)(100,-15)(100,95)
\pspolygon[fillstyle=hlines](0,95)(0,80)(40,0)(100,0)(100,95)
\psdots[linecolor=green,dotscale=1.4](25,20)
\psdots[linecolor=red,dotscale=1.4](20,30)
\psline[linestyle=dashed](30,0)(30,20)(0,20)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}