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%Tapuscrit : Paul Duprat
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\arraycolsep{2pt}%pour reduire l'espacement dans les tableaux
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES Liban 31  mai 2010~\decofourright}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}


\medskip

\begin{enumerate}
\item  $A$ et $B$ sont deux évènements indépendants  donc $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)=0,1$\\ et comme $p(A\cup B)=p(A)+ p(B)-p(A\cap B= 0,6$ \hfill\textbf{ Réponse C}

\item  En appelant $S$ l'évènement \og Le cahier est à spirale \fg{} et $C$ l'évènement \og Le cahier est à gros carreaux \fg{} on a 
\begin{center}
$ p_S(C)=\dfrac{p(S\cap C)}{P(S)}=\dfrac{P(C)\times P_(S)}{P(S)}=\dfrac{0,75\times 0,4}{0,5}=0,6$
\end{center}
\hfill \textbf{ Réponse C}
 
\item  La loi numérique correspondant au nombre de stylos-feutres verts est une loi binomiale. Il faut faire un arbre:


\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=12ex]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$}\taput{\small 0,25}}
		{\pstree{\TR{$V$}\taput{\small 0,25}}
				{\TR{$V$}\taput{\small 0,25}
				\TR{$\overline{V}$}\tbput{\small 0,75}
				}
		\pstree{\TR{$\overline{V}$}\taput{\small 0,75}}
				{\TR{$V$}\taput{\small 0,25}
				\TR{$\overline{V}$}\tbput{\small 0,75}
				}		
		}
\pstree{\TR{$\overline{V}$}\tbput{\small 0,75}}
		{\pstree{\TR{$V$}\taput{\small 0,25}}
				{\TR{$V$}\taput{\small 0,25}
				\TR{$\overline{V}$}\tbput{\small 0,75}
				}
		\pstree{\TR{$\overline{V}$}\taput{\small 0,75}}
				{\TR{$V$}\taput{\small 0,25} 
				\TR{$\overline{V}$}\tbput{\small 0,75}
				}		
		}
}
\end{center}


On cherche la probabilité de l'évènement contraire de \og On a obtenu aucun stylo vert \fg{} donc 
\begin{center}
$p=1-0,75^3\approx 0,578$
\end{center}
\hfill \textbf{ Réponse C}


\item Sur l'arbre, il y a trois chemins de même probabilité qui donnent 2 stylos  verts donc 
\begin{center}
$p=3\times 0,25^2\times 0,75\approx 0,141$ 
\end{center}

\hfill \textbf{ Réponse C}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \ovalbox{ $g(0)=6$ }
		\item $g^{\prime}(0)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0. Il vaut \ovalbox{ $g^{\prime}(0)=\dfrac{y_F-y_E}{x_F-x_E}= - 2$ }
		\item Pour tout réel on a :
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	g^{\prime}(x)&=& 1 + ak\text{e}^{ax}
\end{array}$
\end{center}
		\item Les réels $a$ et $k$ vérifient le système suivant:
		
	$\left\{     
\begin{array}{rcl}
	g(0)&=&6\\g^{\prime}(0)&=&-0,5
\end{array}
\right.
\iff
\left\{ 
\begin{array}{rcl}
	0 + k\text{e}^{0}&=&6\\1 + ak\text{e}^{0}&=&-0,5
\end{array}
\right.
\iff
\left\{ 
\begin{array}{rcl}
	k&=&6\\1 + 6a&=&-0,5
\end{array}
\right.
\iff
\left\{ 	
\begin{array}{rcl}
	k&=&6\\a&=&\frac{-1,5}{6}=-0,5\end{array}
\right.	
	$	
		
	\end{enumerate}

\medskip
	 
\item On a $g(x)-x=6\text{e}^{-0,5x}$ or $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\text{e}^{-0,5x}=\lim_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0$

On a \ovalbox{ $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(g(x)-x\right)=0$}, ce qui montre que la droite $D$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item \emph{ graphique}

%\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.714cm,yunit=0.857cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1)(5.5,10)
\pscustom[fillstyle=crosshatch,%
fillcolor=gray,%
linecolor=gray]{%
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{4}{6 2.71828 0.5 x mul exp div x add}
\psline(4,4.812)(4,4)(0,0)(0,6)}

\psdots(0,6)(3,0)(2.197,4.17)
\uput[ur](0,6){E}\uput[u](2.197,4.17){B}\uput[ur](3,0){F}
\uput[u](4.5,5.1){$\mathcal{C}$}\uput[d](5,5){$D$}
\uput[d](5.3,0){$x$}\uput[l](0,9.8){$y$}\uput[dl](0,0){O}
%\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1.197,4.17)(3.197,4.17)
\psplot{-1}{5.5}{x}
%\psline(-1,8)(3.5,-1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1}{5.5}{6 2.71828 0.5 x mul exp div x add}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-1,-1)(5.5,10)
\multido{\n=-0.5+1.0}{7}{\psline[linecolor=orange](\n,-1)(\n,10)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(5.5,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture*}
\end{center}
 
