\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}

\usepackage [alwaysadjust]{paralist}
\setdefaultenum {\bf 1.}{\bf a)}{}{}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{29 mai 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{ \Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Liban ~\decofourright\\29  mai 2012}}
\end{center}

\bigskip 

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Pour chaque question, indiquer par a), b), c) l'unique bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\
%Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.}
%
%\medskip
%
%On considère la représentation graphique ci-dessous d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$ telle que :
%\begin{itemize}
%	\item[$\bullet~~$] $f$ s'annule en $0,5$.
%	\item[$\bullet~~$] La courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $-2$ et une tangente  horizontale au point d'abscisse $2$.
%\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=.5cm}
\begin{pspicture}(-11,-7)(11,3)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{(-x^2+8*x-4)/(x^2+4)}
\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-11,-7)(11,3)
\psset{unit=1cm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.5,-3.5)(5.5,1.5)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[dl](5.5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,1.5){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{\f}
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(1.1,1)(2.9,1) 
\psline[linecolor=prune,linewidth=1pt]{<->}(-2.9,-3)(-1.1,-3) 
\psdots[dotstyle=*, linecolor=bleu,dotscale=.8](-5,-2.379)(-2,-3)(2,1)(5,.379)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{1}{3}{\f}
\psline(3,0)(1,0)}
\psline(1,0)(1,0.6)
\end{pspicture}
\end{center}
%
%On notera $f'$ la la fonction dérivée de  $f$.

\begin{enumerate}
\item %Sur $[-5~;~5]$, l'équation $f'(x) = 0$ admet exactement :
 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
%\textbf{a)}\quad  0 solution & \textbf{b)}\quad  1 solution & \textbf{c)}\quad  2 solutions \\
%\end{tabularx}
Il y a deux tangentes horizontales, donc deux nombres dérivés nuls, l'équation a deux solutions.
\medskip

\item %Sur $[-5~;~5]$, l'inéquation $f^{\prime}(x)\geqslant 0$ admet  pour ensemble de solutions :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
%\textbf{a)}\quad  $[-2~;~2]$ & \textbf{b)}\quad  $[0~;~5]$ & \textbf{c)}\quad  $[0,5~;~5]$ \\
%\end{tabularx}
Le nombre dérivé est positif signifie que la fonction est croissante ; on voit qu'elle est croissante sur $[- 2~;~2]$.
\medskip

\item %La fonction $g$ telle que $g(x) = \ln\left(f(x)\right)$ est définie sur :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
%\textbf{a)}\quad  $[-2~;~2]$ & \textbf{b)}\quad  $]0~;~1]$ & \textbf{c)}\quad  $]0,5~;~5]$ \\
%\end{tabularx}
La fonction $g$ est définie si $f(x) > 0$, donc quand la courbe est au dessus de l'axe des abscisses soit sur l'intervalle $]0,5~;~5]$.
\medskip

\item %On note $S=\displaystyle\int_1^{3}{f(x) \: \mathrm {d} x}$ alors :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{}X}} 
%\textbf{a)}\quad  $0 < S < 1$ & \textbf{b)}\quad  $1 < S < 2$ & \textbf{c)}\quad  $2 < S < 3$ \\
%\end{tabularx}
Sur l'intervalle [1~;~3], la fonction $f$ est positive, donc l'intégrale est l'aire en unités d'aire de la surface limitée par la coure, l'axe des abscisses et les verticales $x = 1$ et $x = 3$. L'unité d'aire contient 4 carreaux, et l'on compte pour la surface à peu près 7 carreaux soit environ 1,75 unité d'aire : la bonne réponse est la deuxième. (voir la figure)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{1\up{re} partie : Étude d'une fonction}  

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \mathrm {e}^x - \mathrm {e}^x - 8$.

\begin{enumerate}
\item %En écrivant que $f(x) = \mathrm {e}^x (x - 1) - 8$, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
	On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 1) = + \infty$, d'où par produit $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x (x - 1) = + \infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %Montrer que $f'(x) = x \mathrm {e}^x $ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $[0;+\infty[$.
Sur $[0~;~+\infty[$ la fonction $f$ est dérivable et sur intervalle :

