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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Correction : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 


%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
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\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
%\newcommand{\t}[1]{\text{#1}}

\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  20 juin 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014~\decofourright}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
% 
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
%Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ 
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée. 
%Une réponse exacte rapporte $1$ point.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item% L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où $A$ et $B$ sont deux évènements, dont les évènements contraires sont respectivement notés $\overline{A}$ et $\overline{B}$. 

\textbf{c.}

$P_A(\overline B)=1-P_A(B)=1-0,3=0,7$
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
%{
%	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\taput{0,6}}
%	  { 
%		  \TR{$B$}\taput{0,3}
%		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}	   
%	  }
%	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}}
%	  {
%		  \TR{$B$}\taput{0,2}
%		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}  
%	  }
%}
%\end{center}
%
%Alors
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $P_{A}(B) = 0,18$& 
%\textbf{b.~~} $P(A \cap B) = 0,9$& 
%\textbf{c.~~} $P_{A}\left(\overline{B}\right) = 0,7$&
%\textbf{d.~~} $P(B) = 0,5$
%\end{tabularx}
%\medskip 
%

\item% Avec le même arbre, la probabilité de l'évènement $B$ est égale à : 

\textbf{c.}

D'après la formule des probabilités totales:

$P(B)=P(A \cap B) + P(\overline A \cap B) = 0,6 \times 0,3 + (1-0,6) \times 0,2 = 0,18+0,08 = 0,26$
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} 0,5& 
%\textbf{b.~~} 0,18& 
%\textbf{c.~~} 0,26& 
%\textbf{d.~~} 0,38
%\end{tabularx}
%\medskip
 
\item% On considère une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle [1~;~15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous. 

\textbf{c.}

La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$, donc $f$ est la dérivée de $F$. D'après le tableau de variations de $f$, $f(x) < 0$ sur $\cd 4\,;\, 12\cg$, donc la fonction $F$ est décroissante sur cet intervalle.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9.5,3)
%\psframe(9.5,3) \psline(0,2.5)(9.5,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,3)
%\uput[u](0.75,2.4){$x$}\uput[u](1.65,2.4){$1$}\uput[u](3.5,2.4){$3$}\uput[u](5.5,2.4){$4$}\uput[u](7.5,2.4){$12$}\uput[u](8.8,2.4){$15$}
%\rput(0.75,1.25){$f(x)$}\uput[u](5.5,0){$- 2$}
%\uput[d](1.65,2.5){3} \uput[d](7.5,2.5){$- 1$}\uput[u](8.5,0){$- 3$}
%\rput(3.5,1.35){0}
%\psline{->}(1.8,2.2)(5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7,2)\psline{->}(7.5,2)(8.5,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}
% 
%Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~15]. On peut être certain que : 
%
%\begin{enumerate}
%\item La fonction $F$ est négative sur l'intervalle [3~;~4].
%\item La fonction $F$ est positive sur l'intervalle [4~;~12]. 
%\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle [4~;~12]. 
%\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle [1~;~3]. 
%\end{enumerate}

\item% Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ :

\textbf{d.}
 
$\ln x + \ln (x + 3) = 3 \ln 2
\iff \ln \left (x(x+3)\right ) = \ln 2^3
\iff \ln (x^2+3x) = \ln 8
\iff x^2+3x=8$

%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $2x + 3 = 6$& 
%\textbf{b.~~} $2x + 3 = 8$ &
%\textbf{c.~~} $x^2 + 3x = 6$ &
%\textbf{d.~~} $x^2 + 3x = 8$
%\end{tabularx}
%\medskip
 
\item%  $g$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \frac{5}{x}$. 

\textbf{a.}

La fonction $g: x \longmapsto \dfrac{5}{x}$ a pour primitive sur $\cg 0\,;\, +\infty\cd$ la fonction $G: x \longmapsto 5 \ln x$. 

