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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{mai 2003}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauéat  S Liban mai 2003~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une urne contient quatre boules noires et deux boules blanches.
%
%Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. On  répète $n$ fois
% l'épreuve qui consiste à tirer une boule puis  la remettre dans l'urne ; on  suppose que toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées et que les tirages sont indépendants.
% 
%On note $p_n$, la probabilité de tirer exactement une boule blanche 
%lors des $n -1$ premiers tirages et une boule blanche lors du $n$-ième 
%tirage.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item ~%Calculer les probabilités $p_2,~p_3$ et $p_4$.
À chaque tirage la probabilité de tirer une boule blanche est égale à $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$, donc celle de tirer une boule noire est égale à $\dfrac{2}{3}$.

On peut construire le début de l’arbre en arrêtant la branche dès qu’il y a eu tirage de deux boules blanches.

\begin{center}
\psset{linecolor=black}
\newcommand{\Noir}{\Tcircle[fillstyle=solid,fillcolor=black]{ }}
\newcommand{\B}{\Tcircle[fillstyle=solid,fillcolor=white]{ }}

\pstree[treemode=R]{\Tr{}}
      {
      \pstree{\B\taput{1/3}}
     		 {\B\taput{1/3}
      			\pstree{\Noir\tbput{2/3}}
						{\B\taput{1/3}
						\pstree{\Noir\tbput{2/3}}
								{\B\taput{1/3}
								\Noir\tbput{2/3}
								}
						}
      			}
         \pstree{\Noir\tbput{2/3}}
         		{
				\pstree{\B\taput{1/3}}
						{
						\pstree{\B\taput{1/3}}
								{								
								}
						\pstree{\Noir\tbput{2/3}}
								{\B\taput{1/3}
								\Noir\tbput{2/3}								
								}
						}
				\pstree{\Noir\tbput{2/3}}
						{
						\pstree{\B\taput{1/3}}
								{\B\taput{1/3}
								\Noir\tbput{2/3}
								}
						\pstree{\Noir\tbput{2/3}}
								{\B\taput{1/3}
								\Noir\tbput{2/3}
								}
						}		
				}
       }    
           \end{center}

On a donc $p_{2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3^{2}}$ 

$p_{3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times \dfrac{2}{3} \times 2 = \dfrac{4}{27}$,

$ p_{4} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times 3 = \dfrac{4}{27}$.
\medskip
\item %On considère les évènements suivants :

%$B_n$ : \og On tire une boule blanche lors du $n$-ième tirage \fg,

%$U_n$ : \og On tire une boule blanche et une seule lors des $n - 1$ premiers tirages \fg.
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $B_n$.
		
Quel que soit $n,\:, B_{n} =  \dfrac{1}{3}$.
		\item %Exprimer la probabilité de l'évènement $U_n$ en fonction de $n$.

$U_{n}$ est réalisé si dans les $(n - 1)$ premiers tirages il y a exactement tirage d’une boule blanche. Ce tirage peut se produire à $(n - 1)$ endroits ; on a donc pour $n \geqslant 2$ 

$p\left(U_{n}\right) = (n - 1)\times \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^{n - 2}$.		

		\item %En déduire l'expression de $p_n$ en fonction de $n$ et vérifier l'égalité :
		
Les tirages étant indépendants, on a  :

$p_{n} = p\left(U_{n}\right) \times p\left(B_{n}\right) = \dfrac{1}{3} \times  (n - 1)\times \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^{n - 2} = (n - 1)\dfrac{1}{3^{2}} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^{n - 2} =$

$ (n - 1) \dfrac{2^{{n-2}}}{3^{n}} = (n - 1) \dfrac{1}{2^{2}} \dfrac{2^{{n-2}}}{3^{n}} = \dfrac{n-1}{4} \times \left( \dfrac{2}{3}\right)^n.$
%\[p_n =  \dfrac{n-1}{4} \times \left( \dfrac{2}{3}\right)^n.\]
	\end{enumerate}
\item On pose : $S_n = p_2 + p_3 + \cdots + p_n$.	
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on a :
		
%\[S_n = 1 - \left(\dfrac{n}{2} + 1\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n.\]
$\bullet~~$\emph{Initialisation}

Pour $n  = 2$, S_{2} = p_{2} = \dfrac{1}{9}$.

Or $1 - \left(\dfrac{2}{2} + 1\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 1 - 2 \times \dfrac{4}{9} = 1 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{1}{9}$.

