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% Corrigé et tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{23 juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
%\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
% 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). \\
%Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : $z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i} \theta}$,~$\theta$ étant un nombre réel.

$z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i}\theta}$,~$ \Rightarrow |z -( 1- 2\text{i})| = \left|\text{e}^{\text{i} \theta} \right|$ soit $|z - ( 1- 2\text{i})| =  1$.

Conclusion : les points $M$ d'affixe $z$ sont à la distance 1 du point d'affixe $1- 2\text{i}$. Comme $\theta \in \R$, la réponse est \textbf{c.}  
%	\begin{enumerate}
%		\item (E) est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$. 
%	\item (E) est le cercle de centre d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1.
%	\item  (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1. 
%	\item  (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{5}$.
%	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'= -\text{i}z - 2\text{i}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item $f$ est une homothétie. 
%	\item Le point d'affixe $-1 - 2\text{i}$ est un antécédent du point d'affixe $\text{i}$i. 
%	\item  $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $1 + \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ 
%	\item  $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $-1- \text{i}$
%	 et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$
%	\end{enumerate}

 Un point $M$ d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si : $z= -\text{i}z - 2\text{i} \iff z(1 + \text{i}) = - 2\text{i} \iff z = \dfrac{- 2\text{i}}{1 + \text{i}} = - 1 -\text{i}.$

 Il y a donc un point invariant par $f$.

$\left\{\begin{array}{l c l}
z'&=& -\text{i}z - 2\text{i}\\
- 1 -\text{i}&=&-\text{i}(- 1 -\text{i}) - 2\text{i}
\end{array}\right.$ entra\^{\i}ne par différence :

$z' - (- 1 -\text{i}) = -\text{i}[z - (- 1 -\text{i})]$. $f$ est donc la rotation de centre le point d'affixe $- 1 -\text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ Réponse \textbf{d.}
 
\item Soit (F) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - 1 + \text{i}| = |z +  1 + 2\text{i}|$.

Soient les points A, B et C d' affixes respectives $1- \text{i},~ -1 + 2\text{i}$ et $-1- 2\text{i}$. 
%	\begin{enumerate}
%		\item C est un point de (F). 
%	\item (F) est la médiatrice du segment [AB].
%	\item (F) est la médiatrice du segment [AC].
%	\item (F) est le cercle de diamètre [AB]. 
%	\end{enumerate}

$|z - 1 + \text{i}| = |z +  1 + 2\text{i}|$ peut s'écrire $|z - ( 1 - \text{i})| = |z - (  1 - 2\text{i})|$ qui montre que $M$ est équidistant des deux points A et C ; donc $M$ appartient à la médiatrice de [AC]. Réponse \textbf{c.}

\item On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation 

\mbox{$z + |z|^2 = 7 + \text{i}$}. 
%Cette équation admet : 
%	\begin{enumerate}
%		\item  Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. 
%	\item Une solution réelle. 
%	\item Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. 
%	\item Une solution qui a pour partie imaginaire 2. 
%	\end{enumerate} 
%\end{enumerate}
En posant $z = x + \text{i}y$, l'équation proposée s'écrit :

$x + \text{i}y + x^2 + y^2 = 7 + \text{i}$, soit en identifiant parties réelles et parties imaginaires :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + x^2 + y^2 &=& 7\\
y&=&1
\end{array}\right.\]

La partie imaginaire de(s) la solution(s) est égale à 1.

La première équation s'écrit :

$x + x^2 + y^2 = 7  \iff x^2 + 1 + x = 7 
\iff x^2 + x - 6 = 0 \iff (x - 2)(x + 3) = 0 \iff x = 2~\text{ou}~x = - 3$.

Vérification : avec $z_{1} = 2 + \text{i},~2 + \text{i} + 4 + 1 = 7 + \text{i}$ : ce nombre est solution.