$f'(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x - \text{e}^x = x\text{e}^x$.
\item %Dresser le tableau de variations complet de de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
D'après le résultat précédent $f'(x)$ est le produit de deux nombres positifs ou nul, donc $f'(x) \geqslant 0$ : la fonction $f$ est donc croissante sur $[0~;~+\infty[$, de $f(0) = - 9$ à $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $[0~;~+\infty[$ une unique solution $a$.
Sur $[0~;~+\infty[$ la fonction $f$ est dérivable, donc continue et croissante de $- 9$ à plus l'infini : elle s'annule donc une seule fois sur cet intervalle. L'équation $f(x) = 0$ a une solution unique.
		\item %Montrer que $2,040 < a < 2,041$.
La calculatrice donne $f(2)\approx -0,6$ et $f(3) \approx 32$, donc $2 < a < 3$ ;

$f(2,0)\approx -0,6$ et $f(2,1) \approx 0,98$, donc $2,0 < a 2,1$ ;

$f(2,04) \approx - 0,002$ et $f(2,05) \approx 0,16$, donc $2,04 < a < 2,05$ ;

$f(2,040) \approx - 0,002$ et $f(2,041) \approx 0,014$, donc finalement 

\[ 2,040 < a < 2,041.\]
		\item %En utilisant les questions précédentes, déduire le signe de $f(x)$ en fonction des valeurs de $x$ sur $[0~;~+\infty[$.
Puisque $f(a) = 0$ et que la fonction est croissante on a donc :
	
\begin{itemize}
\item $f(x) < 0$ sur $[0~;~a[$ et 
\item $f(x) > 0$ sur $]a~;~+ \infty[$.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(x)= x \mathrm {e}^x - 2\mathrm {e}^x - 8x$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
	La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :
	
$g'(x) = \text{e}^x + x\text{e}^x - 2\text{e}^x - 8 = x\text{e}^x - \text{e}^x - 8 = f(x)$. 

Conclusion $g$ est une primitive de $f$.
		\item %Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_3^{5}{f(x) \: \mathrm {d}x}$.
D'après le résultat précédent : $\displaystyle\int_3^{5}{f(x) \: \mathrm {d}x} = g(5) - g(3)  = 5\text{e}^5 - 2\text{e}^5 - 8 \times 5 - \left(3\text{e}^3 - 2\text{e}^3 - 8 \times 3\right)  = 3\text{e}^5 - \text{e}^3 - 16.$

%Comme $3 > a$, la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [3~;~5], donc l'intégrale est égale à la mesure de la surface (en unités d'aire) comprise entre la courbe représentative, l'axe des abscisses et les verticales $x = 3$ et $ x = 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{2\up{e} partie : Application à une situation économique}  

\medskip

%Une entreprise fabrique $x$ milliers d'objets avec $x$ appartenant à $[0;5]$.
%
%La fonction $f$ de la 1\up{re} partie modélise les bénéfices ou les pertes de l'entreprise en centaine d'euros.
%
%Pour une quantité $x$ donnée, si $f(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice, et si $f(x)$ est négatif, l'entreprise subit une perte.
%
%\medskip
%
%En utilisant les résultats de la 1\up{re} partie, répondre aux questions suivantes en justifiant :

\begin{enumerate}
	\item %À partir de combien d'objets produits, l'entreprise commence-t-elle à réaliser des bénéfices ?
On a vu que $f(a) = 0$ et que $f(2,041) > 0$ ; donc l'entreprise commence à réaliser des bénéfices à partir de \np{2041} objets produits.
	\item %L'entreprise pense produire régulièrement entre 3 et 5 milliers d'objets.
	