La relation est vraie au rang 2.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} Supposons que pour  $n$ naturel $n \geqslant 2$ on ait  

$S_n = 1 - \left(\dfrac{n}{2} + 1\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.

Or $S_{n+1} = S_{n} + p_{n+1} = 1 - \left(\dfrac{n}{2} + 1\right) \times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n +  \dfrac{n}{4}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} = 1 - \left( \dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\left(\dfrac{3n}{4} + \dfrac{3}{2} - \dfrac{n}{4}\right) = $

$1 - \left( \dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\left(\dfrac{n}{2} + \dfrac{3}{2} \right) = 1 - \left(\dfrac{n+1}{2} + 1\right)\left( \dfrac{2}{3}\right)^{n+1}$.

La relation est vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang 2 et si elle est vraie à un rang au moins égal à 2, elle est vraie au rang suivant : d'après le principe de récurrence la propriété est donc démontrée pour tout naturel $n \geqslant 2$.
 		\item %Déterminer la  limite  de la suite $(S_n)$
On a $S_{n} = 1 - \dfrac{n}{2}\left( \dfrac{2}{3}\right)^n - \left( \dfrac{2}{3}\right)^n$.

Comme $- 1 < \dfrac{2}{3} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left( \dfrac{2}{3}\right)^n = 0$.

$\bullet~~$ Limite de $\dfrac{n}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ :

$\dfrac{n}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n = \dfrac{n}{2}\text{e}^{n \ln \frac{2}{3}} = \dfrac{n \ln \frac{2}{3}\text{e}^{n \ln \frac{2}{3}}}{2 \ln \frac{2}{3}}$.

Or $\ln \frac{2}{3} < 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}n \ln \frac{2}{3} = - \infty$.

Le numérateur est de la forme $X \text{e}^{X}$ qui a pour limite 0 quand $X$ tend vers $- \infty$.

Il reste finalement $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} S_{n} = 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Résoudre dans $\C$ l'équation :

%\[ 4z^2 - 12z + 153 = 0. \]
$4z^2 - 12z + 153 = 0 \iff 4\left(z^{2} - 3z + \frac{153}{4}\right)  = 0 \iff 4\left[\left(z - \frac{3}{2} \right)^{2} - \frac{9}{4} + \frac{153}{4}\right]  = 0 \iff \left(z - \frac{3}{2} \right)^{2} + 36 = 0  \iff  \left(z - \frac{3}{2} \right)^{2} - (6\text{i})^{2} = 0 \iff \left(z - \frac{3}{2}+ 6\text{i} \right)\left(z - \frac{3}{2}- 6\text{i} \right) = 0$.
L’équation a donc deux solutions :

$\dfrac{3}{2}- 6\text{i}$ et $\dfrac{3}{2}+ 6\text{i}$.
\item %Dans le plan rapporté à un repère orthonormé 
%\Ouv,  d'unité graphique 1~cm on considère les points A, B, C, P d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = \dfrac{3}{2} + 
%6\text{i},\\z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} - 6\text{i}~;~z_{\text{C}} = - 3 - \dfrac{1}{4}\text{i},~z_{\text{P}} = 3 + 2\text{i}$ et le vecteur $\vect{w}$ d'affixe $z_{\vect{w}} = - 1 + \dfrac{5}{2}\text{i}$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer l'affixe $z_{\text{Q}}$ du point Q, image du point  B dans la translation $t$ de vecteur $\vect{w}$.
		On a $\vect{\text{BQ}} = \vect{w} \iff z_{\text{Q}} - \left(\dfrac{3}{2} - 6\text{i} \right) = - 1 + \dfrac{5}{2}\text{i} \iff z_{\text{Q}}  = \dfrac{3}{2} - 1 + \text{i}\left(- 6 + \frac{5}{2} \right) = \dfrac{1}{2} - \frac{7}{2}\text{i}$. 
		\item %Déterminer l'affixe $z_{\text{R}}$ du point R, image du point  P par l'homothétie $h$ de centre C et de rapport $- \dfrac{1}{3}$.
On a $z_{\vect{\text{CR}}} = - \dfrac{1}{3}z_{\vect{\text{CP}}} \iff z_{\text{R}} -  z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{3}\left( z_{\text{P}} -  z_{\text{C}} \right) \iff z_{\text{R}} = z_{\text{C}} - \dfrac{1}{3}\left( z_{\text{P}} -  z_{\text{C}} \right) = - 3 - \dfrac{1}{4}\text{i} - \dfrac{1}{3}\left( 3 + 2\text{i}  + 3 +\frac{1}{4}\text{i}\right) = - 3 - \dfrac{1}{4}\text{i} - 2 - \dfrac{2}{3}\text{i} + \frac{1}{4}\text{i} = - 5  - \text{i}$.
		\item %Déterminer l'affixe $z_{\text{S}}$ du point S, image du point P par la rotation $r$ de centre A et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
On doit avoir $z_{\vect{\text{AS}}} = - \text{i}z_{\vect{\text{AP}}}$ soit $z_{\text{S}} - z_{\text{A}} = - \text{i}\left(z_{\text{P}} - z_{\text{A}} \right) \iff z_{\text{S}} = z_{\text{A}} - \text{i}\left(z_{\text{P}} - z_{\text{A}} \right) = \frac{3}{2} + 6\text{i}- \text{i}\left(3 + 2\text{i} - \frac{3}{2} - 6\text{i}} \right) = \frac{3}{2} + 6\text{i}- \frac{3}{2} \text{i} - 4 = - \frac{5}{2} + \frac{9}{2}\text{i}$.

