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%Tapuscrit de Denis Vergès 
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\newtheorem{definition}{Définition}
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\par{\textsf{\textbf{\textcolor{black}{{E\small{XERCICE \; \arabic{nexo}}}}}}}}
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Corrigé  du baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Liban }}
\rfoot{\small{27 mai 2015}}
\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé  du baccalauréat ES/L Liban 27 mai 2015 
~\decofourright}}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\begin{enumerate}
	\item %1
		On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [-3 ; 1].
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ /1,Variations de $f$ /1.5}{$-3$, $-1$, $0$, $1$}
\tkzTabVar{-/$-6$, +/$-1$, -/$-2$,+/$4$}
\tkzTabVal[draw]{3}{4}{.5}{$\alpha$}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] Sur l'intervalle [-3~;~0], $f$ admet un maximum -1 qui est atteint pour $x=-1$, $f(x)=0$ n'admet pas de solution sur cette intervalle.
			\item[$\bullet~~$] Sur l'intervalle [0~;~1], $f$ est continue et strictement croissante de plus 0 est compris entre $f(0)$ et $f(1)$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie de la fonction $f(x)=0$ admet une solution unique sur cet intervalle. On l'appellera $\alpha$.
		\end{itemize}
		
En conséquence, $f(x)=0$ admet une solution unique sur [-3~;~1]. 
		
		\textbf{La proposition 1 est donc vraie}.
		
	\item %2
		Par lecture graphique : $g'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle [0~;~4], la fonction $g$ est donc croissante sur cet intervalle. \\\textbf{La proposition 2 est fausse}.\\
		\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(13,8)
 
 \uput[dl](2,6){$\mathcal{C}_{g'}$}
 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=13,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-2)(13,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(13,8)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{2.71828 2 0.5 x mul sub exp  1 sub}
\uput[d](4,0){4}\uput[d](1,0){1}\uput[d](13,0){13}
\uput[l](0,1){$1$}\uput[dl](0,0){$0$}
\uput[u](13,0){$x$}\uput[l](0,7.8){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
		Comme $g'$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~13], $g$ est concave sur cet intervalle, \\\textbf{la proposition 3 est donc vraie}.
		
		\newpage
	
	\item %3
		On a  :
		\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,1.5)
 \uput[dl](2,1){$\mathcal{C}_{h}$}
 
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,1.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{1 x div}
\psline[linestyle=dashed](2.71828,0.368)(2.71828,0)
\uput[d](2.71828,0){e}\uput[u](3.4,0){$x$}
\uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $h(x) \geqslant 0$
\item[$\bullet~~$] $h$ est continue sur l'intervalle [1~;~e].
\item[$\bullet~~$] une primitive de $h$ vaut : $H(x)=\ln x$. Et $\displaystyle\int_{1}^{\e}\dfrac{1}{x}\text{d}x=\left[H(x)\right]_1^\e=\ln \e -\ln 1=1$
	\end{itemize}
		La fonction $h$ est bien une fonction de densité. \\\textbf{La proposition 4 est donc vraie}.
		
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\iffalse
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=.5]
\tkzInit[xmin=0,xmax=21.5,ymin=0,ymax=105.5,ystep=5]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=1:18,thick]{2*\x+5+40/exp(.2*\x-1)}
\tkzDefPoints{5/55/A,10/25/B,12/13/B',0/85/A',10/55/C}
\tkzDrawSegment(A',B')
\tkzDrawSegments[->,>=latex,thick](A,C C,B)
\tkzLabelSegment[above](A,C){$5$} \tkzLabelSegment[above right](C,B){$-30$}
\tkzDrawPoints(A,B)
\tkzLabelPoint[below left](A){$A$} \tkzLabelPoint[below left](B){$B$}
\tkzText(2.5,85){$\mathcal{C}$} \tkzText(13,10){$(T_A)$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\fi