%Déterminer la valeur moyenne du bénéfice sur $[3,5]$ (On donnera le résultat arrondi à l'euro près).
On sait que la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [3~;~5] est égale à :

\[m = \dfrac{1}{5 - 3}\displaystyle\int_3^5 f(x)\:\text{d}x = \dfrac{3\text{e}^5 - \text{e}^3 - 16}{2} \approx 204,58\]

À l'euro près la valeur moyenne du bénéfice sera de \np{20458}~\euro.	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

%Dans un salon de coiffure pour femmes, le coloriste propose aux clientes qui viennent pour une coupe deux prestations supplémentaires :
%
%\begin{itemize}
%	\item une coloration naturelle à base de plantes qu'il appelle \og couleur-soin \fg{},
%	\item des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, qu'il appelle \og effet coup de soleil \fg{}.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%Ce coloriste a fait le bilan suivant sur ces prestations :
%
%\begin{itemize}
%	\item 40\,\% des clientes demandent une \og couleur-soin \fg{}.
%	\item parmi celles qui n'en veulent pas, 30\,\% des clientes demandent un \og effet coup de soleil \fg{}.
%	\item de plus, 24\,\% des clientes demandent les deux à la fois.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%On considère une de ces clientes.
%
%On notera C l'évènement \og \emph{la  cliente souhaite une "couleur-soin"}\fg{}.
%
%On notera M l'évènement \og \emph{la  cliente souhaite un "effet coup de soleil"}\fg{}.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
	\item %Calculer la probabilité de M sachant C notée $P_C\left(M\right)$.
On sait que $P_C\left(M\right) = \dfrac{P(M \cap C)}{P(C)} = \dfrac{0,24}{0,4} = 0,6$.
	\item %Construire un arbre pondéré qui illustre la situation.
	~

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$}\taput{0,4}}
	{
	\TR{$M$}\taput{0,6}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{0,4}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$}\tbput{0,6}}
	{
	\TR{$M$}\taput{0,3}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{0,7}
	}
}
\end{center}

\medskip

	\item %Calculer la probabilité que la cliente ne souhaite ni une \og couleur-soin \fg{}, ni un \og effet coup de soleil \fg{}.
On a $P\left(\overline{C} \cap \overline{M}\right) = P_{\overline{C}}\left(\overline{M}\right) \times P\left(\overline{C} \right) = 0,7 \times 0,6 = 0,42$.
	\item %Montrer que la probabilité de l'évènement M est égale à 0,42.
Les évènements $C$ et $M$ déterminent une partition de l'ensemble des résultats, donc d'après la formule des probabilités totales :

$P(M) = P(M \cap C) + P\left(M \cap \overline{C}\right) = 0,4 \times 0,6 + 0,6 \times 0,3 = 0,24 + 0,18 = 0,42$.
	\item %Les évènements C et M sont-ils indépendants ?
On a $P(M) = 0,42$ et $P_C(M) = 0,6$, donc les évènements $M$ et $C$ ne sont pas indépendants.
	\item %Une \og couleur-soin \fg{} coûte 35 euros et un \og effet coup de soleil \fg{} coûte 40 euros.	
\begin{enumerate}
	\item %Recopier puis compléter sans justifier le tableau suivant donnant la loi de probabilité du gain en euros du coloriste par client :
On a $\left(C \cap \overline{M}\right) = 0,4 \times 0,4 = 0,16$ : cet évènement correspond à un coût de 35 euros.
\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$x_{i}$ & 75 	&40 &35 & 0 \\ \hline
$p_{i}$ & 0,24 	&0,18 	&0,16  	& 0,42\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip	
	\item %Donner l'espérance E de cette loi.
On a $\text{E} = 75 \times 0,24 + 40  \times 0,18 + 35  \times 0,16 = 30,80$~(\euro)

La dépense moyenne par client sera de $30,80$~(\euro)
	\item %\emph{Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.
	
%Combien le coloriste doit-il facturer la réalisation d'un \og effet coup de soleil \fg{} pour que l'espérance de gain par client augmente de 15\% ?
On reprend le tableau précédent en appelant $x$ la somme demandée pour la réalisation d'un \og effet coup de soleil \fg{}

\medskip
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}	\hline
$x_{i}$ & $35 + x $ 	&$x$ 		&35		& 0 \\ \hline
$p_{i}$ & 0,24 			&0,18 		&0,16  	& 0,42\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

On veut une espérance de $30,8 \times 1,15 = 35,42$.