%Placer les points P, Q, R et S.
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-5,-6.5)(4,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptsize]{->}(0,0)(-5,-6.5)(4,6)
\psdots(1.5,6)(1.5,-6)(-3,-0.25)(3,2)(0.5,-3.5)(-5,-1)(-2.5,4.5)%ABCPQRS
\uput[u](1.5,6){A} \uput[ul](1.5,-6){B} \uput[dr](-3,-0.25){C} 
\uput[r](3,2){P} \uput[r](0.5,-3.5){Q} \uput[dl](-5,-1){R} 
\uput[ul](-2.5,4.5){S}
\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon(3,2)(0.5,-3.5)(-5,-1)(-2.5,4.5)
\psline(3,2)(1.5,6)(-2.5,4.5)
\rput(-0.75,1.25){\red $\vect{w}$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,-3.5)(-2.5,4.5) 
\psline[linestyle=dashed](3,2)(-5,-1)
\psline[linecolor=red,arrowsize=3pt 5]{->}(-1,2.5) \psline[linecolor=red,arrowsize=3pt 5]{->}(1.5,-6)(0.5,-3.5)
\pscircle[linestyle=dotted,linecolor=blue](-1,0.5){4.272}
\rput(3,-2){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que le quadrilatère PQRS est un 
%parallélogramme.

[PR] a pour milieu le point de coordonnées $\left(- 1~;~\frac{1}{2}\right)$ ;

[QS] a pour  milieu le point de coordonnées $\left(\frac{3-5}{2}~;~\frac{2-1}{2}\right) = \left(- 1~;~\frac{1}{2}\right)$.

[PR] et [QS] ont le même milieu, donc PQRS est un parallélogramme.
		\item %Calculer $\dfrac{z_{\text{R}} - 
%z_{\text{Q}}}{z_{\text{P}} - z_{\text{Q}}}$.

$\dfrac{z_{\text{R}} - z_{\text{Q}}}{z_{\text{P}} - z_{\text{Q}}} = \dfrac{- 5 - \frac{1}{2} + \text{i} -\frac{7}{2}\text{i}}{3 + \frac{7}{2} + 2\text{i} + \frac{7}{2}\text{i}} = \dfrac{- \frac{11}{2}+ \frac{5}{2}\text{i}}{\frac{5}{2} + \frac{11}{2}\text{i}} = \text{i}$.

%En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS.
$\bullet~~$En prenant les modules des deux membres de la relation trouvée, on obtient : 

$\dfrac{\text{QR}}{QP} = 1 \iff \text{QR} = \text{QP}$, donc le parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur : c’est un losange.

$\bullet~~$En prenant les arguments des deux membres de la relation trouvée, on obtient : $\left(\vect{\text{QP}},~\vect{\text{QR}} \right) = \frac{\pi}{2}$ ; donc le losange a un angle droit : c’est un carré.
		\item %Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un 
%même cercle, noté $\mathcal{C}$. On calculera l'affixe de son 
%centre $\Omega$ et son rayon $\rho$.
Le carré PQRS est inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ ayant pour centre le point $\Omega\left(- 1~;~\frac{1}{2}\right)$ déjà trouvé ; on a donc trouvé $\omega = - 1  + \frac{1}{2}\text{i}$.

