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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  S  Métropole juin 2003~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 2,~ b = 1 - \text{i}$ et $c =  1 + \text{i}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item %Placer les points A, B et C sur une figure.
Voir la figure à la fin.
		\item %Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.
Calculons $\dfrac{c - a}{b - a} = \dfrac{1 + \text{i} - 2}{1 - \text{i} - 2} = \dfrac{- 1 + \text{i}}{- 1 - \text{i}} = \dfrac{1 - \text{i}}{1 + \text{i}} = \dfrac{(1 - \text{i})(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} =$

$ \dfrac{1 - 1 - 2\text{i}}{1 + 1} = - \text{i} = \dfrac{c - a}{b - a}$.

$\bullet~~$L'égalité précédente donc en prenant les modules : $\dfrac{\text{AC}}{\text{AB}} = 1 \Rightarrow $ AC = AB : le triangle ABC est isocèle en A.

$\bullet~~$L'égalité précédente donne en prenant les arguments : $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}} \right) = - \dfrac{\pi}{2}$ : le triangle ABC est rectangle en A.

Conclusion : Le triangle ABC est rectangle isocèle en A. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %On appelle $r$ la rotation de centre A telle que $r$(B) = C.

%Déterminer l'angle de $r$ et calculer l'affixe $d$ du point D = $r$(C).
D'après la première question l'angle de cette rotation est $- \frac{\pi}{2}$. 

On a $\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AD}} \right) = - \frac{\pi}{2}$ et AD = AC, donc le triangle CAD est aussi un triangle rectangle isocèle en A. Le point D est tout simplement le symétrique de B autour de A, donc D(3~;~1). $d = 3 + \text{i}$.
		\item %Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [BC].

%Déterminer et construire l'image $\Gamma '$  du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$.
La rotation est une isométrie, donc l'image du cercle $\Gamma$ est un cercle $\Gamma '$ de même rayon.

Mais comme B et C ont respectivement pour images par la rotation les points C et D, l'image de $\Gamma$ cercle de diamètre [BC] est le cercle $\Gamma '$ de diamètre [CD].
	\end{enumerate}
\item %Soit $M$ un point de $\Gamma$ d'affixe $z$, distinct de C et $M'$ d'affixe $z'$ son image par $r$.
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer qu'il existe un réel $\theta$ appartenant à $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right[$ tel que $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$.
$\Gamma$ a pour centre le point $\omega(1~;~0)$.

$M(z) \in \Gamma \iff \omega M = 1 \iff |z - 1| = 1$, donc il existe $\theta \in \R$ tel que $z = 1 +\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta \neq \frac{\pi}{2}$, puisque $M \neq \text{C}$.
		\item %Exprimer $z'$ en fonction de $\theta$.
L’expression complexe de la rotation $r$ est :

$z’ - 2 = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}\left(1+ \text{e}^{\text{i}\theta} - 2\right) \iff z’ = 2 + \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}\left(1+ \text{e}^{\text{i}\theta} - 2\right) = 2 - \text{i}\left(- 1 + \text{e}^{\text{i}\theta} \right) = 2 + \text{i} + \text{e}^{\text{i}\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)}$.
		\item %Montrer que	$\dfrac{z' - c}{z - c}$	est un réel. En déduire que les points C, $M$ et $M'$ sont alignés.
$\dfrac{z' - c}{z - c} = \dfrac{\text{e}^{\text{i}\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right)}+ 1}{\text{e}^{\text{i}\theta}  - \text{i}} = \dfrac{- \cos \theta - \text{i}\sin \theta + 1}{\cos \theta + \text{i}(\sin \theta - 1)} = $

$\dfrac{(- \cos \theta - \text{i}\sin \theta + 1)(\cos \theta - \text{i}(\sin \theta + 1))}{\cos ^{2}\theta + (\sin \theta - 1)^{2}} = \dfrac{2\cos \theta}{2 - 2\sin \theta} \in \R$. 

