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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
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\newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) }
\newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) }
\newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) }

\newcommand{\para}{$\slash{}\slash{}$}

\newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$}
\newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
\newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}

\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \underline{\textbf{Exercice\,\thenumexos}}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\lARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit

\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
\rhead{#3}
\chead{\shadowbox{Corrigé de #1 du #2}}
\lfoot{Corrigé de #1 du #2}
\rfoot{A. Detant}
\setcounter{page}{1}
\cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}}
           % \rfoot{#3}
\newgeometry{left=1.5cm, right=1.5cm , top=2cm , bottom=2.5cm}             
             }
             
\newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\imp}{\Longrightarrow}
                  
\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
%\SetWatermarkScale{0.6}
%\entete{9}{vendredi 13 mai 2016}{TS 2}{2 heures}{B}
\entetecor{Métropole}{22 juin 2016}{Terminale ES}{}

\titlespacing*{\subsubsection}
{0pt}%␣retrait␣à␣gauche
{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite

\section*{Exercice 1 - {\normalfont \normalsize\emph{commun à tous les candidats}} \hfill  4 points}

{\red \emph{Les justifications n'étaient pas demandées, elles sont données ici à titre indicatif}}

\begin{enumerate}

\item \surj{Réponse b}

L'intervalle de confiance $I=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]$ avec $f=\dfrac{225}{300} = 0,75$ et $n=300$
 

\item \surj{Réponse d}

Si $X$ suit la loi uniforme sur $[4~;~10]$ alors 
$P(X\leqslant 10)=P(4\leqslant X \leqslant 10)=\dfrac{10-4}{11-4}=\dfrac{6}{7}
$

\item \surj{Réponse d}

$f=u\text{e}^v \Longrightarrow f'=u'\text{e}^v+uv'\text{e}^v=(u'+uv')\text{e}^v$ avec $\begin{cases}
u(x)=x+1\\v(x)=-2x+3
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
u'(x)=1\\v'(x)=-2
\end{cases}$

donc $f'(x)=(1-2(x+1))\text{e}^{-2x+3}=(-2x-1)\text{e}^{-2x+3}$

\item \surj{Réponse c}

La courbe donnée de $f"$ nous indique que $f'(x)\leqslant 0$ sur $[-2~;~1]$ et $f'(x)\geqslant 0$ sur $[1~;~2]$ donc $f$ est concave sur $[-2~;~1]$ et convexe sur $[1~;~2]$, elle admet donc un point d'inflexion en $x=1$
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - {\normalfont \normalsize\emph{Pour les non spécialistes ES et les spécialistes L}} \hfill 5 points}


\begin{enumerate}

\item Le nombre de véhicules diminue de 25\,\% chaque année donc il est multiplié par $1-\dfrac{25}{100}=0,75$ puis on ajoute les \np{3000} nouveaux véhicules

On a donc bien \surj{$\forall n \in \N~,~u_{n+1}=0,75u_n+\np{3000}$}



\item 
 
\begin{enumerate}

\item $\forall n \in \N~,~v_{n+1}=u_{n+1}-\np{12000}=0,75u_n+\np{3000}-\np{12000}=0,75u_n+-\np{9000}=0,75\left( u_n-\np{12000}\right) =0,75v_n$

donc \surj{$\left(v_n \right)$ est géométrique de 1$^{\text{er}}$ terme $v_0=u_0-\np{12000}=-\np{2000}$ et de raison $q=0,75$}

\item \surj{$\forall n \in \N~,~v_n=v_0q^n=-\np{2000}\times 0,75^n$}

\item \surj{$\forall n \in \N~,~u_n=v_n+\np{12000}=\np{12000}-\np{2000}\times 0,75^n$}

\item $-1 < 0,75 <1$ on en déduit que \Lim{n}{+\infty}{0,75^n}~=~0

donc \Lim{n}{+\infty}{u_n}~=~\np{12000}

\surj{Au bout d'un grand nombre d'année, le parc automobile comportera \np{12000} véhicules}

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item 
l'algorithme est donné ci-dessous

\begin{tabularx}{0.648\linewidth}{|l|l|}\hline		
INITIALISATION &\\
&$U$ prend la valeur \np{10000}\\
&$N$ prend la valeur \np{0}\\
TRAITEMENT&\\
&Tant que {\red U<\np{11950}}\\
&\hspace{2cm} $N$ prend la valeur {\red $N+1$}\\
&\hspace{2cm} $U$ prend la valeur {\red 0,75$U$+\np{3000}}\\
&Fin Tant que \\
SORTIE&\\
&Afficher {\red $N$}\\\hline
\end{tabularx}


\item D'après la calculatrice, $u_{12}\approx 11937 < 11950$ et $u_{13}\approx 11952 > 11950$