[PR] et [RS] sont deux diamètres.

PR$^{2} = (3 + 5)^{2} + \left(2 + 1 \right)^{2} = 64 + 9 = 73$, donc PR $= \sqrt{73}$. Le rayon du cercle est donc $\dfrac{\sqrt{73}}{2} \approx 4,272$
	\end{enumerate}
\item %La droite (AP) est-elle tangente au cercle $\mathcal{C}$ ?
On a vu que SAP est rectangle isocèle en A, d’hypoténuse [PS] ; de même $\omega$PS est un triangle rectangle isocèle en $\omega$, d’hypoténuse [PS], donc $\omega$SAP est un carré et (AP) est bien perpendiculaire au rayon $[\omega\text{P}]$. Elle est donc bien tangente au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les suites d'entiers naturels $(x_n)$ et $(y_n)$ sont définies sur $\N$ 
par :

\[ \begin{array}{l}
x_0 = 3 \quad \text{et} \quad x_{n+1} = 2x_n - 1\\
y_0 = 1 \quad \text{et} \quad y_{n+1} = 2y_n + 3.
\end{array}\]

\begin{enumerate} 
\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 
%$n,~ x_n = 2^{n+1} + 1$.
$\bullet~~$\emph{Initialisation} Pour $n = 0,\: x_{0} = 3 = 2^{1} + 1$. La relation est vraie au rang 0.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} Supposons que pour  $n \in \N*$ on ait  $x_{n} = 2^{n-1} + 1$ ; on a donc $x_{n+1}  = 2x_{n} + 1 = 2^{n} + 2 + 1 = 2^{n+1} + 1$ : la relation est encore vraie au rang $n+1$.

La relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$.

Donc d'après le principe de récurrence, quel que soit le naturel $n$, \: x_n = 2^{n+1} + 1$..
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer le pgcd de $x_8$ et $x_9$, puis celui de 
%$x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$. Que peut-on en déduire pour $x_8$ et $x_9$ d'une part, pour
% $x_{\np{2002}}$ et $x_{\np{2003}}$ d'autre part ?

On a donc $x_{8} = 2^{9} + 1 = 513$ et $x_{9} = 2^{10} + 1 = \np{1025}$.

L’algorithme d’Euclide donne 

\np{1025} = 513 + 512

513 = 512 + 1

Le dernier reste non nul est 1 ce qui signifie que $x_{8}$ et $x_{9}$ sont premiers entre eux : PGCD$\left(x_{8}~;~x_{9} \right) = 1$.

$x_{\np{2002}} = 2 \times 2^{\np{2002}} + 1$ et $x_{\np{2003}} = 2 \times 2^{\np{2003}} + 1$.

On peut écrire  $x_{\np{2003}}$ sous la forme :

$x_{\np{2003}} = 2 \times 2^{\np{2003}} + 1 = $

$x_{\np{2003}} = 2^{\np{2003}} + 2^{\np{2003}} + 1 = $

$ x_{\np{2003}} =  x_{\np{2002}} + 2^{\np{2003}}$ ; comme $2^{\np{2003}}  = x_{\np{2002}} - 1$ et que $x_{\np{2002}} - 1 < x_{\np{2003}}$, l’égalité montre que le reste de la division de $x_{\np{2003}}$ par $x_{\np{2002}}$ est $2^{2003}$.

Ensuite $x_{\np{2002}} = x_{\np{2002}}  - 1 + 1$ : le reste de la division de $x_{\np{2002}}$ par $x_{\np{2002}} - 1$ est égale à 1 : ceci signifie que le PGCD$\left(x_{\np{2003}}~;~ \right) = 1$. 

$2 \times 2 \times 2^{\np{2002}} + 1 = 2 \left(x_{\np{2002}}  - 1 \right) + 1 =   2x_{\np{2002}} + 1$.
		\item %$x_n$ et $x_{n+1}$ sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel $n$ ?
La première définition  peut s’écrire : $2x_{n } - x_{n+1} = 1$ : d’après la relation de Bezout ceci signifie que $x_{n}$ et $x_{n+1}$  sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n,~ 2x_n - 
%y_n = 5$.
$\bullet~~$\emph{Initialisation} Pour $n = 0$, $2x_{0} - y_{0} = 6 - 1 = 5$. La relation est vraie au rang 0.