Il faut donc que $35,42 = 0,24(35 + x) +  0,18x + 35 \times 0,16+ 0$ soit 

$35,42 = 8,4 + 0,24x + 0,18x + 5,6$ ou encore $21,42 = 0,42 x$ soit $x = 51$~(\euro)

Il faut donc augmenter la prestation \og effet coup de soleil \fg{} de $51 - 35 = 16$~(\euro). 	 \end{enumerate} 	 	
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

%\bigskip
% 
%En pédiatrie (médecine des enfants), des études statistiques sur des enfants de moins de 36 mois ont permis de tracer les deux courbes fournies en annexe. Pour un âge $x$ donné en mois, la courbe inférieure $C_1$ donne le périmètre crânien minimal en centimètres, et la courbe supérieure $C_2$ donne le périmètre crânien maximal en centimètres.
%
%Ces deux courbes sont souvent utilisées pour observer le développement des enfants.
%
%\medskip

\textbf{A) Lectures graphiques}

\medskip

%À l'aide du graphique fourni en annexe, répondre aux deux questions suivantes en laissant les traits de construction apparents :

\begin{enumerate}
	\item %Un enfant a un périmètre crânien égal à 41 cm.
	
%Déterminer l'âge minimum et l'âge maximum que peut avoir cet enfant.
On trace la droite horizontale d'équation $y = 41$ qui coupe les deux courbes en deux points d'abscisses respectives approximatives 2 et 7 : l'enfant a entre 2 et 7 mois.
	\item %Un enfant a un âge compris entre 15 et 21 mois.
Pour 15 mois on lit entre 43 et 49,5 cm.

pour 21 mois on lit entre 45 et 51~cm.

Donc un enfant entre 15 et 21 mois aura un 	 périmètre crânien compris entre 43 et 51~cm.
%Déterminer le  périmètre crânien minimum et le  périmètre crânien maximum que peut avoir cet enfant.
\end{enumerate}
  
\medskip

\textbf{B) Étude d'un modèle}

\medskip

%Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
%
%Le pédiatre ne disposant pas de données d'individus de plus de 36 mois sur son lieu d'étude, il considère les valeurs moyennes des deux courbes précédentes.
%
%Il obtient les mesures suivantes :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%âge $x$ (en mois) & 0 & 12 & 24 & 36 \\ \hline
%Périmètre crânien $y$ (en cm) & 36 & 46 & 48 & 50 \\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\medskip
\begin{enumerate}
	\item %On considère $z=\ln \left(54 - y \right)$.
	
%Recopier puis compléter le tableau suivant :
	
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
âge $x$ en mois & 0 &12 &24 &36 \\ \hline
$z$ 			&$\ln 18$  	&$\ln 8$  	&$\ln 6$  	&$\ln 4$  \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
\item 
\begin{enumerate}
		\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en fonction de $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés.
	La calculatrice livre $z = - 0,04x + 2,76$.
		\item %En déduire que $y=54 - \mathrm{e}^{ax+b}$ avec $a\approx -0,04$ et $b\approx 2,76$.
	On a pour $y < 5$, \: $z=\ln \left(54 - y \right) \iff \text{e}^z = 54 - y \iff y = 54 - \text{e}^z$ soit finalement : 
	
	\[y = 54 - \text{e}^{- 0,04x + 2,76}.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\medskip

\textbf{C) Utilisation du modèle précédent}

\medskip

Dans cette partie, on utilisera le modèle établi dans la question \textbf{2. b)} de la partie \textbf{B}.

\begin{enumerate}
	\item %Un enfant a un périmètre crânien de 53 cm.
	
%Déterminer par le calcul une approximation de l'âge en mois de cet enfant.
On a quel que soit le nombre $x$, \: $54  - \text{e}^{- 0,04x + 2,76} = 53 \iff \text{e}^{- 0,04x + 2,76} = 1$ et par croissance de la fonction logarithme népérien :

$- 0,04x + 2,76 = 0 \iff 0,04x = 2,76 \iff x = \dfrac{2,76}{0,04} = 69$~(mois).
	\item %Les scientifiques estiment que la structure osseuse crânienne se rigidifie dès l'âge de 15 ans, le périmètre crânien cesse alors de croître.
	
