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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S La Réunion~\decofourright\\septembre 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
% 
%On considère les plans $P$ et $Q$ d'équations respectives : 

%\[x + y + z = 0 \quad  \text{et} \quad 2x + 3y + z - 4 = 0.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que l'intersection des plans $P$ et $Q$ est la droite $D$ dont une représentation paramétrique est :
%  
%\[\left\{\begin{array}{l c r}
%x&=& -4 -2t\\
% y&=& 4 + t\\ 	 
%z&=&t 
%\end{array}\right. \text{où $t$ est un nombre réel.}\]
$M(x~;~y~;~z) \in P \cap Q \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x + y + z 		&=& 0\\
2x + 3y + z - 4 &=& 0
\end{array}\right.$.

En posant $z = t,~t~\in~\R $, le système devient :

$\left\{\begin{array}{l c r}
x + y  	&=&-t\\
2x + 3y &=&4 - t\\
z		&=&t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
2x + 2y &=&-2t\\
2x + 3y &=&4 - t\\
z		&=&t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c r}
y  		&=&4 + t\\
2x + 3y &=&4 - t\\
z		&=&t
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c r}
y  	&=&4 + t\\
2x  &=&4 - t - 12 - 3t\\
z	&=&t
\end{array}\right.\iff
\left\{\begin{array}{l c r}
y  	&=&4 + t\\
2x  &=& - 8 - 4t\\
z	&=&t
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c r}
y  	&=&4 + t\\
x   &=&-4 - 2t \\
z	&=&t
\end{array}\right.$ où $t$ est un nombre réel.

\medskip

Ceci est bien l'équation paramétrique d'une droite $D$ contenant le point $(4~;~-4~;~0)$ et de vecteur directeur $(1~;~-2~;~1)$.
\item %Soit $\lambda$ un nombre réel.
 
%On considère le plan $P_{\lambda}$ d'équation : $(1- \lambda)(x + y + z) + \lambda(2x + 3y + z - 4) = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que le vecteur $\vect{n}( 1 + \lambda~;~ 1 + 2\lambda~;~ 1)$ est un vecteur normal du plan $P_{\lambda}$.
$M(x~;~y~;~z) \in  P_{\lambda} \iff (1- \lambda)(x + y + z) + \lambda(2x + 3y + z - 4) = 0 \iff$

$ (1 + \lambda)x +  (1 + 2\lambda)y + z - 4\lambda = 0$.
		
Un vecteur normal à ce plan est $\vect{n}(1 + \lambda~;~1 + 2\lambda~;~ 1)$.
		\item  %Donner une valeur du nombre réel $\lambda$ pour laquelle les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont confondus.
Les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont confondus si et seulement si les coefficients de leurs équations sont proportionnels, soit :

$\dfrac{1 + \lambda}{1} = \dfrac{1 + 2\lambda}{1} = \dfrac{1}{1}$ qui conduit à $\lambda = 0$. 
		\item  %Existe-t-il un nombre réel $\lambda$ pour lequel les plans $P$ et $P_{\lambda}$ sont perpendiculaires ?
Un vecteur normal au plan $P$ est $p(1~;~1~;~1)$.

$P$ et $P_{\lambda}$ sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux soit $\vect{p}~\cdot~\vect{n} = 0 \iff 1(1 + \lambda) + 1(1  2\lambda) + 1 = 0 \iff  3 + 3\lambda = 0 \iff$

$\lambda = - 1$.

Le plan $P_{-1}$ d'équation $-y + z + 4 = 0$ est perpendiculaire au plan $P$.
	\end{enumerate} 
\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D'$, intersection des plans $P$ et $P_{-1}$.

Comme à la question 1. il faut résoudre le système :

$\left\{\begin{array}{r c r}
x + y + z 	&=& 0\\
-y + z 		&=& -4
\end{array}\right.$

Posons $z = u$, $u \in \R$ quelconque. Le système devient :

$\left\{\begin{array}{r c r}
x + y + u 	&=& 0\\
-y + u 		&=& -4\\
z			&=&u
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{r c r}
x + y 	&=&- u\\
y 		&=&u + 4\\
z		&=&u
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{r c r}
x 	&=&- 2u - 4\\
y 	&=&u + 4\\
z	&=&u
\end{array}\right.$

$\bullet~~$ Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de $D$. On sait alors que $x + y + z = 0$ et $2x + 3y + z - 4 = 0$, mais alors $(1- \lambda)(x + y + z) + \lambda(2x + 3y + z - 4) = 0 + 0 = 0$ : autrement dit tout point de $D$ droite commune à $P$ et $Q$ est un point de $P_{\lambda}$, donc en particulier de $P_{-1}$.