$\bullet~~$\emph{Hérédité} Supposons qu’il existe $p \in \N*$ tel que $2x_{p} - y_{p} =  5$.

Alors $2x_{p+1} - y_{p+1} = 2\left(2x_{p} - 1\right) - \left(2y_{p} + 3 \right) = 2\left(2x_{p} - y_{p}\right) - 2 - 3 = 2 \times 5 - 5 = 5$.

L’hérédité est démontrée.

Quel que soit le naturel $n$, \: 2x_{n} - y_{n} = 5$.
		\item %Exprimer $y_n$ en fonction de $n$.
		Les questions 1. et 3. montrent donc que :
		
$y_{n} = 2x_{n} - 5 = 2\left(2^{n+1} + 1 \right)  - 5 = 2^{n+2} - 3$.
		\item %En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $p$ le reste de la division euclidienne de $2^p$ par 5.
		On a successivement :
		
$2^{0} \equiv 1 \mod 5$ ;

$2^{1} \equiv 2 \mod 5$ ; 

$2^{2} \equiv 4 \mod 5$ ;

$2^{3} \equiv 3 \mod 5$ ;

$2^4 \equiv 1 \mod {5}$. 

Cette dernière équivalence entraîne que $2^{4} \times 2^{p} \equiv 2^{p} \mod 5$, soit 

$2^{p+4} \equiv 2^{p} \mod 5$ c’est-à-dire que les restes de $2^{p}$ par 5 sont périodiques de période 4 et ce reste dépend du reste de la division de $p$ par 4 :

$\bullet~~$Si $p = 4k + 0$ avec $k \in \N,\: 2^{p} \equiv 1 \mod 5$ ;

$\bullet~~$Si $p = 4k + 1$ avec $k \in \N,\: 2^{p} \equiv 2 \mod 5$

$\bullet~~$Si $p = 4k + 2$ avec $k \in \N,\: 2^{p} \equiv 4 \mod 5$

$\bullet~~$Si $p = 4k + 3$ avec $k \in \N,\: 2^{p} \equiv 3 \mod 5$
		\item %On note $d_n$ le pgcd de $x_n$ et $y_n$ pour tout entier naturel $n$.
$d_{n}$ étant diviseur commun à $x_n$ et $y_n$ est aussi diviseur commun à $2x_n$ et $y_n$ et aussi de la différence $2x_{n} - y_{n}$ soit diviseur de 5.

Donc $d_{n} \in \{1~;~5\}$

%Démontrer que l'on a $d_n = 1$ ou $d_n = 5$ ; en déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $x_n$ et $y_n$ soient premiers entre eux. 
Si $d_{n} = 5$ alors 5 divise $x_{n}$ et $y_{n}$ et si 5 divise $x_{n}$, alors 5 divise $2x_{n} - 5 = y_{n}$.

Finalement $d_{n} = 5$ si et seulement si $x_{n}$ est multiple de 5.

Or 5 divise $x_{n}$ si et seulement si $x_{n} \equiv 0 \mod 5 \iff 2^{n+1} + 1 \equiv 0 \mod 5  \iff 2^{n+1}  \equiv 4 \mod 5$.

Or on a vu que $2^{p} \equiv 4 \mod 5$ si $p = 4k + 2$, soit $n + 1 = 4k + 2 \iff n = 4k + 1$.

Finalement $d_{n} = 1$, soit $x_n$ et $y_n$ sont premiers entre eux si et seulement si $n \neq 4k + 1$, donc si $n$ n’est pas congru à 1 modulo 4.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

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\textbf{Partie A Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ 
\unboldmath}

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%La fonction $g$ est définie sur $\R$ par 

\[g(x) =  2\text{e}^x + 2x - 7.\]

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\begin{enumerate} 
\item %Étudier les limites de $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
$\bullet~~$On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = - \infty$.

$\bullet~~$$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \text{e}^x  = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2x = + \infty$ d’où par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} g(x) = + \infty$.
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
$g$ est une somme de fonctions dérivables sur $\R$, elle est donc dérivable et sur cet intervalle :

$g’(x) = 2\text{e}^x + 2 = 2\left( \text{e}^x + 1\right)$

$g’$ est une somme de termes supérieurs à zéro, donc sur $\R,\: g’(x) > 0$ : la fonction $g$ est donc strictement croissante de $- \infty$ à $+ \infty$. De plus $g(0) = - 5$.
\item %Justifier que l'équation $g(x) = 0$ admet dans $\R$ une solution
 %unique $\alpha$ telle que :

%\[0,94 < \alpha <  0,941.\]
On a $g(0) = - 5$ et $g(1) = 2\text{e}+ 2 - 5 \approx 2,4$.

