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%Tapuscrit et corrigé : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\rhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2002}} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S La Réunion  juin 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été 
%mélangées  60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées. 
%
%La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une 
%pièce truquée	est $\dfrac{3}{4}$.
%
%La probabilité d'apparition de \og PILE \fg{} lors d'un jet d'une 
%pièce équilibrée est $\dfrac{1}{2}$.
%
%On suppose que les différents lancers dont il sera question dans
% la suite sont indépendants les uns des autres.
% 
%La probabilité d'un évènement $A$ est notée $p(A)$. On désigne par
% $\overline{A}$ l'évènement contraire  de $A$.
% 
%La probabilité conditionnelle de $A$ sachant que l'évènement $B$ est
% réalisé est notée $p(A/B)$.
% 
%\emph{Les résultats  seront donnés sous forme de fractions
% irréductibles.} 

%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %On prend une pièce au hasard et on la lance : 

%soit $T$ l'évènement : \og la pièce est truquée \fg{},

%soit $P$ l'évènement : \og on obtient PILE\fg.
	\begin{enumerate} 
		\item ~%Calculer la probabilité d'obtenir \og Pile \fg{} (on pourra s'aider d'un arbre).
		\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$}\naput{$\frac{4}{10}$}}
	{\TR{$P$}\naput{$\frac{3}{4}$}
	\TR{$\overline{P}$}\nbput{$\frac{1}{4}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{T}$}\nbput{$\frac{6}{10}$}}
	{\TR{$P$}\naput{$\frac{1}{2}$}
	\TR{$\overline{P}$}\nbput{$\frac{1}{2}$}
	}
}
\end{center}

\medskip

$\bullet~~$$p(P \cap T) = p(T) \times p_T(P) = \frac{4}{10}\times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$ ;

$\bullet~~$$p\left(P \cap \overline{T}\right) = p\left(\overline{T}\right) \times p_{\overline{T}}(P) = \frac{6}{10}\times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$ ;

$\bullet~~$D'après la loi des probabilités totales : $p(P) = p(P \cap T) + p\left(P \cap \overline{T}\right) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6$.
		\item %Quelle est la probabilité que la  pièce soit truquée sachant que l'on a obtenu \og PILE \fg{} ?
Il faut trouver $p_P(T) = \dfrac{p(P \cap T)}{p(P)}$.
		
Donc $p_P(T) = \dfrac{p(P \cap T)}{p(P)} = \dfrac{\frac{3}{10}}{\frac{6}{10}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$.
	\end{enumerate}
\item %On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.

%\begin{itemize}
%\item  si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois \og Pile \fg{},
%on  décide d'éliminer la pièce,
%\item  dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
%\end{itemize}
%
%On note $E$ l'évènement  \og la pièce est éliminée \fg{}.
	\begin{enumerate} 
		\item %Quelle est la probabilité que la pièce soit  éliminée  sachant qu'elle est équilibrée ?
D'après la question précédente $p_{\overline{T}}(P) = \dfrac{1}{2}$, donc $p_{\overline{T}}(E) = \left(\dfrac{1}{2} \right)^4 = \dfrac{1}{16}$.
		

		\item %Quelle est  la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu'elle est truquée ?
On a de même : 
$p_{T}(P) = \dfrac{3}{4}$, donc $p_{\overline{T}}(E) = \left(\dfrac{3}{4} \right)^4 = \dfrac{81}{256}$		
Donc la probabilité de l'évènement contraire est  $p_T\left(\overline{E} \right) = 1 - \dfrac{81}{256} = \dfrac{256 - 81}{256} = \dfrac{175}{256} \approx 0,68$.
		\item %Quelle est la probabilité d'avoir pris une pièce équilibrée et  de l'avoir éliminée ou d'avoir pris une pièce truquée et de l'avoir  conservée ? 
Il faut trouver la probabilité des deux évènements incompatibles  $ \overline{T} \cap E$ et $T \cap \overline{E}$, soit 