Conclusion $D$ est la droite commune aux plans $P$ et $P_{-1}$. 
%Montrer que les droites $D$ et $D' $sont confondues. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%On considère le point A(1~;~1~;~1).
 
%Déterminer la distance du point A à la droite $D$, c'est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite $D$.
Soit H et K  les projeté orthogonaux de A respectivement sur $P$ et $P_{-1}$ ; soit I le projeté orthogonal de A sur $D$.

Les points A, H, K et I sont coplanaires : ils appartiennent au plan perpendiculaire à $P$ et $P_{-1}$ contenant A. (AH) et (AK) perpendiculaires à deux plans perpendiculaires sont perpendiculaires.

Le quadrilatère AHIK est donc un rectangle.

On a $d(\text{A},~P) = \text{AH} =  \dfrac{|1 + 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}}  = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ ;

$d\left(\text{A},~P_{-1}\right) = \text{AK} = \dfrac{|-1 + 1 + 4|}{\sqrt{1^2 +  1^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

D'après le théorème de Pythagore :

$\text{AI}^2 = \text{AH}^2 + \text{AK}^2 = 3 + 8 = 11$, donc :

$d(\text{A},~D) = \text{AI} =  \sqrt{11}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
% Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}
% 
%\medskip
% 
%Dans une fête foraine, Luc décide de participer à un jeu qui se déroule de la manière suivante:
% 
%Luc tire au hasard un jeton dans une urne contenant quatre jetons rouges et deux jetons bleus.

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Si le jeton tiré est bleu. Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, sans remettre dans l'urne le premier jeton tiré, il tire au hasard un deuxième jeton dans l'urne.
%\item[$\bullet~$] Si le deuxième jeton tiré est bleu, Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, sans remettre dans l'urne les deux jetons précédents, il tire au hasard un troisième jeton dans l'urne.
% 
%\item[$\bullet~$] Si le troisième jeton est bleu, Luc gagne et le jeu s'arrête ; sinon, le jeu s'arrête et Luc a perdu.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$}\taput{$\frac{4}{6}$}}
  	{\pstree{\TR{$R$}\taput{$\frac{3}{5}$}}
  		{
           \TR{$R$}\taput{$\frac{2}{4}$}  
           \TR{$B$}\tbput{$\frac{2}{4}$}
        }
  	\TR{$B$}\tbput{$\frac{2}{5}$} 
  	}
\pstree{\TR{$B$}\tbput{$\frac{2}{6}$}}
  	{~
  	}
}
\end{center}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l'issue du deuxième tirage est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~$}X}} 
$\dfrac{19}{15}$&$\dfrac{2}{5}$&$\dfrac{11}{15}$&\fbox{$\dfrac{4}{15}$}\\
\end{tabularx} 

\medskip
 
\item  La probabilité que Luc gagne à ce jeu à l'issue du troisième tirage est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~$}X}} 
\fbox{$\dfrac{1}{5}$}&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{2}{15 }$&$\dfrac{1}{9}$\\
\end{tabularx} 

\medskip 

\item  La probabilité que Luc gagne à ce jeu après avoir effectué au moins deux tirages est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~$}X}} 
$\dfrac{3}{5}$&$\dfrac{4}{15}$&\fbox{$\dfrac{7}{15}$}&$\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx} 

\medskip 

\item  La probabilité que Luc gagne à ce jeu, sachant qu'il a obtenu un jeton rouge au premier tirage est : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~$}X}} 
\fbox{$\dfrac{7}{10}$}&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{11}{15 }$&$\dfrac{5}{9}$\\
\end{tabularx} 

\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Pour tout nombre réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$   par

%\[f_{k}(x) = \ln (x) - kx^2 + 1.\]

%\medskip

\textbf{Partie A} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f_{k}$ en $0$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty,~\displaystyle\lim_{x \to 0} f_{k}(x) = - \infty$. 
\item %On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$. 

%Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$.
On a $\dfrac{\ln (x)}{x^2} = \dfrac{\ln (x)}{x} \times \dfrac{1}{x}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$, on en déduit par produit des limites que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x^2} = 0$.

