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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{31 mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Liban 31 mai 2011 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip

%Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on donne les trois points :
% 
%\[\text{A}(1~;~2~;~-1), \text{B}(-3~;~-2~;~3)\: \text{et C}(0~;~-2~;~-3)\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Plusieurs méthodes : $\vect{\text{AB}}(-4~;~- 4~;~4)$ et $\vect{\text{AC}}(-1~;~- 4~;~-2)$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. Ils constituent le plan (ABC).
		\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~-1~;~1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
		On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = - 8 + 4 + 4 = 0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = - 2 + 4 + - 2 = 0$.
		
Donc $\vect{n}$ est normal à deux vecteurs du plan (ABC) est donc un vecteur normal à ce plan.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $(P)$ le plan dont une équation cartésienne est $x + y - z + 2 = 0$.
Le plan $(P)$ a pour vecteur normal $\vect{p}(1~;~1~;~-1)$.

Or $\vect{n} \cdot \vect{p} = 2 - 1 - 1 = 0$. Les vecteurs normaux aux deux plans sont orthogonaux, donc les plans (ABC) et $(P)$ sont perpendiculaires. 
%Démontrer que les plans (ABC) et $(P)$ sont perpendiculaires. 
\item %On appelle G le barycentre des points pondérés (A,\, 1), (B,\, $-1$) et (C,\, 2). 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le point G a pour coordonnées $(2~;~0~;~-5)$.
		Par définition puisque $1 - 1 + 2 = 2 \neq 0$, le barycentre G existe et vérifie :
		
$1\vect{\text{GA}} -  1\vect{\text{GB}} + 2\vect{\text{GC}} = \vect{0} \iff 2\vect{\text{GO}} + \vect{\text{OA}} - \vect{\text{OB}} + 2\vect{\text{OC}} = \vect{0} \iff 2\vect{\text{OG}} = \vect{\text{OA}} - \vect{\text{OB}} + 2\vect{\text{OC}} \iff$

$ \vect{\text{OG}} = \dfrac{1}{2}\left[\vect{\text{OA}} - \vect{\text{OB}} + 2\vect{\text{OC}}  \right]$, ce qui se traduit pour les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ de G par :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& \frac{1}{2}(1 + 3 + 0)\\
y&=&\frac{1}{2}(2 + 2 -4)\\
z&=&\frac{1}{2}(- 1 - 3 - 6)
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 2\\
y&=&0\\
z&=&- 5
\end{array}\right.$

On a bien G$(2~;~0~;~-5)$.
		\item %Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan $(P)$.
$\vect{\text{CG}}(2~;~2~;~- 2) = 2\vect{p}$, $\vect{p}$ étant un vecteur normal au plan ($P$). Donc  la droite (CG) est orthogonale au plan $(P)$.
		\item %Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (\text{CG}) \iff $\, il existe $t \in \R$\, tel que $\vect{\text{C}M} = t\vect{\text{CG}} \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x - 0&=&2t\\
y + 2&=&2t\\
z + 3&=&- 2t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2t\\
y &=& - 2 + 2t\\
z &=& - 3 - 2t
\end{array}\right.$ 
		\item %Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan $(P)$ avec la droite (CG).
		Les coordonnées de H vérifient l'équation paramétrique de la droite (CG) et l'équation du plan $(P)$ donc le système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2t\\
y &=& - 2 + 2t\\
z &=& - 3 - 2t\\
x + y - z + 2&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2t\\
y &=& - 2 + 2t\\
z &=& - 3 - 2t\\
2t - 2 + 2t  + 3 + 2t + 2&=&0
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2t\\
y &=& - 2 + 2t\\
z &=& - 3 - 2t\\
6t + 3&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&2t\\
y &=& - 2 + 2t\\
z &=& - 3 - 2t\\
t &=&- \dfrac{1}{2}
\end{array}\right.$ soit en reportant dans les trois premières équations :

$x = - 1,\,y = - 3$ et $z = - 2$. Donc H$(- 1~;~- 3~;~- 2)$.
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que l'ensemble $(S)$ des points $M$ de l'espace tels que

%$\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 12$ est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques.
En faisant intervenir grâce à la la relation de Chasles le barycentre G, on a :

