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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat technologique Hôtellerie},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 septembre 2010}}
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\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie ~\decofourright\\Métropole 16 septembre 2010}}

\vspace{0,25cm}
 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

%\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Monsieur RENAN, traiteur, souhaite lancer un nouveau produit. Une société a effectué une enquête auprès de clients potentiels pour fixer le prix de vente de ce produit.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Prix $x_{i}$ en euros				&20	& 22&24&26&28&30\\ \hline% 
%Nombre $n_{i}$ de clients intéressés&180&135&74&45&25&18\\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Compléter sur la feuille annexe le tableau reproduit ci-dessous (les résultats seront arrondis à 0,1 près).
Voir à la fin.
		
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Prix $x_{i}$ en euros				&20	&22	&24	&26	&28&30\\ \hline% 
%Nombre $n_{i}$ de clients intéressés&180&135&74	&45	&25&18\\ \hline% 
%$y_{i} = \ln n_{i}$					&5,2&	&	&	&	&\\ \hline%
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
		\item  ~%Représenter sur une feuille de papier millimétré le nuage de points correspondant aux points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal :

%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{description}
%\item[ ] sur l'axe des abscisses 1~cm représente 1~\euro, on commencera la graduation à $20$, 
%\item[ ] sur l'axe des ordonnées 5~cm représentent la valeur 1, on commencera la graduation à 2.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(10.1,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(10,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=20]{->}(0,0)(0,0)(10,5.5)
\psdots(0,5.2)(2,4.9)(4,4.3)(6,3.8)(8,3.2)(10,2.9)
\psdots[linecolor=red](2,4.8)(8,3.3)
\uput[d](2,4.8){\red $G_1$}\uput[u](8,3.3){\red $G_2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{10.3 x 20 add 0.25 mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item %On note $G_{1}$ le point moyen correspondant aux trois premiers points du nuage de la question 1. b. et $G_{2}$ celui correspondant aux trois derniers points de ce même nuage. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées des points $G_{1}$ et $G_{2}$.
On a $x_{G_1} = \dfrac{20 + 22 + 24}{3} = 22$ et  $y_{G_1} = \dfrac{5,2 + 4,9 + 4,3}{3} = 4,8$.

$x_{G_2} = \dfrac{26 + 28 + 30}{3} = 28$ et $y_{G_2} = \dfrac{3,8 + 3,2 + 2,9}{3} = 3,3$.
		\item %Placer les points $G_{1}$ et $G_{2}$ sur le graphique et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$.
Voir ci-dessus
	\end{enumerate} 
\item %Montrer qu'une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est : $y = -0,25x + 10,3$.
Une équation de la droite  $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est : $y = ax + b$.

On écrit que $G_1$ et $G_2$ appartiennent à cette droite ; leurs coordonnées vérifient l'équation, d'où le système :

$\left\{\begin{array}{l c r}
4,8 &=& 22a + b\\
3,3&=&28a + b
\end{array}\right. \Rightarrow$ (par différence) $- 1,5 = 6a \iff a = -0,25$ et en remplaçant par exemple dans la première équation :

$4,8 = 22 \times (- 0,25) + b \iff b = 4,8 + 5,5 = 10,3$.

Une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est : $y = -0,25x + 10,3$.
\item %Au vu de cette étude, monsieur RENAN pense dans un premier temps proposer son produit à 23~\euro. Si l'on admet que la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ constitue un bon ajustement de $y$ en fonction de $x$, déterminer le nombre d'acheteurs potentiels qu'il peut espérer.
En utilisant l'ajustement de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ on obtient avec $x = 23$, 

$y = - 0,25 \times 23 + 10,3 = - 5,75 + 10,3 = 4,55$.

Or $y = \ln n \iff n = \text{e}^y$, soit $n =  \text{e}^{4,55} \approx 94,6$, soit environ 95 acheteurs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%Monsieur RENAN s'intéresse maintenant au coût unitaire de production, en euros, de plateaux de canapés salés ainsi qu'au bénéfice réalisé pendant une semaine.
%
%\medskip
% 
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
%
%\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%La courbe donnée sur la feuille annexe représente le coût unitaire de production $f(x)$, en euros, en fonction du nombre $x$ de plateaux réalisés, $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100].
% 
%On fera apparaître sur le graphique de la feuille annexe les traits de construction nécessaires aux lectures des questions suivantes.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer graphiquement le coût unitaire de production en euros lorsque monsieur RENAN réalise 80~plateaux.
Voir la figure : on voit que pour 80 plateaux le coût unitaire de production est un peu inférieur à 30. 
\item %Déterminer graphiquement la quantité de plateaux nécessaire pour que le coût unitaire soit minimal.
Voir la figure : on voit que le coût minimal unitaire (20) soit obtenu pour une production de $50$ plateaux.
 