L'aire est égale à $\ds\int_2^6 g(x) \d x = G(6)-G(2) = 5\ln 6 - 5\ln 2 = 5(\ln 6 - \ln 2)$

% 
%On note $C$ sa courbe représentative.
% 
%L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 6$, est égale à :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~~} $5 (\ln 6 - \ln 2)$& 
%\textbf{b.~~} $\frac{1}{6-2}\int_{2}^6  g(x)\:\text{d}x$ &
%\textbf{c.~~} $5 \ln 6 + 5 \ln 2$ &
%\textbf{d.~~} $g(6) - g(2)$
%\end{tabularx}
%\medskip

\end{enumerate}
 
%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
% 
%À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de \np{1500}~m$^2$ entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20\,\% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m$^2$ et la remplace par du gazon.
%
%\smallskip
% 
%Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la surface en m$^2$ de terrain engazonné au bout de $n$ années, c'est-à-dire à l'automne $2010 + n$. On a donc $u_{0} = \np{1500}$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer $u_{1}$. 
$u_0=\np{1500}$; d'une année sur l'autre, 20\,\% de la surface engazonnée est détruite, donc il en reste 80\,\%, soit $0,80 \times u_0=\np{1200}$. 

On rajoute 50~m\up{2} de gazon, il y en aura donc $\np{1200}+50=\np{1250}$:
$u_1=\np{1250}$.


\item% Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n, \:\:u_{n+1} = 0,8 u_{n} + 50$. 

La surface engazonnée l'année $2010 + n$ est $u_n$ et la surface engazonnée l'année $2010+(n+1)$ est $u_{n+1}$.
Or tous les ans, 20\,\% de la surface engazonnée est détruite, donc il en reste 80\,\%, soit $0,8 u_n$. On rajoute 50~m\up{2} de gazon chaque année donc  pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=0,8 u_n+50$.

\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout $n$ par: $v_{n} = u_{n} - 250$; donc $u_n=v_n+250$.

	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. 	 Préciser son premier terme et sa raison. 

$v_{n+1}=u_{n+1}-250 = 0,8u_n +50 -250 = 0,8(v_n+250) -200 = 0,8 v_n +200-200 = 0,8 v_n$

$v_0=u_0-250 = \np{1500}-250 = \np{1250}$

Donc la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=\np{1250}$.


		\item% Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n= \np{1250} \times 0,8^n$.

Comme, pour tout $n$, $u_n=v_n+250$, on en déduit que $u_n=250+\np{1250} \times 0,8^n$.

%En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n,\: u_{n} = 250 + \np{1250} \times  0,8^n$. 

		\item% Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
La surface de terrain engazonné au bout de 4 années est $u_4=250+\np{1250}\times 0,8^4 = 762$ m\up{2}.		

	\end{enumerate} 

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que : 

On résout l'inéquation $250 + \np{1250} \times  0,8^n < 500$:

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff \ } l l}
250 + \np{1250} \times  0,8^n < 500 & \np{1250} \times 0,8^n < 250 & \\[3pt]
 & 0,8^n < \dfrac{250}{\np{1250}} & \\[8pt]
 & 0,8^n < 0,2 & \\
 & \ln 0,8^n < \ln 0,2 & (\text{croissance de la fonction ln sur } \R_+^*)\\
 & n \ln 0,8 < \ln 0,2 & (\text{propriété de la fonction ln})\\[3pt]
 & n > \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} & (\ln 0,8 <0)
\end{array}$
		 
%Interpréter le résultat obtenu. 

Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,8} \approx 7,2$ donc la plus petite valeur de $n$ telle que $250 + \np{1250} \times  0,8^n < 500$ est $n=8$.

C'est donc à partir de la 8\ieme{} année que la surface engazonnée sera inférieure à 500~m\up{2}.

\textit{On peut vérifier que $u_7\approx 512$ et que $u_8\approx 460$.}

		\item% Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.
On complète l'algorithme pour obtenir le résultat de la question précédente:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
 & \\[-3pt]
\textbf{Initialisation}	&$u$ prend la valeur \np{1500}\\
						&$n$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement}		&Tant que {\red $u \pg 500$} 	faire \\
						&\hspace{0,3cm}	$u$ prend la valeur {\red $0,8 \times u + 50$}\\ 
						&\hspace{0,3cm}	$n$ prend la valeur {\red $n+1$}\\ 
						&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie}			& Afficher $n$\\
 & \\[-3pt] \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate} 
\item% Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
% 
%A-t-il raison ? Justifier la réponse. 

