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%Correction : Yves Noé, Michel Fréchet, Jean-Paul Goualard
% Tapuscrit Denis Vergès
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\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 21 juin 2012}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole--La Réunion 21 juin 2012 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.
%  
%On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $[-3~;~2]$. 
%
%On dispose des informations suivantes: 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  $f(0) = -1$. 
%\item[$\bullet~$]la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ admet la courbe représentative $\mathcal{D}'$ ci -dessous.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm} 
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-3,-2)(2,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(1,1)
%%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{}
%\pscurve(-3,-1.133)(-2,-0.733)(-1,0)(0,1)(1,1.6666)(2,0)
%\uput[d](-2.7,-1.3){$\mathcal{C}'$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
 
\begin{enumerate}
\item %Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3, -1],\: f^{\prime}(x) \leqslant 0$.
Sur l'intervalle $[-3, -1]$, tous les points de la courbe ont une ordonnée négative. VRAIE 
\item %La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~ 2]$.
Sur l'intervalle $]-1~;~2[$, on lit que $f^{\prime}(x) > 0$, donc que $f$ est croissante sur cet intervalle. VRAIE 
\item %Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~2], \:f(x) \geqslant -1$.
Sur l'intervalle $]-1~;~0[$, on a $f^{\prime}(x) > 0$ donc $f$ est strictement croissante sur $]-1~;~0[$. Or on sait que $f(0) = - 1$. D'après la croissance stricte sur l'intervalle tous les points de cet intervalle ont une image par $f$ inférieure \`a $- 1$. FAUSSE  
\item %Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
 
%La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1~;~0).
Pour $x = 0$, on lit $f^{\prime} (0) = 1$ et on sait que $f(0) = - 1$.

On sait que l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est 

$y - f(0) = f^{\prime} (0)(x - 0) \iff y - (- 1) = 1x \iff y = x - 1$. Cette tangente contient bien le point de coordonnées (1~;~0) car ces cordonnées vérifient l'équation de la tangente. VRAIE
\end{enumerate} 


\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

%On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
%On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{3mm}
%\begin{itemize}
%\item D : « Le candidat est retenu sur dossier », 
%\item E$_{1}$ : « Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien », 
%\item E$_{2}$ : « Le candidat est recrut? ».
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{0,4}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{0,7}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{0,25}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,75}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{0,3}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6}		 		
}
\end{center}
\medskip
 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
On a $p\left(E_{1}\right) = p\left(D \cap E_{1}\right) = p(D) \times p_{D}\left(E_{1}\right) = 0,4 \times 0,7 = 0,28$. 
		\item %On note $F$ l'évènement « Le candidat n'est pas recruté ».
		 
%Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit :

$p(F) = p\left(\overline{D}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{1}}\right) + p\left(D \cap E_{1} \cap \overline{E_{2}}\right) = 0,6 + 0,4 \times 0,3 + 0,4 \times 0,7 \times 0,75 = 0,6 + 0,12 + 0,21 = 0,93$. D'o\`u $p\left(\overline{F}\right) = 1 - p(F) = 1 - 0,93 = 0,07$.

On peut directement calculer la probabilité d'être recruté, soit :

$p\left(\overline{F}\right) = p\left(D \cap E_{1}\cap E_{2}\right) = 0,4 \times 0,7 \times 0,25 = 0,07$.

D'o\`u $p(F) = 1 - p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,07 = 0,93$.
	\end{enumerate} 
\item %Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
%On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.  La variable $X$ suit donc une loi binomiale $(\mathcal{B},n=5,\:p=0,07)$. 
		\item %Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
		On a $p(X = 2) = \binom{5}{2}0,07^2 \times 0,93^3  = 10 \times 0,07^2 \times 0,93^3 \approx \np{0,0394} \approx 0,039$ à $10^{-3}$ près
	\end{enumerate} 		 
\item %Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
On reprend ici la loi binomiale mais avec $n$ candidats chacun ayant une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.

La probabilité qu'aucun ne soit retenu est égale à : $\binom{n}{0}\times 0,07^0 \times 0,93^n = 0,93^n$.