$\left\|\vect{M\text{A}} - \vect{M\text{B}} + 2\vect{M\text{C}}\right\| = 12 \iff \left\|\vect{M\text{G}} + \vect{\text{GA}} - \vect{M\text{G}} -  \vect{\text{GB}} + 2\vect{M\text{G}} + 2\vect{\text{GC}} \right\| = 12 \iff$

$ \|\underbrace{\vect{\text{GA}} -  \vect{\text{GB}} + 2\vect{\text{GC}}}_{= \vect{0}} + 2\vect{M\text{G}}\| = 12 \iff 2\text{G}M = 12 \iff \text{G}M = 6$ : cette égalité signifie que $M$ appartient à la sphère de centre G et de rayon 6. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
%Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'intersection du plan $(P)$ et de la sphère $(S)$.
Calculons la distance de G centre de la sphère au plan ($P$) :

$d(\text{G}~;~(P)) = \dfrac{|2 - 0 + 5 + 2 |}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \approx 5,2 < 6$ rayon de la sphère, ce qui montre la sphère et le plan sont sécants en un cercle dont le centre est le projeté de G sur le plan qui n'est autre que H puisqu'on a vu que la droite (CG) est orthogonale au plan ($P$) et que H est le point commun à ($P$) et à la droite (CG).

Le rayon $r$ du cercle vérifie l'égalité de Pythagore : $r^2 + \left(3\sqrt{3} \right)^2 = 6^2 \iff r^2 = 36 - 27 = 9 \Rightarrow r = 3$.

Le cercle de centre H et de rayon $3$ est commun à la sphère et au plan ($P$). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 
\medskip

%\emph{Pour chaque question, une seule des réponses est exacte.}
%
%\medskip
% 
%\emph{Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.}
%
%\medskip
% 
%\emph{Il sera attribué $0,5$ point si la réponse est exacte, $0$ sinon.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Un magasin de matériel informatique vend deux modèles d'ordinateur au même prix et de marques M$_{1}$ et M$_{2}$. Les deux ordinateurs ont les mêmes caractéristiques et sont proposés en deux couleurs : noir et blanc.

%D'après une étude sur les ventes de ces deux modèles, 70\,\% des acheteurs ont choisi l'ordinateur M$_{1}$ et, parmi eux, 60\,\% ont préféré la couleur noire. Par ailleurs, 20\,\% des clients ayant acheté un ordinateur M$_{2}$ l'ont choisi de couleur blanche. 

%On utilise la liste des clients ayant acheté l'un ou l'autre des ordinateurs précédemment cités et on choisit un client au hasard.
On a l'arbre de probabilité suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M_{1}$}\taput{$\frac{7}{10}$}}
		{
		\TR{}~[tnpos=r]{$B$}\taput{$\frac{4}{10}$}
		\TR{}~[tnpos=r]{$N$}\tbput{$\frac{6}{10}$}
 		}
	\pstree{\TR{$M_{2}$}\tbput{$\frac{3}{10}$}}
		{
		\TR{}~[tnpos=r]{$B$}\taput{$\frac{2}{10}$}
		\TR{}~[tnpos=r]{$N$}\tbput{$\frac{8}{10}$}
 		}
}
		
\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item %La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur M$_{2}$ de couleur noire est :

On a $p(M_{2}) \times p_{M_{2}}(N) = \frac{3}{10} \times \frac{8}{10} = \dfrac{24}{100} = \dfrac{6}{25}$. Réponse D.

\medskip
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}}		 
%\textbf{A :} $\dfrac{3}{5}$ &	\textbf{B :} $\dfrac{4}{5}$&	 \textbf{C :} $\dfrac{3}{50}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{6}{25}$ \\ 
%\end{tabularx}
%\medskip

		\item %La probabilité qu'un client choisi au hasard ait acheté un ordinateur de couleur noire est :
On a $p(N) = p(M_{1}) \times p_{M_{1}}(N) +  p(M_{2}) \times p_{M_{2}}(N) = \frac{7}{10}\times\frac{6}{10} + \frac{3}{10} \times \frac{8}{10} = \frac{42}{100} + \frac{24}{100} = \frac{66}{100} =  \frac{33}{50}$. Réponse B. 		
%\medskip
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
%\textbf{A :} $\dfrac{21}{50}$ &	\textbf{B :} $\dfrac{33}{50}$&	 \textbf{C :} $\dfrac{3}{5}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{12}{25}$ \\ 
%\end{tabularx}
%\medskip 
		\item  %Le client a choisi un ordinateur de couleur noire. La probabilité qu'il soit de marque M$_{2}$ est : 
		
