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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat technologique Hôtellerie},
pdftitle = {Métropole septembre  2011},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Métropole septembre 2011}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Le restaurant \og La fourchette dorée \fg{} propose la formule suivante : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|c|}\hline
%Menu à 21~\euro{} (Entrée / Plat / Dessert) \\
%*** \\
%Assiette de charcuterie \\
%ou \\
%Soupe chaude du jour\\ 
%*** \\
%Poulet basquaise \\
%ou\\ 
%B{\oe}uf aux petits légumes\\ 
%ou\\ 
%Poisson à la bordelaise\\ 
%***\\ 
%Marquise au chocolat\\
%ou\\
%Moelleux aux fruits \\
%\hline
%\end{tabular}
%
%\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item ~%Déterminer, à l'aide d'un arbre, le nombre de menus différents que l'on peut obtenir. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{Charcuterie}}
	{\pstree{\TR{Poulet}}
			{
			\TR{Marquise}
			\TR{Moelleux}
			}
	\pstree{\TR{Bœuf}}
			{
			\TR{Marquise}
			\TR{Moelleux}
			}
	\pstree{\TR{Poisson}}
			{
			\TR{Marquise}
			\TR{Moelleux}
			}
	}				
\pstree{\TR{Soupe}}
	{\pstree{\TR{Poulet}}
			{
			\TR{Marquise}
			\TR{Moelleux}
			}
	\pstree{\TR{Bœuf}}
			{
			\TR{Marquise}
			\TR{Moelleux}
			}
	\pstree{\TR{Poisson}}
			{
			\TR{Marquise}
			\TR{Moelleux}
			}
	}		
}
\end{center}

Il y a donc $2 \times 3 \times 2 = 12$ menus différents.
\item %On suppose que chacun des menus a la même probabilité d'être choisi par un client. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité $p_{1}$ qu'un client choisisse un menu avec de la viande en plat principal?
$p_1 = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.		 
		\item %Quelle est la probabilité $p_{2}$ que le menu servi soit composé de charcuterie et d'un moelleux aux fruits ?
$p_1 = \dfrac{3}{12}  =\dfrac{1}{4}$.
	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question, le client choisit la soupe du jour en entrée. 

%Quel est, dans ce cas, le nombre de menus possibles ?
Le client a le choix entre $3 \times 2 = 6$ menus. 
%Quelle est, alors, la probabilité $p_{3}$ qu'il choisisse du poisson comme plat principal ? 

Il y a sur ces six menus, 2 avec le poisson comme plat principal.

$p_3 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
%(On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible). 
\item %Le chef décide de retirer la soupe et de rajouter un dessert. Y aura-t-il plus de choix de menus pour le client ? Justifier la réponse.
Il y aura $1 \times 3 \times 3 = 9$ menus différents, donc moins de choix. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.} \end{center} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Un traiteur vient de s'installer dans un petit village. Les six premiers mois, il note le nombre de clients servis, en moyenne, par jour.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
%Mois 							&Janvier 	&Février&Mars 	&Avril 	&Mai&Juin\\ \hline 
%Rang $x_{i}$					&1 			&2 		&3 		&4 		&5 	&6\\ \hline 
%Nombre de clients servis $y_{i}$&4 			&5 		&9 		&16		&27 &35\\ \hline
%\end{tabularx} 
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item ~%Représenter graphiquement le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à cette série statistique, dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(0,-1)(8.5,65)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(8.5,65)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,ysubticks=5](0,0)(0,0)(8.5,65)
\psdots(1,4)(2,5)(3,9)(4,16)(5,27)(6,35)
\psdots[linecolor=red](2,6)(5,26)
\uput[u](2,6){\red $G_1$}\uput[u](5,26){\red $G_2$}
\uput[l](0,63){\blue 63}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{8}{x 20 mul 3 div 22 3 div sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{8}{x dup  mul 3 add x ln 2 mul sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](8,0)(8,46)(0,46)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->,linecolor=blue](8,0)(8,62.84)(0,62.84)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip
 