La probabilité qu'un au moins des $n$ candidats soit recruté est donc égale à $1 - 0,93^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - 0,93^n > 0,999 \iff 0,001 > 0,93^n \iff \ln 0,001 > n \ln 0,93$ \:(par croissance de la fonction ln) $\iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93}$ car $\ln 0,93 < 0$.
Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93} \approx 95,1$.

Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un candidat.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 
 
\emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 
%
\[f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
$\bullet~$ $\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{x + 1 - 1}{x + 1} = 1 - \dfrac{1}{x + 1}$.

Comme $\displaystyle\lim_{x : \to + \infty} \dfrac{- 1}{x + 1} = 0$, on a donc $\displaystyle\lim_{x : \to + \infty} \dfrac{x}{x + 1} = 1$ et $\displaystyle\lim_{x : \to + \infty} \ln \left( \dfrac{x}{x + 1}\right) = 0$.

$\bullet~$ On a $\displaystyle\lim_{x : \to + \infty} \dfrac{1}{x + 1} = 0$, donc finalement par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x : \to + \infty} f(x) = 0$.
 
\item %Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$.
Comme sur $[1~;~+\infty[, x + 1 > 0$, et $\dfrac{x}{x + 1} > 0$ la fonction $f$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $[1~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = - \dfrac{1}{(x + 1)^2} +  \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = \dfrac{x}{x + 1}$.

Or $u'(x) = \dfrac{1 \times (x + 1) - x \times 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{(x + 1)^2}$.

Donc $f^{\prime}(x) = - \dfrac{1}{(x + 1)^2} + \dfrac{\frac{1}{(x + 1)^2}}{\frac{x}{x + 1}} = - \dfrac{1}{(x + 1)^2} + \dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{-x + x + 1}{x(x + 1)^2} = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$.

%Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
Comme $x \geqslant 1$, la dérivée est clairement positive, donc la fonction est croissante sur $[1~;~+\infty[$ de $f(1) = \dfrac{1}{2} + \ln \dfrac{1}{2} \approx - 0,193$ à 0 sa limite en plus l'infini.
 
%En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
\item Le tableau montre que $f(x) < 0$ sur $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item %On considère l'algorithme suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline 
%Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\
%& $u$ est un réel.\\
%Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\
%Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\
%Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\
%&\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\
%Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline
%\end{tabular} 
%\end{center}
% 
%Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. 
L'algorithme donne successivement pour $u$ les valeurs :

$0 + 1  = 1$

$1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$

$ \dfrac{3}{2} +  \dfrac{1}{3} =  \dfrac{11}{6}$ valeur qu'il affiche.
\item %Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$.
Il suffit de modifier la sortie  en : Afficher $u - \ln n$. 
\item %Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$. 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &1000 &1500 &2000\\ \hline 
%$u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence.
On peut conjecturer que pour $n$ allant de 4 à 2000 la suite  est décroissante et  converge vers une valeur proche de 0,577. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.
% 
%Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, 
%
%\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots  + \dfrac{1}{n}- \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item %Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

%\[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\]
 
%où $f$ est la fonction définie dans la partie A. 
On a $u_{n+1} - u_{n} = \left[1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n + 1}- \ln (n + 1)  \right] - \left[1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots  + \dfrac{1}{n}- \ln n \right] =$

$ \dfrac{1}{n + 1} + \ln n - \ln (n + 1) = \dfrac{1}{n + 1} + \ln \left( \dfrac{n}{n + 1}\right) = f(n)$.
%En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

On a vu que pour $x \geqslant 1, f(x) < 0$, donc $u_{n+1} - u_{n} = f(n) < 0$ montre que $u_{n+1} < u_{n}$, ce qui signifie que la suite  $\left(u_{n}\right)$ est décroissante. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $k$ un entier strictement positif. 

%Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x$.
%
%En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$.
%
%Démontrer l'inégalité 	$\ln (k + 1) - \ln k \leqslant  \dfrac{1}{k}$ \quad (1). 

Puisqu'on intègre de $k$ strictement positif à $k + 1$, on a donc 

$0 < k \leqslant x \leqslant k + 1 \iff 0 < \dfrac{1}{k + 1} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{k}$

On a donc en particulier $\dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{k} \iff \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x} \geqslant 0$. L'intégrale sur $[k~;~k + 1]$ de la fonction continue et positive est un nombre positif.