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a

				$f'(5)$ correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $A$, c'est donc le coefficient directeur de la droite $(AB)$.\\
				\begin{center}                                    
                                    \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.08cm} % permet de jouer sur la largeur du graphique
                                    \def\xmin{0}
                                    \def\xmax{22}
                                    \def\ymin{0}
                                    \def\ymax{110}
                                    
                                    \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
                                    
                                    % pour des graduiations particulières
                                    \psgrid[gridwidth=0.5pt,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=5](\xmin,\ymin)(\xmax,22)
                                    
                                    %\psgrid[gridwidth=1pt,gridcolor=lightgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
                                    \psaxes[comma,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
                                    \uput[dl](\xmax,0){$x$} 
                                    \uput[dl](0,\ymax){$y$}
                                    \uput[dl](4,80){$\mathcal{C}_f$}
                                    
                                   \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{1}{18}{2 x mul 5 add 40 2.71828 0.2 x mul 1 sub exp div add}


                                    
                                    
                                    %----------- point particulier A avec tangente
\def\xA{5}
\def\yA{55}
\psdots(\xA,\yA)
\uput[d](\xA,\yA){$A$}

\def\xB{10}
\def\yB{25}
\psdots(\xB,\yB)
\uput[d](\xB,\yB){$B$}

\psline[linecolor=blue]{-}(0,85)(14.16666666666666666667,0)%y=-6x+85
                                    
% on trace la flèche
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(\xA,\yA)(\xB,\yA)
\uput[u](7.5,\yA){$5$}

\psline[linewidth=0.5pt]{->}(\xB,\yA)(\xB,\yB)
\uput[ur](\xB,40){$-30$}

\uput[l](13.5,17){$(T_A)$}

\uput[d](\xB,\yB){$B$}
                                    
  \end{pspicture}
  
  
  \end{center}
  
 \medskip

Nous pouvons le lire graphiquement, voir ci-dessus.\\
Nous pouvons le calculer, $A(5~;~55)$ et $B(10~;~25)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ vaut :

\[\dfrac{y_{B}-y_{A} }{x_{B}-x_{A} } = \dfrac{25-55 }{10-5 } = -\dfrac{30}{5} = -6.\]

			\item %b
				$f$ est dérivable en tant que somme de fonctions dérivables sur [1~;~18].\\
				\[
f'(x)=
2+40\times\underbrace{(-0,2)}_{u'}\times\text{e}^{\overbrace{-0,2x+1}^{u}}=
2-8\text{e}^{- 0,2x + 1}\]
				%$f'(x)=2+0+40\times \e^{-0,2x+1}\times (-0,2)=2-8\e^{-0,2x+1}$
			\item %c
				$f'(5)=2-8\e^{-0,2\times 5+1}=2-8\e^0=2-8=-6$, on retrouve bien le résultat de la partie \textbf{1.a.}.
				
		\end{enumerate}
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
                    		Ici, nous travaillons avec des expressions qui sont définies sur tout $\R$, les équivalences seront toujours vraies.\\
                    		$\left.\begin{array}{ccl}
                    			2-8\e^{-0,2x+1} \geqslant 	0	&  \Leftrightarrow &  -8\e^{-0,2x+1}\geqslant -2\\
                    			 	& \Leftrightarrow	& \e^{-0,2x+1}\leqslant \dfrac{-2}{-8}\\
                    				& \Leftrightarrow	& \ln \e^{-0,2x+1}\leqslant \ln \dfrac{1}{4}\\
                    				& \Leftrightarrow 	& -0,2x+1\leqslant -\ln 4\\
                    				& \Leftrightarrow	& -0,2x \leqslant -\ln 4-1\\
                    				& \Leftrightarrow	& -5\times (-0,2x) \geqslant -5\times (-\ln 4-1)\\
                    				& \Leftrightarrow	& x \geqslant 5\ln 4+5)
                    		\end{array}\right.$
			\item %b
				Dans un premier temps, on constate que : $5\ln 4+5 \approx 11,93$ qui est bien compris dans [1~;~18].
				