$p\left(\overline{T} \cap E \right) + p\left(T \cap \overline{E} \right) = p\left(\overline{T}\right) \times p_{\overline{T}}(E) + p(T) \times p_T\left(\overline{E} \right) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{10} \times \dfrac{175}{256} = \dfrac{3}{80} + \dfrac{35}{128} = \dfrac{24}{640} + \dfrac{175}{640} = \dfrac{199}{640} \approx 0,32$ soit un peu moins d'une chance sur trois.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
%\Ouv{} (unité graphique : 1~cm).
%
%On considère l'application $f$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$
% d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z' = z^3 - 3z^2 + 3z$.
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %On considère les points B et C d'affixes respectives i et i$\sqrt{3}$.

%Calculer les affixes des points images de O, B et C par $f$. Placer les points B,  C et leurs images B$'$ et C$'$ sur une figure. L'application $f$conserve-t-elle  l'alignement ?
On a $z_{\text{O}'} = 0^3 - 3\times 0^2 + 3\times 0 = 0$. O est invariant par $f$.

$z_{\text{B}'} = \text{i}^3 - 3\times (\text{i})^2 + 3\text{i} = - \text{i} + 3 + 3\text{i} = 3 + 2\text{i}$ ;

$z_{\text{C}'} = \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^3 - 3\times \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2 + 3\text{i}\sqrt{3} = - 3\sqrt{3}\text{i} + 9 + 3\text{i}\sqrt{3} = 9$.

O, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés car il faudrait que l'affixe de B$'$ soit réelle : l'application $f$ ne conserve pas l'alignement. 
\item  %Montrer qu'un point $M$ d'affixe $z$ est invariant par $f$ si et seulement si $z$ vérifie l'équation
 
%\[z^3 - 3z^2  + 2z = 0.\]
$z = z^3 - 3z^2 + 3z \iff z^3 - 3z^2 + 2z = 0$

$z^3 - 3z^2 + 2z = 0 \iff z\left(z^2 - 3z + 2 \right) = 0$.

L'équation du second degré a deux racines évidentes : 1 et 2.

Il y a donc trois solutions : 0,\:1 et 2.

Le point O et les points d'affixe 1 et 2 sont invariants par $f$.

%En déduire que $f$ possède trois points invariants, dont on déterminera les affixes.
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item %Montrer pour tout $z$ de $\C$ l'égalité suivante :
		 
%\[ z' - 1 = (z - 1)^3. \] 
$z' = z^3 - 3z^2 + 3z \iff z' - 1 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1 \iff$

$ z' - 1 = z^3 - 3z^2 \times 1 - 3\times 1^2z - (- 1)^3) \iff z' - 1 = (z - 1)^3$.
		\item %Soit $z$ un nombre complexe différent de 1, on note $r$ le module de $z - 1$ et $\alpha$ un argument de $z - 1$. Exprimer le module $r'$ et un argument $\alpha'$ de $z'- 1$ en fonction de $r$ et de $\alpha$. 

%Soit A le point d'affixe 1, déduire des résultats précédents une relation entre la distance A$M'$ et la distance A$M$, et une relation entre une mesure de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right)$ etune mesure de l'angle  $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$. 
L'égalité $z' - 1 = (z - 1)^3$ entraîne en prenant les modules :

$\left|z' - 1 \right| = \left|(z - 1)^3 \right| \iff \left|z' - 1 \right| = \left(\|z - 1| \right)^3$ soit 
$r' = r^3$.

L'égalité $z' - 1 = (z - 1)^3$ entraîne en prenant les arguments  :

$\alpha' = 3\alpha$.

On a $r' = \text{A}M'$ et $r = \text{A}M$, donc  $r' = r^3 \iff \text{A}M' = \text{A}M^3$ ; de même $\alpha = \left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$ et $\alpha' = \left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right)$ et la relation $\alpha' = 3\alpha$ devient $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right) = 3\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M}\right)$. 
		\item %Montrer que si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A et
% de rayon $\sqrt{2}$, alors $M'$ appartient à un cercle $\Gamma '$ de même centre dont on déterminera le rayon.
Si $M$ appartient au cercle $\Gamma$ de centre A  de rayon $\sqrt{2}$, alors $r = \sqrt{2}$, donc $r' =  \left(\sqrt{2} \right)^3 = 2\sqrt{2} = \text{A}M'$ : ceci signifie que le point $M'$ appartient au cercle de centre A et de rayon $2\sqrt{2}$. 
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que, si $M$ appartient à une demi-droite ouverte D d'origine A passant par le point B, alors $M'$ appartient à une  demi-droite D$'$ que l'on déterminera. 

