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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat S La Réunion~\decofourright\\ juin 2003}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}

\medskip

%Cet exercice comporte 3 questions indépendantes.
%
%Une question comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c et d.
%
%Aucune justification n'est demandée pour cet exercice.
%
%Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie ou fausse.
%
%Vous inscrirez en toutes lettres \og VRAI \fg{} ou \og FAUX \fg{} dans la case correspondante du tableau donné en annexe à rendre avec la copie.
% 
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L'expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les boules ont toutes la même probabilité d'être tirées. On effectue $n$ tirages indépendants et avec remise, $n$ désignant un entier supérieur à 10. Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées. 
	\begin{enumerate}
		\item %$X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{1}{4}$.
La probabilité à chaque tirage de tirer une boule blanche est $\dfrac{75}{75 + 25} = \dfrac{75}{100} = \dfrac{25 \times 3}{25 \times 4} = \dfrac{3}{4}$. Fausse
		\item %P($X = 0) = \dfrac{1}{2^{2n}}$
On a une loi binomiale de paramètres $n$ et $\dfrac{3}{4}$, donc 
		
P($X = 0) = \left(\dfrac{3}{4} \right)^{0} \times \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n} = \dfrac{1}{4^n} = \dfrac{1}{\left(2^2\right)^n} = \dfrac{1}{2^{2n}}$. Vraie
		\item %P($ X < 5) = 1 - \text{P}(X > 5)$
P($ X < 5) = 1 - \text{P}(X \geqslant 5)$. Fausse
		\item %E($X)  = 0,75n$
On a E$(X) = n \times p = \dfrac{3}{4} \times n  = 0,75n$. Vraie 
	\end{enumerate}
\item %Une maladie atteint 1\,\% d'une population donnée.

%Un test de dépistage de cette maladie a les  caractéristiques suivantes :

%$\bullet$~Chez les individus malades, 99\,\% des tests sont positifs et 1\,\% sont négatifs.

%$\bullet$~Chez les individus non malades, 98\,\% des tests sont négatifs
%(les autres étant positifs).

%Un individu est choisi au hasard dans cette population et on lui applique le test.

%On note M l'évènement : \textbf{l'individu est malade}  et T l'évènement : \textbf{le test pratiqué est positif}.
	\begin{enumerate}
		\item %P$_{\text{M}}(\text{T}$) + P$_{\overline{\text{M}}}(\text{T}) = 1,01$.
On peut dresser l'arbre suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$}\taput{0,01}}
	{\TR{$T$}\taput{0,99}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,01}
	
	}
\pstree{\TR{$\overline{M}$}\tbput{0,99}}
	{\TR{T}\taput{0,02}
	\TR{$\overline{T}$}\tbput{0,98}
	}
}

\end{center}
\medskip

On a P$_{M}(T$) + P$_{\overline{M}}(T) = 0,99 + 0,02 = 1,01$. Vraie
		\item %P$_{\text{M}}(\text{T}$) + P$_{\overline{\text{M}}}(\text{T}$) = P(T).
On a d'après la formule des probabilités totales :

P$_{M}(T$)P$(M)$ + P$_{\overline{M}}(T$)P$\left(\overline{M}\right) = \text{P}(T)$. Fausse 
		\item %P(T)  = $2,97.10^{-2}$
D'après la formule précédente :

P$(T) = 0,99 \times 0,01 + 0,02 \times 0,99 = 0,99 \times 0,03 = \np{0,0297} = 2,97 \cdot 10^{- 2}$. Vraie
		\item %Sachant que le test est positif, il y a deux chances sur trois pour que l'individu testé ne soit pas malade.
On a P$_T\left(\overline{M} \right) = \dfrac{\text{P}\left(T \cap \overline{M}\right)}{P(T)} = \dfrac{0,02 \times 0,99}{\np{0,0297}} = \dfrac{2}{3}$. Vraie 
 	\end{enumerate}
\item %La durée d'attente en seconde de la caisse d'un supermarché est une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $0,01$. 
%Alors :
	\begin{enumerate}
		\item %La densité de probabilité de $Y$ est la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $f(t) = \text{e}^{-0,01t}$.
La densité de probabilité de $Y$ est la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : $f(t) = 0,01\text{e}^{-0,01t}$. Fausse
		\item %Pour tout réel $t$ positif, P($Y \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-0,01t}$.
		On a P$(Y \leqslant t) = \displaystyle\int_0^t 0,01 \text{e}^{- 0,01x}\:\text{d}x = \left[- \text{e}^{-0,01x} \right]_0^t = 1 - \text{e}^{-0,01t}$. Vraie		
		\item %La probabilité d'attendre moins de 3 minutes à cette caisse est, à  0,01 près, égale à $0,16$.
La probabilité d'attendre moins de 160 secondes est :