				\begin{center} 
					\begin{tikzpicture}%[x=10mm,y=8mm]
					\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1,$\small 2-8\e^{-0,2x+1}$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$1$,$5\ln 4+5$,$18$} 
					\tkzTabLine{,-,z,+}
					\tkzTabLine{,-,z,+}
					\tkzTabVar{+/$f(1)$,-/$f(5\ln 4+5)$,+/$f(18)$}
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				Et : $f(5\ln 4+5) \approx 38,86$, $f(1)\approx 96,02$ et $f(18)\approx 43,97$.
		\end{enumerate}
	\item %3
		Par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l'entreprise pour que le coût de fabrication unitaire soit minimal est à choisir parmi 
		$f(11) \approx 39,05$ ou $f(12) \approx 38,86$, le coût sera donc minimal pour 12 parasols.
	\item %4
		\begin{enumerate}
			\item %a
                    		Il suffit de dériver $F$,\\
                    		$F'(x)=2x+5-200\e^{-0,2x+1}\times (-0,2)=2x+5+40\e^{-0,2x+1}=f(x)$.\\
                    		$F$ est bien une primitive de $f$.
                    	\item %b
				$I = \displaystyle\int_{5}^{15}f(x)\text{d}x = \left[F(x)\right]_5^{15}=F(15)-F(5)=15^2+5\times 15-200\e^{-3+1}-\left(5^2+5\times 5-200\e^{-1+1}\right)\\=300-200\e^{-2}-(-150)=450-200\e^{-2}$
			\item %c
				Rappel : la valeur moyenne de $f$ sur $\left[ a~;~b \right]$ vaut :$\mu  = \dfrac{1}{b-a }~\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$.\\
				ici : $\dfrac{1}{10}~I =\dfrac{1}{15-5}~\displaystyle\int_{5}^{15}f(x)\text{d}x$.\\
				C'est le calcul de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [5~;~15] et cette valeur moyenne vaut : $$45-20\e^{-2}\approx 42,29$$
				
				C'est le coût de production unitaire moyen.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Voici l'arbre de probabilité :\\
				\begin{center}
                                    	\pstree[treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,arrows=->]{\Tr{}}
                                    	{\pstree[ref=c]
                                    	   {\Tr{$\ A \ $}\naput{$0,4$}}
                                    	   	{
							{\pstree[ref=c]
                                    		   	{\Tr{$\ D \ $}\naput{$0,02$}}
							{
								\Tr{$\ \Proba(A\cap D)=\Proba_{A}(D)\times \Proba(A) \ $}
							}
							}
                                    		    	\Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput{$0,98$}
                                    		}
                                    	\pstree[ref=c]   
                                    	   {\Tr{B}\nbput{$0,6$}}
                                    		   {
                                    		   	\Tr{$\ D \ $}\naput{$0,03$}
                                    	  		 \Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput{$0,97$}
                                    		   }
                                    	}
                                    	\end{center}
	
