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% Tapuscrit Denis Vergès 
% Sujet aimablement fourni par Stéphane Boucher et Olivier Mauras, merci à eux.
% Courbes : Arié Yallouz
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat ES Liban},
pdftitle = {31 mai 2016},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 31 mai 2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Liban 
~\decofourright\\[5pt]31 mai 2016}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni
%n'enlève aucun point.\\
%Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Aucune justification
%n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %La représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d'abscisses $- 3$ et $0$.

%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-7,-4)(5,6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-4)(5,6)
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-7,5)(-6,4.6)(-5,4.25)(-4,3.8)(-3,3)(-2,1.5)(-1,-0.2)(0,-1)(1,-0.85)(2,-0.45)(3,0.2)(4,1)(5,1.95)
%\psline[linewidth=1.25pt](-7,-1)(5,-1)
%\psline[linewidth=1.25pt](-6,6)(4,-4)
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center}

%\begin{center}
%\psset{unit=.8cm}
%\begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{(-58*x^3-957*x^2-5776*x-5481)/1600}
%\def\g{5*x^3/27+x^2-1}
%\def\h{-3*x^3/250+89*x^2/500-1}
%\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-3)(5,5)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-7}{-3}{\f}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-3}{0}{\g}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{5}{\h}
%\psline[linewidth=1pt](-5,5)(3,-3)
%\psline[linewidth=1pt](-7,-1)(5,-1)
%\uput[dr](-6,5){\small{\blue{$\mathcal{C}_f$}}}
%\end{pspicture}
%\end{center}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $f'(0) = - 1$&\textbf{b.~~}$f'(-1) = 0$ &\textbf{c.~~} $f'(-3) = - 1$ &\textbf{d.~~} $f'(-3) = 3$
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\bullet~~$$f'(0) = 0$ est vraie : la tangente est horizontale.

\item  %On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $g(x) = (x + 1)\ln (x)$.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $g'(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~} $g'(x) = 1 + \ln (x)$\\
%\textbf{c.~~} $g'(x) = - \dfrac{1}{x^2}$&\textbf{d.~~} $g'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} + \ln (x)$
%\end{tabularx}
%\end{center}

$g$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ comme produit de fonctions dérivable et sur cet intervalle :

$g'(x) =  1\ln (x) + (x + 1)\times \dfrac{1}{x} = \dfrac{x\ln (x) + x + 1}{x} = \ln (x)  + 1 + \dfrac{1}{x}$ : réponse \textbf{a.}
\item  ~%On considère la fonction $h$ définie sur [0~;~7] et représentée par la courbe ci-dessous :

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,10.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9,10.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(9,10)
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,10)(1,8)(2,6)(3,4.1)(4,2.25)(5,1)(6,0.75)(7,3.45)
%%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{ x dup mul 0.2083 mul x 2.417 mul sub 10 add}
%\uput[r](0.5,9.5){\blue $\mathcal{C}_h$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=.6cm}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,11)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{3*x^3/125-2*x^2/25-2*x+10}
\def\g{9*x^2/8-49*x/4+273/8}
\psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,11)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(9,11)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{5}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{5}{7}{\g}
\uput[dl](1,10){\small{\blue{$\mathcal{C}_h$}}}
\uput[ur](0,10){A}\uput[ur](5,0){B}\uput[ur](5,1){C}
\pspolygon[linewidth=1.75pt](0,0)(0,10)(5,0)
\pspolygon[linewidth=1.75pt](0,0)(0,10)(5,1)(5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
%\begin{center}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $\displaystyle\int_0^5  h(x)\:\text{d}x = h(5) - h(0)$&\textbf{b.~~}$20 < \displaystyle\int_0^5  h(x)\:\text{d}x < 30$\\
%\textbf{c.~~} $15 < \displaystyle\int_0^5  h(x)\:\text{d}x < 20$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\int_0^5  h(x)\:\text{d}x = 20$
%\end{tabularx}
%\end{center}
La fonction étant positive sur [0~;~5], l'intégrale est, en unité d'aire l'aire de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_h$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées  et la droite d'équation $x = 5$.