P$(Y \leqslant 180) = 1 - \text{e}^{-0,01\times 180} = 1 - \text{e}^{-1,8} \approx 0,83$. Fausse
		\item %Il y a plus d'une chance sur deux que l'attente à cette caisse soit supérieure à une  minute.
On a P$(Y \leqslant 60) = 1 - \text{e}^{-0,01\times 60} = 1 -\text{e}^{-0,6} \approx 0,45$.

Donc P$(Y > 60) = 1 - \text{P}(Y \leqslant 60) \approx 0,55$. Vraie
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.

%Le nombre $a$ désigne un réel strictement positif.

%On considère le point $M$ de la demi-droite [AE) défini par $\vect{\text{A}M}=\dfrac{1}{a}\;\vect{\text{AE}}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le volume du tétraèdre ABD$M$ en fonction de $a$.
$V_{\text{ABD}M} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}(\text{ABD}) \times \text{A}M = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} 1 \times 1 \times \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{6a}$.
\item %Soit $K$ le barycentre du système de points pondérés :

%\[\left\{\left(M\,;\,a^2\right),~(\text{B}\,;\,1),~(\text{D}\,;\,1)\right\}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer $\vect{\text{B}K}$ en fonction de $\vect{\text{B}M}$ et de $\vect{\text{BD}}$.
On a par définition du barycentre :

$a^2 \vect{KM} + 1\vect{K\text{B}} + 1\vect{K\text{D}} = \vect{0} \iff a^2 \vect{K\text{B}} + a^2 \vect{\text{B}M} +  \vect{K\text{B}} + \vect{K\text{B}} + \vect{\text{BD}} = \vect{0} \iff \left(a^2 + 2\right)\vect{K\text{B}} + a^2 \vect{\text{B}M} + \vect{\text{BD}} = \vect{0} \iff \left(a^2 + 2\right)\vect{\text{B}K} = a^2 \vect{\text{B}M} + \vect{\text{BD}} \iff $

$\vect{\text{B}K} = \dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{B}M} + \dfrac{1}{a^2 + 2}\vect{\text{BD}}$.
		\item %Calculer $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{A}M}$ et $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{AD}}$ puis en déduire l'égalité $\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}=0$.
$\bullet~~$$\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{A}M} = \left(\dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{B}M} + \dfrac{1}{a^2 + 2}\vect{\text{BD}} \right) ~\cdot~\vect{\text{A}M} =$

$\dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{B}M} ~\cdot~\vect{\text{A}M} + \dfrac{1}{a^2 + 2}\vect{\text{BD}}~\cdot~\vect{\text{A}M} = \dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{A}M}~\cdot~\vect{\text{A}M} $ (car $\vect{\text{A}M}$ est normal au plan (ABCD) donc orthogonal à tout vecteur de ce plan).

Or $\vect{\text{A}M}~\cdot~\vect{\text{A}M}  = \dfrac{1}{a^2}$, donc finalement :

$\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{A}M} = \dfrac{1}{a^2 + 2}$.

$\bullet~~$$\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{AD}} = \left(\dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{B}M} + \dfrac{1}{a^2 + 2}\vect{\text{BD}} \right)~\cdot~\vect{\text{AD}} = \dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{B}M}~\cdot~\vect{\text{AD}} + \dfrac{1}{a^2 + 2}\vect{\text{BD}}~\cdot \vect{\text{AD}} = \dfrac{1}{a^2 + 2}\vect{\text{AD}}~\cdot \vect{\text{AD}} = \dfrac{1}{a^2 + 2}$ (car $\vect{\text{AD}}$ et $\vect{\text{B}M}$ sont orthogonaux).

$\vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{M\text{D}} = \vect{\text{B}K}~\cdot~\left(\vect{M\text{A}} + \vect{\text{AD}}\right) = \vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{M\text{A}} + \vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{\text{AD}} = - \dfrac{1}{a^2 + 2} + \dfrac{1}{a^2 + 2} = 0$.	
		\item %Démontrer l'égalité $\vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$.
De la même façon qu'au \textbf{a.} et \textbf{b.} on calcule :

$\vect{\text{D}K} = \dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{D}M} + \dfrac{1}{a^2 + 2} \vect{\text{DB}}$.

