%\tapuscrit Jean-Paul GOUALARD
\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,numprint,variations}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[frenchb]{babel}
\everymath{\displaystyle}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat ES}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small juin 2010}
\begin{document}

\begin{center}\section*{\textbf{{Correction du sujet Métropole juin 2010}}}\end{center}

\subsection*{{Exercice I}}

\begin{enumerate}
\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=x$ donc $\ln\left(\mathrm{e}^{-3}\right)=-3$.

\fbox{\textcolor{red}{-3 est solution de l'équation $\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=-3$}}.

\item $f(x)=\dfrac{-2x^3+3x}{(2x-1)^3}$ : c'est une fraction rationnelle, donc sa limite à l'infini est celle du quotient de ses termes de plus haut degré :

$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{-2x^3}{(2x)^3}$ ; or, pour $x\neq 0$, $\dfrac{-2x^3}{(2x)^3}=\dfrac{-2x^3}{8x^2}=-\dfrac{1}{4}$.

Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\dfrac{1}{4}}}$.

\item Soit $f(x)=3\ln x-2x+5$.

L'équation réduite de la tangente au point d(abscisse $a$ de la courbe $\mathscr{C}_{f}$ est : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
$a=1$ : $f(a)=f(1)=3$.

Pour tout $x$, $f'(x)=\dfrac{3}{x}-2$ donc $f'(1)=1$.

L'équation de la tangente est alors : $y=1(x-1)+3$, c'est-à-dire : $\boxed{\textcolor{red}{y=x+2}}$.

\item Soit $X$ le gain algébrique du jeu. $X$ peut prendre les valeurs 7, -2 et -3.
Comme le dé est équilibré, on a facilement :

$p(X = 7)=\dfrac{1}{6}$ ; $p(X = -2)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ et $p(X = - 3) = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

Le gain moyen est l'espérance de $X$ : $E(X)=\sum_{i}x_{i}\times p(X=x_{i})=7\times \dfrac{1}{6}+(-2)\times \dfrac{1}{3}+(-3)\times \dfrac{1}{2} = - 1$.
\fbox{\textcolor{red}{Le gain moyen est -1}}.
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice II (obligatoire)}}
\begin{enumerate}
\item Arbre :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\small $0,25$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0,9$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $0,1$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\taput{\small $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0,65$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $0,35$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$C$}\tbput{\small $0,35$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{\small $0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{\small $0,2$}}}
\end{center}


\item D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a : $p(A\cap S)=p_{A}(S)\times p(A)=0,25\times 0,9=0,225$. $\boxed{\textcolor{red}{p(A\cap S)=0,225}}$

\item $S=(S\cap A)\cup(S\cap B)\cup(S\cap C)$, qui est une réunion d'événements incompatibles.

Par conséquent : $p(S\cap A)+p(S\cap B)+p(S\cap C)=p_{A}(S)\times p(A)+p_{B}(S)\times p(B)+p_{C}(S)\times p(C)$ (formule des probabilités totales)

$=0,9\times 0,25+0,65\times 0,4+0,8\times 0,35=\boxed{\textcolor{red}{0,765}}$.

\item On a : $p_{S}(C)=\dfrac{p(S\cap C)}{p(S)}=\dfrac{0,8 \times 0,35}{0,765}=\dfrac{56}{153}\approx 0,366$. $\boxed{\textcolor{red}{p_{S}(C) = \dfrac{56}{153}\approx 0,366}}$
\end{enumerate}

\subsection*{{Exercice II (spécialité)}}
Soit $F(x~;~y)=x^2-2x+y^2-4y+6$.
\begin{enumerate}
\item 120 et 160 correspondent respectivement à $x=1,2$ et $y=1,6$.

$F(1,2~;~1,6)=1,2^2-2\times 1,2+1,6^2-4\times 1,6+6=12$ donc le coût de production mensuel est de \fbox{\textcolor{red}{\numprint{12000} euros}}.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Première méthode (vérification)}}

Pour tous $x$ et $y$, $(x-1)^2+(y-2)^2+1=x^2-2x+1+y^2-4y+4+1=x^2-2x+y^2-4y+6=F(x~;~y)$.


\textbf{\textcolor{blue}{Deuxième méthode :}} $F(x~;~y)=x^2-2x+y^2-4y+6=\left[\left(x^2-2x+1\right)-1\right]+\left[\left(y^2-4y+4\right)-4\right]+6$

$=\left[\left(x-1\right)^2-1\right]+\left[(y-2)^2-4\right]+6=(x-1)^2+(y-2)^2+1$.\\
Le carré d'un nombre réel est positif, donc, pour tout $x$ et pour tout $y$, $(x-2)^2\geqslant 0$ et $(y-2)^2\geqslant 0$.

On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{}F(x~;~y)\geqslant 1}$ avec $F(x~;~y)=1$ pour $x=1$ et $y=2$.

