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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
%\title{Corrigé du  baccalauréat  ES}
\date{Juin 2011}
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\begin{document}
%\maketitle
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES  Métropole 22 juin   2011~\decofourright}}\end{center}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Corrigé du  baccalauréat  ES}}
\rfoot{\small{Juin 2011}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Premier ajustement}

\medskip

Grâce à un logiciel, un élève a obtenu le nuage de points représentant la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ et, par la méthode des moindres carrés, la droite d'ajustement de $y$ en $x$ dont une équation est $y = - 2, 89x + 102, 59$ (les coefficients sont arrondis à $0,01$).

\medskip
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[yscale=.7]
\tkzInit[ymin=0,ymax=110,xmin=0,xmax=13,ystep=10]
\tkzGrid
\tkzAxeX[tickdn=0.08,tickup=0]
\tkzAxeY[up space=1]
\tkzDefSetOfPoints[show]{1/100.3,2/98.9,3/91.6,4/89.5,5/87.6,6/85.4,7/84,8/79.9,9/76,12/67.91}
\tkzFct[domain=0:13,thick]{-2.89*\x+102.59}
\tkzDefPoint(12,67.91){A}\tkzDefPoint(0,67.91){B}
\tkzPointShowCoord(A)
\tkzLabelPoint[above right](B){$67.91$}
%\tkzText[rotate=90](-2,12600){\textbf{Dépense engendrée par la gestion des déchets (en millions d'euros)}}
%\tkzText(6,8600){\textbf{Rang de l'année}}
\tkzFct[domain=0:13,color=red,thick]{exp(-0.0328*\x+4.6392)}
\end{scope}
\tkzDrawSetOfPoints[mark=ball,mark size=3pt]
\end{tikzpicture}
\end{center}


	\begin{enumerate}
		\item En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2012, une estimation de l'indice de fréquence en l'année 2012 est:
\[
y_{12} = - 2, 89\times 12+ 102, 59	= 	67,91
\]
\item Pourcentage d'évolution entre 2007 et 2012 de l'indice de fréquence selon ce modèle:
\[
t=\frac{67,91-84}{84}\times 100\simeq -19,15\%
\]
	\end{enumerate}
\item \textbf{Deuxième ajustement}
	
Un autre élève envisage un ajustement exponentiel de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
	
On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies à $10^{-3}$).

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline
$z_i=\ln(y_i)$ & 4,608 & 4,594 & 4,517 & 4,494 & 4,473 & 4,447 & 4,431 & 4,381 & 4,331 \\ \hline
\end{tabularx}

\item À l'aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ est:
\[
z=-0,0328x+4,6392
\]
\item $y$ en fonction de $x$ (\textcolor{red}{courbe en rouge}):
\[
z=\ln y \Longleftrightarrow y=\text{e}^z=	\text{e}^{-0,0328x+4,6392}=	\text{e}^{-0,0328x}\times\text{e}^{4,6392}=\boxed{103,5\times\text{e}^{-0,0328x}=y}
\]

\end{enumerate}
\item  La stratégie européenne de santé au travail a fixé comme objectif une réduction de 25\,\% de l'indice de fréquence entre 2007 et 2012.
	
Nous venons de voir qu'en utilisant l'ajustement affine, il y avait une réduction de 19,15\%{} entre 2007 et 2012. L'objectif ne serait donc pas atteint.

En utilisant l'ajustement exponentiel, l'indice de fréquence en 2012 est:
\[
y'_{12}=103,5\times\text{e}^{-0,0328\times 12}\simeq 69,8236
\]

Le pourcentage d'évolution entre 2007 et 2012 de l'indice de fréquence selon ce dernier modèle est:
\[
t'=\frac{69,8236-84}{84}\times 100\simeq -16,88\%
\]
L'objectif n'est pas atteint.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Arbre pondéré:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
\tikzstyle{noeud}=[]
\tikzstyle{feuille}=[]
\tikzstyle{etiquetteb}=[midway,below]
\tikzstyle{etiquetteh}=[midway,above]

\def\DistanceInterNiveaux{3}
\def\DistanceInterFeuilles{1}

\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}

\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$ $};
\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{F}$};
\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{C}$};
\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$F$};
\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{F}$};