On a donc $\vect{\text{C}M’} = \dfrac{2\cos \theta}{2 - 2\sin \theta}\vect{\text{C}M}$ ; les vecteurs sont colinéaires, donc les points C, $M$ et $M’$ sont alignés.
		\item %Placer sur la figure le point M d'affixe $1+ \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et construire son image M$'$ par $r$.
M est sur le cercle $\Gamma$, donc M$’$ appartient au cercle $\Gamma ‘$ et M$’$ appartient à la droite (CM) ; M$’$ est donc à l’intersection du cercle et de la droite.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dr](0,0){O}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-0.5,-1.5)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(4,2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](2,0)(1,-1)(1,1)(3,1)(0.5,0.866)(2.866,1.5)%ABCD
\pspolygon(2,0)(1,-1)(1,1)
\pscircle(1,0){1}\pscircle(2,1){1}
\pspolygon(2,0)(3,1)(1,1)
\uput[dr](2,0){A} \uput[d](1,-1){B} \uput[ul](1,1){C}\uput[r](3,1){D}
\uput[ul](0.5,0.866){M}\uput[u](2.866,1.5){M$’$}
\psline(0.5,0.866)(2.866,1.5)
\psline[linecolor=blue](0.5,0.866)(2,0)(2.866,1.5)
\end{pspicture} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,25cm}

\parbox[l]{0.38\textwidth}{Soient $a$ un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :

$\bullet$	OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O,

$\bullet$	OA = OB = OC = $a$.

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O
 du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par
  
 $\vect{\text{HO}} = \vect{\text{OD}}$.} \hfill 
 \parbox[r]{0.62\textwidth}{\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(9,10.2)
\psline[linestyle=dotted](1.2,0.9)(2,4)(1.5,9.7)
\psline[linestyle=dotted](8.5,4)(2,4)
\psline[linestyle=dotted](3.7,4.9)(0.2,3.1)
\psline[linestyle=dotted](8.5,4)(0.2,3.1)
\psline(1.5,9.7)(0.2,3.1)(1.2,0.9)(8.5,4)(1.5,9.7)(4.85,2.45)
\psline(1.2,0.9)(1.5,9.7)
\uput[d](1.2,0.9){A} \uput[d](4.85,2.45){I} \uput[dr](8.5,4){B} 
\uput[ul](1.5,9.7){C} \uput[ul](2,4){O} \uput[l](0.2,3.1){D}  
\uput[r](3.7,4.9){H}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate} 
\item %Quelle est la nature du triangle ABC ?
OAB, OAC et OBC sont rectangles isocèles en O, donc leurs hypoténuses AB, AC et BC ont la même longueur $a\sqrt{2}$. Donc ABC est un triangle équilatéral.
\item %Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre du triangle ABC.
$\bullet~~$(CI) étant hauteur du triangle isocèle ABC,  la droite (CI) est perpendiculaire à la droite (AB).

(CI) est aussi médiane, donc I est le milieu de [AB] ; donc dans le triangle OAB isocèle en O la droite (OI) médiane est aussi hauteur donc (OI) est perpendiculaire à (AB).

Conclusion : la droite (AB) perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (OIC) est orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier à (OH).

$\bullet~~$(OH)  orthogonale aux deux droites sécantes (IC) et (AB) est orthogonale au plan (ABC) donc en particulier à la droite (BC).

(OA) est orthogonale aux deux droites sécantes (OB) et (OC), donc au plan (OBC) et en particulier à la droite (BC).

Conclusion : (BC) est orthogonale à (OH) et à (OA) donc au plan (OHA) et en particulier à la droite (AH) qui est donc une hauteur du triangle (ABC) ; H commun à deux hauteurs du triangle (ABC) est l'orthocentre de ce triangle.
\item Calcul de OH
	\begin{enumerate} 
		\item %Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC.
On peut prendre comme base le triangle rectangle isocèle OAB et comme hauteur [OC].

V $ = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}a \times a \times a = \dfrac{a^3}{6}$.

On prend  maintenant comme base le triangle équilatéral ABC et comme hauteur [OH]

$\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{1}{2}\times \text{AB} \times \text{CI} = \dfrac{1}{2} \times a\sqrt{2}\times a \sqrt{2}\times  \dfrac{\sqrt{3}}{2} = a^{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

		\item %Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = $a\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
		
On a donc V $ = \dfrac{a^3}{6} = a^{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \text{OH} \iff \text{OH} = \dfrac{2}{6\sqrt{3}}a = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.
	\end{enumerate}
\item %Étude du tétraèdre ABCD.