%\medskip
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
%\textbf{A :} $\dfrac{4}{11}$ &	\textbf{B :} $\dfrac{6}{25}$&	 \textbf{C :} $\dfrac{7}{11}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{33}{50}$ \\ 
%\end{tabularx}
Il faut trouver $p_{N}(M_{2}) = \dfrac{p(N \cap M_{2}}{p(N)} = \dfrac{\frac{6}{25}}{\frac{33}{50}} = \frac{6}{25} \times \frac{50}{33} = \dfrac{4}{11}$. Réponse A.
\medskip 
		\end{enumerate}		
\item %Une urne contient 4 boules jaunes, 2 boules rouges et 3 boules bleues.
 
%Les boules sont indiscernables au toucher.
 
%L'expérience consiste à tirer au hasard et simultanément 3 boules de l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item %La probabilité d'obtenir trois boules de même couleur est : 
\medskip

%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
%\textbf{A :} $\dfrac{11}{81}$ &	\textbf{B :} $\dfrac{2}{7}$&	 \textbf{C :} $\dfrac{5}{84}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{4}{63}$ \\ 
%\end{tabularx}
Le nombre de tirages favorables est $\binom{4}{3} = 4$ (tirage de 3 boules jaunes) et $\binom{3}{3} = 1$ (tirage de 3 boules bleues).

La probabilité est donc égale à : $\dfrac{\binom{4}{3} + \binom{3}{3}}{\binom{9}{3}} = \dfrac{4 + 1}{\frac{9!}{3!6!}} = \dfrac{5}{3 \times 4 \times 7} = \dfrac{5}{84}$. Réponse C.
\medskip 

		\item %La probabilité d'obtenir trois boules de trois couleurs différentes est :
Il y a $4 \times 2 \times 3$ cas favorables. La probabilité cherchée est donc égale à :

$\dfrac{4 \times 2 \times 3}{\frac{9!}{3!6!}} = \dfrac{24}{3\times 4 \times 7} = \dfrac{2}{7}$. Réponse A.		
\medskip
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
%\textbf{A :} $\dfrac{2}{7}$ &	\textbf{B :} $\dfrac{1}{7}$&	 \textbf{C :} $\dfrac{1}{21}$ &	\textbf{D :} $\dfrac{79}{84}$ \\ 
%\end{tabularx}
%\medskip  

		\item %On répète plusieurs fois l'expérience, de manière indépendante, en remettant à chaque fois les trois boules dans l'urne.
		 
%Le nombre minimal d'expériences à réaliser pour que la probabilité de l'évènement \og obtenir au moins une fois trois boules jaunes \fg{} soit supérieure ou égale à 0,99 est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{>{\textbf{Réponse~}}X}} 
%\textbf{A :} $76$ &	\textbf{B :} $71$&	 \textbf{C :} $95$ &	\textbf{D :} $94$ \\ 
%\end{tabularx}
La probabilité de tirer 3 boules jaunes est égale à $\dfrac{4}{\frac{9!}{3!6!}} = \dfrac{4}{3 \times 4 \times 7} = \dfrac{1}{21}$.
Donc la probabilité de ne pas avoir un tirage de 3 boules jaunes est égale à $\dfrac{20}{21}$.

La probabilité de ne pas avoir de tirage de 3 boules jaunes en $n$ tirages est donc égale à $\left(\dfrac{20}{21} \right)^n$. La probabilité de l'évènement contraire \og obtenir au moins une fois trois boules jaunes \fg{} est égale à $1 - \left(\dfrac{20}{21} \right)^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - \left(\dfrac{20}{21} \right)^n \geqslant 0,99 \iff \left(\dfrac{20}{21} \right)^n \leqslant 0,01 \iff n\ln \left(\dfrac{20}{21} \right) \leqslant \ln 0,01 \iff \, $

$\left(\text{car}\, \ln \left(\dfrac{20}{21} \right) < 0\right)\quad  n \geqslant \dfrac{\ln 0,01}{\ln \left(\frac{20}{21}\right)}$.
Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln \left(\frac{20}{21}\right)} \approx 94,4$.