On compte sous la courbe 21 carreaux et 37 carreaux qui contiennent entièrement la courbe. 

On peut affiner en encadrant l'aire cherchée par l'aire du triangle OAB égale à $\dfrac{5\times 10}{2} = 25$ et l'aire du trapèze OACB qui est égale à $\dfrac{10 + 1}{2}\times 5 = 27,5$. La bonne réponse est  \textbf{b.}
\item  %On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$ définie sur $[0~;~+ \infty[$.

%\begin{center}
%\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(3.1,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(3.1,3.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=7](0,-1.5)(3.1,3.5)
%%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.5}{x dup mul 4 mul 11 x mul sub 6 add}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.25,-0.1)(0.5,-0.3)(1,-1)(1.35,-1.2)(1.6,-1)(2,0)(2.5,3.5)
%\uput[l](2.45,3.2){\blue $\mathcal{C}_{k''}$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

%\begin{center}
%\psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm}
%\begin{pspicture*}(-.5,-1.5)(3.25,3.5)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\f{x^2*(x^2-4)/3}
%\psgrid[griddots=15,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
%\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(3.25,3.5)
%\uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
%\psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{3}{\f}
%\uput[ur](2,3){\small{\blue{$\mathcal{C}_{k''}$}}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\begin{center}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~}$k$ est concave sur l'intervalle [1~;~2].& \textbf{b.~~} $k$ est convexe sur l'intervalle [0~;~2].\\
%\textbf{c.~~}$k$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$.&\textbf{d.~~} $k$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$.
%\end{tabularx}
%\end{center}
Le signe de la dérivée seconde donne la concavité ou la convexité : sur ]0~;~2[, $k'' < 0$ et sur $]2~;+ \infty[$, \: $k''(x) > 0$. $k$ est donc concave puis convexe : réponse \textbf{a.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Un centre de loisirs destiné aux jeunes de 11 ans à 18 ans compte 60\,\% de collégiens et 40\,\% de
%lycéens.
%
%Le directeur a effectué une étude statistique sur la possession de téléphones portables. Cette étude a
%montré que 80\,\% des jeunes possèdent un téléphone portable et que, parmi les collégiens, 70\,\% en
%possèdent un.
%
%On choisit au hasard un jeune du centre de loisirs et on s'intéresse aux évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item $C$ : \og le jeune choisi est un collégien \fg{} ;
%\item $L$ : \og le jeune choisi est un lycéen \fg{} ;
%\item $T$ : \og le jeune choisi possède un téléphone portable \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\medskip
% 
%\emph{Rappel des notations}
% 
%\medskip
% 
%Si $A$ et $B$ sont deux évènements, $p(A)$ désigne la probabilité que l'évènement $A$ se réalise et $p_B(A)$ désigne la probabilité de $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé. On note aussi $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
% 
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner les probabilités : $p(C),\: p(L),\: p(T),\: p_C(T)$.
D'après l'énoncé $p(C) = 0,60$, \:$p(L) = 0,40$, \:$p(T) = 0,80$ et $p_C(T) = 0,70$.
\item ~Faire un arbre de probabilités représentant la situation et commencer à le renseigner avec les
données de l'énoncé.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$}\naput{0,6}}
	{\TR{$T$}\naput{0,7}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{0,3}
	}
\pstree{\TR{$L$}\nbput{0,4}}
	{\TR{$T$}\naput{0,95}
	\TR{$\overline{T}$}\nbput{0,05}
		}
}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien possédant un téléphone portable.
On a $p(C \cap T) = p(C) \times p_C(T) = 0,6 \times 0,7 = 0,42$.
\item %Calculer la probabilité que le jeune choisi soit un collégien sachant qu'il possède un téléphone portable.
Il faut trouver $p_T(C) = \dfrac{p(T \cap C)}{p(T)} = \dfrac{0,42}{0,80} = \dfrac{42}{80} \dfrac{21}{40} = 0,525$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $p(T \cap L)$, en déduire $p_L(T)$.
D'après la loi des probabilités totales :
		
$p(T) = p(C \cap T) + p(L \cap T)$ soit $p(L \cap T) = p(T) - p(C \cap T) = 0,80 - 0,42 = 0,38$.
		