%L’espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{O}~ ;~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OA}},~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OB}},~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OC}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que le point H a pour coordonnées : $\left(\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3}\right)$.
		On a vu que (ABC) est équilatéral et que H en est l'orthocentre, donc aussi le centre de gravité soit l'isobarycentre des points A, B, et C. Les coordonnées de H sont donc : $\left(\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3}\right)$.
		\item %Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).
		Le point D est le symétrique de H autour de O ses coordonnées sont donc : $\left(-\dfrac{a}{3},~- \dfrac{a}{3},~) \dfrac{a}{3}\right)$.
		
AD$2 = \left(a + \dfrac{a}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{3}\right)^2 = \dfrac{16a^2}{9} +  \dfrac{a^2}{9} = \dfrac{18a^2}{9} = 2a^2 = \left(a\sqrt{2}\right)^2 \Rightarrow \text{AD} = a\sqrt{2}$.

Le calcul est le même pour BD et CD, donc finalement AB = BC = CA = AD = BD = CD $= a\sqrt{2}$ : le tétraèdre ABCD est régulier.
		\item %Soit $\Omega$ le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que $\Omega$ est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.
Les points équidistants de A, de B et de C appartiennent aux plans médiateurs de [AB] et de [BC],donc à leur intersection la droite (OH).

Ce centre du cercle $\Omega$ a donc pour coordonnées $(x~;~x~;~x)$ et on doit avoir $\Omega\text{A} = \Omega\text{D} \Rightarrow \Omega\text{A}^2 = \Omega\text{D}^2 \iff (x - a)^2 + x^2 + x^2 = 3\left(x + \frac{a}{3}\right)^2 \iff $

$3x^2 + a^2 - 2ax = 3x^2 + \frac{a^2}{3} + 2 ax \iff 4ax = \frac{2a^2}{3} \iff x = \frac{a}{6}$.

Donc $\Omega\left(\frac{a}{6}~;~\frac{a}{6}~;~\frac{a}{6} \right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Les questions} \textbf{3.} \emph{et} \textbf{4.} \emph{sont indépendantes des
% questions} 1. \emph{et} 2. \emph{seule l'équation de} $\Gamma$ \emph{donnée en} \textbf{1.  c.} \emph{intervient à la question} \textbf{4.}.
%
%\medskip

\begin{enumerate} 
\item %L’espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
	\begin{enumerate}
		 \item %Montrer que les plans P et Q d'équations respectives $x + y\sqrt{3}	- 2z = 0$ et $2x - z = 0$ ne sont pas parallèles.
P et Q ont respectivement pour vecteur normal respectivement 

$\vect{p}\left(1~;~\sqrt{3}~;~- 2\right)$ et $\vect{q}(1~;~0~;~- 1)$ vecteurs non colinéaires, donc les plans ne sont pas parallèles.
		\item %Donner un système d'équations paramétriques de la droite $\Delta$ intersection des plans P et Q.
$M(x~;~y~;~z) \in \Delta \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x + y\sqrt{3}	- 2z = 0\\
2x - z = 0
\end{array}\right.$ soit en posant $z = t$ avec $t \in \R$, 

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y\sqrt{3}	- 2z&=& 0\\
2x - z 				&=& 0\\
x					&=&t
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t + y\sqrt{3}	- 2z&=&0\\
2t - z 				&=&0\\
x 					&=&t
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
 t + y\sqrt{3}	- 2z&=& 0\\
 z 					&=&2t\\
x 					&=& t
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
 t + y\sqrt{3}	- 4t&=& 0\\
 z 					&=& 2t\\
x 					&=& t
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
y			&=& t\sqrt{3}\\
z 			&=& 2t\\
x 			&=& t
\end{array}\right. $

C’est l’équation d’une droite contenant l’origine et de vecteur directeur $\left(1~;~\sqrt{3}~;~2 \right)$.
		\item %On considère le cône de révolution $\Gamma$ d'axe (O$x$) contenant la droite $\Delta$ comme génératrice.
		
%Montrer que $\Gamma$ pour équation cartésienne $y^2 + z^2 = 7x^2$.
Un cône d’axe O$x$ a pour équation : $y^{2} +z^{2} = \alpha x^{2}$. Or tout point de la génératrice $\Delta$ appartient au cône, ses coordonnées vérifient l’équation soit :

$3t^{2} + 4t^{2} = \alpha t^{2} \iff 7 = \alpha$.

une équation de $\Gamma$ est : $y^{2} +z^{2} = 7 x^{2}$.
	\end{enumerate}
\item %On a représenté sur les deux figures ci-dessous les intersections de $\Gamma$  avec des plans parallèles aux axes de coordonnées.