Donc $\vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{\text{A}M} = \dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{D}M}~\cdot~\vect{\text{A}M} + \dfrac{1}{a^2 + 2} \vect{\text{DB}}~\cdot~\vect{\text{A}M} = \dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{A}M}~\cdot~\vect{\text{A}M} = \dfrac{a^2}{a^2 + 2} \times \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{1}{a^2 + 2}$ et 

$\vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{\text{AB}} = \dfrac{a^2}{a^2 + 2}\vect{\text{D}M}~\cdot~\vect{\text{AB}} +  \dfrac{1}{a^2 + 2}\vect{\text{DB}}~\cdot~\vect{\text{AB}} = \dfrac{1}{a^2 + 2}\vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{AB}} = \dfrac{1}{a^2 + 2}$.

D'où $\vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{M\text{B}} = \vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{M\text{A}} + \vect{\text{D}K}~\cdot~\vect{\text{AB}} = - \dfrac{1}{a^2 + 2} + \dfrac{1}{a^2 + 2} = 0$.
		\item %Démontrer que $K$ est l'orthocentre du triangle BD$M$.
Puisque $K$ est barycentre des points $M$, B et D il appartient au plan $M$BD.

Les deux questions précédentes ont montré que (B$K$) est perpendiculaire à ($M$D) et que (D$K$) est perpendiculaire à ($M$B). Ces droites sont donc deux hauteurs du triangle($M$BD), donc $K$ est le l'orthocentre du triangle BD$M$.
	\end{enumerate}
\item %Démontrer les égalités $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$ et $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}=0$. Qu'en déduit-on pour la droite (A$K$) ?
$\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{B}} = \left(\vect{\text{AD}} + \vect{\text{D}K} \right)~\cdot~\vect{M\text{B}} = \vect{\text{AD}}~\cdot~\vect{M\text{B}} + \vect{\text{D}K}\cdot~\vect{M\text{B}}$ ; or la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABE) donc en particulier à ($M$B) et par conséquent $\vect{\text{AD}}~\cdot~\vect{M\text{B}} = 0$ ; de plus dans la question /textbf{2.} on a vu que $\vect{\text{D}K}\cdot~\vect{M\text{B}} = 0$.

Conclusion  : $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{B}}=0$.

De la même façon : $\vect{\text{A}K}~\cdot~\vect{M\text{D}}= \vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{M\text{D}} + \vect{\text{B}K}~\cdot~\vect{M\text{D}} = 0 + 0= 0$.

Conclusion : la droite (A$K$) orthogonale à deux droites sécantes du plan (BD$M$) est orthogonale à ce plan.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le triangle BD$M$ est isocèle et que son aire est égale à $\dfrac{\sqrt{a^2 +2}}{2a}$ unité d'aire.

Dans le triangle BD$M$ rectangle en D le théorème de Pythagore s'écrit : B$M^2 = M\text{A}^2 + \text{AB}^2 = \dfrac{1}{a^2} + 1 = \dfrac{1 + a^2}{a^2}$ ;

Dans le triangle AD$M$ rectangle en A le théorème de Pythagore s'écrit : D$M^2 = M\text{A}^2 + \text{AD}^2 = \dfrac{1}{a^2} + 1 = \dfrac{1 + a^2}{a^2}$ ; conclusion : $M\text{B} = M\text{D} = \dfrac{\sqrt{1 + a^2}}{a}$, le triangle BD$M$ est isocèle en $M$.

Le triangle BD$M$ est isocèle donc si O est le milieu de [BD], [$M$O] est médiane, médiatrice et hauteur de ce triangle, dont l'aire est égale à $\dfrac{1}{2} \times M\text{O} \times \text{BD}$.

On a BD $= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Dans le triangle $M$OB rectangle en O, le théorème de Pythagore donne :

$M\text{B}^2 = M\text{O}^2 + \text{OB}^2 \iff M\text{O}^2 = M\text{B}^2 - \text{OB}^2 = \dfrac{1 + a^2}{a^2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2a^2 + 2 - a^2}{2a^2} = \dfrac{a^2 + 2}{2a^2}$. Donc :

$M\text{O} = \dfrac{\sqrt{a^2 + 2}}{a \sqrt{2}}$.