%Justifier l'appartenance du point B$'$ à $\Gamma '$ et à D$'$.

%Compléter la figure avec les différents éléments : $\Gamma,~\Gamma '$,~ D et D$'$.
Le triangle OAB est rectangle isocèle donc $\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{AB}} \right) = - \dfrac{\pi}{4}$.

Si $M$ appartient à la demi-droite ouverte D d'origine A passant par le point B, alors 
$\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M} \right) = \dfrac{3\pi}{4} + 2k\pi$, avec $k \in \Z$.

D'après la question précédente $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right) = 3\times \dfrac{3\pi}{4} + 6k\pi$ ou encore 

$\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right) =  \dfrac{9\pi}{4} + 6k\pi$ ou $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right) =  \dfrac{\pi}{4} + 2k'\pi$ avec $k' \in  \Z$.

Donc si $M$ appartient à la demi-droite ouverte D d'origine A passant par le point B; son image $M'$ appartient à la demi-droite d'origine A telle que $\left(\vect{u},~\vect{\text{A}M'}\right) =  \dfrac{\pi}{4} + 2k'\pi$ avec $k' \in  \Z$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(9.2,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-3)(9.2,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(1,0)(0,1)(0,1.732)(9,0)(3,2)%ABCC'B'
\uput[u](1,0){A}\uput[l](0,1){B}\uput[l](0,1.732){C}
\pscircle(1,0){1.414}\pscircle(1,0){2.828}\uput[u](9,0){C$'$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[l](3,2){B$'$}
\psline[linecolor=blue](-2,3)(1,0)\uput[r](-2,3){\blue D}
\psline[linecolor=red](1,0)(4,3)\uput[dr](4,3){\red D$'$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} 
%(unité graphique : 2~cm).
%
%\emph{On fera une figure que l'on complétera avec les différents
% éléments intervenant dans l'exercice.}

\begin{enumerate} 
\item %Dans cette question on considère l'application $s$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le  point $M'$ d'affixe $z'=  - \text{i}\overline{z}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que $s$ est une réflexion d'axe noté D et de vecteur  directeur $\vect{w}$ d'affixe 1 - i.
On a $|- \text{i}|= 1$ ; $s$ est donc un antidéplacement.

$M('z)$ est invariant par $s$ si et seulement si :

$z = - \text{i}\overline{z}$ (1).
Si $z = x + \text{i}y$, \: (1) devient :

$x + \text{i}y = - \text{i}(x - \text{i}y) \iff x + \text{i}y = - \text{i}x - y \iff x + y \text{i}(x + y) = 0 \iff$

$ (x + y)(1 + \text{i}) = 0 \iff x + y = 0$.

Les points doubles sont donc les points de la droite D d'équation $y = - x$ ; un vecteur directeur de cette droite est $\vect{w}$ d'affixe $1 - \text{i}$.

$s$ est donc la symétrie orthogonale d'axe la droite D.		
		\item %Soit D$'$ la droite d'équation $y = - 1$, on appelle $s'$ la réflexion d'axe D$'$. 

%Calculer une mesure de l'angle $\left(\vect{w},~\vect{u}\right)$.

%Déterminer géométriquement la composée $r =  s' ~\circ ~ s$.
Les droites D et D$'$ sont sécantes, donc la composée des deux réflexions est la rotation dont le centre est le point commun aux deux droites, et l'angle est le double de l'angle des vecteurs directeurs des deux axes de symétrie.

Le point commun à D et D$'$ est B d'affixe $1 - \text{i}$.