%Déterminer dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant avec soin votre réponse.
 
%\begin{center} 
%\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(14,7)
%\pscurve[showpoints=true,linecolor=red](0,0)(1,1)(1.82,2)(2.5,3)(2.6,3.5)(2.5,4)(1.85,5)(1,6)(0,7)
%\pscurve(0,0)(1,1)(1.85,2)(2.5,3)(2.6,3.5)(2.5,4)(1.85,5)(1,6)(0,7)
%\pscurve(7,0)(6,1)(5.15,2)(4.5,3)(4.4,3.5)(4.5,4)(5.15,5)(6,6)(7,7)
%\pscircle(11,3.5){2.2}
%\end{pspicture}
%\end{center}

%\hspace{2cm}Figure 1 	\hspace{5,5cm}Figure 2
On a une équation de cercle (figure 2) si $x = k$, $k \in \R$.

Si $y = k$ ou $z = k$ on obtient respectivement $z^{2} - 7x^{2} = k^{2}$ ou $y^{2} - 7x^{2} = k^{2}$ qui sont des équations d’hyperbole (figure 1).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $x^2 \equiv 3 \quad [7]$ , dont l'inconnue $x$ est un entier relatif, n'a pas de solution,
$x \equiv 0\quad \mod 7$, alors $x^{2} \equiv 0\quad \mod 7$

$x \equiv 1\quad \mod 7$, alors $x^{2} \equiv 1\quad \mod 7$

$x \equiv 2\quad \mod 7$, alors $x^{2} \equiv 4\quad \mod 7$

$x \equiv 3\quad \mod 7$, alors $x^{2} \equiv 2\quad \mod 7$

$x \equiv 4\quad \mod 7$, alors $x^{2} \equiv 2\quad \mod 7$

$x \equiv 5\quad \mod 7$, alors $x^{2} \equiv 4\quad \mod 7$

$x \equiv 6\quad \mod 7$, alors $x^{2} \equiv 1\quad \mod 7$.

Ceci montre que l’équation n’a pas de solution.
		\item %Montrer la propriété suivante :

%pour tous entiers relatifs $a$ et $b$, si 7 divise $a^2 + b^2$ alors 7 divise $a$ et 7 divise $b$.
D’après la question précédente si $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux multiples de 7 , donc congrus à 0 modulo 7, alors la somme $a^{2} + b^{2}$ est congrue à $0 + 1 = 1$, ou $0 + 4 = 4$, ou $0 + 2 = 2$, ou $1 + 1 = 2$, ou $1 + 4 = 5$, ou $1 + 2 = 3$, ou $2 + 2 = 4$, ou $2 + 4 = 6$, ou $4 + 4 = 8\equiv 1$.

Donc en aucun cas la somme n’est divisible par 7.

Conclusion : si 7 divise $a^2 + b^2$ alors 7 divise $a$ et 7 divise $b$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Soient $a,\: b$ et $c$ des entiers relatifs non nuls. Montrer la propriété  suivante :

%si le point A de coordonnées $(a,\: b,\: c)$ est un point du cône $\Gamma$ alors $a,~b$ et $c$ sont divisibles par 7.
A$(a~;~b~;~c) \in \Gamma \iff b^{2} + c^{2} = 7a^{2}$.

Donc 7 divise $b^{2} + c^{2}$ et d’après la question précédente 7 divise $b$ et $c$.

Donc il existe $\alpha$ et $\beta$ entiers tels que :

$b = 7\alpha$ et $c = 7\beta$.

On en déduit que $49\alpha^{2} + 49 \beta^{2} = 7a^{2} \iff 7\alpha^{2} + 7 \beta^{2} = a^{2} \iff$

$ 7\left(\alpha^{2} + \beta^{2} \right) = a^{2}$, égalité qui montre que 7 divise $a^{2}$, donc divise $a$.