On en déduit que $p_L(T) = \dfrac{p(L \cap T)}{p(L)} = \dfrac{0,38}{0,40} = 0,95$.

95\,\% des lycéens ont un téléphone portable.
		\item %Compléter l'arbre construit dans la question 2.
Voir ci-dessus.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%En 2012 en France, selon une étude publiée par l'Arcep (Autorité de régulation des communications
%électroniques et des postes), les adolescents envoyaient en moyenne 83 SMS (messages textes) par
%jour, soit environ \np{2500} par mois. On admet qu'en France le nombre de SMS envoyés par un
%adolescent en un mois peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale
%d'espérance $\mu = \np{2500}$ et d'écart-type $\sigma = 650$.
%
%\smallskip
%
%\emph{Dans les questions suivantes, les calculs seront effectués à la calculatrice et les probabilités
%arrondies au millième.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité qu'un adolescent envoie entre \np{2000} et \np{3000} SMS par mois.
La calculatrice donne : $p(\np{2000} \leqslant X \leqslant \np{3000}) \approx 0,558$.
\item %Calculer $p(X \geqslant \np{4000})$.
$p(X \geqslant \np{4000}) = p(W \geqslant \np{2500}) - p(\np{2500} \leqslant X \leqslant \np{4000}) \approx 0,5 - 0,489 \approx 0,011$ soit un peu plus de 1\,\%.
\item %Sachant que $p(X \leqslant a) = 0,8$, déterminer la valeur de $a$. On arrondira le résultat à l'unité.

%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
La calculatrice livre $p(X \leqslant a) = 0,8 \implies a \approx \np{3047}$, ce qui se traduit par :

80\,\% des élèves envoient moins de \np{3047} SMS par mois.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série~L}

\medskip

%L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien
%aux propriétaires de piscines privées.
%
%Le patron de cette entreprise remarque que, chaque année, 12\,\% de contrats supplémentaires sont
%souscrits et 6 contrats résiliés. Il se fonde sur ce constat pour estimer le nombre de contrats annuels à
%venir.
%
%En 2015, l'entreprise PiscinePlus dénombrait 75 contrats souscrits.
%
%On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de contrats souscrits auprès de l'entreprise PiscinePlus l'année $2015+ n$. Ainsi, on a $u_0 = 75$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2016.
		$u_0 = 75$, donc en 2016 $u_1 = u_0 \times 1,12 - 6 = 75 \times 1,12 - 6 84 - 6 = 78$.
		\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 1,12 u_n - 6$.
		D'une année sur l'autre l'augmentation est de 12\,\%, donc le nombre de contrats est multiplié par $1 + \dfrac{12}{100} = 1+ 0,12 = 1,12$ et ce nombre est diminué paar les 6 résiliations, donc 
		
		\[u_{n+1} = 1,12u_n - 6.\]
		
	\end{enumerate}
\item %L'entreprise PiscinePlus peut prendre en charge un maximum de $100$ contrats avec son nombre
%actuel de salariés. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.
	