Il faut donc réaliser au moins 95 expériences. Réponse C.  
\medskip  
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire}
 
\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}
\end{center}

Démonstration classique.
 
%Quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z',\: \text{arg}\left(z \times z'\right) = \text{arg} (z) + \text{arg} \left(z'\right)$ à $2\pi$ près.
% 
%Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls $z$ et $z'$, on a : $\text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}\left(z'\right)$ à $2\pi$ près.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center} 
 
%Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A et B d'affixes respectives :
% 
%\[z_{\text{A}} = 1 - \text{i}\quad  \text{et} \quad  z_{\text{B}} = 2 + \sqrt{3} + \text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le module et un argument de $z_{\text{A}}$.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1 + 1 = 2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = \sqrt{2}$.
En factorisant ce module :

$z_{\text{A}} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2}\left(\cos - \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$.
Le module est égal à $\sqrt{2}$ et un argument est $- \dfrac{\pi}{4}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Écrire $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique.
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{2 + \sqrt{3} + \text{i}}{1 - \text{i}} = \dfrac{\left(2 + \sqrt{3} + \text{i} \right)(1  + \text{i}}{(1 - \text{i})(1 + \text{i})} = \dfrac{2 + \sqrt{3} - 1 + \text{i}\left(2 + \sqrt{3} + 1 \right)}{1 + 1} =$

$ \dfrac{1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(3 + \sqrt{3} \right)}{2} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{3 + \sqrt{3}}{2}$.  
		\item %Montrer que  $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
Calculons le module :

$\left|\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}  \right|^2 = \dfrac{\left(1 + \sqrt{3}\right)^2}{4} + \dfrac{\left(3 + \sqrt{3}\right)^2}{4} = \dfrac{1 + 3 + 2\sqrt{3} + 9 + 3 + 6\sqrt{3}}{4} = \dfrac{16 + 8\sqrt{3}}{4} = 4 + 2\sqrt{3}$.

Or $4 + 2\sqrt{3} = 1 + 3 + 2\times 1 \times \sqrt{3} = \left(1 + \sqrt{3} \right)^2$. Donc $\left|\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}  \right| = 1 + \sqrt{3}$.

En factorisant ce module on obtient :

$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}  = \left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\dfrac{3 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}\right] = \left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(3 + \sqrt{3}\right)\left(1 - \sqrt{3} \right)}{\left(1 + \sqrt{3}\right)\left(1 - \sqrt{3} \right)}\right] =$

$ \left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(3 - 3 + \sqrt{3} - 3\sqrt{3}\right)}{1 - 3}\right] = \left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right] =$
$\left(1 + \sqrt{3} \right)\left[\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3}\right] = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$
		\item %En déduire la forme exponentielle de $z_{\text{B}}$.
On a donc $z_{\text{B}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \times z_{\text{A}} = \left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \times \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{3} -  \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.
	\end{enumerate} 
\item %On note B$_{1}$ l'image du point B par la rotation $r$ de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{6}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'affixe du point B$_{1}$.
Par définition, tout point $M$ d'affixe $z$ a pour image le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = z\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

Donc en utilisant l'écriture exponentielle de $z_{\text{B}}$, on a 

$z_{\text{B}_{1}} = \sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}} \times  \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} = \sqrt{2}\left(1 + \sqrt{3} \right)\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}}$.
		\item %En déduire que le point B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
On constate que $z_{\text{B}_{1}} = \overline{z_{\text{B}}}$ ce qui signifie géométriquement que B$_{1}$ est le symétrique du point B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
	\end{enumerate} 
%Soit $M$ un point du plan. On note $M_{1}$ l'image du point $M$ par la rotation $r$ et $M'$ le symétrique du point $M_{1}$ par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$.
 
%On désigne par (E) l'ensemble des points $M$ du plan tels que $M' = M$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E).
O a pour image par la rotation le point O qui a pour symétrique par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ le point O : le point O est donc invariant.