L'aire du triangle est donc égale à :

$\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{a^2 + 2}}{a \sqrt{2}} \times \sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 +2}}{2a}$.
	\item %Déterminer le réel $a$ tel que l'aire du triangle BD$M$ soit égale à 1 unité d'aire. Déterminer la distance A$K$ dans ce cas.
Il faut donc résoudre : $\dfrac{\sqrt{a^2 + 2}}{2a } = 1 \iff \dfrac{a^2 + 2}{4a^2} = 1 \iff a^2 + 2 = 4a^2 \iff 3a^2 = 2 \iff a^2 = \dfrac{2}{3} \iff a = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

On a vu que le volume du tétraèdre ABD$M$ est égale à $\dfrac{1}{6a}$ et on a démontré que (A$K$) est perpendiculaire au plan BD$M$ ; c'est donc une hauteur du tétraèdre ABD$M$ dont le volume est : $\dfrac{1}{3} \times \text{A}K \times \text{aire(BD}M)$ ; on a donc :

$\dfrac{1}{6a} = \text{A}K \times 1 \iff \text{A}K = \dfrac{1}{6a} = \dfrac{1}{6\sqrt{\dfrac{2}{3}}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6\sqrt{2}}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vskip 1cm

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,5)
\psset{unit=2cm}
\psframe(0,0)(2,2) %ABFE
\psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH
\psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.75,0.75)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.75,0.75)(0.75,2.75)%DH
\psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC
\psline[linestyle=dashed](2,0)(0.75,0.75)%BD
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(0.75,0.75)%MD
\psline(0,1.5)(2,0)%MB
\uput[dr](0.4,0.85){D} \uput[dl](0,0){$A$} \uput[dr](2,0){B}
\uput[dr](2.75,0.75){C} \uput[dr](0.5,3){H} \uput[ul](0,2){E}
\uput[ul](2,2){F} \uput[dr](2.5,3){G} \uput[dl](0,1.65){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm, pour unité graphique.
%
%On considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout 
%point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
%
%\[z' = -\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)z - 1 + \text{i}\left(1 + 
%\sqrt{3} \right).\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f$ est une similitude directe dont le centre $\Omega$ a pour affixe i. En déterminer le rapport et l'angle.
L'écriture complexe de la transformation est de la forme $z' = az + b$, avec $a$ et $b$ complexes et $a \notin 0$ : c'est donc une similitude directe.

L'affixe de son point invariant vérifie :

$z = -\left(\sqrt{3} + \text{i}\right)z - 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right) \iff z\left(1 + \sqrt{3} + \text{i}\right) =
 - 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right) \iff  
z = \dfrac{- 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right)}{1 + \sqrt{3} + \text{i}} =$
 
$\dfrac{\left(- 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{3}\right) \right)\left(1 + \sqrt{3} - \text{i} \right)}{\left(1 + \sqrt{3} - \text{i} \right)\left(1 + \sqrt{3} + \text{i} \right)} =$ 

$\dfrac{- 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(\left(1 + \sqrt{3}\right)^2 + 1\right)}{\left(1 + \sqrt{3}\right)^2 + 1} = \dfrac{ \text{i}\left(\left(1 + \sqrt{3}\right)^2 + 1\right)}{\left(1 + \sqrt{3}\right)^2 + 1} = \text{i}$ 

(car $\left(1 + \sqrt{3}\right)^2 + 1 \geqslant 1 > 0$).

Le point $\Omega$ d'affixe i est donc invariant par $f$.

Il est bien sûr plus facile de vérifier que l'image de i est i.

Le rapport de la transformation est $|a| = \left[\sqrt{3} + \text{i}\right| = \sqrt{3 + 1} = 2$.

On a donc $a = 2\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = 2\left(\cos \frac{7\pi}{6}+ \text{i}\sin \frac{7\pi}{6} \right) = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}$.

L'angle de $f$ est donc $\frac{7\pi}{6}$.
\item %Soit M$_{0}$ le point d'affixe $z_{0} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{4}\text{i}$.
	
%Calculer $\Omega \text{M}_{0}$ et donner une mesure en  radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\Omega \text{M}_{0}}\right)$.
L'affixe de $\vect{\Omega\text{M}_{0}}$ est $z_0 - \text{i} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{4}\text{i} - \text{i} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{4}\text{i}$.

Donc $\Omega \text{M}_{0} = \left|z_0 - \text{i}  \right| = \left|\dfrac{\sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{4}\text{i} \right| = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\dfrac{4}{16}} = \dfrac{1}{2}$.

On a donc $z_0 - \text{i} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i} \right) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\frac{\pi}{6}}$.

