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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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%%%%
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{15 juin 2017}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat hôtellerie ~\decofourright\\[5pt] Polynésie 15 juin 2017}}

%\bigskip
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

%\bigskip

\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

%\medskip

La gérante d'un hôtel 3 étoiles du \textsc{IX}\up{e} arrondissement de la ville de Paris analyse les
réservations effectuées pour le premier week-end du mois de juin.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Cent chambres sont réservées: 55 chambres simples et 45 chambres doubles.
\item[$\bullet~~$] Parmi les chambres simples réservées, 40\,\% l'ont été par des clients ayant entre
18 et 30 ans, 20\,\% par des clients de plus de 51 ans et le reste par des clients ayant
entre 31 et 50 ans.
\item[$\bullet~~$] Un neuvième des chambres doubles a été réservé par des clients ayant entre 18 et
30 ans, un tiers par des clients ayant entre 31 et 50 ans, le reste par des clients de
plus de 51 ans.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prendre 40\,\%, c'est multiplier par $0,4$ et prendre 20\,\%, c'est multiplier par $0,2$.

On complète le tableau donné dans le texte:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Entre 18 et 30 ans &Entre 31 et 50 ans &Plus de 51 ans& Total\\ \hline
Chambre simple& \textcolor{red}{$55\times 0,4 =22$} & {\textcolor{red}{$55 \times 0,2 = 11$}} & \textcolor{red}{ $55-22-11= 22$} & \textcolor{red}{55} \\ \hline
Chambre double& {\textcolor{red}{$\frac{1}{9}\times 45 = 5$}} & {\textcolor{red}{$\frac{1}{3}\times 45=15$}} & {\textcolor{red}{$45-5-15=25$} }& \textcolor{red}{45} \\ \hline
Total & \textcolor{red}{$22+5=27$} & \textcolor{red}{$11+15=26$} & \textcolor{red}{$22+25=47$} &100 \rule[-8pt]{0pt}{26pt}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item La gérante de l'hôtel choisit au hasard une fiche de réservation d'une chambre de son établissement pour le premier week-end de juin. On admet que chaque fiche possède la même probabilité d'être choisie. On considère les évènements suivants:

\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og La fiche choisie est celle d'un client ayant entre 18 et 30 ans \fg.
\item[ ] $B$ : \og La fiche choisie est celle d'un client ayant entre 31 et 50 ans \fg.
\item[ ] $C$ : \og La fiche choisie est celle d'un client ayant plus de 51 ans \fg.
\item[ ] $D$ : \og La fiche choisie correspond à la réservation d'une chambre double \fg.
\end{description}

Si on appelle $\overline D$ l'événement: \og La fiche choisie correspond à la réservation d'une chambre simple \fg, le tableau précédent s'exprime en termes d'événements ainsi:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
&Entre 18 et 30 ans &Entre 31 et 50 ans &Plus de 51 ans& Total\\ \hline
Ch. simple& \textcolor{red}{$A \cap \overline D~:~22$} & {\textcolor{red}{$B \cap \overline D~:~11$}} & \textcolor{red}{ $C \cap \overline D~:~22$} & \textcolor{red}{$ \overline D~:~55$} \rule{0pt}{12pt}\\ 
\hline
Ch. double& {\textcolor{red}{$A \cap D~:~5$}} & \textcolor{red}{$B \cap D~:~15$} & \textcolor{red}{$C \cap D~:~25$ }& \textcolor{red}{$D~:~45$} \rule{0pt}{12pt}\\ \hline
Total & \textcolor{red}{$A~:~27$} & \textcolor{red}{$B~:~26$} & \textcolor{red}{$C~:~47$} & 100 \rule{0pt}{12pt}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item L'évènement $A  \cap D$ correspond à une fiche d'un client ayant entre 18 et 30 ans et ayant réservé une chambre double.

Toutes les fiches ont la même probabilité d'être choisies donc il y a équiprobabilité.
		
D'après le tableau, il y a 5 clients entre 18 et 30 ans ayant choisi une chambre double, donc la probabilité de l'événement $A \cap D$	est $p(A\cap D) = \dfrac{5}{100}$.	
		