B a pour image par la rotation le point B$_{1}$ qui a pour symétrique  par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ le point B : le point B est lui aussi invariant.
		\item %Soit $M$ un point distinct du point O.
		 
%Son affixe $z$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\rho$ est un réel strictement positif et $\theta$ un nombre réel.
 
%Montrer que l'affixe $z'$ du point $M'$ est égale à $\rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6} - \theta\right)}$ puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel $\theta$ telles que $M$ appartienne à l'ensemble (E).
$M$ d'affixe $\rho \text{e}^{\text{i}\theta}$ a pour image par la rotation le point $M_{1}$ d'affixe 

$\rho \text{e}^{\text{i}\theta} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} = \rho \text{e}^{\text{i}\left(\theta - \frac{\pi}{6} \right)}$.

Ce point $M_{1}$ a pour symétrique autour de l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ le point de même module mais d'argument opposé soit $z_{M'} =  \rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6}-  \theta \right)}$.

On a donc $M = M' \iff \rho \text{e}^{\text{i}\theta} = \rho \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6}-  \theta \right)} \iff \theta = \frac{\pi}{6}-  \theta \mod 2\pi \iff 2\theta = \frac{\pi}{6} \mod 2\pi \iff \theta = \frac{\pi}{12} \mod \pi$.
		\item %Déterminer l'ensemble (E).
L'ensemble (E) est donc la droite privée de O contenant tous les points d'argument $\frac{\pi}{12}$, donc en particulier le point B ; mais on a vu que O était invariant donc (E) est la droite (OB).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}


\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}
 
\medskip
 
\begin{center}\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}\end{center}
 
%On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct.
% 
%\textbf{Prérequis :} L'écriture complexe d'une similitude directe est de la forme $z'= az + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a \neq 0$.
%
%\medskip
% 
%Démontrer que si A, B, A$'$ et B$'$ sont quatre points du plan tels que A $~\neq~$ B et A$' ~\neq~$B$'$, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A$'$ et B en B$'$.
 
\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}
 
%On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que $\left(\vect{\text{AB}},\, \vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2} \:\text{modulo}\: 2\pi$.

%On note D le symétrique de A par rapport au point C.
 
%On désigne par $s$ la similitude directe transformant D en C et C en B.
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le rapport et l'angle de la similitude $s$.
Par définition si $k$ est le rapport de la similitude, alors CB = $k$DC. Or puisque ABC est rectangle isocèle en A, CB = CA$\sqrt{2}$ = CD$\sqrt{2}$. Le rapport de la similitude est donc égal à $\sqrt{2}$.

L'angle est égal à $\left(\vect{\text{DC}}~;~\vect{\text{CB}} \right) = \dfrac{\pi}{4}$. 
\item %On appelle $\Omega$ le centre de la similitude $s$. 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant la relation $\vect{\text{DC}} = \vect{\Omega\text{C}} - \vect{\Omega\text{D}}$, démontrer que $\text{DC}^2 = \Omega\text{D}^2$.
$\vect{\text{DC}} = \vect{\Omega\text{C}} - \vect{\Omega\text{D}} \Rightarrow \left\|\vect{\text{DC}}  \right\|^2 = \text{DC}^2 = \left\|\vect{\Omega\text{C}} - \vect{\Omega\text{D}}  \right\|^2 = \left(\vect{\Omega\text{C}} - \vect{\Omega\text{D}} \right) \cdot \left(\vect{\Omega\text{C}} - \vect{\Omega\text{D}} \right) = $

$\left\|\vect{\Omega\text{C}}\right\|^2 + \left\|\vect{\Omega\text{D}}\right\|^2 - 2\vect{\Omega\text{C}} \cdot \vect{\Omega\text{D}}$.

Le rapport de la similitude étant de $\sqrt{2}$, on a $\Omega\text{C} = \Omega\text{D}\sqrt{2}$, et  $\Omega\text{C}^2 = 2\Omega\text{D}^2$.