$\bullet~$  $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x \geqslant 0 \iff \displaystyle\int_{k}^{k + 1}\dfrac{1}{k}\:\text{d}x \geqslant \displaystyle\int_{k}^{k + 1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x$ (par linéarité de l'intégrale.

Or $\displaystyle\int_{k}^{k + 1}\dfrac{1}{k}\:\text{d}x = \dfrac{1}{k}\times (k + 1 - k) = \dfrac{1}{k}$.

L'inégalité précédente s'écrit donc : $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}.$

$\bullet~$  On a  $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x = [\ln x]^{k+1}_{k} = \ln (k + 1) - \ln k$.

Donc l'inégalité précédente s'écrit $\ln (k + 1) - \ln k \leqslant  \dfrac{1}{k}$ \quad (1)
\item %Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 
%
%\[\ln (n + 1) \leqslant  1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\]
On obtient la suite des inégalités suivante :

$\ln (1 + 1) - \ln 1 \leqslant  \dfrac{1}{1}$

$\ln (2 + 1) - \ln 2 \leqslant  \dfrac{1}{2}$

$\ln (3 + 1) - \ln 3 \leqslant  \dfrac{1}{3}$

\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots

$\ln (n) - \ln (n - 1) \leqslant  \dfrac{1}{n - 1}$

$\ln (n + 1) - \ln n \leqslant  \dfrac{1}{n}$

D'o\`u par somme membres à membres et effet de \og dominos \fg :

$\ln (n+ 1) - \ln 1 \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}$ ou encore 

$\ln (n+ 1) \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}$
		\item %En déduire que pour tout entier strictement positif $n, u_{n} \geqslant  0$.
La fonction ln étant croissante, on a $\ln n < \ln (n + 1)$ et comme $\ln (n+ 1) \leqslant 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}$ on en déduit que $\ln n < 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} \iff 0 < 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n$, soit finalement $u_{n} > 0$.
	\end{enumerate} 
\item  %Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
On a vu que la suite est décroissante et ensuite qu'elle est minorée par 0 : elle converge donc vers une limite supérieure à zéro. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
% 
%On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, fait correspondre le  
%point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$. 
% 
%Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$. 

\begin{enumerate}
\item %Soient A, B et C les points d'affixes respectives 

%\[z_{\text{A}} = - \dfrac{1}{2},\quad  z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{2}  - \dfrac{1}{2} \text{i}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item %Placer les trois points A, B et C sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique.
		Voir à la fin de l'exercice. 
		\item %Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A}),  \text{B}' = f(\text{B})$ et C$' = f$(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure.
$z_{\text{A}'} = \dfrac{1}{z_{\text{A}} + 1} = \dfrac{1}{- \frac{1}{2} + 1} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.

$z_{\text{B}'} = \dfrac{1}{z_{\text{B}} + 1} = \dfrac{1}{- \frac{1}{2} + \text{i} + 1} = \dfrac{1}{\frac{1}{2} + \text{i}} = \dfrac{\frac{1}{2} - \text{i}}{\left(\frac{1}{2} + \text{i}\right)\left(\frac{1}{2} - \text{i}\right)} = \dfrac{\frac{1}{2} - \text{i}}{\frac{1}{4} + 1} =  \dfrac{\frac{1}{2} - \text{i}}{\frac{5}{4} } = \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\right)$.

$z_{\text{C}'} = \dfrac{1}{z_{\text{C}} + 1} = \dfrac{1}{- \frac{1}{2}  - \frac{1}{2} \text{i} + 1} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}- \frac{1}{2} \text{i}} = \dfrac{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \text{i}}{\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{2} \text{i}\right)\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \text{i}\right)} = \dfrac{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \text{i}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}= \dfrac{\frac{1}{2}(1 + \text{i})}{\frac{1}{2}} = 1 + \text{i}$.
		\item %Démontrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés.
		On a $z_{\vect{\text{A}'\text{B}'}} = \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\right) - 2 = \dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{5}\text{i} - 2  = - \dfrac{8}{5} - \dfrac{4}{5}\text{i}$.
		
