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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1 - corrigé}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{28 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat LA RÉUNION - 28 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit. 

\begin{itemize}
\item L'entreprise appelle chaque personne une première fois:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6 ;
\item[$\bullet~~$]si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,3.
\end{itemize}
\item Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel: 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,3$ ;
\item[$\bullet~~$]si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,2.
\end{itemize}
\item Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.
\end{itemize}

\medskip

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants : 

\begin{description}
\item[ ] $D_1$ : \og la personne décroche au premier appel\fg{} ;
\item[ ] $D_2$ : \og la personne décroche au deuxième appel\fg{} ;
\item[ ] $A$ : \og la personne achète le produit \fg.
\end{description}

%\begin{center}\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item On  complète l'arbre pondéré.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D_1$~}\taput{\blue$0,4$}}
	{\TR{$A$}\taput{$0,3$}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\blue$0,7$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{D_1}$~}\tbput{$0,6$}}
	{\pstree{\TR{$D_{2}$}\taput{\blue$0,7$}}
		{\TR{$A$}\taput{\blue$0,2$}
		\TR{$\overline{A}$}\tbput{\blue$0,8$}
		}
	\TR{$\overline{D_{2}}$}\tbput{\blue$0,3$}
		}
}
\end{center}


\item En utilisant les propriétés de l'arbre pondéré, on a: 

$P(A) = P\left (D_{1}\cap A\right ) + P\left (\overline{D_{1}} \cap D_{2} \cap A\right )= 0,4\times 0,3 + 0,6 \times 0,7 \times 0,2 = 0,204$

\item On sait que la personne a acheté le produit.

La probabilité qu'elle ait décroché au premier appel est:

$P_{A}\left (D_{1}\right )
= \dfrac{P\left ( D_{1} \cap A\right )}{P(A)}
= \dfrac{0,4\times 0,3}{0,204}
\approx 0,588$

\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,204$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un échantillon aléatoire de $30$ personnes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l'échantillon qui achètent le produit.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que X suit une loi binomiale; ses paramètres sont $n=30$ et $p=0,204$.
		
		\item La probabilité qu'exactement 6 personnes de l'échantillon achètent le produit est:
		
$P(X=6)= \ds\binom{30}{6}\times 0,204^{6}\times \left (1-0,204\right )^{30-6}
\approx 0,179$
		
		
%		 Arrondir le résultat au millième.
		\item %Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter le résultat.
L'espérance de la variable aléatoire $X$ est $E(X)=np = 30\times 0,204 = 6,12$.

Donc pour chaque échantillon de 30 personnes, il y en a en moyenne $6,12$ qui achètent le produit.

	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère désormais un échantillon de $n$ personnes. 

La plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l'échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0,99$ est le plus petit entier naturel $n$ tel que $P(X\geqslant 1) \geqslant 0,99$. On résout cette inéquation.

$P(X\geqslant 1) \geqslant 0,99
\iff 1-P(X=0) \geqslant 0,99
\iff 0,01 \geqslant P(X=0)\\
\phantom{P(X\geqslant 1) \geqslant 0,99}
\iff 0,01 \geqslant \ds\binom{n}{0}\times  0,204^0 \times (1-0,204)^n
\iff 0,01\geqslant 0,796^n\\
\phantom{P(X\geqslant 1) \geqslant 0,99}
\iff \ln(0,01) \geqslant \ln\left (0,796^n\right )
\iff \ln(0,01) \geqslant n\ln(0,796)
\iff \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \leqslant n$

Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)}\approx 20,2$ donc la valeur de $n$ cherchée est 21.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par: $f(x) = 3x + 1 - 2x \ln (x)$.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0~;~+\infty[$. 
On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche les limites de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} x\ln(x)=0$ donc $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} \left (3x+1 -2x\ln(x)\right )=1$ et donc $\ds\lim_{x\to 0 \atop x>0} f(x)=1$.
\item $f(x)=x\left ( 3-2\ln(x)\right ) +1$.

$\ds\lim_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \left (3-2\ln(x)\right )=-\infty$.

On en déduit que $\ds\lim_{x\to +\infty} x\left (3-2\ln(x)\right )=-\infty$ et donc que $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
\end{list}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item % Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $f'(x) = 1- 2\ln (x)$.
Sur $]0~;~+\infty[$, $f'(x)=	3+0-2\times\ln(x) -2x\times \dfrac{1}{x}=3-2\ln(x)-2 = 1-2\ln(x)$.
		