Donc $\left(\vect{u}~;~\vect{\Omega \text{M}_{0}}\right) = - \dfrac{\pi}{6}$.
\item ~%On considère la suite de points $(M_{n})_{n \geqslant 0}$, définie pour tout entier naturel $n$ par $M_{n+1} =  f(M_{n})$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Placer les points $\Omega,~\text{M}_{0},~\text{M}_{1},~\text{M}_{2},~\text{M}_{3}$ et 
%$\text{M}_{4}$.
Voir la figure à la fin.
		\item %Monter par récurrence, pour tout entier naturel $n$, l'égalité :

%\[z_{n}- \text{i} =  2^n \text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - \text{i}\right).\]
$\bullet~~$\emph{Initialisation} on a bien $z_0 - \text{i} = 2^0 \text{e}^{\text{i}\frac{7 \times 0 \times \pi}{6}}\left(z_0 - \text{i} \right) = z_0 - \text{i}$.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} Soit un naturel $n > 0$ tel que :

$z_{n}- \text{i} =  2^n \text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - \text{i}\right)$.

Donc $z_{n+1} = 2^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}z_n - 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right)$.

Or le point $\Omega$ est invariant par $f$, son affixe vérifie donc :

$\text{i} = 2^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}\text{i} - 1 + \text{i}\left(1 + \sqrt{3} \right)$.

En soustrayant ces deux dernières égalités, on obtient :

$z_{n+1} - \text{i} = 2^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}\left(z_n - \text{i}\right)$.

Cette égalité signifie que la suite $\left(z_n - \text{i}\right)$ est une suite géométrique de raison $2^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}$.

On sait alors que : $z_{n+1} - \text{i} = \left(2^{\text{i}\frac{7\pi}{6}} \right)^{n+ 1}\left(z_0 - \text{i} \right) = 2^{n + 1}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi(n + 1)}{6}}\left(z_0 - \text{i} \right)$.

La relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$.

D'après le principe de récurrence : pour tout entier naturel $n$, : 

\[z_{n}- \text{i} =  2^n \text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - \text{i}\right).\]
		\item %Pour tout entier naturel $n$, calculer $\Omega M_{n}$, puis  déterminer le plus petit entier $n$	tel que $\Omega M_{n} \geqslant 10^2$.
Pour tout entier naturel $n$,\:$\Omega M_n = \left|z_n - \text{i}\right| = 2^n\left|z_0 - \text{i}  \right| v= 2^n \times \dfrac{1}{2} = 2^{n - 1}$.

D'où $\Omega M_{n} \geqslant 10^2 \iff 2^{n - 1} \geqslant 10^2 \iff (n - 1)\ln 2 \geqslant 2\ln 10 \iff$

$ n - 1 \geqslant \dfrac{2\ln 10}{\ln 2}$ (car $\ln 2 > 0$).

Or $\dfrac{2\ln 10}{\ln 2} \approx 6,6$. Conclusion il faut prendre $n \geqslant 8$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %On considère l'équation (E) : $7x -  12y = 1$ où $x$ et $y$ sont deux entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple $(-5~;~-3)$ est solution, résoudre l'équation  (E).
On a $7 \times (- 5) - 12 \times (- 3) = - 35 + 36 = 1$ : le couple $(-5~;~-3)$ est solution de l'équation.

On a donc :

$\left\{\begin{array}{l c l}
7x -  12y &=& 1\\
7 \times (- 5) - 12 \times (- 3) &=& 1
\end{array}\right.$

d'où par différence : $7(x + 5)- 12(y + 3) = 0 \quad (1)  \iff 7(x + 5) = 12(y + 3)$.

Or  7 divise $12(y + 3)$, mais est premier avec 12 : il divise donc $y + 3$ ; il existe $k \in  \N$ tel que $y + 3 = 7k$ et en remplaçant dans l'égalité (1),  

$7(x + 5)- 12 \times 7k = 0 \iff x + 5 - 12k = 0\iff x = - 5 + 12k$ et $y = - 3 + 7k$.

Réciproquement $7(- 5 + 12k) - 12(- 3 + 7k) = - 35 + 84k + 36 - 84k = 1$, donc les couples de la forme $(- 5 + 12k~;~- 3 + 7k),\:\: k \in \Z$ sont solutions de l'équation.

L'ensemble des couples solutions de l'équation (E) est donc l'ensemble de tous les couples $(- 5 + 12k~;~- 3 + 7k),\:\: k \in \Z$
		\item %Soit $\Delta$ l'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ telle que Im$(z) = 1$ et Re$(z) \geqslant 0$.
Les points $M$ de $\Delta$ ont pour affixe $z = x + \text{i}$, avec $x \geqslant 0$.