		\item On a :
\vspace{-6mm}\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	\displaystyle \int_0^4 g(x)-x\!\text{d}x &=& \displaystyle \int_0^4  6\text{e}^{-0,5x} \!\text{d}x \\[3mm]
&=& \Big [ \frac{6}{-0,5}\text{e}^{-0,5x}\Big ]_0^4\\[3mm]
&=& \Big [ -12\text{e}^{-0,5x}\Big ]_0^4\\[3mm]
&=&  12-12\text{e}^{-2}\\
&\approx &10,38
\end{array}$
\end{center}
Or l'unité d'aire vaut $2\times 1$ cm$^2$ donc
\begin{center}
\ovalbox{L' aire du domaine vaut $24-24\text{e}^{-2}$ cm$^2$  soit environ 20,8 cm$^2$ }
\end{center}
\end{enumerate}
	
\item 
Le point B est le point qui correspond au minimum de la fonction, en ce point la tangente est horizontale, donc la dérivée s'annule en $x_{\text{B}}$. On doit donc résoudre l'équation:
\begin{center}
$\begin{array}{rcl}
	g'(x)&=&0\\
	1+6\times (-0,5)\times \text{e}^{-0,5x}&=&0\\
	1-3\text{e}^{-0,5x}&=&0\\
	1&=&3\text{e}^{-0,5x}\\
	\frac13&=&\text{e}^{-0,5x}\\
	\ln\left( \frac13\right)&=&-0,5x\\
	\ln 3&=&0,5x\\
	x&=&2\ln 3
\end{array}$
\end{center}

\ovalbox{Le point B a pour abscisse $2\ln 3$}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip
 
Partie A

\medskip

 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $\displaystyle \lim_{x\to 0}3\text{e}^2  - x=3\text{e}^2$ qui est positif
		 et $\displaystyle \lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$ donc \ovalbox{$\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=-\infty$}
		
		\item On a:
\vspace{-6mm}
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	f\left(\text{e}^2\right)&=&\left(3\text{e}^2  - \text{e}^2\right)\ln \left(\text{e}^2\right) + 10\\
	&=&2\text{e}^2 \times 2 + 10\\
	&=&4\text{e}^2  + 10\\
	&\approx & 39,556
\end{array}$
\end{center}
		
	\end{enumerate} 
\item La fonction $f$ est de la forme $uv+10$ avec 
\begin{center}
$
\begin{array}{rcl}
	u(x)&=&3\text{e}^2  - x\\ v(x)&=&\ln x
\end{array}$
\hspace{2cm} et \hspace{2cm}
$
\begin{array}{rcl}
	u'(x)&=&-1\\ v'(x)&=&\dfrac1x
\end{array}$
\end{center}
Donc pour pour tout réel $x$ on a:
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	f'(x)&=&(-1)\times \ln x +\left(3\text{e}^2  - x\right)\times \dfrac1x\\
	&=& - \ln x + \dfrac{3\text{e}^2}{x} - 1
\end{array}$
\end{center}

\item  
\begin{enumerate}
		\item Comme la fonction dérivée $f'$ est strictement décroissante sur $]0~;~20]$ et s'annule en $\text{e}^2$, elle est strictement positive sur $\left]0~;~\text{e}^2\right[$ et strictement négative sur $\left]\text{e}^2~;~20\right]$. 
		\item  On en déduit le tableau suivant:
		\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3.2)
\psframe(8.5,3.2)
\psline(2,0)(2,3.2) %trait vertical
\psline(2.1,0)(2.1,2.5)
\psline(2.16,0)(2.16,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[ur](2,2.55){$0$} \uput[u](5,2.5){ $\text{e}^2$}\uput[ul](8.5,2.5){$20$} 
\psline(0,2.5)(8.5,2.5) 
\psline(0,1.8)(8.5,1.8) 
\uput[u](1,1.8){$f'(x)$}  \uput[u](3.5,1.9){$+$} \uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.6,1.9){$-$}
\uput[u](1,0.8){$f(x)$}   \uput[d](5,1.8){$f\left(\text{e}^2\right)$} 
  \uput[ur](2.15,0){$-\infty$}  \uput[ul](8.5,0){$f(20)$} 
\psline{->}(2.8,0.4)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.4,0.4) 
\end{pspicture} 
\end{center}
	\end{enumerate}	 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Sur l'intervalle [0,6~;~ 0,7], la fonction $f$ est continue et strictement croissante, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend une seule fois toutes les valeurs de l'intervalle $[f(0,6)~;~f( 0,7)]$ or $f(0,6)\approx -1,02$ et $f(0,7)\approx 2,34$, ils sont de signes différents donc l'équation $f(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$. 
		