\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquetteh] {$0,12$};
\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquetteh] {$0,2$};
\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquetteb] {$0,8$};
\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquetteb] {$0,88$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquetteh] {$0,08$};
\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquetteb] {$0,92$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la couleur et un défaut dans la forme, $p(C\cap F)$:
\[
p(C\cap F) = p_C(F)\times p(C) = 0,2\times 0,12=0,024		
\]

		\item Probabilité que le vêtement choisi ait un défaut dans la forme, $p(F)$:

$p(F)=p(F\cap C)+ p\left(F\cap\overline{C}\right) = p_C(F)\times p(C) + p_{\overline{C}}(F)\times p\left(\overline{C}\right) =$

$ 0,2\times 0,12 + 0,08\times 0,88 = \np{0,0944}$.
\item Les événements $C$ et $F$ ne sont pas indépendants, car :

\[p(C\cap F) = 0,024 \not = \np{0,011328} = 0,12\times \np{0,0944}  = p(C)\times p(F)\]

	\end{enumerate}
\item  La probabilité que les vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut est $p\left(\overline{C}\cap\overline{F}\right)$ :

\[p\left(\overline{C}\cap\overline{F}\right) = 0,88 \times 0,92 = \np{0,8096}.\]

Ainsi, 80,96\,\%{} des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut. L'affirmation du directeur est donc fausse.	
\item  Les employés de l'usine sont autorisés à acheter des vêtements à tarif préférentiel.
	
L'un d'entre eux choisit au hasard trois vêtements. Le nombre de vêtements fabriqués est suffisamment grand pour considérer que les trois choix sont indépendants.

Nous sommes en présence d'un schéma de Bernoulli: les événements sont indépendants, il y a succès: \og les vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut\fg{} et échec.

Les paramètres sont: $p=0,8096$ et $n=3$ et $X$ est la variable aléatoire donnant le nombre de succès, c'est-à-dire le nombre de vêtement sans défaut.

Ainsi:
\[p(X=3)=\binom{3}{3}\times \np{0,8096}^{3}\times {(1 - \np{0,8096})}^{0}  \simeq 0,531\]

\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a le graphe probabiliste suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 4}
\begin{pspicture}(10,2)
%\psgrid
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\psset{radius=.3cm,linewidth=0.75pt, linecolor=bleu}
\cnodeput(0.5,1){A}{\small{\textsf{\bleu{A}}}}\cnodeput(4.5,1){B}{\small{\textsf{\bleu{B}}}}
\cnodeput(8.5,1){C}{\small{\textsf{\bleu{C}}}}
\rput{90}{\nccircle{->}{A}{0.5}}\nccircle{->}{B}{0.35}\rput{-90}{\nccircle{->}{C}{0.5}}
\ncarc[arcangle=40]{->}{A}{B} 
\ncarc[arcangle=40]{->}{B}{A}
\ncarc[arcangle=40]{->}{B}{C} 
\ncarc[arcangle=40]{->}{C}{B}
\rput(-0.8,1){0,4}\rput(2.5,2){0,6}
\rput(6.5,2){0,1} \rput(2.5,0){0,2}
\rput(6.5,0){0,15}
\rput(9.9,1){0,85} \rput(4.5,2){0,7}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\item En respectant l'ordre alphabétique des sommets, on a $M = \begin{pmatrix}0,4&0,6&0\\0,2&0,7&0,1\\0&0,15&0,85\end{pmatrix}$.
\item Il suffit de  vérifier que la matrice $R$ correspond à l'état stable :

$\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,4&0,6&0\\0,2&0,7&0,1\\0&0,15&0,85\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$. Le président a raison.

On pourrait également calculer la matrice $P = \begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}$, avec $a + b + c  = 1$ qui correspond à l'état stable et qui doit vérifier l'équation : $P = P \times M$.