$\Delta$ est donc la demi-droite d'origine le point de coordonnées (0~;~1) c'est-à-dire $\Omega$ et contenue dans la droite horizontale d'équation $y = 1$. Voir la figure
%Caractériser géométriquement $\Delta$ et le représenter.

%Déterminer l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite d'origine $\Omega$ dirigée par le vecteur $\vect{u}$. Préciser son plus petit élément.
$M_{n} \in \Delta \iff z_n = x_n + \text{i}$ avec $x_n \geqslant 0$.

On a vu à la question \textbf{3.} que 

$z_{n}- \text{i} =  2^n \text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - \text{i}\right)$, soit avec $z_0 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} + \dfrac{3}{4}\text{i} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$, 

$z_n = \text{i} + 2^n \text{e}^{\text{i}\frac{7n\pi}{6}} \times \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} = \text{i} + 2^{n-1}\text{e}^{\text{i}\frac{(7n - 1)\pi}{6}} = 2^{n-1}\cos \frac{(7n - 1)\pi}{6} + \text{i}\left(1 + 2^{n-1}\sin \frac{(7n - 1)\pi}{6}\right)$.

Il faut donc que la partie imaginaire soit égale à 1, donc 

$1 + 2^{n-1}\sin \frac{(7n - 1)\pi}{6} = 1 \iff  2^{n-1}\sin \frac{(7n - 1)\pi}{6} = 0 \iff \sin \frac{(7n - 1)\pi}{6} = 0 \iff \frac{(7n - 1)\pi}{6} = 2k\pi$ (avec $k \in \Z$), soit

$\frac{(7n - 1)}{6} = 2k \iff 7n - 1 = 12k \iff 7n = 12k + 1 \iff 7n - 12k = 1$.

Or d'après la question précédente $n$ doit être de la forme $n = - 5 + 12p$, avec $p \in \Z$.

On a bien puisque $\sin \frac{(7n - 1)\pi}{6} = 0$ et que $\cos \frac{(7n - 1)\pi}{6} \geqslant 0$, $\cos \frac{(7n - 1)\pi}{6} = 1$ et on retrouve la même condition $n = - 5 + 12p$, avec $p \in \Z$.

La plus petite valeur de $n$ est obtenue pour $p = 1$, d'où $n = 7$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.5)(3,9.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,-2.5)(3,9.2)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0.2,0.5){$\vect{v}$} 
{\psset{origin={0,1}}
\uput[dr](0.5,0.7){M$_0$}\uput[dl](-2,-2){M$_3$}
\uput[l](-1,1){M$_1$} \uput[r](1.8,2){M$_2$} \uput[r](0,9){M$_4$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.8](0.5;-30)(1;180)(2;30)(4;-120)(8;90)
\psline(0.5;-30)\psline(1;180)\psline(2;30)\psline(4;-120)\psline(8;90)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats.}

\medskip

%On considère l'équation différentielle (E) : $y - y' =  \dfrac{\text{e}^x}{x^{2}}$ et on cherche l'ensemble des solutions de cette équation définies sur $]0~;~+ \infty[$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $u$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $u(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}$	est solution de (E).
		La fonction $u$ quotient de fonctions dérivables et le dénominateur ne s'annulant pas est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle ::
		
$u'(x) = \dfrac{\text{e}^x \times x - \text{e}^x}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}$.

On a $u$ est solution de (E) si et seulement si :

$u - u' = \dfrac{\text{e}^x}{x^{2}} \iff \dfrac{\text{e}^x}{x} - \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x}{x^{2}} \iff \dfrac{x\text{e}^x - \text{e}^x(x - 1)}{x^2} = \dfrac{\text{e}^x}{x^{2}}$	qui est vraie.
		\item %Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ est solution de (E) si et seulement si la fonction $v - u$, définie sur $]0~; ~+ \infty[$, est solution de l'équation différentielle $y - y' = 0$.
		
Quel  que soit $x > 0,\: (v - u)(x) - (v - u)'(x) = v(x) - u(x) - v'(x) + u'(x) =$

$ v(x) - v'(x) - \left[u(x) - u'(x)\right] = v(x) - v'(x) - \dfrac{\text{e}^x}{x^2}$.

La fonction $v$ est solution de (E) si, et seulement si pour $x$ réel supérieur à zéro, 

$v(x) - v'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x^2} \iff v(x) - v'(x) - \dfrac{\text{e}^x}{x^2} = 0$, soit d'après le calcul précédent $(v - u)(x) - (v - u)'(x) = 0$, c'est-à-dire si $v - u$ est solution de l'équation différentielle $y - y' = 0$.
		\item %En déduire toutes les solutions définies sur $]0~; ~+ \infty[$ de l'équation (E).
		On sait que les solutions de l'équation différentielle $y - y' = 0$ sont les fonctions $x \longmapsto K\text{e}^x$, avec $K \in \R$.
		