		\item On étudier le signe de $f'$  sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		
%On fera figurer dans ce tableau les limites ainsi que la valeur exacte de l'extremum.

$f'(x)>0 \iff 1-2\ln(x)>0 \iff \dfrac{1}{2}>\ln(x) \iff x<\e^{\frac{1}{2}}$

$f\left (\e^{\frac{1}{2}}\right ) = 3 \e^{\frac{1}{2}} +1 -2 \e^{\frac{1}{2}} \times \ln\left (\e^{\frac{1}{2}}\right ) = 3 \e^{\frac{1}{2}} +1 -2 \e^{\frac{1}{2}} \times \dfrac{1}{2} =
3 \e^{\frac{1}{2}} +1 -  \e^{\frac{1}{2}} = 2  \e^{\frac{1}{2}} +1 \approx 4,3$.

On en déduit le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{0.8cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*6{c}|}
\hline
x & 0  & \esp \esp & \e^{\frac{1}{2}} & \esp &  & \esp & +\infty \\ 
\hline
\text{ Signe de $f'$ } & \vline\;\vline  &   \pmb{+}   &   \vline\hspace{-2.7pt}0 &  & \pmb{-} &  &\\ 
\hline
 &\vline\;\vline  & & \Rnode{max}{2\e^{\frac{1}{2}}+1} &&  &   &     \\  
\text{ Variations de $f$ } & \vline\;\vline  && & &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline  ~\Rnode{min1}{1}&   &  &  &   & &  \Rnode{min2}{-\infty}  \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max}   \ncline{->}{max}{min2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}
	\end{enumerate}	

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $]0~;~+\infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.
Le maximum de la fonction $f$ vaut $2 \e^{\frac{1}{2}} +1>0$; on complète le tableau des variations de $f$.
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{0.8cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*6{c}|}
\hline
x & 0  & \esp \esp & \e^{\frac{1}{2}} & \esp & \Rnode{alpha}{\blue\alpha} & \esp & +\infty \\ 
\hline
%\text{ Signe de $f'$ } & \vline\;\vline  &   \pmb{+}   &   \vline\hspace{-2.7pt}0 &  & \pmb{-} &  &\\ 
%\hline
 &\vline\;\vline  & & \Rnode{max}{2\e^{\frac{1}{2}}+1} &&  &     &   \\  
\text{ Variations de $f$ } & \vline\;\vline  && & &\Rnode{zero1}{\blue{}0}   &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline  ~\Rnode{min1}{1}&   &  &  &   & &  \Rnode{min2}{-\infty}  \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
  \ncline{max}{zero1}  \ncline{->}{zero1}{min2}
  \ncline[linecolor=blue,linestyle=dashed]{zero1}{alpha}
%    \ncline[linecolor=red,linestyle=dashed]{zero2}{beta}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

La fonction $f$ est dérivable sur $\left ] 0\;;\;+\infty\right [$ donc continue sur cet intervalle.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Sur l'intervalle $\left ] -\infty~,~\e^{\frac{1}{2}}\right [$, la fonction $f$ est strictement positive donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution.
\item Sur l'intervalle $\left ] \e^{\frac{1}{2}}\;;\;+\infty\right [$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante; elle passe d'une valeur positive à une valeur négative donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur cet intervalle. On l'appelle $\alpha$.
\end{list}

On en déduit que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0\;;\;+\infty[$, et que cette solution appartient à l'intervalle $\left ] \e^{\frac{1}{2}}\;;\;+\infty\right [$.
		
		\item Le signe de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est donné par le tableau:
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{0.8cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*6{c}|}
\hline
x & 0  & \esp \esp & \e^{\frac{1}{2}} & \esp & \Rnode{alpha}{\blue\alpha} & \esp & +\infty \\ 
\hline
%\text{ Signe de $f'$ } & \vline\;\vline  &   \pmb{+}   &   \vline\hspace{-2.7pt}0 &  & \pmb{-} &  &\\ 
%\hline
 &\vline\;\vline  & & \Rnode{max}{2\e^{\frac{1}{2}}+1} &&  &     &   \\  
\text{ Variations de $f$ } & \vline\;\vline  && & &\Rnode{zero1}{\blue{}0}   &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline  ~\Rnode{min1}{1}&   &  &  &   & &  \Rnode{min2}{-\infty}  \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
  \ncline{max}{zero1}  \ncline{->}{zero1}{min2}
  \ncline[linecolor=blue,linestyle=dashed]{zero1}{alpha}
%    \ncline[linecolor=red,linestyle=dashed]{zero2}{beta}
 \\ 
 \hline
\text{ Signe de $f$ } & \vline\;\vline &  &   \pmb{+} & & \vline\hspace{-2.7pt}0 &  \pmb{-}  &\\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