Pour tout $n$, $0,8^n >0$ donc $\np{1250} \times 0,8^n >0$ et donc $250+\np{1250} \times 0,8^n >250 \iff u_n >250$.

La surface engazonnée restera toujours supérieure à 250~m\up{2} donc Claude a raison.

\textit{Remarque: on peut démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et qu'elle converge vers 250.}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi la spécialité}

\medskip

Alice participe à une compétition de tir à l'arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches. 

Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $0,9$.
 
Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $0,4$. 

On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.

 Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $a_{n}$ la probabilité qu'Alice atteigne la cible au $n$-ième lancer ;
\item[ ] $b_{n}$ la probabilité qu'Alice manque la cible au $n$-ième lancer ; 
\item[ ] $P_{n} = \left(a_{n \quad} b_{n}\right)$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste au $n$-ième lancer.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état \og Alice atteint la cible \fg{} et B l'état {}\og Alice manque sa cible \fg). 

On représente la situation à l'aide d'un graphe pondéré:

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{B}{B}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,1}%                 arc pondéré partant de A
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,4}%                 arc pondéré arrivant à B
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,9}%   boucle autour de A
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,6}%  boucle autour de B
\end{pspicture}
\end{center}

		\item% Indiquer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A,\: B). 

La matrice de transition $M$ est la matrice $2\times 2$ telle que pour tout $n$, $P_{n+1} = P_n \times M $.

Donc $M=
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$

		\item% Justifier que $P_{1} = (0,5\quad  0,5)$ et $P_{2} = (0,65\quad  0,35)$.

D'après le texte, Alice a autant de chance d'atteindre sa cible que de la manquer au premier lancer ; donc $a_1=0,5$ et $b_1=0,5$ et donc
$P_1= 
\begin{pmatrix}
0,5 & 0,5
\end{pmatrix}$.

On sait que $P_2 = P_1 \times M$

donc
$P_2 =
\begin{pmatrix}
0,5 & 0,5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,5\times 0,9 + 0,5 \times 0,4 & 0,5\times 0,1 + 0,5 \times 0,6 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,65 & 0,35
\end{pmatrix}$


	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1} = 0,9a_{n} + 0,4b_{n}$. 

$P_{n+1} = P_n \times M  \iff 
\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_n & b_n
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ = \ } l}
a_{n+1} & 0,9a_n + 0,4 b_n\\
b_{n+1} & 0,1 a_n + 0,6 b_n
\end{array}
\right. $

Donc, pour tout $n$, $a_{n+1} = 0,9a_n + 0,4 b_n$.


		\item% En déduire que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1} = 0,5a_{n} + 0,4$.

D'après le texte, on peut dire que pour tout $n$, $a_n+b_n=1$ donc $b_n=1-a_n$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l @{\ =\ } l}
a_{n+1} & 0,9a_n + 0,4 b_n\\
b_n & 1-a_n
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
a_{n+1} = 0,9 a_n + 0,4(1-a_n)
\iff
a_{n+1} = 0,9 a_n + 0,4-0,4 a_n$

$
\hphantom{\left. 
\begin{array}{@{} l @{\ =\ } l}
a_{n+1} & 0,9a_n + 0,4 b_n\\
b_n & 1-a_n
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
a_{n+1} = 0,9 a_n + 0,4(1-a_n)}
\iff
a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4
$
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}

		\item On complète l'algorithme de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au $n$-ième lancer:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline
 & \\[-3pt]
\textbf{Entrées} &Saisir $n$\\
\textbf{Traitement} &$a$ prend la valeur 0,5\\
&$b$ prend la valeur 0,5\\
&Pour $i$ allant de 2 à $n$\\
&\hspace{0.5cm}$a$ prend la valeur ${\red 0,5} \times a + {\red 0,4}$\\
&\hspace{0.5cm}$b$ prend la valeur $1 - a$\\
&Fin Pour\\
\textbf{Sortie} &Afficher $a,\;b$\\
 & \\[-3pt] \hline
\end{tabularx}
\end{center}		 