Puisque $x \neq 0$, on peut écrire $f_{k}(x) = x^2 \left(\dfrac{\ln x}{x^2} - k + \dfrac{1}{x^2} \right)$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x s\to + \infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$ et on
vient de démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln
(x)}{x^2} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}
\dfrac{\ln(x)}{x^2} - k + \dfrac{1}{x^2} = -k < 0$, et comme
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty$ on a  finalement par
produit de limites :  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f_{k}(x) = -
\infty$.
 
%Puisque $x \neq 0$, on peut écrire $f_{k}(x) = x \left(\dfrac{f_{k}(x)}{x} - kx + \dfrac{1}{x} \right)$.

%On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln (x)}{x} = 0$.

%Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} - kx = - \infty,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{k}(x) = - \infty$.
%En déduire la limite de la fonction $f_{k}$ en $+\infty$.  

\item  %Montrer que, pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $ f'_{k}(x)  = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$. 
$f_{k}$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et $f'_{k}(x) = \dfrac{1}{x} - 2kx = \dfrac{1- 2kx^2}{x}$.
\item %Pour un nombre réel $k$ strictement positif : on donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f_{k}$. 

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7.5,3)
%\psframe(7.5,3)
%\psline(0,2)(7.5,2) \psline(1.5,0)(1.5,3)
%\psline(1.6,0)(1.6,2)\psline(1.7,0)(1.7,2)
%\uput[u](0.75,2){$x$} \uput[u](1.65,2){$0$} \uput[u](4.5,2){$\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$} \uput[u](7.1,2){$+ \infty$}
%\rput(0.75,1){$f_{k}(x)$}
%\psline{->}(1.9,0.3)(3.8,1.7) \psline{->}(5.2,1.7)(7.1,0.3)
%\uput[d](4.5,2){$\dfrac{1 - \ln (2k)}{2}$} 
%\end{pspicture}
%\end{center} 

%
%Justifier les renseignements sur les variations de la fonction $f_{k}$ figurant dans ce tableau.
$\bullet~~$ Signe de la dérivée : Comme $x > 0$, la dérivée est du signe du numérateur et $1 - 2kx^2 = 0 \iff 1 = 2kx^2 \iff x^2 = \dfrac{1}{2k} \iff x = \dfrac{1}{\sqrt{2k}}~\text{ou}~x = - \dfrac{1}{\sqrt{2k}}$.

Donc sur $]0~;~+ \infty[$, la dérivée ne s'annule qu'en $\dfrac{1}{\sqrt{2k}}$.

D'après la règle du signe du trinôme $1 - 2kx^2$, la dérivée est du signe de $- 2k$ donc négative sur $\left]0~;~\dfrac{1}{\sqrt{2k}}\right[$ et positive sur $\left]\dfrac{1}{\sqrt{2k}}~;~+ \infty \right[$, ce qui justifie les flèches du tableau de variations 

D'autre part $f_{k}$ a un maximum $f_{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2k}} \right) = \ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{2k}} \right) - \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} - \ln \left(\sqrt{2k}\right) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln (2k) = \dfrac{1 - \ln (2k)}{2}$.
\item %On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{k}$ représentative d'une fonction $f_{k}$ pour une certaine valeur du nombre réel $k$ strictement positif. Le point A$\left(1~ ;~\dfrac{1}{2}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{k}$. 
Le plus simple est de considérer le maximum : $\dfrac{1}{2} =  \dfrac{1 - \ln (2k)}{2} \iff \ln (2k) = 0 \iff 2k = 1 \iff k = \dfrac{1}{2}$.
%Quelle est la valeur du nombre réel $k$ correspondant ? Justifier la démarche. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2.5)(4,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(0,-2.5)(4,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.5)(0,0.5)
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.5){$\dfrac{1}{2}$}
\uput[ul](1,0.5){A} \uput[u](1.3,0.4){\blue $\mathcal{C}_{k}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.031}{3}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Dans cette partie on pose $k = \dfrac{1}{2}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\ln (x )\:\text{d}x$. On pourra utiliser une intégration par parties.
On pose : $\left\{\begin{array}{l c l}
u'&=&1\\
v &= &\ln x
\end{array}
 \right.$ d'o\`u $\left\{\begin{array}{l c l}
u&=&x\\
v' &= &\dfrac{1}{x}
\end{array}
 \right.$
 