De même $z_{\vect{\text{A}'\text{C}'}} = 1 + \text{i} - 2 = - 1 + \text{i}$.

Les vecteurs $\vect{\text{A}'\text{B}'}$ et $\vect{\text{A}'\text{C}'}$ ne sont pas colinéaires, donc les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$.
$g$ est la translation de vecteur $\vect{u}$. 
		\item %Sans donner d'explication, placer les points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ de A, B et C et tracer la droite $\mathcal{D}_{1}$, image de la droite $\mathcal{D}$ par $g$.
Voir la figure 
		\item %Démontrer que $\mathcal{D}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$.
Soit I le point d'affixe 1.

$|z - 1| = |z| \iff |z - 1| = |z - 0| \iff \left|z - z_{\text{I}}\right| = \left|z - z_{\text{O}}\right| \iff \text{I}M = \text{O}M$.

Les points $M$ sont donc équidistants de O et de I : ils appartiennent à la médiatrice de [OI] qui a pour équation $x = \dfrac{1}{2}$ et  qui est donc la droite $\mathcal{D}_{1}$ d'après la question précédente.
	\end{enumerate} 
\item  %Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $h\left(\text{A}_{1}\right) = \text{A}', h\left(\text{B}_{1}\right) = \text{B}'$ et $h \left(\text{C}_{1}\right) = \text{C}'$. 
$z_{\text{A}_{2}} = \dfrac{1}{z_{\text{A}_{1}}} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 = z_{\text{A}'}$.

$z_{\text{B}_{2}} = \dfrac{1}{z_{\text{B}_{1}}} = \dfrac{1}{\frac{1}{2} + \text{i}} = \dfrac{\frac{1}{2} - \text{i}}{\frac{1}{4} + 1} = \dfrac{4}{5}\left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\right) = z_{\text{B}'}$.

Enfin $z_{\text{C}_{2}} = \dfrac{1}{z_{\text{C}_{1}}} = \dfrac{1}{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\text{i}} = \dfrac{2}{1 - \text{i}} = \dfrac{2(1 + \text{i}}{1 + 1} = 1 + \text{i} = z_{\text{C}'}$
		\item %Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : 

%\[\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff  |z - 1| = |z|.\]
$\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff \left|\dfrac{1 - z}{z}  \right| = 1 \iff  \dfrac{|z - 1|}{|z|} = 1 \iff |z - 1| = |z|$.
		\item %En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
Soit un point $M$ de  $\mathcal{D}_{1}$ d'affixe $z$. On a vu que son affixe vérifie 	$|z - 1| = |z|$, donc d'après la question la question précédente $\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1$ \quad (2).

Son image par $h$ est le point $M_{2}$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{z}$.

La relations (2) devient donc $|z' - 1| = 1$ qui signifie que le point $M_{2}$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 1.

Conclusion : l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans le cercle	de centre I et de rayon 1. 
%On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O.
	\end{enumerate} 
\item  %Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$.
Soit $M$ un point d'affixe $z$ de la droite $\mathcal{D}$. Son image par $g$ est le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$.

L'image par $h$ du point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$ est le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$ c'est-à-dire l'image par $f$ de $M$.

Or l'image par $g$ de la droite $\mathcal{D}$ est la droite $\mathcal{D}_{1}$ et ensuite on a admis que  l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O.

Conclusion : l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$ est le cercle de centre I de rayon 1 privé de O.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(-0.5,0)(-0.5,1)(-0.5,-0.5)(2,0)(0.4,-0.8)(1,1)(0.5,0)(0.5,1)(0.5,-0.5)(1,0)
\uput[ur](1,0){I}
\uput[ur](2,0){A$'$}\uput[dl](0.4,-0.8){B$'$} \uput[ur](1,1){C$'$}
\uput[l](-0.5,0){A}\uput[l](-0.5,1){B} \uput[l](-0.5,-0.5){C}
\uput[l](0.5,0){A$_{1}$}\uput[l](0.5,1){B$_{1}$} \uput[l](0.5,-0.5){C$_{1}$}
\pscircle(1,0){1}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0.5,-2)(0.5,2)
\psline[linewidth=1.25pt](-0.5,-2)(-0.5,2)
\uput[l](-0.5,-1.7){$\mathcal{D}$}\uput[r](0.5,-1.7){$\mathcal{D}_{1}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
 