D'où $\text{DC}^2 = 2\Omega\text{D}^2 + \Omega\text{D}^2 - 2 \times \Omega\text{D} \times \sqrt{2} \times \Omega\text{D} \times \cos\left(\vect{\Omega\text{C}}~;~\vect{\Omega\text{D}} \right) =
3\Omega\text{D}^2  - 2\sqrt{2} \times \Omega\text{D}^2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} =$

$ 3\Omega\text{D}^2 - 2\Omega\text{D}^2 = \Omega\text{D}^2$.
		\item %En déduire la nature du triangle $\Omega$DC.
La dernière égalité montre que $\text{DC} = \Omega\text{D}$, c'est-à-dire que le triangle $\Omega$CD est isocèle en D. Mais comme l'angle en $\Omega$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$, l'angle en C mesure aussi $\dfrac{\pi}{4}$ et par supplément à $\pi$, l'angle en D mesure $\dfrac{\pi}{2}$.

Conclusion : le triangle $\Omega$DC est un triangle rectangle isocèle en D.
	\end{enumerate} 
\item %On pose $\sigma = s \circ s$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature de la transformation $\sigma$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
$\sigma$ composée de deux similitudes est une similitude dont le centre est $\Omega$ centre des deux similitudes, dont  le rapport est égal aux produit des rapports des deux similitudes soit $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ et dont l'angle est égal à la somme des angles des deux similitudes soit $\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$.  
		\item %Déterminer l'image du point D par la transformation $\sigma$.
On a $s(\text{D}) = \text{C}$ et $s(\text{C}) = \text{B}$ soit $s\left[s(\text{D})\right] = \text{B}$ ou encore $s \circ s(\text{D}) = \text{B}$.

Conclusion B est l'image de D par $\sigma$. 
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que le quadrilatère AD$\Omega$B est un rectangle.
D'après les deux questions précédentes $\Omega\text{B} = 2\Omega\text{D}$ et $\left(\vect{\Omega\text{D}}~;~\vect{\Omega\text{B}} \right) = \dfrac{\pi}{2}$.

Le quadrilatère AD$\Omega$B a dont trois angles droits : c'est un rectangle. 
\item %Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~\vect{u},\,\vect{v}\right)$, choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0,\, 1,\ i et 2i. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que l'écriture complexe de la similitude $s$ est :
		
%$z' = (1 + \text{i}) z + 2 - \text{i}$ 
%où $z$ et $z'$ désignent respectivement les affixes d'un point $M$ et de son image $M'$ par $s$.
De façon évidente l'affixe du point $\Omega$ est $1 + 2\text{i}$.

Puisque $s$ est la similitude de centre $\Omega$ de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$, l'image d'un point $M$ d'affixe $z$ est le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

$z' - (1 + 2\text{i}) = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left[z -   (1 + 2\text{i})\right] \iff z' = 1 + 2\text{i} + \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\left[z -   (1 + 2\text{i})\right] \iff $

$z' = 1 + 2\text{i} + (1 + \text{i})\left[z -   (1 + 2\text{i})\right] \iff z' =  1 + 2\text{i} + z(1 + \text{i}) - 1 - 2\text{i} - \text{i} + 2 \iff z' = z(1 + \text{i}) + 2 - \text{i}$.
		\item %On note $x$ et $x'$, $y$ et $y'$ les parties réelles et les parties imaginaires de $z$ et $z'$.
		 
%Démontrer que  $\left\{\begin{array}{l c l}
%x'&=&x- y + 2\\
%y'&=&x + y - 1 
%\end{array}\right.$
Avec $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$, on a en remplaçant dans la définition complexe de la similitude :

$x' + \text{i}y' = (x + \text{i}y)(1 + \text{i}) + 2 - \text{i} \iff x' + \text{i}y' = x  - y + 2 + \text{i}(x + y - 1)$

et en identifiant parties réelles et parties imaginaires :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&x  - y + 2\\
y'&=&x + y - 1
\end{array}\right.\]
		\item %Soit J le point d'affixe $1 + 3\text{i}$.
		 
%Existe-t-il des points $M$ du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que
 
%$\vect{\text{A}M'} \cdot \vect{\text{AJ}} = 0$, $M'$ désignant l'image du point $M$ par $s$ ?

On a $\vect{\text{A}M'}(x  - y + 2~;~x + y - 1)$ et $\vect{\text{AJ}}(1~;~3)$.

Donc $\vect{\text{A}M'} \cdot  \vect{\text{AJ}} = 0 \iff x - y + 2  + 3(x + y - 1) = 0 \iff x - y + 2  + 3x + 3y - 3 = 0 \iff$

$ 4x + 2y - 1 = 0 \iff 4x + 2y = 1$.