		\item On fait tourner l'algorithme pour $n = 5$:

\begin{center}
		$\begin{array}{|c|c|c|}
		\hline 
		n & a & b \\ 
		\hline 
		1 & 0,5 & 0,5 \\ 
		\hline 
		2 & 0,65 & 0,35 \\ 
		\hline 
		3 & 0,725 & 0,275 \\ 
		\hline 
		4 & \np{0,7625} & \np{0,2375} \\ 
		\hline 
		5 & \np{0,78125} & \np{0,21875} \\ 
		\hline 
		\end{array}$ 
\end{center}	

Donc pour $n=5$ l'affichage de cet algorithme est \np{0,78125} et \np{0,21875}. 
		
	\end{enumerate} 

\item 

	\begin{enumerate}
		\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout $n$ de $\N^*$  par : $u_{n} = a_{n} - 0,8$; donc $a_n = u_n + 0,8$. 

%Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 

$u_{n+1} = a_{n+1} - 0,8 = 0,5 a_n + 0,4 - 0,8 = 0,5(u_n + 0,8) - 0,4 = 0,5 u_n + 0,4 - 0,4 = 0,5 u_n$

$u_1 = a_1 - 0,8 = 0,5 - 0,8 = - 0,3$

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0,5$ et de premier terme $u_1 = - 0,3$.  

		\item% Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, $a_{n} = 0,8 - 0,3 \times  0,5^{n-1}$.

On déduit de la question précédente que pour tout $n$ de $\N^*$, $u_n = u_1 \times q^{n-1} = -0,3 \times 0,5^{n-1}$.

Comme $a_n=u_n+0,8$, on peut dire que pour tout $n$ de $\N^*$, $a_n=0,8 - 0,3\times 0,5^{n-1}$.

		\item% À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'Alice atteigne la cible ?		
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,5$; or $0 \pp 0,5 < 1$ donc la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite 0.

Pour tout $n$ de $\N^*$, $a_n=u_n+0,8$, donc la suite $(a_n)$ est convergente et a pour limite $0,8$.

\`A long terme, la probabilité qu'Alice atteigne la cible est égale à 0,8.


		\item% Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?		
On aurait pu trouver le résultat précédent en essayant de déterminer un état stable, c'est-à-dire un couple $(a\,,\,b)$ de nombres de l'intervalle $\cd 0\,;\, 1\cg$ tels que:
$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
& 
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M\\
a+b & 1
\end{array}
\right. $

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité et L}


%\medskip

%\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

%\medskip
%\textbf{Partie A :}
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}
 
Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\cd 20~;~60\cg$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item La probabilité $p$ pour que l'entrainement dure plus de $30$~minutes est:

\hfill $P(30 < X \pp 60) = \dfrac{60 - 30}{60 - 20} = \dfrac{30}{40} = 0,75$ \hfill\,
 
\item L'espérance de $X$ est $\dfrac{20 + 60}{2} = 40$. %Interpréter ce résultat

Cela signifie que le temps moyen d'entrainement d'Antoine est de 40~minutes.

\end{enumerate}

%\bigskip
%\textbf{Partie B :}
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}
 
%\emph{Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.}
%\smallskip 

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre $56,75$~mm et $57,25$~mm ; sinon elles sont dites de second choix. 

\smallskip

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre, en millimètres.
On suppose que $D$ suit la loi normale d'espérance $57$ et d'écart-type $0,11$.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La probabilité $p_{1}$ que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57~mm est $P(X < 57)$.

Comme 57 est l'espérance de la loi normale suivie par $X$, $P(X < 57)=0,5$. 

La probabilité $p_{1}$ que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57~mm est $0,5$.

\item La probabilité $p_{2}$ que la boule prélevée soit une boule de premier choix est $P(56,75 \pp X \pp 57,25)$.

Avec une calculatrice, on trouve  $P(56,75 \pp X \pp 57,25) \approx 0,977$.

La probabilité $p_{2}$ que la boule prélevée soit une boule de premier choix est, à $10^{-3}$ près, de $0,977$.