	
			\item %b
				Nous utilisons la formule des probabilités totales :\\
				$\Proba(D)=\Proba(A \cap D)+\Proba(B \cap D)$\\
				$\Proba(D)=\Proba(A) \times \Proba_A(D)+\Proba(B) \times \Proba_B(D)$\\
				$\Proba(D)=0,4 \times 0,02+0,6 \times 0,03$\\	
				$\Proba(D)=0,026$.
			\item %c
				$\Proba_D(A)=\dfrac{\Proba(A\cap D)}{\Proba(D)}=\dfrac{0,4\times 0,02}{0,026}\approx 0,308$%0,307692308
		\end{enumerate}
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Nous sommes dans le cas d'une expérience de Bernoulli (on a affaire à une médaille défectueuse ou non).\\
				Nous répétons cette expérience de manière indépendante avec remise, nous sommes dans le cas d'un schéma de Bernoulli.\\
				Comme $X$ est une variable aléatoire comptant le nombre de médaille défectueuse, nous pouvons assimiler cette loi à une loi binomiale : $X=\mathcal{B}(n,p)$, o\`u $n=20$ et $p=0,026$.
			\item %b
				Ici nous calculons : \[\Proba(X  \leqslant 1)=\Proba(X=0)+\Proba(X=1)=\binom{20}{0}0,026^0\times (1-0,026)^{20}+\binom{20}{1}0,026^1\times (1-0,026)^{19}\approx 0,906\]
				Ou encore :\\
				 \[\Proba(X  \leqslant 1)=\text{BinomFrep}(20,0.026,1)\approx 0,906\]
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(72.9,-0.1)(77.1,0.51)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.1pt]
\multido{\n=0.000+0.125}{5}{\psline[linewidth=0.1pt](73,\n)(77,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=75]{->}(75,0)(73,-0.01)(77,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=75](75,0)(73,-0.01)(77,0.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{73}{77}{0.398942 2.71828 x 75 sub 0.25 div dup mul 2  div exp div}
\uput[d](75,-0.02){$\mu = 75$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %1
		Nous pouvons lire : $\mu=75$.
	\item %2
		$\Proba(74,4\leqslant Y \leqslant 75,6) = \text{NormalFrep}(74.4,75,6,75,0.25) \approx 0,984$. %0,9836
	\item %3
		Le résultat de cours est : $\Proba(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma)\approx 0,95$,\\ ici $h=2\sigma=0,50$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		La fréquence de médaille défectueuse est de : $f=\dfrac{11}{180} \approx 0,061$.%0,0611111111
	\item %2
		$X_n$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. la variable  $F_n=\dfrac{X_n}{n}$ représente la fréquence de médaille défectueuse. La proportion de médaille défectueuse de l'échantillon de taille $n$ est $p$.
		\medskip
		Ici : $n = 180$ et $n \geqslant 30$, $n \times p= 180 \times 0,03=5,4\geqslant5$ et $n \times (1-p)= 180 \times 0,97=174,6\geqslant5$\\
		\medskip
		L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% vaut :
		
\[I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right].\]

		Ici :  $p=0,03$ et $n=180$.\\
		$$I\approx \left[0,00507895133~;~0,0549210487\right]$$
		Or : $f\notin I$, le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine $M_B$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

La situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$.

Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en m$^3$ est $u_0 =  \np{100000}$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur à 0, $u_n$ désigne le volume d'eau en m$^3$ au matin du $n$-ième jour qui suit le 1\up{er} juillet 2013.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Volume d'eau $u_1$ au matin du 2 juillet 2013 :

\[
u_0 = \np{100000} \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times\np{100000}= \np{96000} \overbrace{\longrightarrow}^{-500} \np{96000} - 500 = \np{95500} = u_1
\]
\item Volume d'eau $u_2$, au matin du 3 juillet 2013:
\[
u_1=\np{95500} \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times\np{95500}= \np{91680} \overbrace{\longrightarrow}^{-500} \np{91680}- 500 = \np{91180} = u_2
\]
\item Pour tout entier naturel $n$
\[
u_n \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times u_n \overbrace{\longrightarrow}^{-500} 0,96u_n - 500 = u_{n+1}
\]