Finalement si le point A de coordonnées $(a,\: b,\: c)$ est un point du cône $\Gamma$ alors $a,~b$ et $c$ sont divisibles par 7.
		\item %En déduire que le seul point de $\Gamma$ dont les coordonnées sont des entiers relatifs  est le sommet de ce cône.
Soit A de coordonnées non nulles $(a,\: b,\: c)$ un point du cône. On sait que toutes ces coordonnées sont multiples de 7.
Il existe donc $\alpha,\beta$ et $\gamma$ non nuls  tels que 

$a = 7\alpha,\: b = 7\beta,\: c = 7\gamma$, d’où

$\beta^{2} + \gamma^{2} = 7\alpha^{2}$, avec un ces trois nombres non multiple de 7 (sinon on recommence), mais l’égalité trouvée a montré que les trous nombres sont multiples de 7, ce qui est en contradiction avec ce que l’on vient de dire.

Conclusion les trois nombres $a,\: b,\: c$ sont donc nuls. Le seul point du cône à coordonnées entières est le point (0~;~0~;~0) soit le sommet du cône.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit N$_{0}$ le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant
% 
%$t = 0$~ (N$_{0}$ étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus).
%
%\textbf{Ce problème a pour objet l'étude de deux modèles d'évolution de cette population  de bactéries :}
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] un premier modèle pour les instants qui suivent l'ensemencement 
%(\textbf{partie A})
%\item[$\bullet~$]  un second modèle pouvant s'appliquer sur une longue période 
%(\textbf{partie B}).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

%Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.
%
%Dans ce premier modèle, on note $f(t)$ le nombre de bactéries à l'instant $t$ (exprimé en millions d'individus). La fonction $f$ est donc solution de l'équation différentielle :  $y' = ay$ (où $a$ est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item %Résoudre cette équation différentielle, sachant que $f(0) = \text{N}_{0}$.
On sait que les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions :

$t \longmapsto f(t) = K\text{e}^{at}$, avec $K \in \R$

Sachant que $f(0) = \text{N}_{0} = K$, la seule solution est la fonction définie sur $\R$ par : $t \longmapsto f(t) = \text{N}_{0}\text{e}^{at}$.

\item  %On note $T$ le temps de doublement de la population bactérienne.

%Démontrer que, pour tout réel $t$ positif : $f(t) = \text{N}_{0}  2^{\frac{t}{T}}$.
On a donc $2\text{N}_{0} = \text{N}_{0}\text{e}^{aT} \iff 2 = \text{e}^{aT} \iff \ln 2 = aT \iff a = \dfrac{\ln 2}{T}$ (par croissance le fonction logarithme népérien).

Donc $f(t) = \text{N}_{0}\text{e}^{at} = \text{N}_{0}\text{e}^{t\times \frac{\ln 2}{T}} = \text{N}_{0}\text{e}^{\left( \ln 2\right)^{\frac{t}{T}}} = \text{N}_{0}  2^{\frac{t}{T}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}  \textbf{Partie B} \end{center}

%Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs, ...), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s'appliquer sur 
%une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la
%population de bactéries de la façon suivante :
%
%Soit $g(t)$ est le nombre de bactéries à l'instant $t$ (exprimé en millions  d'individus) ; la fonction $g$ est une fonction strictement positive et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ qui vérifie pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$ la relation :
%
%\[\text{(E)}\qquad g'(t) = ag(t)\left[1 - 
%\dfrac{g(t)}{\text{M}}\right].\]
% 
%où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales et $a$ le réel défini dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Démontrer que si $g$ est une fonction strictement positive vérifiant la relation (E), alors la fonction $\dfrac{1}{g}$ est solution de l'équation différentielle 
 
% \[\text{(E}') \qquad y'+ ay = \dfrac{a}{\text{M}}.\]
Si $g(t) > 0$, alors on a :