Avec $z_{1} = -3 + \text{i},~-3 + \text{i} + 9 + 1 = 7 + \text{i}$ : ce nombre est solution. Réponse \textbf{a.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
%\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip

%Soient $f$  et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par
%\[ f(x) = x\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  g(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] 
%On note $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans le plan muni d'un repère  \Oij. 

\medskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
% 
%La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} est donnée en annexe (à rendre avec la copie). 

\begin{enumerate}
\item  %D'après le graphique, quelles semblent être les variations de la fonction $f$ et sa limite en $+\infty$ ?

La fonction semble être croissante sur [0~;~1], puis décroissante sur $[1~;~+ \infty[$. La limite en  $+\infty$ semble être nulle. 
\item  %Valider ces conjectures à l'aide d'une démonstration.

$f$ produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et $f'(x) = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(1 - x)$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$, quel que soit $x$, le signe de $f'(x)$ est donc celui de $1 - x$.

On a donc $f'(1) = 0,~f'(x) > 0~\text{si} x \in ]0~;~1[,~f'(x) < 0 ~\text{si} x > 1$.

D'autre part $f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x}}$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. 
\item  %Tracer sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie) la courbe $\mathcal{C}_{g}$ représentative de la fonction $g$.
Voir l'annexe 
\item  %Quelle semble être la position relative de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ ?

$\mathcal{C}_{f}$ semble être au dessus de $\mathcal{C}_{g}$ sur ]0~;~1[, puis au dessous sur $]1~;~+ \infty[$.

Démonstration : considérons la fonction $d$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

$d(x) = x\text{e}^{-x} - x^2\text{e}^{-x} = x\text{e}^{-x}(1 - x)$. Comme $x \geqslant 0$ et $\text{e}^{-x} > 0$, le signe de $d$ est celui de $1 - x$.

Conclusion : $d(x) > 0$ si $0 < x < 1$, c'est-à-dire $f(x) > g(x)$ ;

$d(x) < 0$ si $x > 1$, c'est-à-dire $f(x) < g(x)$.
 
%Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
%L'objectif de cette partie est de calculer, en unités d'aire, la mesure de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
 
\begin{enumerate}
\item  %Hachurer sur l'annexe cette partie du plan.
Voir l'annexe 
\item %Soit I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. 

I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^{-x}\:\text{d}x.$

On fait une intégration par parties en posant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u(x) &=&x\\
dv(x) &=& \text{e}^{-x}
\end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{l c l}
du(x)&=&1\\
v(x)&=&- \text{e}^{-x}
\end{array}\right.\]

Toutes ces fonctions étant continues, on a donc :

I $ = \left[- x \text{e}^{-x}\right]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1 -\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- x \text{e}^{-x}\right]_{0}^1 - \left[\text{e}^{-x}\right]_{0}^1 = \left[-\text{e}^{-x}(x + 1)\right]_{0}^1 = - 2\text{e}^{-1} + 1 = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$.
%Démontrer que I $ = 1 - \dfrac{2}{\text{e}}$. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Soit $H$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par
%\[ H(x) = - \left(x^2  + 2x\right)\text{e}^{-x}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la dérivée $H'$ de la fonction $H$.
$H$ produit de fonctions dérivables sur $[0~;~+\infty[$ est dérivable sur cet intervalle et :

$H'(x) = (-2x - 2)\text{e}^{-x} + \left(x^2  + 2x\right)\text{e}^{-x} =  \text{e}^{-x}\left(x^2 + 2x - 2x - 2\right) = \text{e}^{-x}\left(x^2 - 2\right)$.
	\item  %En déduire une primitive sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de la fonction $g$.
On peut écrire $H'(x) = x^2 \text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-x} = g(x) - 2\text{e}^{-x}$ ou encore 

$g(x) = H'(x) + 2\text{e}^{-x}$.

