\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{pstricks-add}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat SMS},
pdftitle = {Métropole -- La Réunion  juin 2007},
allbordercolors = white} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat SMS}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat SMS Métropole--La Réunion~\decofourright\\[4pt]
 septembre 2007}}

\medskip

%L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
%
%Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
%
%Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} \hfill 8 points}

\medskip

%Toutes les questions suivantes sont indépendantes. Dans chaque question il y a une bonne réponse et une seule parmi les quatre réponses proposées.
%
%La recopier sur votre copie sans justification.
% 
%\emph{Une réponse exacte donne $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.}
 
\begin{enumerate}
\item  %La population d'une ville est de \np{30000} habitants.
%Si elle augmente de 15\,\% par an, quel sera le nombre d'habitants de cette ville dans deux ans ?
 
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$	\np{30 675}&	$\bullet~$\np{35 175}&	$\bullet~$\np{39 000}& 	$\bullet~$\np{39 675}\\
% \end{tabularx}
Ajouter 15\,\% revient à multiplier par 1,15, donc au bout de deux ansla population sera de :

$\np{30000} \times 1,15^2 = \np{39675}$.
\item  	%Une enquête menée auprès de 250 personnes a donné les résultats suivants :

%\medskip
%
%\hspace{-1cm}  \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|} \cline{2-8} 
%\multicolumn{1}{c|}{}&	\multicolumn{3}{c|}{soins au dispensaire}&\multicolumn{3}{c|}{soins à domicile} 	&total\\ \hline
%Temps des soins				&10 min	&20 min&60 min&10 min	&20 min&60 min&\\ \hline
%Femmes (30 ans et plus)	&13		&14		&3	&31	&15	&7	&83\\ \hline
%Femmes (moins de 30 ans)&10		&8		&2	&14	&7	&8	&49\\ \hline
%Hommes (30 ans et plus)	&24		&12		&2	&24	&13	&9	&84\\ \hline
%Hommes (moins de 30 ans)&3		&4		&5	&12	&8	&2	&34\\ \hline
%Total					&50		&38		&12	&81	&43	&26	&250\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%Tous les pourcentages donnés ci-dessous sont arrondis à 1\,\%. 
\begin{enumerate}
\item  % Quel est le pourcentage des hommes ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$47\,\%	&$\bullet~$34\,\% 	&$\bullet~$14\,\%&$\bullet~$79\,\%\\
%\end{tabularx} 
Il y a $84 + 34 = 118$ hommes donc $\dfrac{118}{250} = \dfrac{472}{\np{1000}} = 0,472$ soit environ 47\,\%.
\medskip

\item  %Quel est le pourcentage des personnes qui reçoivent des soins de plus de 15 minutes ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$25\,\%&	$\bullet~$40\,\%&	$\bullet~$48\,\%& $\bullet~$53\,\%\\
%\end{tabularx}
Il y a $38 + 12 + 43 + 26 = 50 + 69 = 119$ personnes qui reçoivent des soins de plus de 15 minutes soit un pourcentage de $\dfrac{119}{250}\times 100 = \dfrac{478}{\np{1000}}\times 100 = 47,8$ soit environ 48\,\%.
\medskip

\item  %Parmi les femmes, quel est le pourcentage de celles qui se font soigner à domicile ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$58\,\%&	$\bullet~$62\,\%&	$\bullet~$65\,\%& 	$\bullet~$70\,\%\\
%\end{tabularx}
Il y a $83 + 49 = 132$ femmes et parmi celles-ci $53 + 29 = 82$ qui se font soigner à domicile ce qui représente un pourcentage de $\dfrac{82}{32} \times 100 \approx 62\,\%$. 

\medskip

\item  %Parmi les personnes qui reçoivent des soins domicile, quel est le pourcentage des hommes ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$15\,\%&	$\bullet~$31\,\%&	$\bullet~$45\,\% &	$\bullet~$79\,\%\\
%\end{tabularx}
Il y a $81 + 43 + 26 = 150$ personnes qui reçoivent des soins domicile. parmi celles-ci il y a $24 + 13 + 9 + 12 + 8 + 2 = 68$ qui représentent $\dfrac{68}{150} \times 100 \approx  45\,\%$.
\medskip
\end{enumerate}
\item  %Un dé pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 est tel que la probabilité d'apparition de chacune des faces numérotées de 1 à 5 est de $\dfrac{1}{8}$. Quelle est la probabilité d'apparition de la face 6 ?

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$$\dfrac{1}{6}$&$\bullet~$$\dfrac{3}{8}$&$\bullet~$$\dfrac{1}{8}$&$\bullet~$$\dfrac{6}{8}$\\
%\end{tabularx}
La probabilité d'apparition de la face 6 est $1 - \left(5 \times \dfrac{1}{8}\right) = 1 - \dfrac{5}{8} = \dfrac{3}{8}$.
\medskip
\item  %Soient A et B deux évènements tels que :
%$p\left(\overline{\text{A}}\right) = 0,8$ et $p(\text{B}) = 0,6$ avec \\$p(\text{A} \cup  \text{B}) = 0,5$. Quelle est la probabilité $p(\text{A} \cap \text{B})$ ?\\
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$ 0,1	&$\bullet~$0,3	&$\bullet~$0,7 &$\bullet~$0,9\\
%\end{tabularx}
On a $p(\text{A}) = 1 - 0,8 = 0,2$.