%Quel est alors en euros le coût total de cette production ?
Le coût total de cette production est alors égal à $50 \times 20 = \np{1000}$~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On admet que $f$ est définie pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~100] par 

\[f(x) = 0,01x^2 - x + 45.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le coût de production de $x$ plateaux, $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100] est :
$x$ plateaux au coût unitaire de $0,01x^2 - x + 45$ coûtent $x\left(0,01x^2 - x + 45\right) =  0,01x^3 - x^2 + 45x.$
%\[C(x) = 0,01x^3 - x^2 + 45x.\]
 
\item %Chaque plateau étant vendu 45~\euro, justifier que le bénéfice réalisé lorsque monsieur RENAN vend $x$ plateaux, $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100] est donné en euros par:
 
%\[B(x) = -0,01x^3 + x^2.\]
Le bénéfice est la différence entre la recette $45x$ et le coût $0,01x^3 - x^2 + 45x$, soit :

$B(x) = 45x - \left(0,01x^3 - x^2 + 45x \right)  = 45x - 0,01x^3 + x^2 - 45x = - 0,01x^3 + x^2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %$B'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $B$, montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~100] : $B'(x) = x(2 - 0,03x)$. 
Sur l'intervalle [0~;~100] : $B'(x) = 3 \times (- 0,01x^2 + 2x = - 0,03x^2 + 2x = x(2 - 0,03x)$.
		\item  %Étudier le signe de $B'(x)$ pour tout $x$ élément de [0~;~100].
Le signe de $B'(x)$ est celui de $2 - 0,03x$, donc :

$\bullet~~$$2 - 0,03x > 0 \iff 2 > 0,03x \iff \dfrac{2}{0,03} > x \iff x < \dfrac{200}{3} \approx 66,66$. Donc $B'(x) > 0$ sur  $\left[0~;~\frac{200}{3} \right]$ ;

$\bullet~~$$2 - 0,03x < 0 \iff 2 < 0,03x \iff \dfrac{2}{0,03} < x \iff x > \dfrac{200}{3} \approx 66,66$. Donc $B'(x) < 0$ sur  $\left[\frac{200}{3}~;~100 \right]$ ;

$\bullet~~$$2 - 0,03x = 0 \iff 2 = 0,03x \iff \dfrac{2}{0,03} = x \iff x = \dfrac{200}{3} \approx 66,66$. Donc $B'\left(\frac{200}{3}\right) = 0$ ;
		\item  %Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur [0~;~100].
		De la question précédente on déduit que la fonction $B$ est croissante sur $\left[0~;~\frac{200}{3} \right]$ de $B(0) = 0$ à $B\left(\frac{200}{3}\right) = \left(\frac{200}{3}\right)^2 - 0,01\left(\frac{200}{3}\right)^3 \approx \np{1481,48}$, puis décroissante de \np{1481,48} à $B(100) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item %Déduire de la question précédente le nombre de plateaux que monsieur RENAN doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal. Quelle est la valeur de ce bénéfice à un euro près ?
Le bénéfice est maximal quand la dérivée s'annule soit pour $x = \frac{200}{3}$.

Or $B(66) = \np{1481,04}$ et $B(67) = \np{1481,37}$.

Le bénéfice est maximal pour une production de 67 plateaux. 

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie de mathématiques}\end{center}

\bigskip
 
\textbf{EXERCICE \No 1 question 1. a.}
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Prix $x_{i}$ en euros				&20		&22		&24		&26		&28		&30\\ \hline% 
Nombre $n_{i}$ de clients intéressés&180	&135	&74		&45		&25		&18\\ \hline% 
$y_{i} = \ln n_{i}$					&5,2	&4,9	&4,3	&3,8	&3,2	&2,9\\ \hline%
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE \No 2 partie A, questions 1. et 2.}

\bigskip

\psset{unit=0.12cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-5)(105,60)
\multido{\n=0+5}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,60)}
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(100,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(105,60)
\uput[d](105,0){$x$}\uput[l](0,60){$y$}
\uput[r](0,62){Coût unitaire de production}\uput[dr](90,36){\blue $y = f(x)$}
\uput[u](91,0){Nombre de plateaux}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{100}{0.01 x  dup mul mul x sub 45  add}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=red,ArrowInside=->](80,0)(80,29)(0,29)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,linecolor=red,ArrowInside=->](0,20)(50,20)(50,0)
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}