%On cherche à connaître en quelle année l'entreprise devra embaucher. Pour cela, on utilise
%l'algorithme suivant :
%\begin{center}
	
%\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline
%L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
%L2& 			&$U$ est un nombre réel\\
%L3& 			&Traitement: Affecter à $n$ la valeur 0\\
%L4& 			&Affecter à $U$ la valeur 75\\
%L5& 			&Tant que $U \leqslant  100$ faire\\
%L6& 			&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
%L7& 			&$U$ prend la valeur $1,12 U - 6$\\
%L8& 			&Fin Tant que\\
%L9& Sortie :	&Afficher \ldots \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter la ligne L9.
Afficher $n$ ou afficher $2015 + n$ année où le nombre de contrats dépassera 100.
		\item %Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l'algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Valeur de $n$	&0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	\\ \hline
Valeur de $U$	&75	&78	&81	&85	&89	&94	&99	&105\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Donner la valeur affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
En 2022 le nombre de contrats sera de 105 : il faudra donc embaucher du personnel.
	\end{enumerate}
\item %On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 1,12u_n - 6$ et $u_0 = 75$.
	
%On pose pour tout entier naturel $n$ : $v_n = u_n - 50$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
On a pour tout entier naturel $n$ : $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 50 = 1,12u_n - 6 - 50 = 1,12u_n - 56 = 1,12\left(u_n - \dfrac{56}{1,12}\right) = 1,12\left(u_n - 50\right) = 1,12v_n$.

L'égalité $v_{n + 1} = 1,12v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,12, de premier terme $v_0 = u_0 - 50 = 75 - 50 = 25$.
		\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 25 \times  1,12^n + 50$.
		
On sait qu'alors pour tout entier naturel $n$ : $v_{n} = 25 \times 1,12^n$.

Or $v_n = u_n - 50 \iff u_n = v_n + 50$, donc finalement pour tout naturel $n$ :

\[u_n = 50 + 25 \times 1,12^n.\]

		\item %Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n > 100$.
Il faut ré"soudre dans $\N$, l'inéquation $u_n > 100$ :

$u_n > 100 \iff 50 + 25 \times 1,12^n > 100 \iff 25 \times 1,12^n > 50 \iff 1,12^n > 2 \iff $

$n \ln 1,12 > \ln 2 \iff n > \dfrac{\ln 2}{\ln 1,12}$. Or $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,12} \approx 6,1$. Il faut prendre au moins $n = 7$.
		\item %Quel résultat de la question 2 retrouve-t-on ?
On retrouve bien le fait qu'en 2022 (soit pour $n = 7$), le nombre de contrats dépassant 100, il faudra embaucher du personnel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%L'entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d'entretien
%aux propriétaires de piscines privées.
%
%C'est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n'ont que deux choix
%possibles : soit ils s'occupent eux-mêmes de l'entretien de leur piscine, soit ils souscrivent un contrat
%avec l'entreprise PiscinePlus.
%
%On admet que le nombre de propriétaires de piscines est constant.
%
%Le patron de cette entreprise remarque que chaque année :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]12\,\% des particuliers qui entretenaient eux-mêmes leur piscine décident de souscrire un contrat avec l'entreprise PiscinePlus ;
%\item[$\bullet~~$]20\,\% de particuliers sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus décident de le résilier pour entretenir eux-mêmes leur piscine.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
% 
%Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets $C$ et $L$ où :
% 
%\setlength\parindent{8mm}
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $C$ est l'évènement \og Le particulier est sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$]$L$ est l'évènement \og Le particulier effectue lui-même l'entretien de sa piscine \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%Chaque année, on choisit au hasard un particulier possédant une piscine et on note pour tout entier
%naturel $n$ :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$c_n$ la probabilité que ce particulier soit sous contrat avec l'entreprise PiscinePlus l'année $2015 + n$ ;
%\item[$\bullet~~$]$l_n$ la probabilité que ce particulier entretienne lui-même sa piscine l'année $2015 + n$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%On note $P_n = \begin{pmatrix} c_n& l_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2015 + n$.
%
%Dans cet exercice, on se propose de savoir si l'entreprise PiscinePlus atteindra l'objectif d'avoir au
%moins 35\,\% des propriétaires de piscines comme clients sous contrat d'entretien.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Dessiner le graphe probabiliste représentant cette situation et donner la matrice de transition
%associée au graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre $C$ et $L$.
L'énoncé montre que $P_{L_n}\left(C_{n+1}\right) = 0,12$ et donc $P_{L_n}\left(L_{n+1}\right) = 1 - 0,12 = 0,88$, puis que $P_{C_n}\left(L_{n+1}\right) = 0,20$ et donc $P_{C_n}\left(C_{n+1}\right) = 1 - 0,20 =  0,80$.