On est ramené à résoudre un système de trois équations à trois inconnues qui donne bien $a = \dfrac{1}{6}, b = \dfrac{1}{2}$ et $c = \dfrac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 4 points}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbbm R$ par :
\[f(x) = \text{e}^{-2x + 1}\]

On note $f'$ sa fonction dérivée:

\[f'(x)=- 2\text{e}^{-2x + 1}\qquad\boxed{\text{Réponse c}}\]

\item On donne le tableau de variation d'une fonction $g$ définie et continue sur l'intervalle $[- 5~;~12]$.
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ /1,$g(x)$ /1.5}{$-5$,$2$,$8$,$12$}
\tkzTabVar{+/ $-3$, -/ $-8$,+/$1$,-/ $0$}
\tkzTabVal[draw]{2}{3}{0.5}{$\alpha$}{$0$}
\tkzTabVal[draw]{3}{4}{0.5}{$\beta$}{$0$}
\end{tikzpicture}
\end{center}	
L'équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions sur l'intervalle $[- 5~;~12]$. \fbox{Réponse b}

\item La courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $h$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. La droite (AB), tracée sur le graphique, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $B$ d'abscisse 1.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[ymin=-3,ymax=4,xmin=-1,xmax=7]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=.2:7]{log(\x)*(1-log(\x))*1.5}
\tkzFct[domain=-1:7]{1.5*\x-1.5}
\tkzDefPoints{1/0/B,3/3/A,3/-1/C,1/-1/B',3/0/C'}
\tkzDrawPoints(A,B)
\tkzLabelPoints[above left](A,B)
\tkzDrawSegments[<->,thick](B,C' C',A)
\tkzLabelSegment[above](B,C'){$+2$}
\tkzLabelSegment[right](C',A){$+3$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Le c\oe fficient directeur de la droite $(AB)$ est $\dfrac{3}{2}=1,5$. Donc: $h'(1) = 1,5$, \fbox{Réponse b}

\item  Une seule des trois courbes ci-après est la représentation graphique d'une primitive $H$ de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On a donc $H'(x)=h(x)$. Ainsi:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$ /1,$H'(x)$ /1, $H(x)$ /1.5}{$0$,$1$,$\simeq 2.8$,$+\infty$}
\tkzTabLine{, - , z, + , z , - ,}
\tkzTabVar{+/ $ $, -/ $ $, +/$ $,-/ $ $}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Seule la courbe a) correspond à ces variations. \fbox{Réponse a}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}%[scale=.6]
\tkzInit[ymin=-2,ymax=4,xmin=-1,xmax=7]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=.01:7]{-(log(\x)*log(\x) + 3 - 3* log(\x))*1.5*\x) + 6}
\end{tikzpicture}
\end{center}



\section*{Exercice 4 \hfill 6 points}

Dans une entreprise, le résultat mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé en vendant $x$ centaines d'objets fabriqués, est modélisé par la fonction $B$ définie et dérivable sur l'intervalle [0,1~;~10] par :

\[B(x) = 10 \times \dfrac{1 + \ln x}{x}.\]

Si $B(x)$ est positif, il s'agit d'un bénéfice ; s'il est négatif, il s'agit d'une perte.

\begin{enumerate}
\item Coraline utilise un logiciel de calcul formel. À plusieurs reprises, elle entre une commande, et le logiciel renvoie une réponse. Elle obtient l'écran suivant :

\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{verbatim}
	(Commande) B(x):=10*((1+ln(x))/x
\end{verbatim}
	(Réponse 1)\quad	$x$ -> $10*\left(\dfrac{1+\ln(x)}{x}\right)$
\begin{verbatim}
	(Commande) deriver(B(x),x)
\end{verbatim}
(Réponse 2)\quad 	$\dfrac{10}{x^2}+\dfrac{10*(1+\ln(x))*(-1)}{x^2}$
\begin{verbatim}
	(Commande) resoudre(B(x)=0,x)
\end{verbatim}
	(Réponse 3)\quad	[exp(-1)]
\begin{verbatim}
	(Commande) resoudre(B(x)>0,x)
\end{verbatim}
	(Réponse 4)\quad	[x>exp(-1)]
\begin{verbatim}
	(Commande) maximum(B(x),[0.1;10])
\end{verbatim}
	(Réponse 5)\quad	10