$g'(t) = ag(t)\left[1 - \dfrac{g(t)}{\text{M}}\right] \iff \dfrac{g’(t)}{g(t)} = a\left[1 - \dfrac{g(t)}{\text{M}}\right] \iff \dfrac{g’(t)}{g(t)} = a - a\dfrac{g(t)}{\text{M}} \iff  \dfrac{g’(t)}{g(t)^{2}} = a\dfrac{1}{g(t)} - a\dfrac{1}{\text{M}} \iff - \dfrac{g’(t)}{g(t)^{2}} =  - a\dfrac{1}{g(t)} + \dfrac{a}{\text{M}} \iff \left(\dfrac{1}{g(t)} \right)’ + a\left( \dfrac{1}{g(t)}\right) = \dfrac{a}{\text{M}}$ : cette égalité signifie que la fonction $\dfrac{1}{g}$ est solution de l'équation différentielle 
 $\text{(E}') \qquad y'+ ay = \dfrac{a}{\text{M}}$.
		\item %Résoudre (E$'$).
On a vu que $a = \dfrac{\ln 2}{T}$, donc est positif comme $\dfrac{a}{\text{M}}$ ; o sait lors que les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions $t \longmapsto f(t) = K\text{e}^{-at} + \dfrac{1}{\text{M}}$, avec $K$ réel quelconque.
		\item %Démontrer que si $h$ est une solution strictement positive de (E$'$), alors $\dfrac{1}{h}$ vérifie (E).
Si $h(t) > 0$, quel que soit le réel $t$, alors la fonction $i$ définie par $i(t) = \dfrac{1}{h(t)}$ est définie pour tout réel $t$. Elle est dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$i’(t) = - \dfrac{h’(t)}{(h(t))^{2}}$.

Or si $h$ est solution de (E$’$), $h’(t) = - ah(t) = \dfrac{a}{\text{M}}$, d’où en remplaçant dans l’expression de $i’(t)$ :

$i’(t) = - \dfrac{1}{(h(t))^{2}} \left[  - ah(t) = \dfrac{a}{\text{M}}\right] = a\dfrac{h(t)}{(h(t))^{2}} - \dfrac{a}{\text{M}}\times \dfrac{1}{h(t)}= a \times \dfrac{1}{h(t)}\left[1 - \dfrac{1}{\text{M}} \times \dfrac{1}{h(t)} \right] = ai(t)\left[1 - \dfrac{i(t)}{\text{M}} \right]$.

Donc la fonction $i$ est bien solution de l’équation différentielle (E$’$).
	\end{enumerate}
\item %On suppose désormais que, pour tout réel positif $t,~ g(t) = \dfrac{\text{M}}{1 + C\text{e}^{-at}}$ où $C$ est une constante strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expérimentales.
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$ et démontrer, pour tout réel $t$ positif ou nul, la double inégalité : $0 < g(t) <  \text{M}$.
$\bullet~~$Limite en $+ \infty$ : comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{-at} = 0$ (car $a > 0$), on a $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} g(t) = \text{M}$.

$\bullet~~$ On a : quel que soit $t, \: \text{e}^{-at} > 0 \Rightarrow C\text{e}^{-at} > 0$ (car $C > 1 > 0$) $\Rightarrow 1 + C\text{e}^{-at} > 1 \Rightarrow \dfrac{1}{1 + C\text{e}^{-at}} < 1 \Rightarrow \dfrac{\text{M}}{1 + C\text{e}^{-at}} < \text{M}$.

D’autre part $g(t)$ est le quotient de deux termes supérieurs à zéro, donc $g(t) > 0$.

Finalement quel que soit $t \in [0~;~+ \infty[, \:\: 0 < g(t) < \text{M}$. 
		\item %Étudier le sens de variation de $g$ (on pourra utiliser la relation (E)).
Du résultat précédent, on déduit :
		
$g(t) < \text{M} \Rightarrow \dfrac{g(t)}{\text{M}}< 1 \Rightarrow 1 - \dfrac{g(t)}{\text{M}} > 0 \Rightarrow ag(t) \left[1 - \dfrac{g(t)}{\text{M}} \right] > 0 \iff g’(t) > 0$ (d’après la relation (E) : la dérivée est strictement positive, la fonction $g$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$ de $g(0) = \dfrac{\text{M}}{1 + C}$ à M.

%Démontrer qu'il existe un réel unique $t_{0}$ positif tel que 
%$g(t_{0}) = \dfrac{\text{M}}{2}$.
On a $C > 1 \Rightarrow 1 + C > 2 \iff \dfrac
{1 + C} < \dfrac{1}{2}\iff \dfrac{\text{M}}{1 + C} < \dfrac{\text{M}}{2}$.

Donc $\dfrac{\text{M}}{2} \in \left[ \dfrac{\text{M}}{1 + C}~;~\text{M} \right]$.

