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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{22 juin 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Métropole--La Réunion 22 juin 2015}}

\vspace{0,25cm}
 
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~10] par

\[f(x) =  120 \text{e}^{- 0,17x}.\]

On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~10].

\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la représentation graphique de la fonction $f$ fournie en annexe 1 (à rendre avec la copie), résoudre, sur l'intervalle [0~;~10], l'inéquation $f(x) \leqslant 30$, en laissant apparents les traits de construction.
Voir l'annexe : la droite d'équation $y = 30$ coupe la courbe en un point dont l'abscisse est à peu près égale à 8,2. L'ensemble solution est l'intervalle [8,2~;~10]
\item %Calculer $f'(x)$, où $f'$désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
Sur [0~;~10], \: $f'(x) = - 0,17 \times 120 \text{e}^{- 0,17x} = - 20,4\text{e}^{- 0,17x}$.
\item %Justifier que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~10].
O sait que quel que soit le réel $x$,\: $\text{e}^{- 0,17x} > 0$, donc $f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur [0~;~10].
\item %Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$, sur l'intervalle [0~;~10], solution de l'équation $f(x) = 30$. Donner une valeur approchée au centième près de~$\alpha$.
La fonction $f$ :

$\bullet~~$est strictement décroissante sur [0~;~10], 

$\bullet~~$de $f(0) = 120$, 

$\bullet~~$à $f(10) = 120\text{e}^{- 0,17\times 10} = 120\text{e}^{- 1,7} \approx 21,922$.

Comme $21,922 < 30 < 120$ : il existe donc un réel unique $\alpha \in [0~;~10]$ tel que $f(\alpha) = 30$.

La calculatrice donne :

$f(8) \approx 30,799$ et $f(9) \approx 25,984$, donc $8 < \alpha < 9$ ;

$f(8,1) \approx 30,28$ et $f(8,2) \approx 29,77$, donc $8,1 < \alpha < 8,2$ ;

$f(8,15) \approx 30,28$ et $f(8,16) \approx 29,77$, donc $8,1 < \alpha < 8,2$  ;

$f(8,154) \approx 30,003$ et $f(8,155) \approx 29,998$, donc $8,154 < \alpha < 8,155$.

Conclusion $\alpha \approx 8,16$ au centième près. 
\item %Justifier les résultats trouvés graphiquement à la question 1.
Il faut résoudre l'inéquation :

$120\text{e}^{- 0,17x} \leqslant 30 \iff 4\text{e}^{- 0,17x} \leqslant 1 \iff 4 \leqslant \text{e}^{0,17x}\iff \ln 4 < 0,17x \iff \dfrac{\ln 4}{0,17} \leqslant x$.

Or $\dfrac{\ln 4}{0,17} \approx \np{8,15467}$.

Les nombres solutions sont les nombres supérieurs à \np{8,15467}. Cela justifie le résultat de la question 1.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Un robot a une valeur initiale de 120~euros au 1\up{er} janvier 2014. D'après un fabricant en matériel pour la restauration, la valeur de ce robot peut être modélisée à l'aide de la fonction $f$ précédemment étudiée. Plus précisément, pour $n$ entier, la valeur du robot en euros au 1\up{er} janvier de l'année $(2014 + n)$ est égale à $f(n)$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la valeur du robot au 1\up{er} janvier 2017.
La  valeur du robot au 1\up{er} janvier 2017 est $f(3) = 120\text{e}^{-0,17 \times 3} = 120 \text{e}^{-0,51} \approx 72,595$ soit 72,60~\euro au centime près.
\item %Calculer, en pourcentage, le taux d'évolution de la valeur du robot entre le 1\up{er} janvier 2014 et le 1\up{er} janvier 2017.
Le taux d'évolution de la valeur du robot entre le 1\up{er} janvier 2014 et le 1\up{er} janvier 2017 est égal à :

$\dfrac{f(3) - (f(0)}{f(0)} = \dfrac{72,6 - 120}{120} \dfrac{- 47,4}{120} = - 0,395$, soit $- 39,5$\,\%.
\item %Peut-on affirmer que \og le 1\up{er} janvier 2020, le robot aura perdu environ 80\,\% de sa valeur initiale \fg{} ?
La valeur en 2020 sera égale à $f(6) = 120 \text{e}^{-0,17 \times 6} = 120 \text{e}^{-1,02} \approx 43,27$.

Une perte de 80\,\%, conduit à 20\,\% du prix initial, soit $0,20 \times 120 = 24$.

Donc le 1\up{er} janvier 2020, le robot n'aura pas perdu 80\,\% de sa valeur initiale.
%Justifier la réponse.
\item %À l'aide des résultats de la partie A, préciser à partir de quelle année la valeur du robot sera, au 1\up{er} janvier, en dessous de 30 euros.
On a $f(0) = 120$, donc d'après les résultats de la partie A, la première année correspond au plus petit entier élément de l'ensemble des nombres solutions de $f(x) \leqslant 30$. Ce plus petit naturel est 9 qui correspond à l'année 2023 (2014 + 9).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%La directrice d'un hôtel restaurant situé dans la baie du Mont-Saint-Michel organise un évènement
%promotionnel afin de faire connaître son établissement. Durant une semaine, elle souhaite que le même
%message publicitaire soit diffusé plusieurs fois sur les deux radios locales entre l7~h et 19~h afin d'atteindre les personnes rentrant du travail.
%
%Elle se renseigne donc sur les tarifs proposés par ces deux radios locales :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Normand'FM demande 60~euros pour chaque diffusion du message.
%\item[$\bullet~~$] Bret'FM, plus écoutée, réclame 150~euros pour chaque diffusion du message.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%La directrice dispose, pour cette semaine de campagne publicitaire, d'un budget de \np{2400}~euros. Elle
%souhaite que, sur cette période, le message soit diffusé au moins vingt fois.
%
%Elle souhaite également que le nombre des messages diffusés sur Bret'FM soit supérieur ou égal à celui des messages diffusés sur Normand'FM.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Notons $x$ le nombre de messages diffusés sur Normand'FM et $y$ le nombre de messages diffusés sur Bret'FM durant cette semaine. On admet que $x$ et $y$ sont des entiers positifs qui satisfont le système d'inéquations suivant :