D'où le graphe probabiliste :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.1)
\cnodeput(1,1){A}{C}
\cnodeput(6,1){B}{L}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,8}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,88}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,2}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,12}
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'état stable de ce graphe est $P = \begin{pmatrix}0,375& 0,625\end{pmatrix}$.
La matrice de transition $M$ de ce graphe est : $M = \begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,12&0,88\end{pmatrix}$.
Les termes de cette matrice ne sont pas nuls, donc l'état $P_n$ converge vers un état stable $P = \begin{pmatrix}c&l\end{pmatrix}$ vérifiant l'équation :

$P = P \times M$ soit $\left\{\begin{array}{l c l}
c&=&0,8c + 0,12l\\
l&=&0,2c + 0,88l
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0,2c&=& 0,12l\\
0,12l&=&0,2c 
\end{array}\right.$ Mais on a de plus $c + l = 1$, donc $c$ et $kl$ vérifient le sustème :

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,2c&=& 0,12l\\
c + l&=&1
\end{array}\right. \implies 0,2(1 - l) = 0,12l \iff 0,2 - 0,2l = 0,12l \iff 0,2 = 0,32l \iff l = \dfrac{0,2}{0,32} = 0,625$, puis $c = 1 - 0,625 = 0,375$.

Donc l'état stable est $P = \begin{pmatrix}0,375&0,625\end{pmatrix}$. 
		\item %Déterminer, en justifiant, si l'entreprise PiscinePlus peut espérer atteindre son objectif.
L'état stable montre qu'au bout de plusieurs années l'entreprise aura 37,5\,\% de propriétaires de piscines sous contrat, soit plus que l'objectif  de 35\,\%.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%En 2015, on sait que 15\,\% des propriétaires de piscines étaient sous contrat avec l'entreprise
%PiscinePlus. On a ainsi $P_0 = \begin{pmatrix}0,15& 0,85\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} = 0,68 c_n + 0,12$.
Pour tout entier naturel $n$, on a $P_{n+1} = P_n \times M \iff \begin{pmatrix}c_{n+1}& l_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_n& l_n\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0,8& 0,2\\0,12&0,88\end{pmatrix}$

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
c_{n+1}&=&0,8c_n + 0,12l_n\\
l_{n+1}&=&0,12c_n + 0,88l_n\\
c_n + l_n&=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
c_{n+1}&=&0,8c_n + 0,12(1 - c_n)\\
l_{n+1}&=&0,12(1 - l_n) + 0,88l_n\\
c_n + l_n&=&1
\end{array}\right.\iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
c_{n+1}&=&0,68c_n + 0,12\\
l_{n+1}&=&0,7l_n + 0,12\\
c_n + l_n&=&1
\end{array}\right.$

Donc pour tout entier naturel $c_{n+1} = 0,68c_n + 0,12$.

\item ~%À l’aide d’un algorithme, on cherche à connaître au bout de combien d’années l’entreprise
%PiscinePlus atteindra son objectif :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l|X|}\hline
%L1& Variables :	& $n$ est un nombre entier naturel\\
%L2& 			&$C$ est un nombre réel\\
%L3& Traitement :&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
%L4& 			&Affecter à $C$ la valeur $0,15$\\
%L5& 			&Tant que $C < 0,35$ faire\\
%L6&				&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
%L7&				&\hspace{0,5cm} $C$ prend la valeur $0,68C + 0,12$\\
%L8&				& Fin Tant que\\
%L9& Sortie :	& Afficher $n$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item ~%Recopier et compléter le tableau ci-dessous, en ajoutant autant de colonnes que nécessaire pour permettre la réalisation de l’algorithme ci-dessus. On arrondira les résultats au millième.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Valeur de $n$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Valeur de $C$	&0,15	&0,222	&0,271	&0,304	&0,327	&0,342	&0,353\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Donner la valeur affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
		À la fin de l'exécution on lit $n = 6$, soit en 2021 année où  l'objectif sera atteint.
	\end{enumerate}
\item %On rappelle que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_{n+1} =  0,68c_n +  0,12$ et que $c_0 = 0,15$.
	
