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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\Métropole--La Réunion 19 juin 2014}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
 
%Le patron de \og Chez Max \fg{} a pris note des choix de 800 de ses clients venus déjeuner dans son restaurant.
% 
%800 fiches individuelles sont ainsi créées, lui permettant d'obtenir les informations suivantes :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 70\,\% de ses clients prennent un dessert ; 
%\item[$\bullet~~$] parmi les clients prenant un dessert, il y en a 15\,\% qui prennent une entrée; 
%\item[$\bullet~~$] il y a 180 clients qui choisissent une entrée.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau fourni en annexe (à rendre avec la copie).
$\bullet~~0,70 \times 800 = 560$ clients prennent un dessert ;

$\bullet~~$Sur ces 560 clients \% prennent une entrée soit $0,15 \times 560 = 84$ ; donc $560 - 84 = 476$ ne prennent pas d'entrée ;

\item %On prélève au hasard une fiche parmi les $800$ disponibles, chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
 
%On définit les évènements suivants: 
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $E$ : \og la fiche prélevée est celle d'un client qui prend une entrée \fg 
%\item[$\bullet~~$] $D$ : \og la fiche prélevée est celle d'un client qui prend un dessert \fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Définir par une phrase et calculer la probabilité des trois évènements : $E \cap D,\: E \cup D$ et $\overline{E}$.
		
$\bullet~~E \cap D$ : \og  le client a pris une entrée et un dessert \fg{} ;

$p(E \cap D) = \dfrac{84}{800} = \dfrac{10,5}{100} = 10,5\,\% = 0,105$.

$\bullet~~E \cup D$ : \og  le client a pris une entrée ou  un dessert \fg{} ;

$p(E \cup D) = \dfrac{84 + 96 + 476}{800} = \dfrac{656}{800} = \dfrac{41}{50} = \dfrac{82}{100} = 82\,\% = 0,82$.

$\bullet~~\overline{E}$ : \og le client ne prend pas d'entrée \fg ;

$p\left(\overline{E} \right) = \dfrac{800 - 180}{800} = \dfrac{620}{800} = \frac{31}{40} = 77,5\,\% = 0,775$.
		\item %Quelle est la probabilité que la fiche prélevée soit celle d'un client qui ne prenne ni entrée ni dessert ?
144 clients ne prennent ni entrée ni dessert ; la probabilité est donc : $\dfrac{144}{800} = \dfrac{18}{100} = 18\,\% = 0,18$. 
		\item %On prélève une fiche parmi celles des clients ne prenant pas d'entrée.
		 
%On admet que chaque fiche a la même probabilité d'être prélevée.
 
%Quelle est la probabilité que cette fiche soit celle d'un client qui prenne un dessert ?
On tire une fiche sur 620 ; parmi ceux-ci 476 ont pris un dessert ; la probabilité est donc égale à $\dfrac{476}{620} = \dfrac{119}{155} \approx 0,77$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip 

\textbf{Partie A : étude d'une fonction}

\medskip
 
%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~30] par : 

\[f(x) = - 10x^2 + 240x + \np{1800}\]
 
%On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~30] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~30].
Sur l'intervalle  [0~;~30], on a :

$f'(x) = 2 \times (- 10x) + 240 = 240 - 20x$.
\item %Étudier le signe de $f'(x)$, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~30].
$\bullet~~240 - 20x > 0 \iff 240 > 20x \iff 12 > x \iff x < 12$ : on a donc $f'(x) > 0 $ sur [0~;~12] ;

$\bullet~~240 - 20x < 0 \iff 240 < 20x \iff 12 < x \iff x > 12$ : on a donc $f'(x) < 0$ sur [12~;~30] ; 

$\bullet~~240 - 20x = 0 \iff 240 = 20x \iff 12 = x$. Donc $f'(12) = 0$.
\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~30].
La question précédente montre que :

$\bullet~~f$ est croissante sur [0~;~12] de $f(0) = \np{1800}$ à $f(12) = \np{3240}$, puis décroissante de $f(12)$ à $f(30) = 0$.