\fbox{\begin{minipage}{16cm}
\textcolor{red}{Le coût mensuel minimum de fabrication est de \numprint{10000} euros, pour 100 sièges de luxe et 200 sièges de confort fabriqués.}
\end{minipage}}
\item
\begin{enumerate}
\item Si la fabrication est de 250 sièges, on a : $x+y=2,5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{y=2,5-x}}$.

Le coût mensuel de production, sous ces conditions, est de :

$(x-1)^2+(y-2)^2+1=(x-1)^2+(2,5-x-2)^2+1=(x-1)^2+(0,5-x)^2+1=x^2-2x+1+0,25-x+x^2+1=\boxed{\textcolor{red}{2x^2-3x+2,25}}$.

\item On pose $f(x)=2x^2-3x+2,25$.\\
$f$ est dérivable et $f'(x)=4x-3$.\\
$f'(x)=0$ équivaut à $x=\dfrac{3}{4}=0,75$.\\
$f'(x)<0$ pour $4x-3<0$ donc pour $x<0,75$.\\
On en déduit le tableau de variations sur $[0~;~2,5]$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&0,75&&2,5\\
\filet
f'(x)&&-&\z&+&\\
\filet
\m{f(x)}&&\d&1,125&\c&\h{7.25}\\
\end{variations}
\end{center}
\fbox{\begin{minipage}{12cm}
\textcolor{red}{Le coût mensuel de fabrication est minimum pour $x=0,75$ centaines , c'est-à-dire 75 sièges de luxe fabriqués et $y=2,5-0,75=1,75$ centaine, soit 175 sièges de confort fabriqués.\\
Le coût minimum correspondant est alors de \numprint{11250} euros.
}\end{minipage}}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\subsection*{{Exercice III}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : Observation des données}}
\begin{enumerate}
\item \textbf{\textcolor{red}{Nuage de points :}}
\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-0.2)(89,3.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,0)(8,3)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-1,-0.2)(8,3)%grille
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(8,0)%axe horizontal
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.2)(0,3)%axe vertical
\psdots[linecolor=blue](0,0.67)(1,0.83)(2,1.19)(3,1.61)(4,2.03)(5,2.27)(6,2.44)(7,2.71)(8,2.82)
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$O$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item $\dfrac{8,82-6,67}{6,67}\times 100\approx 32,23$.

Le pourcentage d'augmentation entre 2001 et 2009 est environ de \fbox{\textcolor{red}{32,23\%}}.

\item Soit $t$ le taux moyen annuel d'augmentation entre 2001 et 2005.

On a alors : $6,67(1+t)^4=8,03$ donc 

$(1+t)^4=\dfrac{8,03}{3,67}$, qui donne :

$1+t=\left(\dfrac{8,03}{6,67}\right)^\frac14$, d'où :

$t=\left(\dfrac{8,03}{6,67}\right)^\frac14-1\approx \boxed{\textcolor{red}{4,75\%}}$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Partie B : estimation par un ajustement exponentiel}}

On estime la valeur en 2005+$n$ du SMIC horaire brut à $8,03\times 1,024^n$.
\begin{enumerate}
\item 2012 correspond à $n=7$ ; une estimation du SMIC en 2012 sera alors : 

$8,03\times 1,024^7\approx9,48$.

\fbox{\textcolor{red}{Il sera de 9,48 euros.}}

\item $8,03\times 1,024^n\geqslant 10$ équivaut à $1,024^n\geqslant \dfrac{10}{8,03}$ d'où  : $n'\ln(1,024)\geqslant \ln\left(\dfrac{10}{8,03}\right)$.\\
On en déduit : $n\geqslant \dfrac{\ln\left(\frac{10}{8,03}\right)}{\ln(1,024)}\approx 9,2$.\\
\fbox{\begin{minipage}{8cm}
\textcolor{red}{Il faudra attendre 10 ans pour que le SMIC atteigne avec cette estimation un montant supérieur à 10 euros, c'est-à-dire 2015.}
\end{minipage}}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\subsection*{{Exercice IV}}
La fonction d'offre est définie par $f(x)=153\mathrm{e}^{0,05x}$ et la fonction de demande par $g(x)=-116\ln(x+1)+504$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item La fonction linéaire $x\mapsto 0,05 x$ est croissante sur $\mathbb{R}$ (le coefficient directeur 0,,05 est positif) ; la fonction $\exp$ est croissante sur $\mathbb{R}$, donc par composition, la fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{0,05x}$ est croissante (la composée de deux fonctions croissantes est croissante). En multipliant par 153, nombre positif, on obtient encore une fonction croissante. \fbox{\textcolor{red}{$f$ est croissante}}

(sinon, on calcule $f'(x)=153\times 0,05\mathrm{e}^{0,05x}>0$)

\item Le fonction $x\mapsto x+1$ est croissante sur $\mathbb{R}$ et à valeurs strictement positives sur [0~;~35] ; la fonction $\ln$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$, donc, par composition, la fonction $x\mapsto\ln(x+1)$ est croissante sur $[0~;~35]$.

