\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\usepackage{colortbl}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat SMS},
pdftitle = {La Réunion  juin 2007},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS La Réunion 2007~\decofourright}}

\bigskip

%Le candidat doit traiter l'exercice et le problème.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip
 
%La Direction de la Sécurité Routière relève, tous les deux ans, le nombre de personnes tuées dans les accidents de la route. Le tableau ci-dessous indique, à partir de 1983, le rang $x$ de l'année ainsi que le nombre $y$ de personnes décédées dans un accident de la route au cours de cette année.
%
%\medskip
%
%\arrayrulecolor{cyan}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 	&1983		&1985		&1987		&1989		&1991		&1993\\ \hline
%$x$	&0			&1			&2			&3			&4			&5\\ \hline%
%$y$	&\np{11946}	&\np{10454}&\np{9855}	&\np{10528}	&\np{9617}	&\np{9052}\\ \hline \hline
%Année 	&1995		&1997		&1999		&2001		&2003		&2005\\ \hline
%$x$ 	&6			&7			&8			&9			&10			&11\\ \hline
%$y$		&\np{8413}	&\np{7989}	&\np{8029}	&\np{7720}	&\np{5731}	&\np{5318}\\ \hline%
%\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  ~%Dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij, représenter, sur une feuille de papier millimétré, le nuage des points de coordonnées $x~;~y)$ associé aux données du tableau.

%On prendra pour unités graphiques :
%
%1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et
%
%1 cm pour \np{1000} unités sur l'axe des ordonnées.
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.001cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-500)(15.5,9000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=3000,Dy=1000](0,0)(15.5,9000)
\psdots(0,8946)(1,7454)(2,6855)(3,7528)(4,6617)(5,6052)(6,5413)(7,4989)(8,5029)(9,4720)(10,2731)(11,2318)
\psdots[linecolor=blue](2.5,7242)(8.5,4200)\uput[d](2.5,7242){\blue G$_1$}\uput[d](8.5,4200){\blue G$_2$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{8509.5 507 x mul sub}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](15,0)(15,904.5)(0,904.5)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,1500)(13.825,1500)(13.825,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées du point moyen G$_{1}$ des six premiers points et celles du point moyen G$_{2}$ des six derniers points.
On a G$_1(2,5~;~\np{10242})$ et G$_2(8,5~;~\np{7200})$.		
		\item %Placer ces points sur le graphique et tracer la droite (G$_{1}$ G$_{2}$).
Voir le graphique plus haut.
		\item %Montrer qu'une équation de la droite (G$_{1}$ G$_{2}$) est $y =  - 507x + \np{11509,5}$.
L'équation étant de la forme $y = ax + b$, on a :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
\np{10242}&=&2,5a + b\\
\np{7200}&=&8,5a + b
\end{array}\right.$ d'où par différence $\np{7200} - \np{10242} = 6a$ ou 

$- \np{3042} = 6a$ d'où $a = - 507$.

En reportant dans la première équation :

$\np{10242} = 2,5 \times (- 507) + b$, d'où $b = \np{10242} + \np{1267,5} = \np{11509,5}$.

Une équation de la droite (G$_{1}$ G$_{2}$) est donc $y =  - 507x + \np{11509,5}$
	\end{enumerate}
\item  %On considère que la droite (G$_{1}$ G$_{2}$) permet de fournir une bonne approximation du nombre de décès dans les accidents de la route jusqu'en 2010.
	\begin{enumerate}
		\item %Utiliser le graphique afin d'estimer le nombre de décès causés par un accident de la route en 2009. On fera apparaître les traits de construction.
		On voit sur le graphique que le nombre de décès causés par un accident de la route en 2009 sera	 voisin de \np{3900}.
		\item 	%Déterminer par le calcul en quelle année on peut espérer que le nombre de tués par accident de la route soit inférieur à \np{4500}.
Il faut résoudre l'inéquation :
		
$- 507x + \np{11509,5} < \np{4500}$ d'où $507x > \np{11509,5} - \np{4500}$ soit $507x > \np{7009,5}$ et $x > \dfrac{\np{7009,5}}{507}$.