Ainsi, $u_{n+1}= 0,96u_n - 500$.
\end{enumerate}
\item Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes \texttt{L6}, \texttt{L7} et \texttt{L9} de cet algorithme pour qu'il
donne le résultat attendu.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|lX|}\hline
\texttt{L1} & \textbf{Variables :} & $u$ est un nombre réel\\
\texttt{L2} & & $n$ est un entier naturel\\
\texttt{L3} & \textbf{Traitement :} & Affecter à $u$ la valeur \np{100000}\\
\texttt{L4} & & Affecter à $n$ la valeur 0\\
\texttt{L5} & & Tant que $u > 0$\\
\texttt{L6} & & \hspace{1cm} Affecter à $n$ la valeur \textcolor{red}{$n + 1$}\\
\texttt{L7} & & \hspace{1cm} Affecter à $u$ la valeur  \textcolor{red}{$0,96* u - 500$}\\
\texttt{L8} & & Fin Tant que\\
\texttt{L9} & \textbf{Sortie :} & Afficher \textcolor{red}{$n$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n + \np{12500} \iff u_n = v_n - \np{12500}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$:
\[
v_{n+1} = u_{n+1} + \np{12500}= 0,96u_n - 500 + \np{12500}
=0,96u_n + \np{12000} = 0,96\left(u_n + \np{12500}\right) = 0,96\times v_n
\]
\[
v_0 = u_0 + \np{12500} = \np{100000}+\np{12500}=\np{112500}
\]
\item Ainsi: $v_n = \np{112500}\times(0,96)^n$.
\item Donc:
\[
v_n = u_n + \np{12500}\Leftrightarrow u_n = v_n -\np{12500}=\np{112500} \times 0,96^n-\np{12500}
\] 
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\np{112500} \times 0,96^n-\np{12500} \leqslant 0$:
\begin{align*}
\np{112500} \times 0,96^n - \np{12500} \leqslant 0&\Leftrightarrow
\np{112500} \times 0,96^n\leqslant \np{12500}\\
&\Leftrightarrow 0,96^n\leqslant \frac{\np{12500}}{\np{112500}}\simeq 0,111\\
&\Leftrightarrow \ln\left(0,96^n\right)=n\ln 0,96\leqslant \ln\frac{\np{12500}}{\np{112500}}\\
&\Leftrightarrow n\geqslant  \dfrac{\ln\dfrac{\np{12500}}{\np{112500}}}{\ln 0,96}\simeq 53.825
\end{align*}
\item Au matin du  54\up{e}{} jour, il n'y aura plus d'eau dans le bassin.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%le des entiers naturels l'inéquation: $- 0,17 \times  0,5^n + 0,82 \geqslant 0,80$.

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
		Voici le graphe probabiliste d'ordre 2 de la situation :\\
				\begin{center}
            
            				\begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=0.4,colsep=2.0]
                                                {S} &      & {T}  
                                                \end{psmatrix}
                                                
                                                \psset{arrows=->,
                                                       shortput=nab}
                                                                                    
                                               \ncarc[arcangle=20]{1,1}{1,3}^{0,41}
                                    		\ncarc[arcangle=20]{1,3}{1,1}^{0,09}
                                                %\ncurv[angleA=90,angleB=-90]{1,1}{1,1}
                                                \nccurve[angleA=130,angleB=230,ncurv=10]{1,1}{1,1}\Bput{0,59}
                                                %\nccircle[angleA=90,nodesep=3pt]{->}{1,1}{.7cm}\nbput{0,64}
                                                %\nccircle[angleA=-90,nodesep=3pt]{->}{1,3}{.7cm}\nbput{0,86}
                                                \nccurve[angleA=50,angleB=310,ncurv=10]{<-}{1,3}{1,3}\Aput{0,91}
            
            			\end{center}
	\item %2
		L'état stable $P$ vérifie : 
		%P=PM<=>[[a;b]]=[[a;b]]*[[0,59;0,41];[0,09;0,91]]
		$P = PM \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
   a & b   
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   a & b   
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
   0,59 & 0,41 \\
 0,09 & 0,91   
\end{pmatrix}$

		%<=>[[a;b]]=[[0,59a+0,09b;0,41a+0,91b]]
		$  \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
   a & b   
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   0,59~a+0,09~b & 0,41~a+0,91~b   
\end{pmatrix}$\\
		Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux :\\
		%openbrace((a=0,59a+0,09b) crl (b=0,41a+0,91b))<=>openbrace((0=-0,41a+0,09b) crl (0,41a-0,09b))
		$\left\{ {\Large\substack{a = 0,59a+0,09b \\b = 0,41a+0,91b}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{0 = -0,41a+0,09b \\0=0,41a-0,09b }} \right.$\\
		Une des deux lignes peut être éliminée et comme $a+b=1$, on en déduit :\\
		$\left\{\begin{array}{l c l}
0,41a - 0,09b&=&0\\ a + b &=& 1\end{array}\right.$.