\item L'évènement \og{}la boule prélevée est de second choix\fg{} est l'évènement contraire de \og{}la boule prélevée est de premier choix\fg{}; donc $p_3=1-p_2 \approx 1-0,977 \approx 0,023$.

La probabilité $p_{3}$ que la boule prélevée soit une boule de second choix est, à $10^{-3}$ près, de $0,023$.

\end{enumerate}
 
%\bigskip
%\textbf{Partie C :}
%\medskip 

\subsubsection*{Partie C}

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses \np{14000}~licenciés quant à l'organisation des tournois.

\smallskip
 
Antoine estime que les $80$~adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80~adhérents ont répondu, et $66$ ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.

\begin{enumerate}
\item Sur cet échantillon, la fréquence observée $f$ de personnes satisfaites de la FFB est $\dfrac{66}{80}=0,825$.
 
\item% Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième. 

Un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ est donné par:

\[\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt n}\,;\, f + \dfrac{1}{\sqrt n} \right]
=  \left[ 0,825 -\dfrac{1}{\sqrt{80}}\,;\, 0,825 + \dfrac{1}{\sqrt{80}} \right] \approx \cd 0,713\,;\, 0,937 \cg \]


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant $15$~heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.
On obtient la courbe fournie en annexe. 

%\medskip
%\textbf{A. Étude graphique }
%\medskip

\subsubsection*{A. \'Etude graphique}

%Avec la précision permise par le graphique, indiquer :
%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item La courbe passe par le point de coordonnées $(0\,;\,2)$ donc la concentration à l'instant initial est de 2 grammes par litre.

\item% l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à $0,4$~gramme par litre.
On cherche les durées pour lesquelles la concentration est supérieure ou égale à 0,4, autrement dit l'intervalle pour lequel la courbe est au-dessus de la droite d'équation $y=0,4$: il s'agit de l'intervalle $\cd 0\,;\, 6\cg$.

\end{enumerate}

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=3.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.1,-0.2)(16,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2](0,0)(0,0)(16,2.3)
\multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(16,\n)}
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,2.3)}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](0,2)(0.25,1.99)(0.5,1.96)(0.75,1.90)(1,1.83)(2,1.48)(3,1.1)(4,0.8)(5,0.58)(6,0.4)(7,0.28)(8,0.185)(9,0.13)(10,0.08)(11,0.05)(12,0.03)(13,0.015)(14,0.01)(15,0.0075)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan,plotpoints=2000]{0}{15}{x 2 add 2.7183 -0.5  x mul exp mul}
\uput[u](14,0){Temps (en heure)}
\uput[r](0,2.22){Concentration (g/L)}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=red](0,2)(6,0.4)(2,1.47)
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt, linecolor=red](0,0.4)(16,0.4)
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt, linecolor=blue](0,0.1)(11,0.1)
\uput[u](14,0.4){\red $y=0,4$} \uput[u](2,0.1){\blue $y=0,1$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{[-]}(0,0)(6,0)
\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{6}{-0.3679 x mul 2.207 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}
 
%\emph{On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.}



%\bigskip
%\textbf{B. Étude théorique :}
%\medskip 

\subsubsection*{B. \'Etude théorique}

La concentration en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\cd 0~;~15\cg$ par:

\hfill $f(x) = (x + 2)\e^{- 0,5x}$\hfill\,

% où $x$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et $f(x)$ la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang. 
% 
%\medskip

\begin{enumerate}

\item% On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Justifier que $f'(x) = - 0,5 x \e^{- 0,5x}$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~15\cg$. 

La fonction $f$ est dérivable et d'après la formule de dérivation d'un produit:

$f'(x) = 1\times \e^{-0,5x} + (x+2)(-0,5)\e^{-0,5x} =  \e^{-0,5x} - 0,5x\e^{-0,5x} -\e^{-0,5x} = - 0,5 x \e^{-0,5x}$.

Sur $\cg 0~;~15\cg$, $ x> 0$ et $\e^{- 0,5x} > 0$ donc $ x\e^{- 0,5x} > 0$ et enfin $f'(x) < 0$ et donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\cd 0~;~15 \cg$.