D et D$'$ ayant pour vecteurs directeurs $\vect{u}$ et $\vect{w}$, on a $\left(\vect{u},~\vect{w} \right) = \text{arg}(1 - \text{i}) = - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\quad (k \in \Z)$.

L'angle de la rotation est $2\left(\vect{w},~\vect{u} \right) = - 2 \times \left( - \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi\right) = \dfrac{\pi}{2} + 2k'\pi\quad k' \in \Z$.

La rotation $r$ est donc le quart-de-tour de centre B.
		\item %Déterminer l'écriture complexe de $r$.
Une rotation centrée au point d'affixe $\omega$ et d'angle $\alpha$ est définie par $z' - \omega = \text{e}^{\text{i}\alpha}(z - \omega)$.

Avec $\omega = 1 - \text{i}$ et $\alpha = \dfrac{\pi}{2}$ :

$z' - 1 + \text{i} = \text{e}^{\text{i}}(z - 1 + \text{i})$ ou  $z' - 1 + \text{i} = \text{i}(z - 1 + \text{i}) \iff z' = \text{i}z + 1 - \text{i} - \text{i} - 1\iff z' = \text{i}z - 2\text{i}$.
	\end{enumerate}
\item %Dans cette question un considère l'application $p$ du plan dans lui-même, qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z_1 = \dfrac{1}{2}z - \dfrac{1}{2}\text{i}\overline{z} = \dfrac{z + z'}{2}$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Soit le point A d'affixe $z = 2 + $~i,~ déterminer l'affixe du point A$_1$ image de A par $p$.
Soit $z_1$ l'affixe du point A$_1$ ;
		
$z_1 = \dfrac{1}{2}(2 + \text{i}) - \dfrac{1}{2}\text{i}(2 - \text{i}) = 1 + \dfrac{1}{2}\text{i} - \text{i} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}$.
		\item %Montrer que tout point $M$ a son image $M_1$ située sur la droite d'équation $y = - x$.
On a par définition : $z_1 = \dfrac{z + z'}{2}$ ; géométriquement ceci signifie que $M_1$ est le milieu du segment $[MM']$, c'est-dire sur l'axe de la réflexion $s$, autrement dit sur D qui a pour équation $y = - x$.
		\item %Définir géométriquement, en utilisant les questions précédentes, l'application $p$.
L'application $p$ qui a tout point $M$ fait correspondre le point $M_1$ est donc la projection orthogonale sur la droite D.
	\end{enumerate}
\item %On considère l'application $f$ définie par $f = s'~\circ~p$.

%Construire l'image A$'$ du point A par $f$.

%Montrer  que $s~\circ~ p = p$ et en déduire que $f= r~\circ~p$. Montrer	que, tout point $M$ du plan a son image par $f$ sur une droite $\Delta$, que  l'on déterminera.
Si  A$''$ est l'image du point A par $f$, A a pour image A$_1$ par $p$, qui a pour image par $r$ le point A$''$.

A$''$ est donc le symétrique de A$_1$ par rapport à la droite D$'$, donc l'affixe de A$''$ est égale à $\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$.

Soit $M$ un point quelconque du plan, son image par $p$ est $M_1$ qui appartient à D ; puis $M_1$ est invariant par $s$, donc $s \circ p = p$.

Il s'ensuit que $f = s' \circ p = s' \circ (s \circ p) = \left(s' \circ s\right) \circ p = r \circ p$.

$M$ a pour image par $p$ le point $M_1$ qui appartient à D, donc $f(M)$ appartient à $r(\text{D})$.

Or l'image d'une droite par une rotation est une droite.

Conclusion : l'image de $M$ par $f$ appartient à l'image $\Delta$ de D par $r$.

$\Delta$ est la droite contenant B et orthogonale à D. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

%On considère  la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par

\[ f(x) = \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{- x}}{2}.\]

%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction 
%$f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal 
%$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$ 
%(unité graphique  2 cm). 
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Étudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire comme propriété géométrique pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
Quel que soit $x \in \R$,\:$f(-x) = \dfrac{\text{e}^{-x} - \text{e}^{x}}{2} = - \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{- x}}{2} = - f(x)$ : la fonction $f$ est donc impaire et le point O est centre de symétrie pour la courbe $\mathcal{C}$. 
\item %Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ et les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{x} = + \infty$, d'où par somme de limites, 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x) = + \infty$.