%On pose, pour tout entier naturel $n,\: v_n = c_n -  0,375$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
		
%On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $c_n = - 0,225 \times  0,68^n + 0,375$.
On a pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = c_{n+1} -  0,375 =  0,68c_n +  0,12 - 0,375 =  0,68c_n -  0,225 = 0,68\left(c_n - \dfrac{0,225}{0,68}\right) = 0,68\left(c_n - 0,375\right) = 0,68v_n$.

L'égalité, vraie pour tout naturel : $v_{n+1} = 0,68v_n$ montre que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme $v_0 = c_0 - 0,375 = 0,15 - 0,375 = - 0,225$.
		\item %Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation $c_n \geqslant  0,35$.
Dans $\N$, \:$c_n \geqslant  0,35 \iff - 0,225 \times  0,68^n + 0,375 \geqslant  0,35 \iff 0,025 \geqslant  0,225\times  0,68^n \iff \dfrac{0,025}{0,225} \geqslant 0,68^n \iff \dfrac{25}{225} \geqslant 0,68^n \iff \dfrac{1}{9} \geqslant 0,68^n \implies \ln \left(\dfrac{1}{9}  \right) \geqslant n \ln 0,68 \iff$

$ \dfrac{\ln 9}{\ln 0,68} \leqslant n$.

Or $\dfrac{\ln 9}{\ln 0,68} \approx 5,7$. Il faut donc $n \geqslant 6$.
		\item %Quel résultat de la question 2. retrouve-t-on ?
On retrouve le fait qu'au bout de 6 ans l'objectif de l'entreprise (35\,\% de contrats chez les propriétaires de piscine) sera atteint.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 4\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~13] par :

\[f(x) = - 2x + 20 - \text{e}^{-2x + 10}.\]

\textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la fonction dérivée $f'$, de la fonction $f$, définie pour tout $x$ de l'intervalle [3~;~13], a pour expression :
$f$ est dérivable sur l!intervalle [3~;~13] car somme de fonctions dérivables sur cet intervalle :

$f'(x) = - 2 - (- 2)\text{e}^{-2x + 10} =  - 2 + 2\text{e}^{-2x + 10} = 2\left(- 1 + \text{e}^{-2x+10}\right)$.
%\[f'(x) = 2\left(- 1 + \text{e}^{-2x+10}\right).\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre dans l'intervalle [3~;~13] l'inéquation: $f'(x) \geqslant 0$.
Dans [3~;~13] $f'(x) \geqslant 0 \iff 2\left(- 1 + \text{e}^{-2x+10}\right) \geqslant 0 \iff - 1 + \text{e}^{-2x+10} \geqslant 0 \iff$

$ \text{e}^{-2x+10} \geqslant 1 \iff $ par croissance de la fonction logarithme népérien \:$- 2x + 10 \geqslant 	\ln 1 \iff 10 \geqslant 2x \iff 5 \geqslant x$.

On a donc $f'(x) \geqslant 0$ sur [3~;~5].	
		\item %En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [3~;~13] et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle. Les valeurs du tableau seront, si besoin, arrondies à $10^{-3}$.
De la même façon que précédemment  on trouve que $f'(x) \leqslant 0$ si $x \geqslant 5$, donc sur ]5~;~13].