\item %On considère un ajustement affine. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées du point moyen $G_{1}$ des trois premiers points du nuage (janvier à mars) et celles du point moyen $G_{2}$ des trois derniers points du nuage (avril à juin).
On a $x_{G_1} = \dfrac{1 + 2 + 3}{3} = 2$ et  $y_{G_1} = \dfrac{4 + 5 + 9}{3} = 6$ et 
		
$x_{G_2} = \dfrac{4 + 5 + 6}{3} = 5$ et  $y_{G_2} = \dfrac{16 + 27 + 35}{3} = 26$.		
		\item %Placer $G_{1}$ et $G_{2}$ dans le repère. 
Voir la figure ci-dessus.
		\item %Vérifier que : $y = \dfrac{20}{3}x - \dfrac{22}{3}$ est une équation de la droite $\left(G_{1} G_{2}\right)$. 
$G_1(2~;~6) \in \left(G_{1} G_{2}\right) \iff 6 = \dfrac{20}{3}\times 2 - \dfrac{22}{3} \iff 6 = \dfrac{40}{3} - \dfrac{22}{3}\iff 6 = \dfrac{18}{3}$ : vrai

$G_2(5~;~26) \in \left(G_{1} G_{2}\right) \iff 26 = \dfrac{20}{3}\times 5 - \dfrac{22}{3} \iff 26 = \dfrac{100}{3} - \dfrac{22}{3}\iff 26 = \dfrac{78}{3}$ : vrai.
		\item %Tracer cette droite dans le repère précédent.
Voir la figure ci-dessus. 
		\item %En déduire graphiquement le nombre prévisible de clients servis en moyenne par jour, au mois d'août. (Indiquer votre lecture graphique à l'aide de pointillés)
La verticale d'équation $x = 8$, 8 correspondant au mois d'août coupe la droite $\left(G_{1} G_{2}\right)$ en un point d'ordonnée approximative 46.

En prenant ce modèle on peut s'attendre à 46 clients servis chaque jour au mois d'août.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par : 

\[f(x) = x^2 + 3 - 2 \ln x.\]
 
%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère de la partie A. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f$ et montrer que pour tout $x$ de [1~;~8] : 
Sur l'intervalle [1~;~8], \: $f'(x) = 2x - 2 \times \dfrac{1}{x} = 2x - \dfrac{2}{x} = \dfrac{2x^2 - 2}{x} = \dfrac{2\left(x^2 - 1 \right)}{x} = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x}$.
%\[f'(x) = \dfrac{2(x + 1)(x - 1)}{x}.\]
  
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur [1~;~8], puis dresser le tableau de variation de $f$.
Comme $x$ et 2 sont positifs, le signe de $f'(x)$ est celui du produit 
		
		$x + 1)(x - 1)$, mais comme $x + 1 > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x - 1$ :
		
$\bullet~~x - 1 > 0 \iff x > 1$ : $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $]1~;~8]$ ;

$\bullet~~x - 1 = 0 \iff x = 1$ : $f'(1) = 0$.

Conclusion : la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $]1~;~8]$ de $f(1) = 1 + 3 = 4$ à $f(8) = 64 + 3 - 2\ln 8 \approx 62,84$.
	\end{enumerate} 
\item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. (On donnera des valeurs arrondies à $10^{-1}$ près). 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1 	&2 		&3		&4		&5 		&6 		&7 		&8\\ \hline
$f(x)$	&4	&5,6	&9,8	&16,2	&24,8	&35,4	&48,1	&62,8\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item %Tracer $\mathcal{C}$ dans le même repère que le nuage de points.
Voir ci-dessus. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
%On admet que la courbe $\mathcal{C}$ constitue un meilleur ajustement du nuage de points. Donner une nouvelle estimation du nombre moyen de clients servi par jour par le traiteur pendant le mois d'août. Justifier la réponse.
$\bullet~~$Par le calcul : $f(8 ) \approx 62,8$, soit environ 63 clients par jour au mois d'août ;

$\bullet~~$Graphiquement : la droite d'équation $x = 8$ coupe la courbe en un point dont l'ordonnée est à peu près égale à 63 : voir la figure ci-dessus. 
\end{document}