Une primitive de $H'(x)$ est $H(x)$, une primitive de $2\text{e}^{-x}$ est $- 2\text{e}^{-x}$, donc par linéarité une primitive de $g$ est 

$G(x) = - \left(x^2  + 2x\right)\text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-x} = -\text{e}^{-x}\left(x^2 + 2x + 2\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On a vu que sur ]0~;~1[ $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{g}$. L'aire $\mathcal{A}$ est donc l'intégrale de la fonction positive $d$ sur [0~;~1].

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{0}^1 (f(x) - g(x))\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^1  g(x)\:\text{d}x $ (par linéarité de l'intégrale).

Or $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ = I = $1 - \dfrac{2}{\text{e}}$ ;

$\displaystyle\int_{0}^1  g(x)\:\text{d}x = G(1) - G(0) = - \dfrac{5}{\text{e}} + 2$.

Donc  $\mathcal{A} = 1 - \dfrac{2}{\text{e}} + \dfrac{5}{\text{e}} - 2 = \dfrac{3}{\text{e}} -1.$

%Déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$.

Remarque : $\mathcal{A} = \dfrac{3}{\text{e}} -1 \approx 0,1$ ce qui correspond à peu près à ce que l'on lit sur la figure. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
% 
%Une usine produit des sacs. Chaque sac fabriqué peut présenter deux défauts : le défaut $a$ et le défaut $b$. Un sac est dit défectueux s'il présente au moins l'un des deux défauts. 

\begin{enumerate}
\item %Dans cette question les probabilités demandées seront données avec leurs valeurs décimales exactes. 

%On prélève un sac au hasard dans la production d'une journée.
% 
%On note $A$ l' évènement \og le sac présente le défaut $a$ \fg{} et $B$ I'évènement \og le sac présente le défaut $b$ \fg. Les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement $P(A) = 0,02$ et $P(B) = 0,01$ ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants. 
	\begin{enumerate}
		\item % Calculer la probabilité de l'évènement C \og le sac prélevé présente le défaut $a$ et le défaut $b$ \fg.
Comme $A$ et $B$ sont indépendants, $p(C) = p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$

$ p(C) = 0,02 \times 0,01 = \nombre{0,0002}$ 
	\item  %Calculer la probabilité de l'évènement D \og le sac est défectueux \fg.
On a $p(D) = p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0,02 + 0,01 - \nombre{0,0002}= \nombre{0,0298}$.	 
	\item  %Calculer la probabilité de l'évènement E \og le sac ne présente aucun défaut\fg.$,  
On a $E = \overline{D}$ d'o\`u $p(E) = 1 - p(D) = 1 -  \nombre{0,0298} = \nombre{0,9702}$.
	\item  %Sachant que le sac présente le défaut $a$, quelle est la probabilité qu'il présente aussi le défaut $b$ ?
On a $p_{A}(B) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{\nombre{0,0002}}{0,02} = 0,01$. (en fait $\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)} = \dfrac{p(A) \times p(B)}{p(A)} = p(B)).$
	\end{enumerate} 
\item %On suppose que la probabilité (arrondie au centième) qu'un sac soit défectueux est égale à $0,03$. 

%On prélève au hasard un échantillon de 100~sacs dans la production d'une journée. La production est suffisamment importante pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 100~sacs. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 100~sacs, associe le nombre de sacs défectueux. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défectueux).

La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres 

$n = 100$ et $p = 0,03$. 
	\item %Quelle est la probabilité de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} ? On arrondira cette probabilité au centième. Interpréter ce résultat.
On sait que la probabilité que $k,~0 \leqslant k \leqslant 100$ sacs soient défectueux est :
\[p(X = k) = \binom{100}{k} 0,03^k (1 - 0,03)^{100-k}\]

L'évènement contraire de l'évènement \og au moins un sac est défectueux \fg{} est \og il n'y a pas de sac défectueux qui a une probabilité de 

$\displaystyle\binom{100}{0}0,03^0 \times 0,97^{100} = 0,97^{100} \approx \nombre{0,0476}$.

La probabilité d'avoir au moins un sac défectueux est donc égale à 

$1 - 0,97^{100} \approx 0,952 \approx 0,95$ (au centième près).