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = -1 + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{C}} = 1 + 3\text{i}.\] 

et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x + 2$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item %Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite $\mathcal{D}$. 
$x_\text{A}+2=-1+2=1=y_\text{A}$ donc $\text{A}\in\mathcal{D}$.\\
$x_\text{B}+2=0+2=2=y_\text{B}$ donc $\text{B}\in\mathcal{D}$.\\
$x_\text{C}+2=1+2=3=y_\text{B}$ donc $\text{A}\in\mathcal{D}$.\\
Les trois points A, B et C sont alignés et appartiennent à la droite $\mathcal{D}$.\\
(voir figure à la fin).
%Sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite $\mathcal{D}$.

\item %Résoudre l'équation $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i} = 0$ et vérifier que la solution de cette équation est l'affixe d'un point qui n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$. 
$(1 + \text{i})z + 3 - \text{i} = 0\Leftrightarrow z=\dfrac{-3+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\dfrac{(-3+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{1^2+1^2}=\dfrac{-3+3\mathrm{i}+\mathrm{i}+1}{2}=-1+2\mathrm{i}$.\\
$-1+2=1\neq 2$ donc le point d'affixe $-1+2\mathrm{i}$ n'appartient pas à $\mathcal{D}$.
\medskip

Dans la suite de l'exercice, on appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de  $-1 + 2\text{i}$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}}$.

\medskip
 
Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$.

\medskip
 
\item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$. 
$(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}=az+b$ avec $a=1+\mathrm{i}$ et $b=3-\mathrm{i}$.\\
$a\neq 1$ donc c'est l'écriture complexe d'une similitude directe, autre qu'une translation.\\
Le rapport de cette similitude est $|a|=|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}$.\\
L'angle de cette similitude est $\arg(a) = \arg(1+\mathrm{i})$ ; or $1+\mathrm{i}=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}\right)=\sqrt{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac\pi4}$ donc l'angle est $\dfrac{\pi}{4}$.\\
$\bullet~~$Soit $\Omega$, d'affixe $\omega$ le point fixe de cette similitude.\\
$\omega=\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{3-\mathrm{i}}{1-(1+\mathrm{i})}=\dfrac{3-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}=3\mathrm{i}+1$ donc $\omega=1+3\mathrm{i}$.

$\bullet~~$On peut également dire que $M$ d'affixe $z$ est invariant par $g$ si :

$(1 + \text{i})z + 3 - \text{i} = z \iff \text{i}z = - 3 + \text{i} \iff z = 3\text{i} + 1 = 1 + 3\text{i}$. Donc unicité du point invariant.

		\item %Calculer les affixes des points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ des points A, B et C. 
L'affixe de A$_1$ est $(1 + \text{i})(-1+\mathrm{i}) + 3 - \text{i}=-2+3-\mathrm{i}=1-\mathrm{i}$ donc $z_{\text{A}_1}=1-\mathrm{i}$.\\
L'affixe de B$_1$ est $(1 + \text{i})(2\mathrm{i}) + 3 - \text{i}=-2+2\mathrm{i}+3-\mathrm{i}=1+\mathrm{i}$ donc $z_{\text{B}_1}=1+\mathrm{i}$.\\
L'affixe de C$_1$ est $1 + 3\text{i}$ puisque C est le point invariant de la similitude.\\


		\item %Déterminer l'image $\mathcal{D}_{1}$ de la droite $\mathcal{D}$ par la transformation $g$ et la tracer sur la figure.
		L'image d'une droite par une similitude est une droite. $\mathcal{D}$ est la droite (AB) donc l'image de $\mathcal{D}$ est la droite $\mathcal{D}_1$ passant par A$_1$ et B$_1$	, qui a pour équation $x=1$.
	\end{enumerate} 
	
\item  Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, fait correspondre le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les affixes des points $h\left(\text{A}_{1}\right),\: h\left(\text{B}_{1}\right)$ et $h\left(\text{A}_{1}\right)$ et placer ces points sur la figure. \\
		$h\left(\text{A}_{1}\right)$ a pour affixe $\dfrac{1}{z_{\text{A}_1}}=\dfrac{1}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{2}$.\\