Donc \surj{à partir de 2028, le parc comptera au moins \np{11950} véhicules }

\item $\np{12000}-\np{2000}\times 0,75^n \geqslant \np{11950} \equi 0,75^n \leqslant 0,025 \equi n \ln (0,75) \leqslant \ln (0,025) \equi n \geqslant \dfrac{\ln (0,025)}{\ln (0,75)}$

or $\dfrac{\ln (0,025)}{\ln (0,75)}\approx 12,8$ donc \surj{$n \geqslant 13$}

on retrouve bien le résultat précédent

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - {\normalfont \normalsize\emph{Pour les spécialistes ES}} \hfill  5 points}


\begin{enumerate}

\item le graphe probabiliste associé est:

\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
$C$ &  & $R$ 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,8}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,3}^{0,2}
\ncarc[arcangle=15]{1,3}{1,1}^{0,6}
\nccircle[angleA=-90]{1,3}{0.7cm}^{0,4}
\end{center}
\vspace{0,3cm}

\item La matrice transition est :

\surj{$M=\begin{pmatrix}
0,8&0,2\\0,6&0,4
\end{pmatrix}$}

\item On a $\left(c_6\quad r_6 \right)=\left(c_0\quad r_0 \right)\times M^6=\left(1\quad 0 \right)\times M^6$

donc \surj{$c_6$}$=0,750016~$\surj{$\approx0,75$} 

\item
\begin{enumerate}

\item \surj{$\forall n \in \N~,~P_{n+1}=P_n\times M$}

\item D'après ce qui précède on a

$\left(c_{n+1}\quad r_{n+1} \right)=\left(c_n\quad r_n \right)\times \begin{pmatrix}
0,8&0,2\\0,6&0,4
\end{pmatrix}$

donc $c_{n+1}=0,8c_n+0,6r_n$ or $\left(c_n\quad r_n \right)$ est un état probabiliste donc $r_n=1-c_n$ on en déduit alors

\surj{$\forall n \in \N~,~c_{n+1}=0,2c_n+0,6$}

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}

\item $\forall n \in \N~,~v_{n+1}=c_{n+1}-0,75=0,2c_n+0,6-0,75=0,2c_n-0,15=0,2\left(c_n-0,75 \right) =0,2v_n$

donc \surj{$\left(v_n \right)$ est géométrique de raison $q=0,2$ et de 1$^{\text{er}}$ terme $v_0=c_0-0,75=0,25$} 

\item \surj{$\forall n \in \N~,~v_{n}=v_0\times q^n=0,25\times 0,2^n$}

$-1<0,2<1$ donc \surj{\Lim{n}{+\infty}{v_n}~=~0}


\item $\forall n \in \N~,~v_{n}=c_n-0,75 \equi c_n=0,75+v_n$

on a bien \surj{$\forall n \in \N~,~ c_n=0,75+0,25\times 0,2^n$}

\item le 29 décembre 2014 est le 363$^{\text{ème}}$ jour de l'année or $2^{363}\approx 0$ donc on peut estimer que $c_{363}=0,75$

Donc \surj{la probabilité qu'Hugo court le 29 décembre 2014 est d'environ 0,75} 

\item \surj{L'état stable semble être $P=\left(\dfrac{3}{4}\quad \dfrac{1}{4} \right)$}

\underline{Validation}: $PM=\left(\dfrac{3}{4}\quad \dfrac{1}{4} \right)\times \begin{pmatrix}
0,8&0,2\\0,6&0,4
\end{pmatrix}=\left(\dfrac{3}{4}\quad \dfrac{1}{4} \right)=P$

donc \surj{$P=\left(\dfrac{3}{4}\quad \dfrac{1}{4} \right)$ est bien l'état stable de ce graphe}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 - {\normalfont \normalsize\emph{commun à tous les candidats}} \hfill  5 points}


\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{enumerate}

\item \surj{$P(R)=\dfrac{960}{\np {3200}}=0,3$} car on se trouve dans une situation d'équiprobailité et qu'il y a 960 chansons rock parmi les \np{3200} du répertoire.