Interprétation : pour 100 sacs prélevés il y a à peu près 95 chances sur 100 d'avoir au moins un sac défectueux.
	\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
Pour cette loi binomiale on a E $ = n \times p = 100 \times 0,03 = 3$.	
%Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.

Interprétation : sur 100 sacs prélevés il y a en moyenne 3 sacs défectueux. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
% 
%Soient A(1 ; 2; 0), B(2; 2; 0), C(1 ; 3; 0) et D(1 ; 2; 1) quatre points de l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk.
% 
%(P) désigne le plan orthogonal à (BC) contenant A ; 

%(Q) désigne le plan orthogonal à (DC) contenant A ;

%(R) désigne le plan orthogonal à (BD) contenant A. 

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que le plan (P) a pour équation cartésienne $x - y + 1 = 0$. 
$\vect{\text{BC}}(-1~;~1~;~0)$ est un vecteur normal au plan (P) ; celui-ci a donc une équation de la forme $-x + y + d = 0$.

Comme A $\in $ (P) les coordonnées de A vérifient l'équation ci-dessus, soit 

$-1 + 2 + d = 0 \iff d = -1$.

Conclusion $M(x~;~y~;~z) \in (\text{P}) \iff - x + y - = 0 \iff x - y + 1 = 0.$

On admet que le plan (Q) a pour équation cartésienne $- y + z + 2 = 0$ et que le plan (R) a pour équation cartésienne $- x + z + 1 = 0$. 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Résoudre le système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
 x-y+1&=&0\\	- y + z + 2 &=& 0\\ -x + z + 1 &=&0
 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 x-y+1&=&0\\	
 - y + z + 2 &=& 0 \\
  -y + z + 2 &=&0
 \end{array}\right. \quad \text{en ajoutant}$
 
  $\text{l'équation 1 et l'équation 3} \quad  \iff \left\{\begin{array}{l c l}
 x- y + 1&=&0\\
 	- y + z + 2 &=& 0
 \end{array}\right. $
 
 En posant $z = t,~t \in \R$ la deuxième équation donne $y = t + 2$ et enfin la première $x = y - 1 = t + 2 - 1 = t + 1$.
 

	\item %En déduire que l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) est une droite (d) passant par le point E(2~;~ 3~;~ 1).
Conclusion du calcul précédent : l'ensemble des points appartenant à (P), (Q) et (R) est une droite (d) d'équations paramétriques :
 \[\left\{\begin{array}{l c l}
 x&=&t + 1\\
 y&=&t + 2\\
 z &=&t
 \end{array} \right. \quad t \in \R\] 
	\item %Vérifier que la droite (d) est orthogonale au plan (BCD).
On a déjà $\vect{\text{BC}}(-1~;~1~;~0)$ et $\vect{\text{BD}}(-1~;~0~;~1)$. Ces deux vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires.

La droite (d) a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}(1~;~1~;~1)$.

On a $\vect{u} \cdot\: \vect{\text{BC}} = - 1 + 1 + 0 = 0$, donc $\vect{u} $ et  $\vect{\text{BC}}$ sont orthogonaux.

De même $\vect{u} \cdot \vect{\text{BD}} = - 1 + 0 + 1 = 0$, donc $\vect{u}$ et  $\vect{\text{BD}}$ sont orthogonaux.

Conclusion : le vecteur $\vect{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD), donc la droite $(d)$ est orthogonale à ce plan.
	 
%En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).

Comme précédemment on en déduit qu'une équation du plan (BCD) est de la forme $x + y + z + d' = 0$.

Or B $\in $ (BCD) $ \iff 2 + 2 + 0 = d' = 0 \iff d' = - 4$.

Conclusion : une équation du plan (BCD) est :

$M(x~;~y~;~z~) \in(\text{BCD}) \iff x + y + z - 4 = 0$.