$v$ est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est de la forme précédente, soit :

$v(x) = u(x) + K\text{e}^x = \dfrac{\text{e}^x}{x} = \text{e}^x\left(\dfrac{1 + Kx}{x}\right)$ avec $K \in \R$ et $x$ réel supérieur à zéro..
	\end{enumerate}
\item %Pour tout réel $k$ négatif ou nul, on considère la fonction $f_{k}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

%\[f_{k}(x) = \dfrac{kx+1}{x} \text{e}^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les limites de $f_{k}$ en $0$ et en $+ \infty$.
$\bullet~~$Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{kx+1}{x} = + \infty, \: \displaystyle\lim_{x \to 0} f_{k}(x) = + \infty$.

$\bullet~~$

\begin{itemize}
\item Si $k < 0$, \: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{kx + 1}{x} = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, d'où par produit des limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f_k(x) = - \infty$.
\item Si $k = 0$, \: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_0 (x)  = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x}$ = + \infty$. (croissances comparées)
\end{itemize}

		\item %Calculer $f'_{k}(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ et déterminer le nombre de solutions sur $]0~; ~+ \infty[$ de l'équation  $f'_{k}(x) = 0$.
$f_k(x)$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'_k(x) = \dfrac{kx - 1 - kx}{x^2}\times \text{e}^x + \dfrac{kx+1}{x} \text{e}^x = \text{e}^x\left(\dfrac{- 1}{x^2} + \dfrac{kx+1}{x} \right) = \text{e}^x\left(\dfrac{- 1 + x + kx^2}{x^2}\right)$.

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si $k = 0$, \: $f'_k(x) =  \text{e}^x\left(\dfrac{- 1 + x}{x^2}\right)$, donc la dérivée s'annule en changeant de signe en 1.
\item[$\bullet~~$] Si $k < 0$, comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'_k(x) $ est celui du trinôme $- 1 + x + kx^2$, donc le discriminant est $\Delta = 1 + 4k$ ; d'où les cas :
\begin{itemize}
\item Si $k < - \frac{1}{4}$, alors $\Delta < 0$ et la dérivée ne s'annule pas et est négative ;
\item Si $k = - \frac{1}{4}$, alors $\Delta = 0$, la dérivée s'annule en $-\dfrac{1}{2k}$ et est négative ailleurs ;
\item Si $k > - \frac{1}{4}$, alors $\Delta > 0$ et la dérivée s'annule en :

$x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{1 + 4k}}{2k}$ qui est positif car quotient de deux nombres négatifs et

$x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{1 + 4k}}{2k}$.

Le produit des racines est $x_1x_2 = \dfrac{1 - (1 + 4k)}{4k^2} = \dfrac{-4k}{4k^2} = - \dfrac{1}
{k}$.

Donc si $- \frac{1}{4}  < k < 0$, le produit des racines est positif ; comme 

$x_1 > 0$, alors $x_2 > 0$.

Si $ k > 0$, le produit des racines est négatif ; comme $x_1$ est positif, 

$x_2$ est négatif.

Dans tous les cas la dérivée s'annule deux fois, elle est positive si $x \in \left[x_1~;~x_2\right]$ ou  $\left[x_2~;~x_1\right]$ et est négative ailleurs.
 \end{itemize}

\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\item %On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal  \Oij.

%On a tracé sur le graphique ci-joint les courbes  $\mathcal{C}_{-1},~ \mathcal{C}_{-0,25},~\mathcal{C}_{-0,15}$ et  $\mathcal{C}_{0}$.

%En utilisant la  deuxième question, reconnaître chaque courbe (les  réponses doivent être justifiées).
$\bullet~~$La première courbe (1) est $\mathcal{C}_{0}$ : c'est la seule croissante pour $x$ assez grand ;

$\bullet~~$La courbe (2) est $\mathcal{C}_{-0,15}$ car la dérivée s'annule deux fois et $-0,15$ est le seul à être supérieure à $-0,25$.

$\bullet~~$La courbe (3) est $\mathcal{C}_{-1}$ car c'est la seule fonction strictement décroissante.