-116 est négatif, donc la fonction $x\mapsto -116\ln(x+1)$ est décroissante, et 

\fbox{\textcolor{red}{$g$ est donc décroissante.}}

(sinon, on calcule la dérivée : $g'(x)=-116\times \dfrac{1}{x+1}=-\dfrac{116}{x+1}<0$).

\item Graphiquement, on trouve que les coordonnées de E sont approximativement : \fbox{\textcolor{red}{E$(9~;~240)$}}.
\end{enumerate}

\item L'abscisse x de E est solution de l'équation $f(x)=g(x)$, donc de $h(x)=0$ avec $h(x)=f(x)-g(x)$.
\begin{enumerate}
\item $h=f-g=f+(-g)$. Comme $g$ est décroissante sur $[0~;~35]$, $-g$ est croissante sur le même intervalle et $h$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur cet intervalle, comme somme de deux fonctions croissantes.

\item \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $h$ est \textbf{\textcolor{red}{continue}} sur [0~;~35] comme somme et composée de fonctions continues.

\item $h(0)=153-504=-351<0$.

\item $h(35)\approx 792>0$
\end{enumerate}
D'après le \textbf{théorème des valeurs intermédiaires}, l'équation $h(x)=0$ admet au moins une solution dans [0~;~35]. Comme $h$ est croissante, cette solution est unique. On la note $x_{0}$.

\item À la calculatrice, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{x_{0}\approx 8,871}}$, à 0,001 près par excès.

\item $y_{0}=f\left(x_{0}\right)\approx 153\mathrm{e}^{0,05\times 8,871}\approx 2,38,41$ ; $y_{0}\approx \boxed{\textcolor{red}{238,41}}$.

\item \textcolor{red}{Le prix unitaire d'équilibre est de 238,41 euros, pour une quantité disponible de \numprint{8871} objets.}
\end{enumerate}

\item Pour trouver une primitive de $f$, on cherche à faire apparaître une expression du type $u'\mathrm{e}^{u}$, avec

$u(x)=0,05x$ et $u'(x)=0,05$.

$f(x)=153\mathrm{e}^{0,05x}=\dfrac{153}{0,05}\times 0,05\mathrm{e}^{0,05x}=\dfrac{153}{0,05}u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}$.

On en déduit qu'une primitive $F$ de $f$ est définie par : $F(x)=\dfrac{153}{0,05}\mathrm{e}^{0,05x}$ : $\boxed{\textcolor{red}{F(x)=3060\mathrm{e}^{0,05x}}}$.

\item Le surplus est $S=x_{0}\times y_{0}-\int_{0}^{x_{0}}f(x)\text{ d}x$.

$x_{0}\times y_{0}$ représente l'aire du rectangle construit sur l'intervalle $\left[0~;~x_{0}\right]$ et de hauteur $y_{0}$ (ordonnée de E).

Le surplus est donc l'aire comprise entre la droite d'équation $y=y_{0}$, la courbe $\mathscr{C}_{f}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=x_{0}$ (voir partie hachurée sur le graphique ci-dessous).

$\int_{0}^{x_{0}}f(x)\text{ d}x=F\left(x_{0}\right)-F(0)=\numprint{3060}\mathrm{e}^{x_{0}}-\numprint{3060}=\numprint{3060}\left(\mathrm{e}^{x_{0}}-1\right)$.

Par conséquent : $S=x_{0}y_{0}-\numprint{3060}\left(\mathrm{e}^{x_{0}}-1\right)\approx \boxed{\textcolor{red}{406,7}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{{Courbe de l'exercice IV}}

\bigskip

\psset{xunit=0.3625cm,yunit=0.0145cm}
\begin{pspicture}(-2,-25)(37,925)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=100]{->}(0,0)(-2,-25)(37,925)
\uput[d](37,0){$x$}\uput[l](0,925){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{35}{2.71828 0.05 x mul exp 153 mul}
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{35}{504 x 1 add ln 116 mul sub}
\pscustom[fillstyle=hlines]{\psplot{0}{8.87}{238.41},\psplot{8.87}{0}{2.71828 0.05 x mul exp 153 mul}}
\multido{\n=-2+1}{40}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-25)(\n,925)}
\multido{\n=-25+25}{39}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-2,\n)(37,\n)}
\uput[dr](8.87,238.41){E}
\psline[linestyle=dashed](8.87,0)(8.87,238.41)
\psline[linestyle=dashed](8.87,238.41)(0,238.41)
\uput[l](0,238.41){$y_{0}$}
\uput[d](8.87,0){$x_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}