La fonction $g$ étant continue et strictement croissante  sur l’intervalle [0~;~1]  s’annule une seule fois en $\alpha$ avec $0 < \alpha < 1$.

La calculatrice donne :

$g(0,9) \approx - 0,28$ et $g(1) \approx 0,4$, donc $0,9 < \alpha < 1$ ;

$g(0,94) \approx \np{- 0,00005}$ et $g(0.95) \approx 0,07$ donc $0,94 < \alpha <  0,95$, donc $0,94 < \alpha < 0,95$ ;

$g(0,94) \approx \np{- 0,00005}$ et $g(0,941) \approx \np{ 0,007}$, donc $0,940 < \alpha < 0,941$.
\item %Étudier le signe de $g$ sur $\R$.
La fonction $g$ est strictement croissante et s'annule en $\alpha$, donc :

$g(x) < 0 \iff x < \alpha$ et $g(x) > 0 \iff x > \alpha$.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B Étude d'une fonction}

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%La fonction $f$ est définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (2x - 5)\left(1 - \text{e}^{-x}\right).\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

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\begin{enumerate} 
\item %Étudier le signe de $f$ sur $\R$.

On a d'une part : $2x - 5 > 0 \iff x > \frac{5}{2}$ et $2x - 5 < 0 \iff x < \frac{5}{2}$ ; d'autre part $1 - \text{e}^{-x} > 0 \iff \text{e}^{-x} < 1 \iff - x < 0$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) et finalement $1 - \text{e}^{-x} > 0 \iff x > 0$ ; de même $1 - \text{e}^{-x} < 0 \iff$

$ x < 0$.

On trouve donc le signe de $f(x)$ en faisant un tableau de signes ; on en déduit :

\[\begin{array}{l l}
f(x) > 0 \iff &x < 0 \quad \text{ou} \quad x > \frac{5}{2}\\
f(x) < 0 \iff &0 < x < \frac{5}{2}\\
f(x) = 0 \iff&x = 0 \quad \text{ou} \quad x = \frac{5}{2}
\end{array}\]

\item %Étudier les limites de $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
On a d'une part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (2x - 5) = + \infty$ et d'autre part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \text{e}^{-x} = 1$, d'où par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.

On a aussi $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} (2x - 5) = - \infty$ et d'autre part $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 - \text{e}^{-x} = - \infty$, d'où par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
\item %Calculer $f'(x)$, ou $f'$ désigne la fonction dérivée de  $f$ et vérifier que $f'(x)$ et $g(x)$ ont le même signe.
$f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur $\R$ et :

$f'(x) = 2\left(1 - \text{e}^{-x}\right) - (2x - 5) \times (- 1)\text{e}^{-x} = 2 + (2x - 7)\text{e}^{-x} = 2\text{e}^{-x}\text{e}^{x}+ (2x + 7)\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left[2\text{e}^{x}+ (2x + 7)\right] = \text{e}^{-x}g(x)$.

Comme on sait que sur $\R,\: \text{e}^{-x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ vu à la partie A.
%Dresser le tableau de variations de $f$.
On a donc le tableau de variations de $f$ suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2)\psline(0,2.5)(6,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.5){$x$} \uput[u](1.5,2.5){$- \infty$} 
\uput[u](3.5,2.5){$\alpha$} \uput[u](5.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \rput(0.5,1){$f$}
\uput[u](2.25,2){$-$}\uput[u](3.5,2){$0$}\uput[u](4.75,2){$+$}
\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](3.5,0){$f(\alpha)$}\uput[d](5.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3,0.5)\psline{->}(4,0.5)(5.5,1.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer l'égalité : $f(\alpha) =	 \dfrac{(2\alpha - 5)^2}{2\alpha - 7}$.
On a : $f(\alpha) = (2\alpha - 5)\left(1 - \text{e}^{- \alpha}\right) \quad (1)$.