Donc $f(x)>0$ sur $]0\;;\;\alpha[$, $f(\alpha)=0$ et $f(x)<0$ sur $]\alpha\;;\;+\infty[$.
		
		
	\end{enumerate}	
\item On considère une primitive quelconque de la fonction $f$ sur
l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On la note $F$.

%Peut-on affirmer que la fonction $F$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\e^{\frac12}~;~+ \infty\right[$ ? Justifier.

La fonction $F$ a pour dérivée la fonction $f$ qui est positive sur $\left[\e^{\frac12}~;~\alpha\right[$; donc $F$ est croissante sur cet intervalle, ce qui contredit l'affirmation proposée.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$, on calcule la dérivée seconde $f''$:
		
$f''(x)=0-2\times \dfrac{1}{x}=-\dfrac{2}{x}<0$ sur $]0~;~+\infty[$; on en déduit que la fonction $f$ est concave sur $]0~;~+\infty[$ et que sur cet intervalle,  la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au dessous des ses tangentes.
		\item Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.

$T$ a pour équation $y=f'(1)\left (x-1\right ) + f(1)$.

~~\textbullet~~$f(x)=3x+1-2x\ln(x)$ donc $f(1)=3\times 1 +1 -2\times 1 \times \ln(1)=4$

~~\textbullet~~$f'(x)=1-2\ln(x)$ donc $f'(1)=1-2\times\ln(1)=1$

Donc $T$ a pour équation $y=1\left (x-1\right ) +4$ soit $y=x+3$.
		
		\item %Déduire des questions 5. a et 5 .b que pour tout réel $x$ strictement positif: \[\ln (x) \geqslant  1 - \dfrac 1x.\].
La courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de ses tangentes donc de la tangente $T$ et donc, pour tout $x$ de $]0\;;\;+\infty[$, on a $f(x)\leqslant x+3$.

$f(x)\leqslant x+3
\iff 3x+1-2x\ln(x) \leqslant x+3
\iff 2x-2 \leqslant 2x\ln(x)
\iff \dfrac{2x}{2x} - \dfrac{2}{2x} \leqslant \ln(x)\\
\phantom{f(x)\leqslant x+3}
\iff 1-\dfrac{1}{x} \leqslant \ln(x)$

Donc, pour tout  $x$ de $]0\;;\;+\infty[$, on a: $\ln(x)\geqslant 1-\dfrac{1}{x}$.
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout $n$ de $\N$:,
$u_{n+1} = \dfrac12u_n + \dfrac12n + 1$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%\emph{Cette partie est un questionnaire à choix multiples.\\ Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\Aucune justification n'est demandée.\\Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $u_2$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{11}{4}$& \textbf{b.~~} $\dfrac{13}{2}$\\[7pt]
\textbf{c.~~} 3,5&\textbf{d.~~}2,7
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$u_1=u_{0+1} = \dfrac{1}{2}u_0 + \dfrac{1}{2}\times 0 +1 
= \dfrac{5}{2}$\\[7pt]
$u_2=u_{1+1} = \dfrac{1}{2}u_1 + \dfrac{1}{2}\times 1 +1 
= \dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{2} +1
= \dfrac{5}{4}+ \dfrac{2}{4} + \dfrac{4}{4}
= \dfrac{11}{4}$
\hfill\textbf{Réponse a.}
\end{tabular}

\medskip

\item La suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} arithmétique de raison $\dfrac12$&\textbf{b.~~} géométrique de raison $\dfrac12$\\
\textbf{c.~~}  constante. &\textbf{d.~~}  ni arithmétique, ni géométrique.
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1-n-1 = \dfrac{1}{2}u_n -\dfrac{1}{2}n = \dfrac{1}{2}\left (u_n-n\right )=\dfrac{1}{2}v_n$\\[7pt]
Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
$n$ désigne un entier naturel non nul. 