Si $x$ et $y$ sont des entiers la relation trouvée signifie que $x$ et $y$ sont premiers entre eux, mais aussi que 4 et 2 sont premiers entre eux ce qui est manifestement faux.

On peut également dire simplement que $4x + 2y$ est pair : ce nombre ne peut donc être égal à 1 impair.

Conclusion : il n'existe pas de point $M$ du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que $\vect{\text{A}M'} \cdot \vect{\text{AJ}} = 0$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\medskip

%Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 
%
%\[f(x) = x + \text{e}^{-x}.\]
% 
%On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
La fonction est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 - \text{e}^{-x}$.

Or $f'(x) > 0 \iff  1 - \text{e}^{-x} > 0 \iff 1 > \text{e}^{-x} \iff \,(\text{par croissance de la fonction ln})\,$
$ 0 > - x \iff x > 0$.

Conclusion : $f'(x) > $ sur $[0~;~+ \infty[$ : la fonction est croissante sur cet intervalle.
\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc  $\displaystyle\lim{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %Montrer que $(\mathcal{C})$ admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.
Soit $d$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $d(x) = f(x) - x = \text{e}^{-x}$.

On a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$ ce qui signifie que la droite d'équation $y = x$ est asymptote oblique à $(\mathcal{C})$ au voisinage de plus l'infini.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$  à termes positifs définie par : 

%\[ u_{1} = 0\quad  \text{et, pour tout entier naturel}\: n\: \text{non nul},\: u_{n+1} = f\left(u_{n}\right) = u_{n} + \text{e}^{-u_{n}}.\]

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout réel $x$ positif, $\ln (1 + x ) \leqslant x$.
 
%On pourra étudier la fonction $g$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par $g(x) = x - \ln (1 + x)$.
La fonction $g$ est dérivable sur $[0~;~ + \infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = 1 - \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{1 + x - 1}{1 + x} = \dfrac{x}{1 + x}$.

Comme $x \geqslant 0$ et $1 + x  \geqslant 1 > 0$, le quotient $g'(x)$ est positif ou nul : la fonction $g$ est donc croissante sur $[0~;~ + \infty[$.
Comme $g(0) = 0$ on en déduit que pour tout $x$ de $[0~;~ + \infty[,\: g(x) \geqslant 0 \iff x - \ln (1 + x) \geqslant 0 \iff x \geqslant \ln (1 + x) \iff \ln (1 + x) \leqslant x$. 
\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n + 1) \leqslant  \ln(n) + \dfrac{1}{n}$.
En appliquant l'inégalité trouvée à $x = \dfrac{1}{n}$,  on obtient  $\ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) \leqslant \frac{1}{n} \iff \ln \left(\frac{n + 1}{n} \right) \leqslant \frac{1}{n} \iff \ln (n + 1) - \ln n \leqslant \frac{1}{n} \iff \ln (n + 1) \leqslant \ln n + \frac{1}{n}$.
\item  %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $f[\ln(n)] = \ln (n) + \dfrac{1}{n}$.
On a pour tout réel positif $x,\, f(x) = x + \text{e}^{-x}$ d'où avec $n \geqslant 1,\,$

$ f(\ln n) = \ln n + \text{e}^{-\ln n} = \ln n + \dfrac{1}{\text{e}^{\ln n}} = \ln n + \dfrac{1}{n}$, car pour $n > 1,\, \text{e}^{\ln n} = n$. 
\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n) \leqslant u_{n}$.
\emph{Initialisation } $\ln 1 \leqslant u_{1} = 0 + \text{e}^{-0} = 1$ la relation est vraie au rang 1.

\emph{Hérédité } Soit $n \in \N,\, n > 1$ tel que $\ln n \leqslant u_{n}$. Donc :

$f\left(\ln n \right) \leqslant f\left( u_{n}\right)$ car la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$. Mais d'après la question 3. 

$f(\ln n)  = \ln n + \dfrac{1}{n}$, donc $\ln n + \dfrac{1}{n} \leqslant f\left(u_{n} \right) \iff \ln n + \dfrac{1}{n} \leqslant u_{n+1}$.