\end{minipage}
\end{center}


	\begin{enumerate}
		\item (Voir annexe)
		\item Réponse 3: 
\[
B(x)=0 \Longleftrightarrow 1+\ln x=0 \Longleftrightarrow \ln x=-1 \Longleftrightarrow x=\text{e}^{-1}=\frac{1}{\text{e}}
\]
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Une primitive de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0,1~;~10]$ est la fonction $F$ définie sur $[0,1~;~10]$ par:
\[
B(x) = 10 \times \frac{1 + \ln x}{x}
\]
Car:
\[
 F'(x)=5\times \left(\frac{1}{x}\left(\ln x + 2\right)+\ln x\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{5}{x}\left(\ln x+2+\ln x\right)=\frac{10}{x}\left(\ln x+1\right)=B(x)
\]
		\item Calcul de  $I=\displaystyle\int_{0,5}^{1,5} B(x)\:\text{d}x$:
\[
I=\int_{0,5}^{1,5} B(x)\:\text{d}x=\left[F(x)\right]_{0,5}^{1,5}=F(1,5)-F(0,5)=5\left(\ln\frac{3}{2}\left(\ln\frac{3}{2}+2\right)-\ln\frac{1}{2}\left(\ln\frac{1}{2}+2\right)\right)
\]

Valeur approchée à $10^{-3}$ près:
\[
I\simeq 9,406
\]
		
Ce nombre représente le bénéfice mensuel moyen en milliers d'euros lorsque l'entreprise
produit et vend chaque mois un nombre d'objets compris entre 50 et 150.
\item Le bénéfice mensuel $B$ est maximal pour $10$ objets vendus, car:
\[
B'(x)=10\times\cfrac{\cfrac{1}{x}x-(1+\ln x)}{x^2}=\frac{10}{x^2}(-\ln x)
\]
La dérivée change de signe pour $x=1$; entre $[0,1;1[$, elle est positive et entre $]1;10]$, négative. $B$ possède donc un maximum pour $x=1$. Ce maximum a pour valeur $10$.

Cela correspond à la réponse 5.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{document}
%%%%%%%%%%
%\newpage
\section*{Annexe à rendre avec la copie}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=.5]
\tkzInit[xmin=-2,xmax=10,xstep=1,ymin=-1,ymax=10.2]
\tkzAxeX[tickdn=0.2,tickup=0]
\tkzAxeY[ticklt=0.05,tickrt=0]
\tkzFct[domain=.368:10,color=red]{(log(\x)+1)/(\x))*10}
\tkzFct[domain=.1:.368]{(log(\x)+1)/(\x))*10}
\tkzDrawArea[color=orange!50,domain=0.5:1.5]
%\tkzDrawTangentLine(1)
\tkzDefPoints{0.368/0/A,1/10/B,.4/10/B1,1.6/10/B2}
\tkzDrawPoints(A,B)
\tkzDrawSegment[<->](B1,B2)
\tkzPointShowCoord(B)
\tkzLabelPoint[below right](A){$\dfrac{1}{\text{e}}$}
\tkzXH[color=red]{0.368/F/]/10.7/F/}
\tkzText[color=red](4,4){$\boxed{B(x)>0}$}
\tkzText[color=red](1,5){$\boxed{I}$}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{document}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(10,11)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2](0,0)(-2,-1)(10,11)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=magenta]{0.355}{10}{x ln 1 add x div 10 mul}

\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%% 
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Chaque année, une association de cyclotourisme prépare de nouveaux circuits. Pour satisfaire ses nombreux membres, elle élabore des circuits de différents niveaux : \og niveau facile \fg, \og niveau moyen \fg{} et \og niveau difficile \fg.

Au premier janvier 2010, l'association a fait son bilan :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau facile, noté A
\item[$\bullet~~$] 70\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau moyen, noté B
\item[$\bullet~~$] 10\,\% de ses adhérents ont choisi le niveau difficile, noté C
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour répondre aux attentes des adhérents et les fidéliser sur le long terme, une enqu\^ete est effectuée.