On rappelle qu'en langage Python
\og i in range (n)\fg{} signifie que i varie de 0 à $n-1$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
1&def terme (n)\\
2&\qquad U=3\\
3&\qquad for i in range(n): \\
4& \dotfill \\
5&\qquad return U\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

Pour que terme (n) renvoie la valeur de $u_n$, on peut compléter la ligne 4 par : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}U = U/2 + (i$+$1)/2+1	&\textbf{b.~~} U = U/2 + n/2 + 1\\
\textbf{c.~~}U = U/2 + (i$-$1)/2+1 	&\textbf{d.~~} U = U/2 + i/2 + 1
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
Pour $i=0$, il faut calculer $u_1$; la seule formule valable est: U = U/2 + i/2 + 1.
\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On va démontrer par récurrence pour tout entier naturel $n$ la propriété $\mathcal{P}_n$: $n \leqslant u_n \leqslant n + 3$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=0$, on a $u_0=3$ donc $0\leqslant u_0 \leqslant 0+3$.\\
La propriété est vraie au rang 0.
\item \textbf{Hérédité}

Supposons la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $n \leqslant u_n \leqslant n + 3$; c'est l'hypothèse de récurrence.

$n \leqslant u_n \leqslant n + 3
\iff \dfrac{1}{2}n \leqslant \dfrac{1}{2} u_n \leqslant \dfrac{1}{2}n + \dfrac{3}{2}
\iff \dfrac{1}{2}n +\dfrac{1}{2}n\leqslant \dfrac{1}{2} u_n + \dfrac{1}{2}n\leqslant \dfrac{1}{2}n + \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}n\\[7pt]
\phantom{n \leqslant u_n \leqslant n + 3}
\iff n\leqslant \dfrac{1}{2} u_n +\dfrac{1}{2}n\leqslant n + \dfrac{3}{2}
\iff n+1 \leqslant \dfrac{1}{2} u_n \dfrac{1}{2}n +1\leqslant n + \dfrac{3}{2}+1\\[7pt]
\phantom{n \leqslant u_n \leqslant n + 3}
\iff n+1 \leqslant u_{n+1}\leqslant n + \dfrac{5}{2}$

Or $\dfrac{5}{2}\leqslant 4$, donc on a: $n+1 \leqslant u_{n+1} \leqslant (n+1)+3$.

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 0, elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 0$, donc, d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, on a: $n\leqslant u_n \leqslant n+3$.

\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\ds\lim_{n\to +\infty}n = +\infty$; or pour tout $n$, on a $n\leqslant u_n$. On en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)$.
Pour tout $n$, on a $n \leqslant u_n \leqslant n+3$ donc, pour tout $n$ non nul, on a 
$1 \leqslant \dfrac{u_n}{n} \leqslant 1+\dfrac{3}{n}$.

$\ds\lim_{n\to +\infty} \dfrac{3}{n}=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 1+\dfrac{3}{n}=1$, et $\ds\lim_{n\to +\infty} 1=1$.

Donc, d'après le théorème des gendarmes, on peut dire que la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)_{n\in\N^*}$ converge vers 1.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous tel que AB $= 1$.

On note M le centre de la face BCGF et N le centre de la face EFGH.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.6)
\psframe(0.3,0.3)(4,4)%HGFE
\psline(4,0.3)(5.7,1.4)(5.7,5.1)(4,4)%GCBF
\psline(5.7,5.1)(2,5.1)(0.3,4)%BAE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,1.4)(2,5.1)%HDA
\psline[linestyle=dashed](2,1.4)(5.7,1.4)%DC
\uput[u](2,5.1){A} \uput[u](5.7,5.1){B} \uput[r](5.7,1.4){C} \uput[dr](2,1.4){D}
\uput[l](0.3,4){E} \uput[u](4,4){F} \uput[dr](4,0.3){G} \uput[dl](0.3,0.3){H}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{D}~;~ \vect{\text{DH}},~\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DA}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner sans justifier les coordonnées des points F et C.
On a: F\;$\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ et C\;$\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}$

\item %Calculer les coordonnées des points M et N.
Le point M est le centre de la face BCGF donc c'est le milieu de [CF]; il a donc pour coordonnées la demi-somme des coordonnées de C et de F:

M a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix} 
\frac{x_{\text C} + x_{\text F}}{2} \\  
\frac{y_{\text C} + y_{\text F}}{2}\\  
\frac{z_{\text C} + z_{\text F}}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
\frac{0+1}{2} \\  
\frac{1+1}{2}\\  
\frac{0+1}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
\frac{1}{2} \\  
1\\  
\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$

Le point N est le centre de la face EFGH donc c'est le milieu de [FH]; il a donc pour coordonnées la demi-somme des coordonnées de F et de H:

N a pour coordonnées 
$\begin{pmatrix} 
\frac{x_{\text F} + x_{\text H}}{2} \\  
\frac{y_{\text F} + y_{\text H}}{2}\\  
\frac{z_{\text F} + z_{\text H}}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
\frac{1+1}{2} \\  
\frac{1+0}{2}\\  
\frac{1+0}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
1 \\  
\frac{1}{2}\\  
\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le vecteur $\vect{\text{AG}}$ est normal au plan (HFC).
Le plan (HFC) a pour vecteurs directeurs $\vectt{HF}$ et $\vectt{CF}$ car les points H, F et C ne sont pas alignés.		

$\vectt{HF}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1-1\\1-0\\1-0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\1\\1
\end{pmatrix}$
et
$\vectt{CF}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1-0\\1-1\\1-0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\0\\1
\end{pmatrix}$
		
$\vectt{AG}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1-0\\1-0\\0-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}$		
	
$\vectt{AG}\cdot\vectt{HF}=1\times 0 + 1\times 1 + (-1)\times 1 = 0$
donc $\vectt{AG}\perp\vectt{HF}$
		
$\vectt{AG}\cdot\vectt{CF}=1\times 1 + 1\times 0 + (-1)\times 1 = 0$
donc $\vectt{AG}\perp\vectt{CF}$		

Le vecteur $\vectt{AG}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (HFC) donc c'est un vecteur normal à ce plan.
		
		\item %En déduire une équation cartésienne du plan (HFC).
Le plan (HFC) passe par le point F et a pour vecteur normal $\vectt{AG}$, c'est donc l'ensemble des points X de coordonnées $(x\;,\;y\;,\;z)$ tels que 
$\vectt{FX}\perp\vectt{AG}$.		
		
$\vectt{FX}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
x-1\\y-1\\z-1
\end{pmatrix}$
et $\vectt{AG}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}$

$\vectt{FX}\perp\vectt{AG}
\iff \vectt{FX}\cdot\vectt{AG}=0
\iff (x-1)\times 1 + (y-1)\times 1 + (z-1)\times(-1)=0\\
\phantom{\vectt{FX}\perp\vectt{AG}}
\iff x-1+y-1-z+1=0
\iff x+y-z-1=0$

Le plan (HFC) a donc pour équation cartésienne: $x+y-z-1=0$.

	\end{enumerate}
\item La droite (AG) a pour vecteur directeur $\vectt{AG}\;\left (1\;,\;1\;,\;-1 \right )$ et passe par le point A de coordonnées $\left ( 0\;,\;0\;,\;1\right )$; elle a donc pour représentation paramétrique:

$\left \{
\begin{array}{l !{=} r l}
x & x_{\text A} + 1\times t\\
y & y_{\text A} + 1 \times t & t\in\R\\
z & z_{\text A} + (-1)\times t
\end{array}
\right .$
soit
$\left \{
\begin{array}{l !{=} r l}
x &  t\\
y &  t & t\in\R\\
z & 1- t
\end{array}
\right .$

\item %Démontrer que le point R de coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac23;~\dfrac13\right)$ est le projeté orthogonal du point G sur le plan (HFC).
Soit R le projeté orthogonal de G sur le plan (HFC). donc R appartient au plan (HFC).

De plus, comme la droite (AG) est orthogonale au plan (HFC), le point R appartient à la droite (AG).

Les coordonnées de R vérifient donc le système:
$\left \{
\begin{array}{l !{=} r}
x &  t\\
y &  t \\
z & 1- t\\
x+y-z-1 & 0
\end{array}
\right .$

On a donc $t+t-(1-t)-1=0$ donc $3t=2$ donc $t=\dfrac{2}{3}$.