		En utilisant le tableau de la calculatrice on trouve que $f(x)$ change de signe entre 0,628 et 0,629 donc
\begin{center}
\ovalbox{$\alpha \approx 0,629$ à $0,001$ près par excès.}
\end{center}
		 
		\item  Comme la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0~;~\text{e}^2\right[$ et s'annule en $\alpha$, elle est strictement négative sur $\left]0~;~\alpha\right[$ et strictement positive sur $\left]\alpha~;~\text{e}^2\right]$.
		
		De plus, $f(20)\approx 16,49$ donc $f(x)$ reste positif sur $\left[\text{e}^2~;~20\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 
Partie B

\medskip
 \begin{enumerate}
\item  D'après la partie A, pour que $f(x)$ soit positif il faut que $x>\alpha$. 
\begin{center}
\ovalbox{Il faut donc produire au moins 629 DVD pour que le bénéfice soit positif.}
\end{center}
\item  D'après la partie A, $f$ admet un maximum lorsque $x=\text{e}^2\approx 7,389$ \\et ce maximum vaut $f\left(\text{e}^2\right)\approx 39,56$.
\begin{center}
\ovalbox{ L'entreprise doit produire 7389 DVD pour réaliser un bénéfice maximal de 39 560 \euro ~~}
\end{center}
 \end{enumerate}  

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Appelons $t_m$ le taux moyen entre 2004 et 2008, on a donc
\begin{center}
$
\begin{array}{rcl}
	(1+t_m)^5&=&(1+0,047)(1+0,106)(1+0,041)(1+0,058)(1+0,075)\\
	(1+t_m)^5&\approx&1,371\\
	1+t_m&\approx&1,371^{\frac15}\\
	1+t_m&\approx&1,065\\
	t_m&\approx&0,065
\end{array}
$
\end{center}
\ovalbox{Le taux moyen d'augmentation est de 0,065 c'est à dire $6,5\%$.} 
		\item  Entre 2008 et 2010, le chiffre d'affaires va être multiplié par $\left(1+\frac{6,5}{100}\right)^2$.\\
Donc 
$C_a=59,5\times 1,065^2\approx 67,5$
\begin{center}
\ovalbox{ On peut estimer à 67,5~milliards d'euros le chiffre d'affaires du groupe pour l'année 2010 }
\end{center}
		
	\end{enumerate}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  \emph{Graphique}
	
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(0,56)(11,86)

\psset{unit=1cm}
\psgrid[gridcolor=darkgray,subgridcolor=lightgray,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,30)(11,43)

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\psaxes[linecolor=orange,%
Ox=0,Oy=60,%
Dx=1,Dy=5,%
dx=1,dy=5]%
(0,60)(11,85)
%\psline[linecolor=llue]%
%(0,6.5)(2,6)(4,5.2)%
%(6,3)(8,2.8)(10,2.4)
\uput[d](5.25,58){%
\small\color{black} Indice de l'année}
\uput[l](-1,70){%
\rput{90}{%
\small\color{black}%
Chiffre d'affaires (en milliard)}}
\psdots(1,64.8)(3,68.7)(5,72.7)(7,77.1)(8,82.1)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue ]{0}{10}{2.35 x mul 61.8 add}

\psline[linewidth=1.2pt,linecolor=white](0,85.3)(10,85.3)(10,60)
\psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,linecolor=red](0,85.3)(10,85.3)(10,60) 

\uput[d](10,59){\red 2010}

\end{pspicture}
\end{center}
	
		\item  À l'aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite d'ajustement affine est $y=2,35x + 61,8$.
		\item  Graphiquement on peut lire que le chiffre d'affaires du groupe Aupré pour l'année 2010 sera 85,3 milliards d'euros
	\end{enumerate}
	 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a :
\vspace{-6mm}
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	59,5 \times 1,065^n &>& 82,1 \times 1, 03^n\\[3mm]
	\dfrac{1,065^n}{1,03^n} &>& \dfrac{82,1}{59,5}\\[3mm]
	\left(\dfrac{1,065}{1,03}\right)^n&>& \dfrac{82,1}{59,5}\\[3mm]
	n\:\ln\left(\dfrac{1,065}{1,03}\right)&>& \ln\left(\dfrac{82,1}{59,5}\right)\\[3mm]	n&>&\dfrac{\ln\left(\frac{82,1}{59,5}\right)}{\ln\left(\frac{1,065}{1,03}\right)}
	\end{array}$
\end{center}
Or 		$\dfrac{\ln\left(\frac{82,1}{59,5}\right)}{\ln\left(\frac{1,065}{1,03}\right)}\approx 9,63$.

On a donc \ovalbox{$59,5 \times 1,065^n > 82,1 \times 1, 03^n$ lorsque $n\geqslant 10$}
		
		\item On en déduit que le chiffre d'affaires du groupe Enville dépassera celui du groupe Aupré au bout de 10 années c'est à dire à partir de 2018.
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\textbf{Corrigé de Paul Duprat}


\end{document}