%Déterminer par le calcul une approximation du périmètre crânien correspondant. Arrondir au centimètre près.
15 mois correspondent à $15 \times 12 = 180$~(mois).

Le périmètre crânien moyen est alors :

$54  - \text{e}^{- 0,04 \times 180 + 2,76} \approx  54 - 0,0118$ soit à peu près 53,99~(cm).

À quinze ans le périmètre crânien est à peu près de 54 cm.	
\end{enumerate}

\begin{center}
%\psset{unit=0.93cm}
\psset{xunit=.3cm,yunit=0.18cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(36,37)
\rput(18,35){\textbf{\emph{Annexe à remettre avec la copie}}}
\rput(18,-5){\footnotesize \emph{Courbes obtenues à partir de l'étude séquentielle française de la croissance CIE-INSERM (M. Sempé)}}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\fa{4.77*ln(x+.5)+6.65}
\def\fb{3.08*ln(x)+11.45}
\def\g{3.8*ln(x+.5)+3.4}
%\psaxes [linewidth=.1pt, xticksize=0 30, yticksize=0 36, tickwidth=0.1pt, tickcolor=darkgray ,labels=none ](0,0)(36,30)
\psaxes [labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,xticksize=0 30, yticksize=0 36,tickwidth=0.1pt,Dx=3,Oy=30,Dy=5]{->}(0,0)(36,30)
\uput[l](0.3,30){\footnotesize{60}}
\uput[ur](-2,31){\footnotesize{\emph{Périmètre crânien $y$ (en cm)}}} \uput[d](36,.5){\footnotesize{36}}
\uput[dl](36,-1){\footnotesize{\emph{âge $x$ (en mois)}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0}{16}{\fa}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{16}{36}{\fb}
\uput[r](36,22.5){\footnotesize{\bleu $C_2$}} 
\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{36}{\g}
\uput[r](36,17){\footnotesize{\prune $C_1$}} 
\uput[l](36,24.5){\footnotesize{\bleu\emph{Périmètre crânien maximum}}} 
\uput[l](36,14.5){\footnotesize{\prune\emph{Périmètre crânien minimum}}}
\psline(0,11)(36,11) 
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%Dans cet exercice,  les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
%
%\medskip
%
%Cet exercice consiste à étudier la propagation d'une information d'une personne à l'autre, thème souvent abordé en sciences sociales. Cette information se transmet avec un risque d'erreur, c'est-à-dire avec une probabilité de propagation de l'information contraire.
%
%\medskip
%
%Dans cet exercice, on considère l'information suivante, notée E : \og Paul a réussi son examen \fg{}. 

\medskip

\textbf{Partie A : Propagation symétrique (de type \og neutre \fg{})}  

\medskip

%Dans cette partie, on suppose que, pour une information reçue (E ou $\overline{\mathrm{E}}$), la probabilité de communiquer cette information à l'identique vaut 0,9 et la probabilité de relayer l'information contraire vaut 0,1.
%
%\medskip
%
%On note $p_n$ la probabilité de recevoir l'information E au bout de $n$ étapes ($n$ étant le nombre de personnes ayant transmis l'information) et on note $q_n$ la probabilité de recevoir l'information $\overline{\mathrm{E}}$ au bout de $n$ étapes.
%
%\medskip
%
%On suppose que Paul a réussi son examen, on pose $p_0=1$ et $q_0=0$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
	\item %Recopier puis compléter le graphe probabiliste relatif à la propagation de l'information suivant :	
~	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){E}{\small{\textsf{\bleu{E}}}}\cnodeput(4.5,1){F}{\small{\textsf{\bleu{$\overline{\mathrm{E}}$}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{E}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{F}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{E}{F} \ncarc[arcangle=40]{->}{F}{E}
\rput(-0.8,1){0,9}\rput(5.8,1){0,9}
\rput(2.5,0){0,1} \rput(2.5,2){0,1}
\end{pspicture}
\end{center}