$f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{- x}}{2} > 0$ car somme de deux termes supérieurs à zéro. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.

On a également $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = - \infty$.
\item ~%Représenter graphiquement la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-1.99)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{2}{2.71828 x exp 1 2.71828 x exp div sub 0.5 mul}
\uput[ur](1,0){A}\uput[ul](0.46,0.476){$M_0$}
\psline(1,0)(0.46,0.476)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

%On considère le point A du plan de coordonnées (1 ; 0) et on s'intéresse au minimum de la distance A$M$ où $M$ est un point de la courbe $\mathcal{C}$. 
\begin{enumerate} 
\item %$M$ étant un point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$, calculer en fonction de $x$ la distance A$M$.
Avec $M\left(x~;~\frac{\text{e}^x - \text{e}^{- x}}{2}\right)$, on a :

A$M^2 = (x - 1)^2 + \left(\frac{\text{e}^x - \text{e}^{- x}}{2}\right)^2 = \dfrac{4(x - 1)^2 + \left(\text{e}^x - \text{e}^{- x}\right)^2}{4}$.
\item %On considère maintenant la fonction $g$ définie  sur $\R$ par : 

\[g(x) = (x - 1)^2 + \dfrac{\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x} 
\right)^2}{2}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer $g'(x)$.
Quel que soit $x$, \: $g'(x) = 2(x - 1) + \dfrac{2\left(\text{e}^x + \text{e}^{- x}\right)\left(\text{e}^x - \text{e}^{- x} \right)}{4} = 2(x - 1) + \dfrac{\left(\text{e}^{2x} - \text{e}^{- 2x}\right)}{2}$.
		\item %On désigne par $g''$ la fonction dérivée seconde de $g$.  Calculer $g''(x)$.
Quel que soit $x$, \: $g''(x) = 2 + \dfrac{\left(2\text{e}^{2x} + 2\text{e}^{- 2x}\right)}{2}$
%Montrer que pour tout $x$ réel : 

\[g''(x) = \text{e}^{2x} + \text{e}^{- 2x} + 2.\]

		\item %En déduire les variations de $g'$ sur $\R$.
On a $g''(x) > 0$ car somme de trois termes supérieurs à zéro ; $g'$ est donc strictement croissante sur $\R$.		
		\item %Montrer qu'il existe un unique nombre réel $\alpha$ de l'intervalle [0 ; 1] vérifiant $g'(\alpha) = 0.$
On a $g'(0) = - 2  + \dfrac{1 - 1}{2} = - 2$ et $g'(1) = 0 + \dfrac{\text{e}^{2} - \text{e}^{2}}{2} \approx 3,6$.
		
Sur l'intervalle [0~;~1], $g'$ est continue car dérivable et $g'(0)\times g'(1) < 0$ : il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~1]$ tel que $g'(\alpha) = 0$.
%Vérifier l'inégalité suivante : $0,46 \leqslant \alpha \leqslant  0,47$.

On a $g'(0,46) \approx - 0,02$ et $g'(0,47) \approx 0,02$, ce qui montre que $0,46 < \alpha < 0,47$.
%Déterminer le signe de $g'(x)$ selon les valeurs de $x$.
$g'(\alpha) = 0$ et $g'$ est croissante sur $\R$, donc :

$\bullet~~$si $x < \alpha, \:g'(x) < 0$ ;

$\bullet~~$si $x > \alpha, \:g'(x) > 0$.
		\item %Déterminer les variations de la fonction $g$ sur $\R$ (on ne demande pas les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$). Quel est le minimum sur $\R$ de la fonction $g$ ? 
On déduit du résultat précédent que $g$ est décroissante sur $]- \infty~;~\alpha[$ et croissante sur $]\alpha~;~+ \infty[$, $g(\alpha)$ étant le minimum de la fonction sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item %Établir que la distance A$M$ est minimum au point $M_{\alpha}$ d'abscisse $\alpha$ de la courbe $\mathcal{C}$.