	\end{enumerate} 
\item %Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD). 
Les trois points A, B et C ont une cote nulle : une équation du plan (ABC) est donc $z = 0$ ;

Les trois points A, B et D ont une ordonnée égale à 2  : une équation du plan (ABD) est donc $y = 2$ ;

Les trois points A, C et D ont une abscisse égale à 1  : une équation du plan (ACD) est donc $x = 1$ ;
\medskip

\emph{On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères }\Oij, ~$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{k}\right)$ et $\left(\text{O}~;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que tout point $M$ de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD).
Soit $M(t+1~;~t+2~;~t)$ un point quelconque de (d).

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $d(M,(\text{ABC})) = \dfrac{|t|}{\sqrt{1^2}} = |t|$ ; 
\item[$\bullet~$] $d(M,(\text{ABD})) = \dfrac{|t + 2 - 2|}{\sqrt{1^2}} = |t|$ ;
\item[$\bullet~$] $d(M,(\text{ACD})) = \dfrac{|t+ 1 - 1|}{\sqrt{1^2}} = |t|$ ;
\end{itemize}

Conclusion : tout point de la droite (d) est équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD).
 
	\item %Existe-t-il des points de l'espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD) ?
	
D'après la question précédente, les points de (d) sont équidistants de (ABC),  (ABD) et (ACD). Cherchons si ces points sont à la même distance du plan (BCD).

Une équation du plan (BCD) étant $x + y + z - 4 = 0$, on a  $d(M,(\text{BCD})) = \dfrac{|t + 1 + t + 2 + t - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{|3t - 1|}{\sqrt{3}}$.

Un point de (d) est donc équidistant de (ABC) et de (BCD) (et donc de ABD) et (ACD)) si et seulement si :

$|t|= \dfrac{|3t - 1|}{\sqrt{3}} \Rightarrow t^2 = \dfrac{(3t - 1)^2}{3} \iff 3t^2 = 9t^2 + 1 - 6t \iff 6t^2 - 6t + 1 = 0$
% \iff 6\left(t^2 - t + \dfrac{1}{6}\right) = 0 \iff 6\left(t - \dfrac{1}{2})^2 - 6 \times \dfrac{1}{4} + 1 = 0 \iff 6\left(t - \dfrac{1}{2})^2 - \dfrac{1}{2} = 0$

Cette équation du deuxième degré a un discriminant égal à $36 - 24 = 12 > 0$. Elle a donc deux solutions.

Il existe donc deux points de la droite (d) équidistants des trois plans (ABD), (ACD) et (BCD), mais il peut en exister d'autres.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
%\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip

%L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.
 
\begin{enumerate}
\item %Soient F le point de coordonnées $\left(0~;~ 0~ ;~\dfrac{1}{4}\right)$ et $P$ le plan d'équation $z = -\dfrac{1}{4}$.
% 
%On note $d(M,~ P)$ la distance d'un point $M$ au plan $P$.
% 
%Montrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de coordonnées $(x~;~ y~;~ z)$ qui vérifient $d(M,~P)= M$F a pour équation $x^2 + y^2 = z$.
On a $d(M,~ P) = \dfrac{\left|z + \frac{1}{4}  \right|}{\sqrt{1^2}} = \left|z + \frac{1}{4}\right|.$

Or  $d(M,~P)= M\text{F} \iff d^2(M,~P)= M\text{F}^2  \iff \left(z +  \frac{1}{4} \right)^2  = x^2 + y^2 + \left(z - \frac{1}{4}\right)^2 \iff x^2 + y^2 - z^2 - \dfrac{z}{2} - \dfrac{1}{16} + z^2 + \dfrac{1}{16}  - \dfrac{z}{2} = 0 \iff x^2 + y^2 = z.$

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (S) \iff  x^2 + y^2 = z.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $z = 2$ ?
		