La fonction $f$ est donc croissante sur [3~;~5] de $f(3) = - 2\times 3 + 20 - \text{e}^{-2\times 3 + 10} = 14 - \text{e}^{4} \approx - 40,598$ à $f(5) =  - 2\times 5 + 20 - \text{e}^{-2\times 5 + 10}  = 10 - \text{e}^{0} = 10 - 1 = 9$, puis décroissante de $f(5) = 9$ à $f(13) =  - 2\times 13 + 20 - \text{e}^{-2\times 13 + 10} = - 6 - \text{e}^{-16} \approx - 6$.
		\item %Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_3^{13} f(x)\:\text{d}x$. 
		
%On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
$f$ admet sur [3~;~13] une primitive $F$ définie par : $F(x) = - x^2 + 20x + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x + 10}$.

Don $I = \displaystyle\int_3^{13} f(x)\:\text{d}x = \left[- x^2 + 20x + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2x + 10} \right]_3^{13} =$

$ - (13)^2 + 20 \times 13 + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2\times 13 + 10} - \left[- (3)^2 + 20\times 3 + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 2\times 3 + 10} \right] =$

$ - 169 + 260 + \dfrac{1}{2}\text{e}^{- 16} - \left[- 9 + 60 + \dfrac{1}{2}\text{e}^{4} \right] =\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{- 16} - \text{e}^{4} \right) + 40$

$I \approx 12,701$ au millième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Application}

\medskip

%Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est
%comprise entre 300 et \np{1300}. On suppose que toute la production est commercialisée.
%
%Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines
%de toboggans est modélisé sur l'intervalle [3~;~13] par la fonction $f$.
%
%En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :

%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et
%donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.
On a vu la fonction $f$ a un maximum pour $x = 5$ ; donc pour l'usine le bénéfice maximal est obtenu en produisant 500 toboggans.
\item %Calculer le bénéfice moyen pour une production mensuelle comprise entre 300 et \np{1300} toboggans.
%Arrondir le résultat à l'euro.
La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [3~;~13] est égale à :

$\dfrac{1}{13 - 3}\displaystyle\int_3^{13}f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{10}I$, \: $I$ étant l'intégrale calculée à la fin de la partie A.

Le bénéfice moyen est donc égale à \np{1,2701} milliers d'euros, soit \np{1270,10}\euro.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Rentabilité}

\medskip

%Pour être rentable, l'usine doit avoir un bénéfice positif.
%
%Déterminer le nombre minimum et le nombre maximum de toboggans que l'usine doit fabriquer en
%un mois pour qu'elle soit rentable. Justifier la réponse.
D'après les variations de $f$ la fonction s'annule une fois sur l'intervalle [3~;~5] en $a$ et une fois sur l'intervalle [5~;~13] en $b$.

La calculatrice donne :

$f(3) \approx - 40,6$ et $f(4) \approx 4,6$, donc  $3 < a < 4$ ;

$f(3,7) \approx -0,86$ et $f(3,8) \approx 1,38$, donc $3,7 < a < 3,8$ ;

$f(3,73) \approx - 0,14$ et $f(3,74) \approx 0,09$, donc $3,73 < a < 3,74$ ;

$f(3,736) \approx \np{-0,0004}$ et $f(3,737) \approx 0,02$, donc $3,736 < a < 3,737$.

De même $f(9) \approx 2$ et $f(10) \approx \np{-0.00005}$, donc $9 < b < 10$ ;

$f(9,9) \approx 0,2$ et $f(10) \approx \np{-0.00005}$, donc $9,9 < b < 10,0$ ;

$f(9,99) \approx 0,02$ et $f(10) \approx \np{-0.00005}$, donc $9,99 < b < 10,00$ ;

$f(9,999) \approx 0,002$ et $f(10) \approx \np{-0.00005}$, donc $9,999 < b < 10,000$.

Le bénéfice est donc positif si l'usine produit de 374 à 999 toboggans. 
\end{document}