Il s'av\`ere que, d'une année à l'autre :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau A, 40\,\% restent à ce niveau et 60\,\% passent au niveau B,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau B, 70\,\% restent à ce niveau et 20\,\% reviennent au niveau A et les autres passent passent au niveau C,
\item[$\bullet~~$] parmi les adhérents ayant choisi le niveau C, 85\,\% restent à ce niveau et les autres reviennent au niveau B.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'état \og l'adhérent a choisi le niveau A \fg,
\item[$\bullet~~$] B l'état \og l'adhérent a choisi le niveau B \fg,
\item[$\bullet~~$] C l'état \og l'adhérent a choisi le niveau C \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Pour $n$ entier naturel positif ou nul, on note $P_{n} = \left(a_{n}\quad b_{n}\quad c_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste de la répartition dans les différents niveaux (indiqués dans l'ordre donné dans l'énoncé), au premier janvier de l'année $2010 + n$. Ainsi $P_{0} = (0,2\quad 0,7 \quad 0,1)$.

\medskip

On se décide se baser uniquement sur ces résultats pour prévoir l'évolution de la répartition à partir du premier janvier 2010 (on néglige donc les nouveaux abonnés et les départs).

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A, B et C.
\item Reproduire et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.

\[M = \begin{pmatrix}
\cdots&\cdots&0\\
0,2&\cdots&\cdots\\
\cdots&0,15&\cdots\\
\end{pmatrix}\]
\item Une seule des trois matrices $Q,\,R,\, T$ ci-dessous correspond à l'état probabiliste stable.

\[Q = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\
\end{pmatrix}\quad R =   \begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\\\end{pmatrix}  \quad T = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{5}&\dfrac{4}{5}&0\\\end{pmatrix}\]

Le président de l'association affirme que 50\,\% des adhérents choisiront apr\`es un certain nombre d'années le niveau B. Cette affirmation est-elle correcte ?
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Soit la fonction $f$  définie sur  $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}\]

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
 
Selon les questions, on pourra remarquer que $f(x)$ peut aussi s'écrire $f(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{\ln x}{x}$.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, on ne demande pas de justification mais des conjectures obtenues \à l'aide de la calculatrice.}
 
Sur l'écran de la calculatrice, on fera apparaître la courbe $\Gamma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Faire un schéma reproduisant l'écran obtenu en précisant la fenêtre utilisée. 
		\item À partir de la lecture de l'écran, conjecturer le tableau de variations de la fonction $f$. 
	\end{enumerate} 
\item \emph{Le but de celle question est de prouver les renseignements conjecturés et indiqués dans le tableau de variations de la question précédente.}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est du signe de $- \ln x$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item En déduire les variations de la fonction $f$. 
		\item Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B: quelques points particuliers}

\medskip
 
On considère la portion de la courbe $\Gamma$ figurant sur la feuille \textbf{ANNEXE, \à rendre avec la copie.}
 
A est le point d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des abscisses.
 
B est le point de $\Gamma$ d' abscisse $\text{e}^{- 0,5}$. D est le point de coordonnées $\left(\text{e}^{- 0,5}~;~0)$.
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que l'abscisse du point A est égale à $\text{e}^{-1}$. 
\item \emph{Dans celle question, toute trace de recherche, mime incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Tracer la droite (OB) sur le graphique de la feuille \textbf{ANNEXE, \à rendre avec la copie.}.
 
Cette droite semble \^etre la tangente à la courbe $\Gamma$ au point B. Qu'en est-il ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : calcul d'aire}

\medskip

On désigne par $\Delta_{1}$ le domaine du plan limité par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites d'équation  $x = \text{e}^{-1}$ et $x = \text{e}^{-0,5}$. 
On désigne par $\Delta_{2}$ le domaine du plan limité par l'axe des abscisses, la portion de la courbe $\Gamma$ située  entre les points A et B et la droite (OB).
 
\begin{enumerate}
\item Hachurer $\Delta_{2}$ sur la feuille en annexe. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en unités d'aire, l'aire du triangle OBD. 
		\item Donner sans la calculer, une expression qui permet d'obtenir l'aire, en unités d'aire, du domaine $\Delta_{1}$. 
		\item En déduire, toujours sans la calculer, une expression qui permet d'obtenir l'aire, en unités d'aire. du domaine $\Delta_{2}$.
	\end{enumerate} 
\item 	Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = \dfrac{1}{2} (\ln x)^2 + \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $g$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. 
		\item En déduire l'aire de $\Delta_{2}$ en unités d'aire.
	\end{enumerate}		 
\end{enumerate}