La fonction $g$ continue car dérivable sur $\in [0~;~+ \infty[$ est strictement croissante de $\dfrac{\text{M}}{1 + C}$ à M : il existe donc un réel unique positif $t_{0}$ tel que $g\left(t_{0}\right) = \dfrac{\text{M}}{2}$. 
		\item %Démontrer que $g'' = a\left(1 - \dfrac{2g}{\text{M}}\right)g'$. Étudier le signe de $g''$. En déduire que la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l'instant $t_{0}$ défini ci-dessus.

%Exprimer $t_{0}$ en fonction de $a$ et $C$.
Partons de $g'(t) = ag(t)\left[1 - \dfrac{g(t)}{\text{M}}\right]$ et dérivons les deux membres :

$g''(t) = ag'(t)\left[1 - \dfrac{g(t)}{\text{M}}\right] + ag(t) \left[- \dfrac{g’(t)}{\text{M}} \right]$

$g''(t) = ag'(t)\left[1 - \dfrac{g(t)}{\text{M}} - \dfrac{g(t)}{\text{M}}\right] = ag’(t)\left[1 - \dfrac{2g(t)}{\text{M}}\right]  =  a\left(1 - \dfrac{2g(t)}{\text{M}}\right)g'$

Comme $g'(t) > 0$, le signe de $g''(t)$ est celui de $1 - \dfrac{2g(t)}{\text{M}}$.

$1 - \dfrac{2g}{\text{M}} > 0 \iff 1 > \dfrac{2g(t)}{\text{M}} \iff g(t) < \dfrac{\text{M}}{2}$, soit $g(t) < g\left(t_{0}\right) \iff t < t_{0}$ par croissance de la fonction $g$.

De même on a $1 - \dfrac{2g}{\text{M}} < 0 \iff  t > t_{0}$.

Conclusion : $g'$ est croissante sur $[0~;~t_{0}]$ et décroissante sur $\left[t_{0}~;~+ \infty\right[$.

Donc la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l'instant $t_{0}$.

$\bullet~~$On a vu que $g\left(t_{0}\right)= \dfrac{\text{M}}{2}$, soit $\dfrac{\text{M}}{1 + C\text{e}^{-at_{0}}} = \dfrac{\text{M}}{2} \iff  1 + C\text{e}^{-at_{0}} = 2 \iff C\text{e}^{-at_{0}} = 1 \iff \text{e}^{-at_{0}} = \dfrac{1}{C} \iff -at_{0} = - \ln C \iff t_{0} = \dfrac{\ln C}{a}$.
		\item %Sachant que le nombre de bactéries à l'instant $t$ est 
%$g(t)$, calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants $0$ et $t_{0}$, en fonction de M et $C$. 
On sait que le nombre moyen entre 0 et $t_{0}$ est 

$m = \dfrac{1}{t_{0} - 0}\displaystyle\int_{0}^{t_{0}} g(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{t_{0} - 0}\displaystyle\int_{0}^{t_{0}} \dfrac{\text{M}}{1 + C\text{e}^{- at}}\:\text{d}t = \dfrac{\text{M}}{t_{0}}\displaystyle\int_{0}^{t_{0}} \dfrac{1}{1 + C\text{e}^{- at}}\:\text{d}t = \dfrac{\text{M}}{t_{0}}\displaystyle\int_{0}^{t_{0}} \dfrac{\text{e}^{at}}{\text{e}^{at} + C}\:\text{d}t$.

La fonction $t \longmapsto \dfrac{\text{e}^{at}}{\text{e}^{at} + C}$ a pour primitive la fonction $t \longmapsto \dfrac{1}{a}\ln \left|\text{e}^{at}+ C \right| = \dfrac{1}{a}\ln \left(\text{e}^{at}+ C \right)$.

Donc $m = \dfrac{\text{M}}{at_{0}}\left[\ln \left( \text{e}^{at} + C \right)  \right]_{0}^{t_{0}} = \dfrac{\text{M}}{at_{0}}\left[\ln \left(\text{e}^{at_{0}} + C \right) - \ln \left(\text{e}^{a\times 0} + C \right) \right] = \dfrac{\text{M}}{at_{0}}\ln \dfrac{\text{e}^{at_{0}}+ C}{1 + C}$.