Toutes ces fonctions étant dérivables, donc continues sur $\left[\frac{1}{2}~;~1 \right]$, on peut intégrer par parties et 

$\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\ln (x )\:\text{d}x = [x \ln x  ]_{\frac{1}{2}}^1 - \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1} x \times \dfrac{1}{x}\:\text{d}x = 
[x \ln x - x  ]_{\frac{1}{2}}^1 = -1 - \left(\frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) =$

$ - 1 + \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\ln (2) - 1)$.
\item %Calculer,  en unité d'aire, la mesure de l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x =\dfrac{1}{2}$ et $x = 1$.
On a $f_{\frac{1}{2}}(x) = \ln x - \dfrac{x^2}{2} + 1$ et on sait que la fonction est croissante sur ]0~;~1].

Or $f_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) = \ln \frac{1}{2} - \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^2}{2} + 1 = - \ln 2 - \dfrac{1}{8} + 1 = \dfrac{7}{8} - \ln 2 \approx 0,18$.

Conclusion : la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ est positive sur $\left[\frac{1}{2}~;~1\right]$, donc l'aire $\mathcal{A}$ de la surface limitée par sa courbe représentative, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \frac{1}{2}$ et $x = 1$ est égale à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 f_{\frac{1}{2}}(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \left[\ln x - \dfrac{x^2}{2} + 1\right]\:\text{d}x$. D'après la question précédente et par linéarité de l'intégrale :

$\mathcal{A} = \frac{1}{2}(\ln (2) - 1) \left[- \dfrac{x^3}{6} + x  \right]_{\frac{1}{2}}^1 = \dfrac{1}{2}(\ln (2) - 1) - \dfrac{1}{6} + 1 + \dfrac{1}{48} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\ln (2) - \dfrac{7}{48} $

$\approx 0,2$~(u. a.). Effectivement l'aire de la partie hachurée représente à peu près 20 carreaux sur 100.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(0,-.2)(1.1,0.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.6pt,subgridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-0.2)(1,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,-0.2)(1.1,0.5)
\psline(0.4,0)(1.1,0)
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,0.5){$\dfrac{1}{2}$}\uput[d](0.5,0){$\frac{1}{2}$}
\uput[ul](1,0.5){A} %\uput[u](1.3,0.4){$\mathcal{C}_{k}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.35}{1}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{1}{x ln 1 add x dup mul 2 div sub}
\psline(1,0)(0.5,0)
}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 8~centimètres.
 
%On considère la transformation $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$  telle que 

%\[z' = \dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})z.\] 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$.
On reconnaît une similitude de centre O.

D'autre part $\dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i})$ est un complexe dont le carré du module est égal à $\dfrac{2}{16} + \dfrac{2}{16}  = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$. Son module est donc égal à $\dfrac{1}{2}$.

On a donc $\dfrac{\sqrt{2}}{4}(- 1 + \text{i}) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{3\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$.

$f$ est donc une similitude composée de  l'homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{2}$ et de la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$. 
\item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante :  $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$
Par récurrence :

$\bullet~$ Initialisation :

$z' = z_{1} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ : c'est ce que l'on a démontré à la question précédente.

$\bullet~$ Hérédité :

Soit $n \in \N$ tel que $z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$.

Alors $z_{n+1} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}z_{n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3(n+1) \pi}{4} \right)}$.

La formule est vraie au rang $n + 1$.  

La formule est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle l'est au rang $n + 1$ : par le principe de la récurrence la formule est donc vraie pour tout naturel $n$.
		\item %Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
Voir la figure 
	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. À quelle condition sur $n$ et $p$ les points $M_{n}$ et $M_{p}$ sont-ils alignés avec l'origine O du repère ?
$M_{n}$ a pour affixe $z_{n}$ qui a pour argument $\dfrac{3n\pi}{4}$ ;

$M_{p}$ a pour affixe $z_{p}$ qui a pour argument $\dfrac{3p\pi}{4}$ ;

$M_{n}$ et $M_{p}$ sont alignés avec O si leurs arguments sont égaux modulo $\pi$, soit :

$\dfrac{3n\pi}{4} = \dfrac{3p\pi}{4} \quad [\pi] \iff \dfrac{3n}{4} = \dfrac{3p}{4} \quad [1] \iff n = p \quad \left[\dfrac{4k}{3} \right]$

Or $\dfrac{4k}{3} \in \Z \iff k = 3\alpha$, avec $\alpha \in \Z$.