Il faut résoudre le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2 &=& z\\
z&=&2\\
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2 &=& 2\\
z&=&2\\ \end{array}\right. \]

On reconnait l'équation d'un cercle centré en (0~;~0~;~2), de rayon $\sqrt{2}$ et situé dans le plan horizontal d'équation $z = 2$. 
	\item %Quelle est la nature de l'intersection de l'ensemble $(S)$ avec le plan d'équation $x = 0$ ?
	
On résout de même le système :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + y^2 &=& z\\
x&=&0\\
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{l c l}
 y^2 &=& z\\
x&=&0 \\
\end{array}\right.\]
On reconnait l'équation d'une parabole contenant l'origine située dans le plan vertical dont une équation est $x = 0$.	 
%Représenter cette intersection dans le repère $\left(\text{O}~ ;~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, $x$ et $y$ désignent des nombres entiers naturels. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de $x^2$ par 7 ?
		On a successivement :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $x \equiv 0 \quad [7] \Rightarrow  x^2 \equiv 0 \quad [7]$
\item[$\bullet~$] $x \equiv 1 \quad [7] \Rightarrow  x^2 \equiv 1 \quad [7]$
\item[$\bullet~$] $x \equiv 2 \quad [7] \Rightarrow  x^2 \equiv 4 \quad [7]$
\item[$\bullet~$] $x \equiv 3 \quad [7] \Rightarrow  x^2 \equiv 2 \quad [7]$
\item[$\bullet~$] $x \equiv 4 \quad [7] \Rightarrow  x^2 \equiv 2 \quad [7]$
\item[$\bullet~$] $x \equiv 5 \quad [7] \Rightarrow  x^2 \equiv 4 \quad [7]$
\item[$\bullet~$] $x \equiv 6 \quad [7] \Rightarrow  x^2 \equiv 1 \quad [7]$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les restes dans la division euclidienne de $x^2 $ par 7 peuvent être : 0,~1,~2 ou 4.
	\item  %Démontrer que 7 divise $x^2 + y^2$ si et seulement si 7 divise $x$ et 7 divise $y$.
	
D'après la question \textbf{1.} :

$x^2 \equiv \alpha \quad [7]$


$y^2 \equiv \beta \quad [7]$,

avec $\alpha$ et $\beta$ appartenant à l'ensemble $\{0~;~1~;~2~;~4\}$.

Il en résulte que $x^2 + y^2 \equiv \alpha + \beta \quad [7]$, les valeurs possibles pour $\alpha + \beta$  étant 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 8.

Conclusion $7$ divise $x^2 + y^2$ si et seulement si $\alpha + \beta = 0$, ce qui n'est possible que si $\alpha = 0$ et $\beta = 0$, c'est-à-dire si 7 divise $x$ et $y$.
	\end{enumerate}
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Existe-t-il des points qui appartiennent à l'intersection de l'ensemble $(S$) et du plan d'équation $z = 98$ et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer. 

Comme dans les questions précédentes, il s'agit de trouver dans le plan horizontal $z = 98$ des points dont les coordonnées vérifient $x^2 + y^2 = 98$.

Comme $98 = 70 + 28 = 7 \times 10 + 7 \times 4 = 7 \times 14, x^2 + y^2$ est donc divisible par 7 et d'après la question précédente ceci n'est possible que si $x$ et $y$ sont divisibles par 7.

D'autre part l'équation $x^2 + y^2 = 98$ entraîne que $0 \leqslant x \leqslant 9$ et $0 \leqslant y \leqslant 9$.

Le seul multiple de 7 dans cet intervalle est  $7$.

Il y a donc un seul point solution :

\[M_{1}(7~;~7~;~98)\]
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE Exercice 2}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.6cm,yunit=5.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,1.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.25pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(6,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-1)(6,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](3,0.15){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\uput[u](3,0.45){\green$\mathcal{C}_{g}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div}
\psplot[linecolor=green,plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{6}{x dup mul  2.71828 x exp div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{0}{1}{x 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.4pt]{1}{0}{x dup mul  2.71828 x exp div}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}