Or on a vu que $g(\alpha) = 0 \iff 2 \text{e}^{\alpha} + 2\alpha - 7 = 0 \iff 2 +  \text{e}^{- \alpha}(2\alpha - 7) = 0 \iff \text{e}^{- \alpha} = - \dfrac{2}{2\alpha - 7}$, soit en reportant dans l'égalité (1) ci-dessus :

$f(\alpha) = (2\alpha - 5)\left(1 + \dfrac{2}{2\alpha - 7}\right) = (2\alpha - 5)\left(\dfrac{2\alpha - 7 + 2}{2\alpha - 7} \right) = (2\alpha - 5)\dfrac{2\alpha - 5}{2\alpha - 7} = \dfrac{(2\alpha - 5)^2}{2\alpha - 7}$.
		\item %Étudier le sens de variations de la fonction $h : x \mapsto	\dfrac{(2x - 5)^2}{2x - 7}$ sur l'intervalle $\left]- \infty~;~\dfrac{5}{2}\right[$.
Comme $\frac{7}{2} \notin \left]- \infty~;~\frac{5}{2}\right[$, la fonction $h$ est définie et dérivable sur l'intervalle $\left]- \infty~;~\frac{5}{2}\right[$ et dans cet intervalle :

$h'(x) = \dfrac{2(2x - 5) \times 2 \times (2x - 7) - 2(2x - 5)^2}{(2x - 7)^2} = \dfrac{2(2x - 5)(4x - 14 - 2x + 5)}{(2x - 7)^2} = \dfrac{2(2x - 5)(2x - 9)}{(2x - 7)^2}$.

Or $x < \frac{5}{2} \Rightarrow 2x < 5 \iff 2x - 9 < - 4$ ; donc $2x - 9 < 0$.

Donc sur $\left]- \infty~;~\dfrac{5}{2}\right[, \:\: (2x - 5)(2x - 9) > 0$ et par conséquent $h'(x) > 0$ : la fonction $h$ est strictement croissante sur l'intervalle étudié.
%En déduire, à partir de l'encadrement de $\alpha$ obtenu dans la \textbf{partie A}, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $f(\alpha)$.

Par stricte croissante de la fonction $h$, on a donc :
$0,94 < \alpha < 0,95 \Rightarrow f(0,94) < f(\alpha) < f(0,95)$.

La calculatrice livre : $h(0,94) \approx \np{- 1,9013} >- 1,905$ et $h(0,95) \approx \np{- 1,8996} < 1,895$, donc 

$-1,905 < f(\alpha) < - 1,895$.
	\end{enumerate}
\item %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$, d'équation $y = 2x - 5$, est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.
Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par :

$d(x) = f(x) - (2x - 5) = (2x - 5)\left(1 - \text{e}^{-x}\right) - (2x - 5) = - (2x - 5)\text{e}^{-x} = - 2x\text{e}^{-x} + 5\text{e}^{-x}$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0$, donc par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} d(x) = 0$, ce qui signifie que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2x - 5$ est asymptote à $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini.
%Préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$.

On a $d(x) = (5 - 2x)\text{e}^{-x}$ ; son signe est celui de $5 - 2x$, d'où :

- si $x < \frac{5}{2}$, \: $d(x) > 0$, donc  $\mathcal{C}$ est au dessus de  $\mathcal{D}$  ;

- si $x > \frac{5}{2}$, \: $d(x) < 0$, donc  $\mathcal{C}$ est au dessous de  $\mathcal{D}$.
\item ~%Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij{} (unité graphique 2~cm).

\begin{center}
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(5,1.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](0,-5)(3,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-5)(3.2,1.2)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{3.}{2 x mul 5 sub}
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{3.}{1 2.71828 x neg exp sub 2 x mul 5 sub mul}
\uput[l](0.4,-1.3){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[r](0.5,-4.5){$\mathcal{D}$} \uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](2.5,0){$\frac{5}{2}$} \psline(0.945,-0.1)(0.945,0.1)
\uput[u](0.945,0){$\alpha$}\uput[l](0,-1.9){$f(\alpha)$}
\psline[linestyle=dashed](0,-1.9)(0.945,-1.9)(0.945,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0.445,-1.9)(1.445,-1.9)
\uput[d](3.1,0){$x$}\uput[l](0,1.1){$y$}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{0}{2.5}{1 2.71828 x neg exp sub 2 x mul 5 sub mul}
\psline(2.5,0)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center} 

\end{enumerate} 

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\textbf{Partie C  - Calcul d'aires}