		$h\left(\text{B}_{1}\right)$ a pour affixe $\dfrac{1}{z_{\text{B}_1}}=\dfrac{1}{1+\mathrm{i}}=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}$.\\
%
		$h\left(\text{C}_{1}\right)$ a pour affixe $\dfrac{1}{z_{\text{C}_1}}=\dfrac{1}{1+3\mathrm{i}}=\dfrac{1-3\mathrm{i}}{10}$.\\
		
		\item %Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : 

%\[\left|\dfrac{1}{z}- \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} \iff |z - 2| = |z|.\]
Pour tout $z\neq 0$, $\left|\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}\iff \left|\dfrac{2- z}{2z}\right| = \dfrac{1}{2}\iff \dfrac{|2 - z|}{2|z|} = \dfrac{1}{2}$ (car le module du quotient est égal au quotient des modules de chaque terme,) $\iff |2-z|=|z|\Leftrightarrow |z-2|=|z|$.
 
		\item %En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure. 
		Soit $M$ un point de $\mathcal{D}_1$. L'affixe $z$ de $M$
 est $1+\mathrm{i}t$, $t\in\mathbb{R}$.\\
 Alors $|z-2|=|1+\mathrm{i}t-2|=|-1+\mathrm{i}t|=\left|\overline{-1+\mathrm{i}t}\right|=|-1-\mathrm{i}t|=|-(1+\mathrm{i}t)|=|1+\mathrm{i}t|=|z|$.\\
 D'après la question précédente, cela équivaut à $\left|\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$. Le point $h(M)$ appartient donc au cercle $\mathcal{C}$ de centre F d'affixe $\dfrac{1}{2}$ et de rayon $\dfrac{1}{2}$.
 
		\item %Démontrer que tout point du cercle $\mathcal{C}$ qui est distinct de O est l'image par $h$ d'un point de la droite $\mathcal{D}_{1}$.
Soit $M$ d'affixe $Z\neq 0$ un point de $\mathcal{C}$, privé de O.\\
On a $\left|Z-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$. On pose $z=\dfrac{1}{Z}$ et on appelle $M_1$ le point d'affixe $z$. D'après b., on a 

$|z - 2| = |z|\Leftrightarrow |z - 2| = |z - 0|$.\\
		Si l'on note E le point d'affixe 2, on a O$M_1$=E$M_1$ donc $M_1$ appartient à la médiatrice de [OE] qui est la droite $\mathcal{D}_1$, donc tout point du cercle $\mathcal{C}$ qui est distinct de O est l'image par $h$ d'un point de la droite $\mathcal{D}_{1}$
	\end{enumerate} 

\item %Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$.
$f = h\circ g$, donc l'image de la droite $\mathcal{D}$ par $f$ est l'image de $\mathcal{D}$ par $h\circ g$. Or, l'image de $\mathcal{D}$ par $g$ est $\mathcal{D}_1$  et celle de $\mathcal{D}_1$  par $h$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O.\\
l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$ est donc le cercle $\mathcal{C}$ privé de O.
 \end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(2,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=200]{-2.0}{2.0}{x+2}
\psline(1,-2)(1,4)
\pscircle(0.5,0){1}
\uput[dr](1,0){1}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1,1)(0,2)(1,3)(1,-1)(1,1)(1,3)(0.5,0)(0.5,-0.5)(0.1,-0.3)
\uput[ul](-0.95,1.08){\blue{$A$}}
\uput[ul](0.05,2.07){\blue{$B$}}
\uput[dr](1.06,3.08){\blue{$C$}}
\rput[bl](1.06,-0.93){\blue{$A_1$}}
\rput[bl](1.06,1.08){\blue{$B_1$}}
\uput[ul](1.06,3.08){\blue{$C_1$}}
\rput[bl](0.55,0.08){\blue{$F$}}
\rput[bl](0.55,0.57){\blue{$A'$}}
\rput[bl](0.55,-0.42){\blue{$B'$}}
\rput[bl](0.15,-0.23){\blue{$C'$}}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}