\item On a donc \surj{$P_{_R}(F)=0,35$}

\item \surj{$P(R \cap F)$}$=P_{_R}(F)\times P(R)=0,35\times 0,3$\surj{$=0,105$}


\item On a $P(F)=0,385$ or $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a $P(F)=P(R \cap F)+P\left(\overline{R} \cap F \right)$

On a donc \surj{$P\left(\overline{R} \cap F \right)=P(F)-P(R \cap F)=0,385-0,105=0,28$}
 

\item \surj{$P_{_{\overline{R}}}(F)$}$=\dfrac{P\left(\overline{R} \cap F \right)}{P\left(\overline{R} \right) }=\dfrac{0,28}{0,7}$\surj{$ = 0,4$}

On en déduit que \surj{40\% des chansons autres que la catégorie rock sont chantées en français}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}
\medskip

\begin{enumerate}

\item \surj{$P(15 \leqslant X \leqslant 45)\approx 0,866$}

\item \surj{$P(X \geqslant 60) \approx 0,001$}

\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 - {\normalfont \normalsize \emph{commun à tous les candidats}} \hfill 6 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}

\item \surj{$f'(1,5)=0$} car en $B$ d'abscisse 1,5 la tangente à (C) est horizontale

\item Le coefficient directeur de la tangente est 1 donc elle est d'équation $y=x+b$ or $A(0~;~2)$ est sur cette tangente donc on a $b = 2$.

Finalement \surj{la tangente à (C) en $A$ a pour équation $y = x + 2$}.

\item La fonction est positive sur $[1~;~2]$ donc l'aire cherchée est donnée par $\mathcal{A}~=~\displaystyle \int_{_1}^{^{2}}f(x)~\text{d}x$

on a \surj{$3 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 4$}  

\item Sur $[0,5~;~6]$ la dérivée de $f$ semble décroissante, on en déduit que \surj{$f$ est concave sur $[0,5~;~6]$}

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}
\medskip

\begin{enumerate}

\item $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0,5~;~6]$ donc elle est dérivable sur cet intervalle

\surj{$\forall x \in [0,5~;~6]~,~f'(x)=-2+\dfrac{3}{x}=\dfrac{-2x+3}{x}$}


on en déduit le tableau de variation suivant:

\begin{center}
		\psset{unit=1cm}
		\begin{pspicture}(9,3)
		\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
		\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$0,5$} \uput[u](5,2.4){$1,5$} \uput[u](8.5,2.4){$6$} 
		\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){-}
		\uput[u](1.5,0){$ $}
		\uput[u](5,1.5){$ $}
		\uput[u](8.5,0){$ $}
		\rput(0.5,1){$f(x)$}
		\psline{->}(2,0.3)(4.7,1.7)
		\psline{->}(5.3,1.7)(8,0.3)
		\end{pspicture}
		\end{center} 

On a $f(0,5)\approx 1,92~~~,~~~f(1,5)\approx 3,22 ~~~\text{et}~~~f(6)\approx -1,63$

\item Sur $[0,5~;~1,5],\: f(x)$ admet $f(0,5)\approx 1,92>0$ pour minimum donc l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution sur cet intervalle.

Sur $[1,5~;~6],\: f$ est continue et strictement décroissante à valeurs dans $\left[f(6)~;~f(1,5) \right]$ or $0 \in \left[f(6)~;~f(1,5) \right]$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires,

 \surj{l'équation $f(x) = 0 $ admet une unique solution sur $[1,5~;~6]$ donc sur $[0,5~;~6]$}  

Par balayage on obtient \surj{$\alpha \approx 4,88$}

\item On en déduit le signe de $f(x)$

\begin{center}
		\psset{unit=1cm}
		\begin{pspicture}(5,1)
		\psframe(5,1)\psline(0,1)(5,1)\psline(0,0.5)(5,0.5)\psline(1,0)(1,1)
		\uput[u](0.5,0.4){$x$} \uput[u](1.4,0.4){$0,5$} \uput[u](3,0.4){$\alpha$} \uput[u](4.8,0.4){$6$} 
		\rput(0.5,0.25){$f(x)$}\rput(2,0.25){+} \rput(3,0.25){0}\rput(3.8,0.25){-}
		
		\end{pspicture}
		\end{center} 

\item

\begin{enumerate}

\item $F$ est dérivable sur $[0,5~;~6]$ comme somme et produit de fonctions dérivables sur $[0,5~;~6]$

$F=u+3v \ln (v) \Longrightarrow F'=u'+3\ln (v)+3v\dfrac{v'}{v}=u'+3\left( v'+\ln (v)\right) $ avec $\begin{cases}
u(x)=-x^2+2x\\v(x)=x
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
u'(x)=-2x+2\\v'(x)=1
\end{cases}$

donc $\forall x \in[0,5~;~6]~,~ F'(x)=-2x+2+3\left(1+\ln (x) \right)=-2x+5+3\ln (x) =f(x) $

\surj{$F$ est donc bien une primitive de $f$ sur $[0,5~;~6]$}
\item \surj{$\mathcal{A}$}$~=~\displaystyle \int_{_1}^{^{2}}f(x)~\text{d}x = \left[\vphantom{\sqrt{}}F(x) \right]_{_1}^{^{2}}=F(2)-F(1)$\surj{$=6\ln(2)-1\approx 3,2 ~~\text{u.a.}  $}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}