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
y &\geqslant & x\\
x + y &\geqslant & 20\\
60x + 150y &\leqslant & \np{2400}
\end{array}\right.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer ce que traduit chacune des trois inégalités précédentes à l'aide des informations données dans l'énoncé.
$y \geqslant x$ : le nombre des messages diffusés sur Bret'FM est supérieur ou égal à celui des messages diffusés sur Normand'FM ;

$x + y \geqslant  20$ : le nombre de messages doit être au moins de 20 ;

$60x + 150y \leqslant  \np{2400}$ : la dépense est au maximum de \np{2400}~euros.
		\item %Vérifier que ce système peut s'écrire également : 
On a $x + y \geqslant  20 \iff y \geqslant 20 - x$ ;

$60x + 150y \leqslant  \np{2400} \iff 150y \leqslant  \np{2400} - 60x \iff y \leqslant \dfrac{\np{2400}} - \dfrac{60}{150} \iff y \leqslant 16 - 0,4x$. On peut donc écrire 

\[(S)\quad \left\{\begin{array}{l c l}
y &\geqslant & x\\
y &\geqslant & 20 - x\\
y &\leqslant &16 - 0,4x
\end{array}\right.\]		

	\end{enumerate}
\item  %La droite $D_3$ d'équation : $y = 16 - 0,4x$ est déjà représentée dans le repère orthogonal donné en annexe 2 (à rendre avec la copie).
	
%Dans ce même repère, tracer la droite $D_1$ d'équation $y = x$ et la droite $D_2$ d'équation $y = 20 - x$.
La droite d'équation $y = 20 - x$ contient les points (0~;~20) et (20~;~0).
\item %Hachurer les parties du plan comportant les points dont les coordonnées $(x~;~y)$ \textbf{ne sont pas solutions} du système (S).
Voir plus bas.
\item %Déterminer par lecture graphique les huit couples d'entiers positifs solutions du système $(S)$.
Les huit couples de coordonnées de points du triangle autorisé sont : 

(7~;~13), (8~;~12), (9~;~11), (9~;~12), (10~;~10), (10~;~11), (10~;~12), (11~;~11).
\item %On estime que, pendant la semaine de diffusion, le nombre d'auditeurs entre l7~h et 19~h sera de \np{21500} sur Normand'FM et de \np{35000} sur Bret'FM.
	\begin{enumerate}
		\item %Lorsque 8 messages sont diffusés sur Normand'FM et 12 sur Bret'FM, calculer le nombre total d'écoutes du message publicitaire durant la semaine.
Le nombre d'écoutes entre 17 et 19~h est chaque jour égal à :
		
$\np{21500} \times 8 + \np{35000}\times 12 = \np{172000} + \np{420000} = \np{592000}$.
		\item %Parmi l'ensemble des possibilités offertes à la directrice, solutions du système $(S)$, laquelle peut-on lui conseiller afin d'assurer un nombre maximal d'écoutes du message publicitaire ? Expliciter la démarche mise en œuvre.
Comme Bret'FM est la station la plus écoutée, il faut choisir un couple avec la seconde coordonnée la plus grande, la somme des coordonnées étant la plus grande, donc le couple  (10~;~12) qui donne :

$\np{21500} \times 10 + \np{35000}\times 12 = \np{215000} + \np{420000} = \np{635000}$ 
écoutes.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
 
\textbf{\large Annexe 1 à rendre avec la copie}
 
\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(10.5,125)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,120)}
\multido{\n=0+10}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(10.5,125)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,0)(10.5,125)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{2.71828 0.17 x mul neg exp 120 mul}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt,linecolor=red,ArrowInside=->](0,30)(8.155,30)(8.155,0)
\uput[ur](8.155,0){\red 8,2}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage
\begin{landscape}
\begin{center}
 
\textbf{\large Annexe 2 à rendre avec la copie}
 
%\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 2}

\smallskip

\psset{xunit=0.88cm,yunit=0.44cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(21,21)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,21)}
\multido{\n=0+1}{22}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(21,21)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(21,21)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{16 0.4 x mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{20 x  sub}
\uput[d](19.5,8.2){$D_3$}\uput[u](20.8,0){$x$}\uput[r](0,20.5){$y$}
\uput[d](20,20){$D_1$}\uput[u](19.5,0.5){$D_2$}
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(20,20)(20,0)
\pspolygon[fillstyle=hlines](0,0)(0,20)(20,0)
\pspolygon[fillstyle=vlines,hatchangle=0,hatchcolor=blue](0,21)(20,21)(20,8)(0,16)
\psdots[linecolor=green](7,13)(8,12)(9,11)(9,12)(10,10)(10,11)(10,12)(11,11)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}