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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Métropole juin 2013}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Un hôtel propose trois formules d'hébergement : 
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] nuit avec petit-déjeuner ; 
%\item[$\bullet~~$] demi-pension ; 
%\item[$\bullet~~$] pension complète.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le directeur de l'hôtel s'intéresse aux durées des séjours de ses clients pendant l'année 2012 et les classe en deux catégories : séjour d'une semaine ou moins, ou séjour de plus d'une semaine.
% 
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]\np{5000} clients ont fréquenté l'hôtel en 2012 ;
%\item[$\bullet~~$]65\,\% des clients ont séjourné une semaine ou moins ; 
%\item[$\bullet~~$]18\,\% des clients ont séjourné en pension complète ; 
%\item[$\bullet~~$]\np{3800} clients ont choisi la demi-pension, et parmi ceux-ci, 30\,\% sont restés plus d'une semaine ; 
%\item[$\bullet~~$]420 clients ont séjourné en pension complète pendant plus d'une semaine.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\scriptsize Séjours &\scriptsize  Nuit avec petit-déjeuner&\scriptsize Demi-pension &\scriptsize Pension complète&\scriptsize Total\\ \hline 
\scriptsize Une semaine ou moins&110	&\np{2660}			&480	&\np{3250}\\ \hline 
\scriptsize Plus d'une semaine	&190	&\np{1140}			&420	&\np{1750}\\ \hline 
\scriptsize Total				&300	&\np{3800}			&900	&\np{5000}\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip
 
\item ~%On prélève une fiche au hasard parmi les \np{5000} fiches des clients ayant fréquenté l'hôtel en 2012.
 
%Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
% 
%Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
% 
%$A$ : \og La fiche est celle d'un client qui a séjourné en pension complète \fg{} ; 
%
%$B$ : \og La fiche est celle d'un client qui a séjourné plus d'une semaine \fg{} ;
% 
%$C$ : \og La fiche est celle d'un client qui a séjourné en formule \og Nuit avec petit-déjeuner \fg pendant une semaine ou moins \fg.
$\bullet~~$$p(A) = \dfrac{900}{\np{5000}} = \dfrac{18}{100} = 18\,\% = 0,18$. (dans l'énoncé)

$\bullet~~$$p(B) = \dfrac{\np{1750}}{\np{5000}} = \dfrac{375}{\np{1000}} = 37,5\,\% = 0,375$.

$\bullet~~$$p(C) = \dfrac{110}{\np{5000}} = \dfrac{22}{\np{1000}} = 2,2\,\% = 0,022$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cap B$. Calculer sa probabilité.
$A \cap B$ : \og La fiche est celle d'un client  ayant séjourné en pension complète pendant plus d'une semaine \fg ;

$p(A \cap B) = \dfrac{420}{\np{5000}} = \dfrac{84}{\np{1000}} = 8,4\,\% = 0,084$.
		\item %Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$. Calculer sa probabilité.
$A \cup B$ : \og La fiche est celle d'un client  ayant séjourné en pension complète ou pendant plus d'une semaine \fg ;

$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = \dfrac{900 + \np{1750} - 420}{\np{5000}} = \dfrac{\np{2230}}{\np{5000}}   = \dfrac{446}{\np{1000}} = 44,6\,\% = 0,446$.
	\end{enumerate} 
\item %On prélève au hasard la fiche d'un client ayant séjourné en pension complète.

%Chaque fiche a la même probabilité d'être choisie.
 
%Calculer la probabilité que le client soit resté plus d'une semaine. 

%\emph{On donnera le résultat arrondi au millième.}
Il y a eu 900 clients ayant séjourné en pension complète ; parmi ceux-ci 420 sont restés plus d'une semaine. La probabilité est donc égale à :

$\dfrac{ 420}{900} = \dfrac{140}{300} \approx 0,467$ au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%Un restaurateur propose chaque jour à midi son \og menu du jour \fg{} au prix de 18~euros. Il accueille quotidiennement entre $2$ et $20$ personnes.
% 
%On admet que la fonction $c$ dont la courbe est donnée en annexe modélise le coût unitaire de fabrication d'un repas (exprimé en euros) en fonction du nombre de repas servis.
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide du graphique fourni en annexe : 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le nombre de repas à servir pour que le coût unitaire de fabrication d'un repas soit minimal. 
Il semble que le coût minimal unitaire (6) soit obtenu quand on fabrique 10 repas. Voir le graphique.
%Quel est ce coût minimal ? 
	\end{enumerate} %À partir de combien de repas servis, le restaurateur fera-t-il un bénéfice ? 
	