	\item %Préciser la matrice de transition M telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}  \\ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix} \mathrm{M}$.
La matrice de transition est $M = \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,1&0,9\end{pmatrix}$.
	\item %À l'aide de la calculatrice, trouver le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,8$.
On a successivement :

$P_1 = P0 \times M = \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \times 	\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,1&0,9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,9&0,1\end{pmatrix}$ ;

$P_2 = P0 \times M^2 = \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \times 	\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,1&0,9\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0,82&0,18\end{pmatrix}$ ;

$P_3 = P0 \times M^3 = \begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix} \times 	\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,1&0,9\end{pmatrix}^3 = \begin{pmatrix}0,756&0,244\end{pmatrix}$.

Donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,8$ est $n = 3$.

\item %Déterminer par le calcul, l'état stable.
Les termes de la matrice étant non nuls il y a un état stable $P = \begin{pmatrix}p&q\end{pmatrix}$ tel que $p + q = 1$.

De $P = P \times M$ on déduit que $\begin{pmatrix}p&q\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p&q\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,1&0,9\end{pmatrix}$.

On en déduit que :

$\left\{\begin{array}{l c l}
p&=&0,9p + 0,1q\\
q&=&0,1p + 0,9q\\
p + q &=& 1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,1p&=&  0,1q\\
0,1q&=&0,1p \\
p + q &=& 1
\end{array}\right.\iff   \left\{\begin{array}{l c l}
p&=&q\\
q&=&p \\
p + q &=& 1
\end{array}\right. \Rightarrow p = q = 0,5$.

Conclusion $P = \begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Propagation asymétrique (de type \og rumeur \fg)}  

\medskip

%Dans cette partie, on suppose toujours que la probabilité de transmission correcte de l'information E est égale à 0,9. Toutefois, il circule la fausse rumeur  $\overline{\mathrm{E}}$. Dans ces conditions, on suppose que si l'information reçue est $\overline{\mathrm{E}}$, la probabilité de transmettre cette information $\overline{\mathrm{E}}$ est égale à 1.
%
%\medskip
%
%On suppose de nouveau que $p_0=1$ et $q_0=0$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
~
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){E}{\small{\textsf{\bleu{E}}}}\cnodeput(4.5,1){F}{\small{\textsf{\bleu{$\overline{\mathrm{E}}$}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{E}{0.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{F}{0.5}}\ncarc[arcangle=40]{->}{E}{F} 
%\ncarc[arcangle=40]{->}{F}{E}
\rput(-0.8,1){0,9}\rput(5.8,1){1}
\rput(2.5,2){0,1}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Préciser la matrice de transition N telle que $ \begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}  \\ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix} \mathrm{N}$.
On a $N = \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0&1\end{pmatrix}$.
\item %Montrer que $p_{n+1} = 0,9p_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(p_n\right)$ ?
$ \begin{pmatrix} p_{n+1}  & q_{n+1}  \\ \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n}  \\ \end{pmatrix} N = \begin{pmatrix} p_{n}  & q_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,9&0,1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,9p_{n}  & 0,1p_n + q_{n}  \\ \end{pmatrix}$.

Donc $p_{n+1} = 0,9p_{n}$ : la suite $\left(p_n\right)$ est géométrique de raison 0,9.
\item %Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
Comme $p_0 = 1$, on sait que $p_n =  p_0 \times 0,9^n = 0,9^n$.
\item %Trouver par le calcul, le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,5$.
$p_n < 0,5 \iff 0,9^n < 0,5 \iff n \ln 0,9 < \ln 0,5 \iff n > \dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,9}$ (car $\ln 0,9 < $).

Comme $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,9} \approx 6,6$, le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n < 0,5$ est $n = 7$.
\item %Déterminer la limite de $\left(p_{n}\right)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ puis interpréter le résultat obtenu.
On sait que comme $0 < 0,9 < 1$,\: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,9^n = 0$.

Conclusion : sur le long terme seule la fausse rumeur sera transmise.
\end{enumerate}
\end{document}