On sait que $p(\text{A} \cup  \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B})$ soit $0,5 = 0,2 + 0,6 - p(\text{A} \cap \text{B})$, d'où 

$p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,8 - 0,5 = 0,3$.
\item  %On considère la fonction $f$ définie sur [5 ; 15] par $f(x) = 2x + 3 - \ln (x - 1)$ et $\mathcal{C}$ sa courbe	 représentative dans un repère orthogonal.

%Quel est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 6 ?
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~\dfrac{9}{5}$& $\bullet~17- \ln 6$&$\bullet~2 - \dfrac{1}{6}$&$\bullet~
%2 +  \dfrac{1}{5}$
%On a $f'(x) = 2 - \dfrac{1}{x - 1}$, donc $f'(6) = 2 - \dfrac{1}{6 - 1} = 2 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{5}$.
%\end{tabularx}
Ce nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 6.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Résoudre l'équation différentielle : $y'+ 0,2 y = 0$.
La solution générale de l’équation est $y = K\text{e}^{- 0,2t}$, avec $K$ réel quelconque. 
\item  %Trouver la solution de cette équation différentielle telle que $y(0) = 60$.
On doit avoir $y(0) = K\text{e}^{- 0,2 \times 0} = 60$, soit $K = 60$.

La solution particulière est $y = 60\text{e}^{- 0,2t}$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B : étude d'une fonction}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~7] par
 
% \[f (t) =  20 + 60\text{e}^{-0,2t}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(t)$, où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$. 
On a $f’(t) = 60 \times (- 0,2)\text{e}^{-0,2t} = - 12\text{e}^{-0,2t}$. 
		\item %Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~7]. 
On sait que  que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{-0,2t} > 0$, donc $f’(t) < 0$ sur [0~;~7].
		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. Indiquer les valeurs exactes des nombres portés dans ce tableau.
La fonction $f$ est donc décroissante sur [0~;~7] de $f(0) = 20 + 60 = 80$ à $f(7) =  20 + 60\text{e}^{- 0,2 \times 7} = 20 + 60\text{e}^{- 1,4} \approx 34,8$.
	\end{enumerate}

\item %Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à $0,1$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline  
$t$	&0		&0,5		&1,5		&2		&3		&4		&5		& 7\\ \hline
$f(t)$&80		&74,3		&64,4	&60,2	&52,9	&47	&42,1&34,8 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item ~%Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] $2$~cm pour $1$~unité sur l'axe des abscisses,
%\item[] $1$~cm pour $5$~unités sur l'axe des ordonnées.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(7.5,85)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(7.5,85)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{60 2.71828 0.2 x mul exp div 20 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1,0)(1,69.1)(0,69.1)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](3.5,0)(3.5,49.8)(0,49.8)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,40)(5.5,40)(5.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie C : application}

\medskip

%On s'intéresse à la variation de température d'un liquide en fonction du temps.
%
%Le temps est exprimé en minutes et la température en degré Celsius.
% 
%À l'instant $t = 0$, ce liquide dont la température est $80^{\circ} $C est placé dans une salle à $20^{\circ}$C. Deux minutes plus tard la température du liquide est $60^{\circ}$ C environ.
%
%On estime que la température du liquide à l'instant $t$ est égale à $f(t)$ où $f$ est la fonction définie dans la partie B.

\begin{enumerate}
\item  %Utiliser la partie B pour déterminer graphiquement, en faisant apparaître les traits de construction utiles : 
	\begin{enumerate}
		\item  %La température du liquide au bout de une minute, puis au bout de trois minutes et trente secondes. 
La température au bout d’une minute est environ 69\degres ; la température au bout de  trois minutes et trente secondes est environ 50\degres.
		\item  %Au bout de combien de temps la température du liquide aura-t-elle diminué de moitié.
		On lit graphiquement que la température du liquide aura diminué de moitié au bout de 5,5 minutes soit 5 minutes et trente secondes.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer par le calcul la température du liquide au bout de deux minutes et trente secondes. Cette valeur sera arrondie au degré.
Deux minutes et trente secondes correspondent à $t = 2,5$.

Or $f(2,5) = 20 + 60\text{e}^{- 0,2 \times 2,5} = 20 + 60\text{e}^{-0,5} \approx 56,4$ soit 56\degres{} au degré près.
		\item %Résoudre l'équation $f(t) = 40$. On donnera la valeur de la solution arrondie à la seconde.
$f(t) = 40$ ou $20 + 60\text{e}^{- 0,2t} = 40$, d’où $60\text{e}^{- 0,2t} = 20$, puis $\text{e}^{- 0,2t} = \dfrac{1}{3}$, puis en prenant le logarithme :

$- 0,2t = \ln \left(\dfrac{1}{3} \right)$ et $t = - 5\ln \left(\dfrac{1}{3} \right)$.

La calculatrice donne $t \approx 5,493$ soit 5 minutes et $0,493 \times 60 \approx 30$ secondes.

\emph{Remarque :} c’est ce que l’on avait trouvé graphiquement à la question \textbf{1.~b.} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document} 