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%À l'aide d'une intégration par parties, calculer en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}$ de la portion de plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses,  l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x =  \dfrac{5}{2}$.
Sur $\left[0~;~\frac{5}{2} \right],\: f $ est négative donc l'aire $\mathcal{A}$ est égale à l'intégrale :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{\frac{5}{2}} - f(x)\:\text{d}x$ en unités d'aire. Or l'unité d'aire est égale à 4~cm$^2$, donc en cm$^2$, 

$\mathcal{A} = 4\displaystyle\int_0^{\frac{5}{2}} (5 - 2x)\left(1 - \text{e}^{- x}\right)\:\text{d}x$ ou encore 

$\mathcal{A} = 4\displaystyle\int_0^{\frac{5}{2}} (5 - 2x)\:\text{d}x - 4\displaystyle\int_0^{\frac{5}{2}} (5 - 2x)\text{e}^{- x}\:\text{d}x$.

On calcule la deuxième intégrale en posant :

$u(x) = 5 - 2x$ et $dv = \text{e}^{- x}$ d'où

$du = - 2$ et $v = - \text{e}^{- x}$.

Toutes ces fonctions étant continues car dérivables sur $\left[0~;~\frac{5}{2} \right]$, on peut intégrer par parties =

$\displaystyle\int_0^{\frac{5}{2}} (5 - 2x)\text{e}^{- x}\:\text{d}x = \left[- (5 - 2x)\text{e}^{- x}\right]_0^{\frac{5}{2}} - \displaystyle\int_0^{\frac{5}{2}} 2\text{e}^{- x}\:\text{d}x = \left[- (5 - 2x)\text{e}^{- x}  + 2\text{e}^{- x}  \right]_0^{\frac{5}{2}} = \left[(2x - 3)\text{e}^{- x}  \right]_0^{\frac{5}{2}} = 2\text{e}^{- \frac{5}{2}} + 3$.

Donc $\mathcal{A} = 4\left[5x - x^2 \right]_0^{\frac{5}{2}} - 4\left(2\text{e}^{- \frac{5}{2}} + 3 \right) = 50 - 25 - 12 - 8\text{e}^{- \frac{5}{2}} = 13 - 8\text{e}^{- \frac{5}{2}} \approx 12,3$ (ce que l'on vérifie approximativement sur la figure).

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\textbf{Partie D - Étude d'une suite de rapports de distances}

\medskip

%Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on considère les points $A_n,\: B_n$, et $C_n$ d'abscisse $n$, appartenant respectivement à l'axe des abscisses,  la droite $\mathcal{D}$ et  la courbe $\mathcal{C}$ ; soit $u_n$ le réel défini par :

%\[u_n = \dfrac{C_nB_n}{A_nB_n}.\]

\begin{enumerate} 
\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, on a :
On a donc $A_n(n~;~0),\:B_n(n~;~2n - 5)$ et $C_n(n~;~f(n))$ ; or on a vu que si $x > 2,5$, la courbe est au dessous de $\mathcal{D}$, donc pour $n \geqslant 3,\:, f(n) < 2n - 5$.

On a donc $C_nB_n = 2n - 5 - f(n) = 2n - 5 - (2n - 5)\left(1 - \text{e}^{- n}\right) = (2n - 5)\text{e}^{- n}$ ; de plus $A_nB_n = 2n - 5 - 0 = 2n - 5$.

Conclusion :  $u_n  = \dfrac{(2n - 5)\text{e}^{- n}}{2n - 5} = \text{e}^{- n}$ car $2n - 5 \geqslant 1$. 
%\[u_n = \dfrac{2n-5 - f(n)}{2n - 5}.\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Quelle est la nature de la suite $(u_n)$
Calculons $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{\text{e}^{- {n+1}}}{\text{e}^{- n}} = \text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$.

La suite $\left((u_n) \right)$ est donc géométrique de raison $\text{e}^{-1} = \dfrac{1}{\text{e}}$ de premier terme $u_3 = \text{e}^{- 3}$.
		\item %Calculer la limite de la suite $(u_n)$. Pouvait-on prévoir ce résultat ?
Comme $0 < \text{e}^{- 1} < 1$, on sait que la limite de la suite est égale à $0$.

On pouvait prévoir ce résultat puisque la limite de $A_nB_n$ est égale à plus l'infini, alors que la limite de $C_nB_n$ est égale à zéro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 