$f(15) \approx 0,009$, d'où le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\cd 0~;~15 \cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{4cm} & 15 \\
 \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &  \Rnode{max}{2} &    &    \\
f(x) & &  &  \\
 &      & & \Rnode{min}{0,009} 
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2.4,0.55){\Rnode{zero}{\red 0,1}}
%\rput(-2.4,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$}
\end{center}

\item% Justifier que l'équation $f(x) = 0,1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0; 15]. 

On complète le tableau de variation de $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{4cm} & 15 \\
 \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &  \Rnode{max}{2} &    &    \\
f(x) & &  &  \\
 &      & & \Rnode{min}{0,009} 
\ncline{->}{max}{min}
\rput*(-2.4,0.55){\Rnode{zero}{\red 0,1}}
\rput(-2.4,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$}
\end{center}

D'après ce tableau de variation, on peut dire que l'équation $f(x)=0,1$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd 0\,;\, 15\cg$;
on appelle $\alpha$ cette solution.

\item% Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude un dixième. 
\ \\[-24pt]

$\left. 
\begin{array}{l @{\ \approx \ } l}
f(9) & 0,12 > 0,1\\
f(10) & 0,08 < 0,1
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow \alpha \in \cd 9\,;\, 10\cg $
$\left. 
\begin{array}{l @{\ \approx \ } l}
f(9,4) & 0,104 > 0,1\\
f(9,5) & 0,099 < 0,1
\end{array}
\right\rbrace
\Longrightarrow \alpha \in \cd 9,4\,;\, 9,5\cg $


\item Un logiciel de calcul formel donne trois résultats.
 
%\begin{center}
%\hspace*{-1cm}\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\small}X >{\small}X|}\hline 
%1	& deriver $((x+2) * \text{exp}(-O.5 * x))$&\\ \hline 
%	&&exp$(-0.5x)-0.5*$exp$(-0.5x)*(x+2)$\\ \hline
%2	&deriver(exp$(-0.5*x)-0.5*$exp$(-0.5*x) * (x+2))$&\\ \hline 
%	&&$-\text{exp}(-0.5 *x) + 0.25 *\text{exp}(-0.5*x) *(x+2)$\\ \hline 
%3	&factoriser $(-\text{exp} (-0.5*x) + 0.25*\text{exp}(-0.5*x)*(x+2) )$&\\ \hline 
%	&&$(0.25 *x - 0.5)*\text{exp}(-0.5*x)$ \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

La ligne 1 donne la valeur de la dérivée première: 
$f'(x)=\e^{-0,5x} - 0,5 \e^{-0,5x} (x+2)$.

La ligne 2 donne la valeur de la dérivée seconde:
$f''(x)= -\e^{-0,5x} + 0,25 \e^{-0,5x} (x+2)$.

La ligne 3 donne la forme factorisée de $f''(x)$: 
$f''(x)=(0,25x - 0,5) \e^{-0,5x}$.

%En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~15] et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.

Une fonction est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée première est croissante, donc sur les intervalles sur lesquels sa dérivée seconde est positive; sinon elle est concave.

On résout donc dans $\cd 0\,;\, 15\cg$ l'inéquation $f''(x) >0$ qui équivaut à $(0,25x-0,5)\e^{-0,5x} >0 \iff 0,25x-0,5 >0$ car $\e^{-0,5x}>0$ sur $\R$.

$f''(x)>0 \iff 0,25x-0,5>0 \iff x>2$

La fonction $f$ est donc convexe sur $\cd 2\,;\, 15\cg$ et concave sur $\cd 0\,;\, 2\cg$.

De plus $f''(x)=0 \iff x=2$ donc la courbe admet le point d'abscisse 2 comme point d'inflexion.


\end{enumerate}

%\bigskip
%\textbf{C. Interprétation des résultats :}
%\medskip 

\subsubsection*{C. Interprétation des résultats}

%En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à $0,1$~gramme par litre. %Pendant combien de temps le médicament est-il actif ? 

Le médicament est actif à peu près pendant 9~h~30 (voir figure).


\item La baisse de concentration ralentit au bout de 2 heures (abscisse du point d'inflexion).

\end{enumerate} 


\end{document}