Donc finalement $n = p + 4\alpha$.

$M_{n}$ et $M_{p}$ sont alignés si la différence $n - p$ est un multiple de 4.
\end{enumerate}

\psset{unit=8cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(1,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(1,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,0.5)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\SpecialCoor
\psdots[dotstyle=*](1;0)(0.5;135)(0.25;270)(0.125;45)(0.0625;180)
\uput[d](1;0){$M_{0}$} \uput[ul](0.5;135){$M_{1}$} \uput[l](0.25;270){$M_{2}$} \uput[ur](0.125;45){$M_{3}$} \uput[ul](0.0625;180){$M_{4}$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 4~centimètres.
 
%On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

%\[ z' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1 + \text{i})z.\] 
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la transformation $f$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle.
On a $\dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1 + \text{i}) = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos \frac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{3\pi}{4} = \text{e}^{\frac{3\pi}{4}}$, donc  $f$ a pour écriture complexe $z' = \text{e}^{\frac{3\pi}{4}}z$.

La transformation $f$ est donc la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{3\pi}{4}$.
\item %On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.  
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$.
Par récurrence :

$\bullet~~$\emph{Initialisation} $z_{0} = 1 = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 \times 0 \pi}{4}  \right)}$ : la formule est vraie au rang $0$.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} :  Soit  $n \in \N$ et supposons que   $z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$.

Alors $z_{n+1} = \text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}\times \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3(n + 1) \pi}{4} \right)}$ : la formule est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : la relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ elle est vraie au rang $n + 1$ ; on a démontré par récurrence que quel que soit $n \in \N,
\:z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$.
		\item %Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
Voir la figure plus bas.
		\item %Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$, les points $M_{n}$ et $M_{n+8}$ sont confondus.
$M_{n}$ a pour affixe $z_{n}$ dont un argument est $\frac{3 n \pi}{4}$  ;

$M_{n+8}$ a pour affixe $z_{n+8}$ dont un argument est $\frac{3(n+8) \pi}{4}$.

Or $\frac{3(n+8) \pi}{4} = \dfrac{(3n + 24)\pi}{4} = \dfrac{3n\pi}{4} + \dfrac{24\pi}{4} = \dfrac{3n\pi}{4} + 6\pi$.

On a donc arg$\left(z_{n}\right) = \text{arg}\left(z_{n+8}\right) \quad [2\pi]$

Comme $z_{n}$ et $z_{n+8}$ ont le même module et un même argument, les points $M_{n}$ et $M_{n+8}$ sont confondus.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

%Prouver que les triangles $M_{0}M_{1}M_{2}$ et $M_{7}M_{0}M_{1}$ ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.
Par la rotation $f$, le triangle $M_{7}M_{0}M_{1}$ a pour image le triangle $M_{8}M_{1}M_{2}$, soit d'après la question précédente (puisque $M_{8} = M_{0}$) le triangle $M_{0}M_{1}M_{2}$.

Comme la rotation est une isométrie, elle conserve les longueurs, donc les aires : les triangles $M_{0}M_{1}M_{2}$ et $M_{7}M_{0}M_{1}$ ont la même aire.

Le point $M_{1}$ a pour coordonnées $\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2}~;~ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

On a donc $M_{1}M_{7} = \sqrt{2}$ et la hauteur du triangle $M_{7}M_{0}M_{1}$ issue de $M_{0}$ a pour longueur $1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

L'aire de ce triangle est donc égale à : $\dfrac{\sqrt{2} \times \left(1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{2}}{2}$.

\begin{center}

\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\SpecialCoor
\psdots[dotstyle=*](1;0)(1;135)(1;270)(1;45)(1;180)(1;225)
\uput[d](1;0){$M_{0}$} \uput[ul](1;135){$M_{1}$} \uput[r](1;270){$M_{2}$} \uput[ur](1;45){$M_{3}$} \uput[ul](1;180){$M_{4}$}\uput[dl](1;225){$M_{7}$}
\pspolygon(1;0)(1;135)(1;270)
\pspolygon[linecolor=blue](1;225)(1;0)(1;135)
%\psgrid[subgriddiv=10](-1,-1)(1,1) 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}