$\bullet~~$La courbe (4) est $\mathcal{C}_{-0,25}$ car la fonction est décroissante et la dérivée s'annule comme on l'a vu ci-dessus une seule fois en 2.
\item %Pour tout réel $a$ strictement positif, on pose $\mathcal{A}(a) = \displaystyle\int_{a}^{a+1} \dfrac{\text{e}^x}{x}\:\text{d}x$.

	\begin{enumerate}
		\item %Interpréter géométriquement $\mathcal{A}(a)$.
On sait que la fonction $x \longmapsto g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}$ quotient de deux fonctions positives est positive, donc l'intégrale représente l'aire (en unités d'aire) de la surface limitée par la représentation graphique de la fonction $g$, l'axe des abscisses et les deux droites d'équations $x = a$ et $x = a+1$.
		\item %On désigne par  $F$ une primitive de la  fonction $x \mapsto \dfrac{\text{e}^x}{x}$ sur $]0~;~+ \infty[$.

%En remarquant que $\mathcal{A}(a) = F(a + 1) -  F(a)$ étudier le sens de variation de la fonction qui à tout réel $a$ élément de $]0~;~+ \infty[$ associe le réel $\mathcal{A}(a)$.
La fonction $\mathcal{A}$ est dérivable comme différence de deux fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et :

$\mathcal{A}'(a) = F'(a+1) - F'(a) = u(a+1) - u(a) = \dfrac{\text{e}^{a+1}}{a + 1} - \dfrac{\text{e}^{a}}{a} = \dfrac{a\text{e}^{a+1} - (a + 1)\text{e}^{a}}{a(a + 1)} = \dfrac{a\text{e}^{a}\text{e} - (a + 1)\text{e}^{a}}{a(a + 1)} = \dfrac{\text{e}^{a}[a(\text{e} - 1) - 1}{a(a + 1)}$.

Comme $\text{e}^{a},\:a, \: a+1$ sont des nombres positifs le signe de $\mathcal{A}'(a)$ est celui de $a(\text{e} - 1)$, d'où :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si $a = \dfrac{1}{\text{e} - 1}$, alors $\mathcal{A}'(a) = 0$ ;
\item[$\bullet~~$]si $a > \dfrac{1}{\text{e} - 1}$, alors $\mathcal{A}'(a) > 0$ ;
\item[$\bullet~~$]si $a < \dfrac{1}{\text{e} - 1}$, alors $\mathcal{A}'(a) < 0$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Conclusion : la fonction $\mathcal{A}$ est décroissante sur $\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e} - 1}\right[$, et croissante sur $\left]\dfrac{1}{\text{e} - 1}~;~+ \infty\right[$.

Elle a donc un minimum pour $a = \dfrac{1}{\text{e} - 1}$.
		\item %On veut découper dans le plan une bande verticale de largeur une unité de telle sorte que l'aire située dans cette bande entre les courbes $\mathcal{C}_{0}$ et (O$x$) soit minimale. Comment doit-on procéder ?
On reconnait $\mathcal{A}(a)$ car $\mathcal{C}_0 = g$.

Or le minimum de cette aire est obtenue pour $a = \dfrac{1}{\text{e} - 1}$. Or $a + 1 = \dfrac{1}{\text{e} - 1} + 1 = \dfrac{1 + \text{e} - 1}{\text{e} - 1} = \dfrac{\text{e}}{\text{e} - 1}$.

On découpe donc une bande limitée par les deux droites verticales d'équations 

$x = a = \dfrac{1}{\text{e} - 1}$ et $x = \dfrac{\text{e}}{\text{e} - 1}$. (voir plus bas)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center} \textbf{Annexe du problème}
    
\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.25cm,yunit=2.5mm}
\begin{pspicture}(0,-15)(8,30)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,-15)(8,30)

\uput[d](8,0){$x$} \uput[l](0,30){$y$}
\psplot[plotpoints=750]{0.04}{3.1}{1 x sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=750]{0.04}{5.4}{1 0.25 x mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=750]{0.04}{7.2}{1 0.15 x mul sub x div 2.71828 x exp mul}
\psplot[plotpoints=750]{0.035}{5.02}{ 2.71828 x exp  x  div}
\rput(1.6,-4){(3)} \rput(4.3,-4){(4)} \rput(4,4){(2)} \rput(4.4,26){(1)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=olive]{
\psplot[plotpoints=750]{0.581977}{1.581977}{ 2.71828 x exp  x  div}
\psline(1.581977,0)(0.581977,0)
} 
\uput[d](0.582,0){$\frac{1}{\text{e} - 1}$}
\uput[d](1.582,0){$\frac{\text{e}}{\text{e} - 1}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 