%Placer le point $M_{\alpha}$ sur le graphique.
On a A$M = d(x) = \sqrt{g(x)}$ ; comme A n'est pas un point de  $\mathcal{C}$, \: $d(x) > 0$ et $g(x) > 0$.

La fonction $d$ est dérivable sur $\R$ puisque la fonction $g$ l'est aussi et sur $\R$ :

$d'(x) = \dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. 

Comme $\sqrt{g(x)} > 0$, le signe de $d'(x)$ est celui de $g'(x)$ vu au-dessus.

Donc $d$ est décroissante sur $]- \infty~;~\alpha[$ et croissante sur $]\alpha~;~+ \infty[$, avec donc un minimum en $\alpha \approx 0,46$.

Les coordonnées de $M_0$ sont à peu près (0,46~;~0,48).
\item %En utilisant la définition de $\alpha$, montrer les  égalités :

%\[ \alpha - 1 = - \dfrac{1}{2} f(2\alpha) \] 

%puis :

%\[ g(\alpha) = \dfrac{1}{4}\left[f(2\alpha)\right]^2 +  \left[f(\alpha)\right]^2. \]

%Utiliser les variations de $f$ et le résultat suivant,~ $0,46 \leqslant
%\alpha \leqslant 0,47$ pour encadrer $g(\alpha)$ ;  en  déduire un encadrement de la distance  A$M_{\alpha}$ d'amplitude $2.10^{- 2}$.
On a donc $g'(\alpha) = 0 \iff 2(\alpha - 1) + \dfrac{\text{e}^{2\alpha} - \text{e}^{-2\alpha}}{2} \iff \alpha - 1 = - \dfrac{\text{e}^{2\alpha} - \text{e}^{-2\alpha}}{4} \iff \alpha - 1 = - \dfrac{1}{2}f(2\alpha)$.

D'où $g(\alpha) = (\alpha - 1)^2 + \dfrac{\left(\text{e}^{\alpha} - \text{e}^{-\alpha}\right)^2}{4} = \left[- \dfrac{1}{2}f(2\alpha) \right]^2 + [f(\alpha)]^2  =  \dfrac{1}{4}[f(2\alpha)]^2 + [f(\alpha)]^2$.

Par croissance de la fonction $f$ :

$0,46 < \alpha < 0,47 \Rightarrow f(0,46) < f(\alpha) < f(0,47)$, puis par croissance de la fonction $x \longmapsto x^2$ sur $\R^{+}$, 

$[f(0,46)]^2 < [f(\alpha)]^2 < [f(0,47)]^2$(1).

De façon analogue on obtient :

$0,92 < 2\alpha < 0,94 \Rightarrow [f(0,92)]^2 < [f(2\alpha)]^2 < [f(0,94)]^2$ (2).

Par somme les encadrements (1) et (2), donnent car $\dfrac{1}{4} > 0$, 

$\dfrac{1}{4}[f(0,92)]^2 + [f(0,46)]^2 < \dfrac{1}{4}[f(2\alpha)]^2 + [f(\alpha)]^2 < \dfrac{1}{4}[f(0,94)]^2 + [f(0,47)]^2$ soit $0,505 < g(\alpha) < 0,532$ et enfin $0,71 < \text{A}M_0 < 0,73$.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}

%Soit $n$ un entier naturel non nul,  on considère la fonction $f_n$ définie sur $\R$ par
\[f_n (x) = \dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}} - \text{e}^{-\frac{x}{n}}}{2}.\]

%On appelle $\mathcal{C}_n$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal \Ouv.
 