Donc R a pour coordonnées $x_{\text R}=t=\dfrac{2}{3}$, $y_{\text R}=t=\dfrac{2}{3}$, $z_{\text R}=1-t=\dfrac{1}{3}$, soit $\left (\dfrac{2}{3}~,~\dfrac{2}{3}~,~\dfrac{1}{3}\right )$.
\item Une représentation paramétrique de la droite (FG) est:
$\left\{\begin{array}{l !{=} l l}
x&1\\
y&1 & t\in\R\\ 
z&t
\end{array}\right.$.

On cherche un point K sur la droite (FG) tel que le triangle KMN soit rectangle en K.

K est un point de (FG) donc ses coordonnées sont de la forme $\left (1~,~1~,~t\right )$.

De plus, le triangle KMN est rectangle en K donc $\vectt{MK}\perp\vectt{NK}$ donc $\vectt{MK}\cdot\vectt{NK}=0$.

$\vectt{MK}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1-\frac{1}{2}\\1-1\\t-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}\\0\\t-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$
et
$\vectt{NK}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
1-1\\1-\frac{1}{2}\\t-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\\frac{1}{2}\\t-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}$

$\vectt{MK}\cdot\vectt{NK}=0
\iff \dfrac{1}{2}\times 0 + 0\times \dfrac{1}{2} + \left (t-\dfrac{1}{2}\right )\times \left (t-\dfrac{1}{2}\right ) = 0
\iff \left (t-\dfrac{1}{2}\right )^2=0
\iff t=\dfrac{1}{2}$

Le point K a donc pour coordonnées $\left (1~,~1~,~\dfrac{1}{2} \right )$.

\item %Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKM représente-t-il ?
Le tétraèdre FNKM a pour hauteur [FK] et pour base le triangle KMN.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item F a pour coordonnées $\left (1~,~1~,~1\right )$ et K a pour coordonnées $\left (1~,~1~,~\dfrac{1}{2} \right )$; donc $\text{FK}=\dfrac{1}{2}$.

\item L'aire du triangle rectangle KMN est $\dfrac{\text{KM}\times\text{KN}}{2}$.

\begin{list}{$\circ$}{}
\item M\;$\left (\dfrac{1}{2}~,~1~,~\dfrac{1}{2} \right )$ et K\;$\left (1~,~1~,~\dfrac{1}{2} \right )$ donc $\text{KM}=\dfrac{1}{2}$
\item N\;$\left (1~,~\dfrac{1}{2}~,~\dfrac{1}{2} \right )$ et K\;$\left (1~,~1~,~\dfrac{1}{2} \right )$ donc $\text{KN}=\dfrac{1}{2}$
\end{list}

L'aire du triangle KMN est donc $\dfrac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{8}$.

\item Le volume d'un tétraèdre  est, en unité de volume: 
$\dfrac{\text{aire de la base}\times\text{hauteur}}{3}$.

Le volume du tétraèdre FNKM est donc:
$\dfrac{\left (\text{aire de KMN}\right )\times\text{FK}}{3}
= \dfrac{\frac{1}{8}\times\frac{1}{2}}{3} = \dfrac{1}{48}$.
\end{list}

Le volume du cube est 1, celle du tétraèdre FNKM est $\dfrac{1}{48}$ donc le volume du tétraèdre représente un quarante-huitième du volume du cube.

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5.6)
\psframe(0.3,0.3)(4,4)%HGFE
\psline(4,0.3)(5.7,1.4)(5.7,5.1)(4,4)%GCBF
\psline(5.7,5.1)(2,5.1)(0.3,4)%BAE
\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,1.4)(2,5.1)%HDA
\psline[linestyle=dashed](2,1.4)(5.7,1.4)%DC
\uput[u](2,5.1){A} \uput[u](5.7,5.1){B} \uput[r](5.7,1.4){C} \uput[dr](2,1.4){D}
\uput[l](0.3,4){E} \uput[u](4,4){F} \uput[dr](4,0.3){G} \uput[dl](0.3,0.3){H}
%%%
\psset{linecolor=blue,linewidth=1.3pt}
\psdots(4.85,2.7)(4,2.15)(2.15,2.15) %%% M, K et N
\uput[dr](4.85,2.7){\blue{}M} \uput[dr](4,2.15){\blue{}K} \uput[l](2.15,2.15){\blue{}N}
\psline(4,4)(4.85,2.7)(4,2.15)(4,4)(2.15,2.15)(4,2.15)%% FMKFNK
\psline[linestyle=dashed](4.85,2.7)(2.15,2.15)
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}