		\item L'évènement \og La fiche choisie est celle d'un client ayant entre 31 et 50 ans ou ayant réservé une chambre double \fg{} est $B \cup D$.
\newcommand{\card}{\text{card}}
Le nombre d'éléments de $B\cup D$ est:

$\card(B\cup D) = \card(B) + \card(D) - \card(B\cap D) = 26 + 45 - 15 = 56$.

Donc $p(B \cup D) = \dfrac{56}{100}$.
		
 	\end{enumerate}
 	
\item  La gérante a choisi une fiche de réservation parmi celles des clients ayant entre 31 et 50 ans, donc elle choisit parmi 26 fiches. 

Sur ces 26 fiches, il y en a 15 qui correspondent à la réservation d'une chambre double.
	
%On admet que chacune de ces fiches possède la même probabilité d'être choisie.
	
La probabilité que la fiche choisie corresponde à une chambre double est donc $\dfrac{15}{26}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

%\medskip

La ville dans laquelle auront lieu les Jeux Olympiques d'été de l'année 2024 sera élue
le 13 septembre 2017. Trois villes sont en compétition : Budapest, Los Angeles et Paris.

L'accueil de milliers de touristes nécessite que la ville retenue dispose d'un grand parc
hôtelier.

Pour élaborer le dossier de candidature de la ville de Paris, deux équipes participent à
l'étude de la capacité hôtelière de cette ville.

Le tableau ci-dessous traduit l'évolution du nombre de chambres disponibles dans les
hôtels parisiens entre 2011 et 2015. L'année 2011 correspond au rang 1.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2011 			&2012 		&2013 		&2014 		&2015\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$ 	&1 				&2 			&3 			&4 			&5\\ \hline
Nombre de chambres : $y_i$ 	&\np{78152} 	&\np{78382} &\np{77616} &\np{77979} &\np{78600}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{(\emph{source : INSEE})}\\
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\subsection*{Partie A : ajustement \no 1}

%\medskip

\def\interA{\texttt{[} 1~;~15 \texttt{]}}

\begin{enumerate}
\item Au vu du nuage de points associé à cette série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ un premier ajustement est réalisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\interA$ par :
$f(x) = 237x^2 - \np{1511}x + \np{80225}$.

%On admet que la fonction est dérivable sur l'intervalle $\interA$.
%
%On note $f'$ sa fonction dérivée.

Dans le repère fourni en annexe, sont représentés le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de la fonction $f$.

On suppose que cet ajustement reste valide jusqu'en 2025.
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer, selon ce modèle, à partir de quelle année la capacité hôtelière de Paris dépassera \np{90000} chambres.
		
La capacité hôtelière dépassera \np{90000} chambres à partir de l'entier $x$ tel que $f(x)>\np{90000}$. 

$f(x)>\np{90000} \iff 237x^2-\np{1511}x +\np{80225} > \np{90000} \iff
237x^2-1511x -\np{9775} > 0$

On résout l'équation $237x^2-\np{1511}x -\np{9775} = 0$:

$\Delta = b^2-4ac = \np{11549821}$ donc l'équation admet deux solutions:

$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \approx -3,98 \notin \interA$ et 
$x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \approx 10,36 \in \interA$

$237x^2-\np{1511}x -\np{9775}$ est un polynôme du second degré donc du signe de $a=237$, c'est-à-dire positif, à l'extérieur des racines; donc $237x^2-\np{1511}x -\np{9775}>0$ pour $x>x''$.

Donc $f(x)>\np{90000}$ pour $x> x''$ c'est-à-dire à partir de $x=11$ qui correspond à l'année 2021 (voir graphique).
		
		\item% Estimer, selon ce modèle, la capacité hôtelière de Paris pour l'année 2024.
L'année 2024 correspond à $x=14$ donc la capacité hotelière estimée est \\
$f(14)=\np{105523}$ chambres.		
		
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ de l'intervalle $\interA$, $f(x)=237\times 2x - \np{1511} = 474 x-\np{1511}$.
		