%Expliquer la démarche mise en œuvre.
Un  repas servi rapporte 18~\euro.  Il faut que ce montant soit supérieur au coût unitaire.

la droite d'équation $y = 18$ coupe la courbe au point d'abscisse 3,5. 

Il faut donc qu'il y ait au moins 4 repas servis (le coût unitaire est alors égal à 15~\euro{} environ).
\item %On admet que la fonction $c$ représentée en annexe est définie sur l'intervalle [2~;~20] par :
 
\[c(x) = x - 14 + \dfrac{100}{x}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item %Pour 8 repas fabriqués et servis, calculer le coût unitaire de fabrication d'un repas.
On a $c(8) = 8 - 14 + \dfrac{100}{8} = - 6 + 12,5 = 6,5$.

Pour $8$ repas servis le coût unitaire est de 6,50~\euro.
		\item %Calculer : 

%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]le coût total de fabrication des 8 repas ; 
%\item[$\bullet~~$]le chiffre d'affaires obtenu pour ces 8 repas servis; 
%\item[$\bullet~~$]le bénéfice ainsi réalisé par le restaurateur.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
$\bullet~~$Coût total de fabrication des 8 repas = $8 \times 6,50 = 52$~\euro ;

$\bullet~~$Chiffre d'affaires obtenu pour ces 8 repas servis : $8 \times 18 = 144$~\euro ;

$\bullet~~$Bénéfice ainsi réalisé par le restaurateur  : $144 - 52 = 92$~\euro.
	\end{enumerate} 
\item %On suppose que $x$ repas sont fabriqués et servis ($x$ entier compris entre $2$ et $20$). 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, en fonction de $x$, l'expression du chiffre d'affaires réalisé.
Le chiffre d'affaires pour $x$ repas servis est $18x$. 
		\item %Montrer que le résultat réalisé par le restaurateur est égal à : 
$x$ repas ont un coût de fabrication de $x \times c(x) = x\left(x - 14 + \dfrac{100}{x}\right) = x^2 - 14x + 100$		
%		$- x^2 + 32x - 100$. 
		
%(On rappelle que le résultat représente le chiffre d'affaires diminué du coût)

Le résultat est donc égal à : $18x - \left( x^2 - 14x + 100\right) =$

$ 18x - x^2  + 14x - 100 = - x^2 + 32x - 100$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [2~;~20] par 

\[f(x) = - x^2 + 32x - 100.\]
 
%On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [2~;~20]. 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(x)$.
Sur l'intervalle [2~;~20], on a :

$f'(x) = - 2x + 32$. 
		\item ~%Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [2~;~20].
$\bullet~~$$f'(x) > 0 \iff - 2x + 32 > 0 \iff 32 > 2x \iff 16 > x \iff x < 16$ ; $f'(x) > 0$ sur l'intervalle [2~;~16] ;

$\bullet~~$$f'(x) < 0 \iff - 2x + 32 < 0 \iff 32 < 2x \iff 16 < x \iff x > 16$ ; $f'(x) < 0$ sur l'intervalle [16~;~20] ;

$\bullet~~$$f'(x) = 0 \iff - 2x + 32 = 0 \iff 32 = 2x \iff 16 = x$  ; $f'(16) = 0$.
		\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~20].
On déduit de la question précédente que $f$ est croissante sur [2~;~16] de $f(2) = - 4 + 64 - 100 = - 40$ à $f(16) = - 16^2 + 32 \times 16 - 100 = - 256 + 512 - 100 = 156$, puis décroissante sur l'intervalle [16~;~20] de 156 à $f(20) = - 20^2 + 32 \times 20 - 100 = - 400 + 240 - 100 = 140$.
	\end{enumerate} 
\item %Combien de repas le restaurateur doit-il servir pour réaliser un bénéfice maximal ?
 
%Quel est alors ce bénéfice ?
On a vu à la question précédente que le résultat est maximal pour $x = 16$ et qu'alors ce résultat est égal à 156~\euro.
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à remettre avec la copie) : courbe représentative de la fonction \boldmath $c$ \unboldmath}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.25cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,40)
\multido{\n=0.0+0.5}{41}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+2}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.9,-0.9)(21,40)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{20}{x 14 sub 100 x div add}
\uput[r](0,39){Coût unitaire}\uput[dl](0,0){O}  
\uput[u](19.5,0){Nombre de repas }
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=red,ArrowInside=->](0,6)(10,6)(10,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->](0,18)(3.5,18)(3.5,0)
\end{pspicture} 
\end{center} 
\end{landscape}
\end{document}