Or $\dfrac{\np{7009,5}}{507} \approx 13,8$. Il faut donc attendre le rang 14 soit l'année 2008. (on peut, aussi le voir sur le graphique)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle 

%\[(\text{E}) :\qquad  y'= - 0,5 y\]

%où $y$ est une fonction dérivable sur $\R$ de la variable $t$.
On sait que la solution générale de cette équation est $y(t) = K\text{e}^{-0,5t}$ avec $K$ réel quelconque.
\item  %Déterminer la solution particulière de (E) vérifiant $y(0) = 0,8$.
$y(0) = 0,8$ entraîne $0,8 = K\text{e}^{-0,5\times 0}$ soit $0,8 = K$.

La solution particulière est donc $y = 0,8\text{e}^{-0,5t}$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I = [0~;~5] par :

 \[f(t) =  0,8 \text{e}^{-0,5t}.\]
 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthogonal du plan. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur I.
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $f'(t) = - 0,4\text{e}^{-0,5t}$
On a $f'(t) = 0,8 \times (- 0,5)\text{e}^{-0,5t} = - 0,4\text{e}^{-0,5t}$.		
%Étudier le signe de $f'(t)$.
On sait que quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{-0,5t} > 0$, donc $f'(t) < 0$ quel que soit le réel $t$ donc en particulier sur [0~;~5].
		\item  %Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur son intervalle de définition.
La fonction $f$ est donc décroissante sur [0~;~5] de $f(0) = 0,8$ à $f(5) =  0,8 \text{e}^{-0,5\times 5} = 0,8\text{e}^{- 2,5} \approx 0,066$.
	\end{enumerate}
\item	~%Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats au centième.

\medskip

 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ 	&0,5	& 1		& 1,5	& 2		&2,5	&3		&3,5	&4		&4,5	&5\\ \hline
$f(t)$	&0,62	&0,49	&0,38	&0,29	&0,23	&0,18	&0,14	&0,11	&0,08	&0,07\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item	%Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
Le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est le nombre dérivé $f'(0) = - 0,4\text{e}^{-0,5\times 0} = - 0,4$.
\item	~%En prenant pour unités graphiques :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 2 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses,
%\item[$\bullet~$] 10 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées,
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%tracer, sur une feuille de papier millimétré, la tangente $T$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(5.5,1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1](0,0)(5.5,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{0.8 2.71828 0.5 x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}
\item	%Résoudre par le calcul l'inéquation $f(t) \geqslant 0,2$ en donnant les résultats arrondis au centième.
$f(t) \geqslant 0,2$ ou $0,8 \text{e}^{-0,5t}\geqslant 0,2$ ou $\text{e}^{-0,5t}\geqslant \dfrac{0,2}{0,8}$ ou $\text{e}^{-0,5t}\geqslant 0,25$ d'où en prenant le logarithme :

$- 0,5t \geqslant \ln 0,25$ ou $0,5t \leqslant - \ln 0,25$ et finalement par produit par 2 :

$t \leqslant - 2\ln 0,25$ soit environ $t \leqslant 2,77$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Un patient a reçu par injection une substance médicamenteuse. Son sang présente alors une concentration de $0,8$~g/L du produit injecté. On note $f(t)$ la valeur de la concentration du produit dans le sang, en fonction du temps écoulé $t$ exprimé en heures.

%On admet que $f(t) =  0,8  \text{e}^{-0,5t}

\begin{enumerate}
\item  %De l'étude menée dans la partie B, déduire le temps, exprimé en heures et en minutes, pendant lequel la concentration du produit dans le sang du patient reste supérieure à $0,2$ g/L.
On a vu à la question précédente que $f(t) \geqslant 0,2$ c'est-à-dire ici que la concentration du produit dans le sang du patient reste supérieure à $0,2$ g/L lorsque $t \leqslant 2,77$ soit quand le temps est inférieur à 2 h et $0,77 \times 60 = 46,2$~min soit de 0 à 2~h 46~min environ.
\item  %Quel est le pourcentage qui exprime la baisse de la concentration du produit dans le sang du patient entre la 1\up{re} heure et la 4\up{e} heure (c'est-à-dire entre les instants $t = 1$ et $t = 4$) ?
On a vu que $f(0) = 0,8$ et que $f(4) \approx 0,14$.

La baisse en pourcentage est $\dfrac{0,8 - 0,14}{0,8} \times 100 = \dfrac{0,66}{0,8}\times 100 = 82,5\,\%$.
\end{enumerate}
\end{document}