	\item %3
		Comme tous les coefficients de $M$ sont différents de 0, $P_n$ va converger vers $P$. L'opérateur TECIM va bien atteindre son objectif, en effet $a_n$ et $b_n$ vont converger vers $a=0,18$ et $b=0,82$.\\
		82\% des clients vont aller chez TECIM. \\
		L'opérateur TECIM atteindra l'objectif d'avoir comme clients au moins 80\%. 
		
		
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item %1
		La répartition des clients au bout de 2 ans est donnée par :
		$$P_2=P_0\times M^2=(0,35~~0,65)\times \begin{pmatrix}
   0,59 & 0,41 \\
 0,09 & 0,91   
\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}
   0,2225 & 0,7775   
\end{pmatrix}
$$
Au bout de deux ans, 22,25\% des clients seront chez SAFIR et 77,75\% chez TECIM.
	\item %2
		$p_{n+1}=P_n\times M  \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
   s_{n+1} & t_{n+1}   
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   s_{n+1} & t_{n+1}   
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
   0,59 & 0,41 \\
 0,09 & 0,91   
\end{pmatrix}  \\
\Leftrightarrow ( s_{n+1} ~~~ t_{n+1})=(0,59s_n+0,09t_n~~~0,41s_n+0,91t_n)$\\
Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux :\\
Ainsi : $t_{n+1}=0,41s_n+0,91t_n$\\
Or : $s_n+t_n=1 \Leftrightarrow s_n=1-t_n$\\
On en déduit que : $t_{n+1}=0,41(1-t_n)+0,91t_n \Leftrightarrow t_{n+1}=0,41+0,5t_n$.
	\item %3
		Voici le tableau complété :\\
		
                
                \begin{center}
                \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l X|}\hline
                L1&\textbf{Variables :}& $T$ est un nombre\\
                L2&& $N$ est un nombre entier\\
                L3&\textbf{Traitement :}& Affecter à $T$ la valeur 0,65\\
                L4&& Affecter à $N$ la valeur 0\\
                L5&& Tant que $T < 0,80$\\
                L6&& Affecter à $T$ la valeur \textcolor{red}{$0,5*T+0,41$}\\
                L7&& Affecter à $N$ la valeur \textcolor{red}{$N+1$}\\
                L8&& Fin Tant que\\
                L9&\textbf{Sortie :}& Afficher \textcolor{red}{$N$}\\ \hline
                \end{tabularx}
                \end{center}
       \item %4
       		\begin{enumerate}
			\item %a
				$u_{n+1}=t_{n+1}-0,82$\\
				$ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,41+0,5t_n-0,82$\\
				$ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5t_n-0,41$\\
				$ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5(t_n-0,82)$\\
				$ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5u_n$\\
				La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,5$.
			\item %b
				Le terme général de $(u_n)$ vaut : $u_n=u_0\times q^n$.\\
				Or : $u_0=t_0-0,82=0,65-0,82=-0,17$.\\
				Ainsi : $u_n=-0,17\times 0,5^n$.\\
				Comme : $t_n=u_n+0,82$\\
				On conclut que : $t_n=-0,17\times 0,5^n+0,82$.
			\item %c
				On pourrait utiliser l'algorithme, ou passer par les logarithmes :\\
				$\left.\begin{array}{rcl}
			t_n 	&   \geqslant  	&  0,80\\
			-0,17\times 0,5^n+0,82 	& \geqslant &	0,80\\
			-0,17\times 0,5^n	& \geqslant	& -0,02\\
			0,5^n	& \leqslant 	& \dfrac{0,02}{0,17}\\
			\ln (0,5^n)	& \leqslant 	& \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right)\\
			n\ln 0,5 & \leqslant 	& \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right)\\
			n & \geqslant 	& \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right) \div \ln 0,5~~~~(\text{en effet : $\ln 0,5 < 0$})\\
			n & \geqslant 	& 3,08746284\\
			n & \geqslant 	& 4\\
		\end{array}\right.$
			\item %d
				Au bout de 4 ans le nombre de client de TECIM sera supérieur ou égal à 80\%.
				
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}