Or on a vu que $t_{0} = \dfrac{\ln C}{a}$, donc $at_{0} = \ln C$, puis $\text{e}^{at_{0}} = \text{e}^{(\ln C)} = C$.

Finalement : $m = \dfrac{\text{M}}{\ln C}\ln \dfrac{ 2C}{1 + C}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item %Le tableau présenté en \textbf{Annexe I} a permis d'établir que la courbe représentative de $f$ passait par les points de coordonnées respectives (0~;~1) et (0,5~;~2). En déduire les valeurs de N$_{0},~T$ et $a$.
On sait que (partie A) $f(t) = N_{0} 2^{\frac{t}{T}}$.

Donc $f(0) = N_{0} = 1$ et $f(0,5) = 2^{\frac{0,5}{T}} = 2$ d’où   $\frac{0,5}{T} = 1 \iff T = 0,5$.

D’autre part $f(t) = N_{0} \text{e}^{at}$, donc $f(0,5) = 2 \iff \text{e}^{0,5a} = 2 \iff 0,5a = \ln 2 \iff a = 2\ln 2 = \ln 4$, donc $f(t) = \text{e}^{\ln 4 \times t} = \left(\text{e}^{\ln 4}\right)^{t} = 4^{t}$.

\item %Sachant que $g(0) = \text{N}_{0}$ et que M = 100 N$_{0}$, démontrer, pour tout réel $t$ positif ou nul, l'égalité suivante :

%\[g(t) = \dfrac{100}{1 + 99 \times 4^{-t}}.\]
$g(0) = \text{N}_{0} = 1$ donne

$\dfrac{\text{M}}{1 + C} = 1$, avec 	M = 100 N$_{0} = 100$, il vient $\dfrac{100}{1 + C} = 1 \iff 100 = 1 + C \iff C = 99$.

Comme $a = \ln 4$, on obtient :

$g(t) = \dfrac{100}{1 + 99\text{e}^{- t \ln 4}} = \dfrac{100}{1 + 99 \times 4^{t}}$.
\item %Tracer, sur la feuille donnée en \textbf{Annexe II}, la courbe $\Gamma$ représentative de $g$, l'asymptote à $\Gamma$ ainsi que le point de $\Gamma$ d'abscisse $t_{0}$.
On a $t_{0} = \dfrac{\ln C}{a} = \dfrac{\ln 99}{2\ln 2} \approx 3,31$ au centième près.

Ce point d’abscisse $t_{0}$ est un point d’inflexion de la courbe. Voir ci-dessous.
\item %Dans quelles conditions le premier modèle vous semble-t-il adapté aux observations faites ?
Le premier modèle est adapté pour des petites valeurs de $t$, soit à peu près sur l’intervalle [0~;~1,5].
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe I}

\vspace{0,8cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (en h)							& 0 &0,5&1 	&1,5 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\  \hline
Nombre de bactéries (en millions)	&1,0&2,0&3,9&7,9	&14,5	&37,9	&70,4	&90,1 	&98\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,8cm}

Les points obtenus à partir de ce tableau, ainsi que le 
graphe de la fonction $f$, sont représentés dans le graphique 
ci-dessous.

\begin{center} \textbf{Annexe II}
    
\vspace{0,5cm}
    
\psset{xunit=1.55cm,yunit=1mm}
\begin{pspicture}(8,110)
\multido{\r=.5+1}{8}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\r,0)(\r,110)}
\multido{\r=0+5}{23}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\r)(8,\r)}
\multido{\i=1+1}{8}{\psline[linecolor=orange](\i,0)(\i,110)}
\multido{\r=0+20}{6}{\psline[linecolor=orange](0,\r)(8,\r)}
\psline(0,110)(8,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(8,110)
\def\f{100 2.71828 4 ln x mul neg exp  99 mul 1 add div}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2]
(0,1)(0.5,2)(1,3.9)(1.5,7.9)(2,14.5)(3,37.9)(4,70,4)(5,90.1)(6,98)
\uput[r](8,0){$t$} \uput[u](0,110){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{3.39}{4 x exp}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{0}{8}{100 2.71828 4 ln x mul neg exp  99 mul 1 add div}
\psline(3.31,0)(3.31,50)(0,50)\uput[d](3.31,0){$t_{0}$}
\uput[l](0,50){50}
\psplotTangent[linewidth=1pt,arrows=<->]{3.31}{3}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}