Mais d'après la question 2. : $\ln (n + 1) \leqslant \ln n + \dfrac{1}{n}$, d'où finalement par transitivité : 

$\ln (n + 1) \leqslant u_{n+1}$.

La relation est vraie au rang 1, et si elle est vraie à un rang au moins égal à 1, elle l'est aussi au rang suivant : on a donc démontré par le principe de récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $\ln (n) \leqslant u_{n}$.
\item %En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}$·
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln n = + \infty$, par comparaison :  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$. La suite est divergente.
\medskip

%Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2,\, u_{n} \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n - 1}$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 2, on a : 
		
%$\dfrac{1}{k} \leqslant \displaystyle\int_{k - 1}^k \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$.
Un petit dessin vaut mieux qu'un long discours :

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(3,2.75)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=3,Dy=3]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(3,2)
\psline[linewidth=0.25pt](1,0)(1,2)
\psline[linewidth=0.25pt](2.5,0)(2.5,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2.5,0.8)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.5}{2 x div }
\psline(2.5,0)(1,0)
}
\uput[ur](1,2){\blue $y = \frac{1}{x}$}\uput[d](1,0){$k - 1$}\uput[d](2.5,0){$k$}\uput[l](0,0.8){$\frac{1}{k}$}
\psline[linewidth=0.25pt](0,0.8)(1,0.8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{3}{2 x div }
\end{pspicture}
\end{center}

Le rectangle gris a une largeur de $\dfrac{1}{k}$ et une longueur de 1, donc une aire de $\dfrac{1}{k}$.

La	 fonction $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ étant décroissante et positive, l'intégrale ci-dessus est égale à l'aire de la surface hachurée, d'où l'inégalité. 
		\item %En déduire que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a : 
		
%$u_{n} \leqslant  1 + \ln (n - 1)$.
On a admis que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2,$

$u_{n} \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{n - 1}$.

On vient de démontrer que pour $k \geqslant 2,\,\dfrac{1}{k} \leqslant \displaystyle\int_{k - 1}^k \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$, donc l'inégalité précédente devient :

$u_{n} \leqslant 1 +  \displaystyle\int_{1}^2 \dfrac{1}{x}\:\text{d}x + \cdots + \displaystyle\int_{n - 2}^{n - 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$ ou d'après la linéarité de l'intégrale :

$u_{n} \leqslant 1 +  \displaystyle\int_{1}^{n - 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x$ ou 

$u_{n} \leqslant 1 + [\ln x]_{1}^{n - 1}$ et finalement 

$u_{n} \leqslant 1 + \ln (n - 1)$.
	\end{enumerate} 
\item %Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, on a montré que 

%$\ln (n) \leqslant u_{n} \leqslant 1 + \ln (n - 1)$.
 
%Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_{n}}{\ln (n)}\right)_{n \geqslant 2}$ converge vers 1.
On a pour $n \geqslant 1$\, $\ln (n) \leqslant u_{n} \leqslant 1 + \ln (n - 1) \iff 1 \leqslant \dfrac{u_{n}}{\ln (n)} \leqslant \dfrac{1 + \ln (n - 1)}{\ln (n)}$.

Or, $ \dfrac{1 + \ln (n - 1)}{\ln (n)} = \dfrac{1}{\ln n} + \dfrac{\ln (n-1)}{\ln n} = \dfrac{1}{\ln n} + \dfrac{\ln [n(1-\frac{1}{n})]}{\ln n} = \dfrac{1}{\ln n} + \dfrac{\ln n + \ln (1-\frac{1}{n})}{\ln n} $

Donc $ \dfrac{1 + \ln (n - 1)}{\ln (n)} = \dfrac{1}{\ln n} + 1 + \dfrac{ \ln (1-\frac{1}{n})}{\ln n} $. Il reste à écrire les limites, mais plus de formes indéterminés ici.

On trouve $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1 + \ln (n - 1)}{\ln (n)} = 1$.

Finalement, d'après le théorème des \og gendarmes \fg{}, $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{u_{n}}{\ln (n)}\right)_{n \geqslant 2} = 1$.

Ceci signifie que pour $n$ assez grand $u_{n} \approx \ln n$.

\end{enumerate}
\end{document}