$f(12)$ est donc le maximum de la fonction sur l'intervalle [0~;~30].
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : application économique}

\medskip
 
%Le patron de \og Chez Max \fg{} sait parfaitement que, dans son restaurant, le nombre de couverts, lors du repas de midi, dépend du prix de son menu. Il voudrait donc proposer celui-ci à un prix lui permettant d'optimiser son bénéfice.
% 
%L'étude de marché qu'il a fait réaliser a permis de modéliser le lien entre le prix du menu et le nombre de couverts de la façon suivante :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] en vendant 20~\euro{} son menu (prix initialement proposé), il sert $300$~couverts. 
%\item[$\bullet~~$] chaque hausse de 1~\euro{} du prix du menu diminue le nombre de couverts de 10.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%Le coût de fabrication d'un menu est de 14~\euro.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau fourni \textbf{en annexe (à rendre avec la copie)}. 
Voir l'annexe à la fin.
%\smallskip
%
%Dans la suite de l'exercice, on note $x$ le montant de la hausse proposée du prix du menu (en \euro) par rapport au prix initial qui était de 20~\euro. On admet que $0 \leqslant x \leqslant 30$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer en fonction de $x$ le prix du menu après une hausse de $x$~\euro.
Après une hausse de $x$~\euro, le menu est à $20 + x$. 
		\item %Exprimer en fonction de $x$ le nombre de couverts servis après une hausse de $x$~\euro.
Pour 1\euro{} de hausse il y a 10 clients de moins, donc pour une hausse de $x$~\euro{}  le nombre de clients baisse de $10x$ ; il y aura  donc $300 - 10x$ clients.
		\item %En déduire le chiffre d'affaires $A(x)$ réalisé après une hausse du prix du menu de $x$~\euro et montrer qu'il peut s'exprimer sous la forme : 
		Le chiffre d'affaires $A(x)$ réalisé après une hausse du prix du menu de $x$~\euro est donc :
		
$A(x) = (300 - 10x)(20 + x) = 300 \times 20 + 300x - 20\times 10x - 10x \times x = - 10x^2 + 100x + \np{3600}$.
		
%		\[A(x) = - 10x^2 + 100x + \np{6000}.\]
		
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer le coût total de fabrication des menus après une hausse de $x$~\euro.
$300 - 10x$ repas à 14~\euro (prix unitaire) coûtent : $C(x) = 14(300 - 10x) = \np{4200} - 140x$.
		\item %En déduire que le résultat $R(x)$ peut s'exprimer sous la forme :
		Le résultat $R(x)$ est donc égal à :
		
		$R(x) = A(x) - C(x) = - 10x^2 + 100x + \np{6000} - ( \np{4200} - 140x) = - 10x^2 + 100x + \np{6000} -  \np{4200} + 140x = - 10x^2 + 240x + \np{1800}$.
		
%		\[R(x) = - 10x^2 + 240x + \np{1800}.\]
		
	\end{enumerate} 
\item %Répondre alors aux questions suivantes en utilisant la partie A : 
	\begin{enumerate}
		\item %À quel montant le patron doit-il fixer le prix du menu pour que son bénéfice soit maximal ?
Le résultat $R(x)$ est égal à $f(x)$ de la partie A. On a vu dans cette partie que le maximum de $f$, donc de $R$ , était obtenu pour $x = 12$~\euro. 
		\item %Quel est ce bénéfice maximal ? 
		Le maximum de $f$ donc de $R$ est donc : $R(12) = f(12) = \np{3240}$~\euro.
		\item %Quel est alors le nombre de couverts servis ? 
		On a vu que le nombre de couverts servis était égal à : 
		
		$300 - 10x$, soit ici $300 - 10 \times 12 = 300 - 120 = 180$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\begin{flushleft}
 
\textbf{EXERCICE 1 :} tableau à compléter

\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Choix		& Avec entrée 	&Sans entrée	& Total\\ \hline 
Avec dessert&84				&476			&560\\ \hline 
Sans dessert&96				&144			&240\\ \hline
Total		&180			&620			&800\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}
 
\begin{flushleft}
\textbf{EXERCICE 2} (Partie B - question 1) : tableau à compléter
\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
Prix du menu (en \euro)&Nombre de couverts&Chiffre d'affaires (en~\euro)& 
Coût total de fabrication (en \euro)& Bénéfice (en~\euro)\\ \hline 
20~\euro	&300	&\np{6000}	&\np{4200}	&\np{1800} \\ \hline 
30~\euro	&200	&\np{6000}	&\np{2800}	&\np{3200} \\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}