		\item% Démontrer que la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\texttt{[}1~;~3\texttt{]}$.
$f$ est décroissante $\iff f'(x)<0 \iff 474 x-\np{1511}<0 \iff x<\dfrac{\np{1511}}{474}$.

$\dfrac{\np{1511}}{474} \approx 3,19$ donc $f'(x)<0$ sur $\cd 1~;~3\cg$ donc $f$ est décroissante sur $\cd 1~;~3\cg$.	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\medskip

\subsection*{Partie B : ajustement \no 2}

%\medskip

Un autre ajustement possible du nuage de points précédent consiste à prendre commemodèle la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\interA$ par  $g(x) = \np{77000} + \e^{0,48x + 5}$.

%On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~15].
%
%On note $g'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Estimer la capacité hôtelière de Paris pour l'année 2024 en utilisant ce nouvel ajustement.
La capacité hôtelière de Paris pour l'année 2024 en utilisant ce nouvel ajustement est\\
$g(14) \approx \np{200007}$ chambres.

\item On admet que $g'(x) = 0,48\e^{0,48x + 5}$.

%En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\interA$.

On sait que pour tout réel $X$, $\e^{X}>0$ donc, pour tout réel $x$, $\e^{0,48x+5}>0$ donc $g'(x)>0$.

La fonction $g$ est donc strictement croissante sur l'intervalle $\interA$.

\end{enumerate}

%\medskip

\subsection*{Partie C}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Il s'agit dans cette question, à partir de l'argumentation développée par chacune des
deux équipes, d'identifier l'ajustement choisi parmi les deux modèles précédents.

\smallskip

\textbf{Argumentation de l'équipe 1 :} \og Comme nous pensons que la capacité hôtelière va
augmenter dans les prochaines années, nous avons retenu le modèle d'une fonction
croissante sur l'intervalle $\interA$ \fg.

\smallskip

\textbf{Argumentation de l'équipe 2 :} \og Nous avons retenu un modèle traduisant une
légère baisse du nombre de chambres jusqu'en 2013, suivie d'une augmentation du
nombre de chambres \fg.

\smallskip

%Quel ajustement a été choisi par l'équipe 1 ? Quel ajustement a été choisi par l'équipe 2 ? Justifier la réponse.

Sur l'intervalle $\interA$, la fonction $f$ est décroissante puis croissante, tandis que la fonction $g$ est toujours croissante. D'après les argumentations des équipes, l'équipe 1 a choisi la fonction $g$ et l'équipe 2 a choisi la fonction $f$.

\item Pour l'année 2016, l'INSEE a publié la capacité hôtelière de la ville de Paris : \np{80190} chambres.
	\begin{enumerate}
		\item En prenant comme capacités hôtelières, pour l'année 2024, la valeur fournie par chacun des deux ajustements et, pour 2016, la capacité hôtelière fournie par l'INSEE, on calcule le pourcentage d'augmentation de chacune de ces capacités entre 2016 et 2024:
		
		\begin{list}{\textbullet}{}
		\item Avec l'ajustement \no{1}, on a trouvé en 2024 une estimation de $\np{105523}$ chambres, ce qui fait un pourcentage d'augmentation égal à
$\dfrac{\np{105523}-\np{80190}\rule{0pt}{10pt}}{\np{80190}}\times 100 \approx 31,60\,\%$.
		
				\item Avec l'ajustement \no{2}, on a trouvé en 2024 une estimation de $\np{200007}$ chambres, ce qui fait un pourcentage d'augmentation égal à
$\dfrac{\np{200007}-\np{80190}\rule{0pt}{10pt}}{\np{80190}}\times 100 \approx 149,42\,\%$.

		\end{list}
		
		\item Au vu du résultat de la question 2. a., l'ajustement qui semble le plus réaliste pour estimer la capacité d'accueil de la ville de Paris en 2024 est le \no{1} car il ne semble pas réaliste d'estimer une augmentation de plus de 149\,\% entre 2016 et 2024.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{center}
\section*{\centering \large Annexe à remettre avec la copie}
%\end{center}

\bigskip

\subsection*{EXERCICE 2}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.00024cm}
\begin{pspicture}(-1,-2000)(17,50000)
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\end{center}

\end{document}