%On donne ci-dessous les représentations graphiques des fonctions $f_2,\:f_3,\f_4,\:f_5$,\: et $f_6$ soit respectivement les courbes $\mathcal{C}_2,
%~ \mathcal{C}_3,~ \mathcal{C}_4,~\mathcal{C}_5$ et $\mathcal{C}_6$ obtenues à l'aide d'un  logiciel. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Calculer l'intégrale $I_1 = \displaystyle\int_0^1  f_1\: \text{d}x$.
$I_1 = \displaystyle\int_0^1  f_1\: \text{d}x = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2} = \left[\dfrac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{\text{e} + \text{e}^{-1} - 2}{2}$.
\item %On considère pour $n$ entier naturel non nul l'intégrale $I_n = \int_0^1  f_n\: \text{d}x$.

%Interpréter géométriquement $I_n$.
Pour $x \in [0~;~1]$, on a successivement :

$x \geqslant - x \Rightarrow \dfrac{x}{n} \geqslant - \dfrac{x}{n} \Rightarrow \text{e}^{\frac{x}{n}} \geqslant \text{e}^{-\frac{x}{n}} \Rightarrow \text{e}^{\frac{x}{n}} -   \text{e}^{-\frac{x}{n}}\geqslant 0$ : la fonction $f_n$ est donc positive sur [0~;~1] et par conséquent l'intégrale $I_n$ est en unité d'aire, l'aire de la surface limitée par $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$.
%Calculer pour $n$ entier naturel quelconque, $I_n$ en fonction de $n$.

$I_n =  \displaystyle\int_0^1 \left(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}} -   \text{e}^{-\frac{x}{n}}}{2} \right)\:\text{d}x = \left[\dfrac{n\text{e}^{\frac{x}{n}} + n\text{e}^{-\frac{x}{n}}}{2} \right]_0^1 = \dfrac{n\text{e}^{\frac{1}{n}} + n\text{e}^{-\frac{1}{n}} - 2n}{2}$.
\item %Que peut-on conjecturer sur la convergence de la  suite  $(I_n)$ ? 
$\bullet~~$$n\text{e}^{\frac{1}{n}} = \dfrac{\text{e}^{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}$ ; 

$\bullet~~$$n\text{e}^{-\frac{1}{n}} = - \dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{n}}}{-\frac{1}{n}}$.

Donc $\bullet~~$$I_n = \dfrac{1}{2}\left(n\text{e}^{\frac{1}{n}} - n  + \text{e}^{-\frac{1}{n}} - n \right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}} - \dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{n}} - 1}{-\frac{1}{n}}\right)$.

En posant $\epsilon = \dfrac{1}{n}$, on a donc $I_n = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\text{e}^{\epsilon} - 1}{\epsilon} -  \dfrac{\text{e}^{-\epsilon} - 1}{-\epsilon}\right)$.

Quand $n$ tend vers plus l'infini, $\epsilon$ tend vers zéro.

Or $\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\text{e}^{\epsilon} - 1}{\epsilon} = \displaystyle\lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\text{e}^{\epsilon} - \text{e}^{0}}{\epsilon - 0}$ : par définition cette limite est égale au nombre  dérivé de $\text{e}^x$ en zéro soit $\text{e}^0 = 1$.

De même $\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0} \dfrac{\text{e}^{-\epsilon} - 1}{-\epsilon} = 1$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_n = 0$.
%Montrer que $I_n = \dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{\text{e}^{\frac{1}{n}} - 1}{\left( \dfrac{1}{n}\right)} - \dfrac{\text{e}^{- \frac{1}{n}} - 1}{\left(- \dfrac{1}{n}\right)} \right]$  et en déduire la limite de la suite $(I_n)$ en $+ \infty$.

\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{xunit=8cm,yunit=16cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(1,0.6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1,0.6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.1](0,0)(0,0)(1,0.6)
%\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(1,0)
%\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,.6)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{0.5 2.71828 x 2 div exp 2.71828 x 2 div neg exp sub mul}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{0.5 2.71828 x 3 div exp 2.71828 x 3 div neg exp sub mul}
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%\rput(1,0.15){$\mathcal{C}_{6}$} \rput(1,0.18){$\mathcal{C}_{5}$} 
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%\rput(1,0.5){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[dl](0,0){O}
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%\multido{\n=0.00+0.05}{13}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(1,\n)}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}
