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%Tapuscrit : Denis Vergés
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{9 septembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat de technicien hôtellerie~\decofourright\\Métropole--La Réunion 9 septembre 2015}}

%\vspace{0,25cm}
% 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%Des élèves d'une classe de terminale ont fait une étude statistique sur \np{1600} habitants d'une ville et leur ont posé la question suivante: \og Dans quel type de restaurant préférez-vous déjeuner? \fg
%
%Trois réponses leur étaient proposées : 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item \og dans un restaurant gastronomique \fg
%\item \og dans la restauration rapide \fg
%\item \og dans une brasserie \fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On a relevé les données suivantes :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item \np{1200} habitants interrogés sont âgés de 30 ans ou plus.
%\item 45\,\% des habitants interrogés ont répondu \og dans la restauration rapide \fg.
%\item 120 habitants interrogés préfèrent déjeuner \og dans un restaurant gastronomique \fg.
%\item 25\,\% des habitants interrogés de moins de 30 ans préfèrent déjeuner \og dans une brasserie \fg.
%\item 80 habitants interrogés ayant 30 ans ou plus préfèrent déjeuner \og dans un restaurant
%gastronomique \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'aide des informations ci-dessus, compléter le tableau fourni en \textbf{annexe (à rendre avec la copie)}.
$\bullet~~$\np{1200} habitants ont plus de 30 ans, donc 400 ont 30 ans ou moins.

$\bullet~~$$0,45 \times \np{1600} = 720$ préfèrent la restauration rapide ;

$\bullet~~$$\np{1600} - 720 - 120 = 760$ préfèrent la brasserie ;

$\bullet~~$$0,25 \times 400 = 100$ habitants de moins de 30 ans préfèrent la brasserie.

\item %Les élèves de cette classe de terminale ont créé une fiche pour chacun des \np{1600} habitants interrogés, comportant son âge et sa préférence.

%On sélectionne une fiche au hasard, chaque fiche ayant la même probabilité d'être choisie.
%
%Déterminer les probabilités des évènements suivants :

$p(G) = \dfrac{120}{\np{1600}} = \dfrac{12}{160} = \dfrac{3}{40} = 0,075$ ;

$p(M) = \dfrac{300}{\np{1600}} = \dfrac{3}{16} = \np{0,1875}$ ;

$p(A) = \dfrac{40}{\np{1600}} = \dfrac{1}{40} = 0,025$.
\item %Définir par une phrase les évènements $\overline{M}$ et $G \cup M$ puis calculer leur probabilité.

$\overline{M}$ : \og la fiche est celle d'un habitant de plus de 30 ans\fg.

$p\left(\overline{M} \right) = \dfrac{\np{1200}}{\np{1600}} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4} = 0,75$.

$G \cup M$ : \og la fiche est celle d'un habitant préférant le restaurant gastronomique ou ayant moins de 30 ans \fg.

$p(G \cup M) = p(G) + p(M) - p(G \cap M) = \dfrac{120}{\np{1600}} + \dfrac{300}{\np{1600}} - \dfrac{40}{\np{1600}} = \dfrac{440}{\np{1600}} = \dfrac{44}{160} = \dfrac{11}{40} = 0,275$.
\item %\textbf{On choisit une fiche correspondant à un habitant interrogé ayant 30 ans ou plus}.

%On admet que chacune de ces fiches a la même probabilité d'être prélevée.

%Calculer la probabilité $p$ de l'évènement suivant :
%\og La fiche est celle d'un client préférant déjeuner dans un restaurant gastronomique \fg.
Sur les \np{1200} habitants ayant 30 ans ou plus, 80 préfère un restaurant gastronomique. La probabilité de l'évènement est donc égale à $\dfrac{80}{\np{1200}} = \dfrac{8}{120} = \dfrac{1}{15}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 12 points}

\medskip

%Un restaurateur effectue une étude de marché dans une ville dans l'intention d'installer un
%établissement proposant le soir un \og grand buffet à volonté \fg. Selon la nature des mets proposés dans ce buffet il envisage de fixer des tarifs allant de 15 à 35 euros. Son objectif est de fixer un tarif qui lui permettra de réaliser un bénéfice maximal lors de ce service.
%
%À l'issue de cette étude, il dispose du tableau ci-dessous qui lui donne le nombre de couverts
%potentiels pour le service du soir en fonction du tarif qu'il aura proposé.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Tarif (en \euro) : $x_i$	& 15 &17 &20 &22,5	& 25 &30 &35\\ \hline
%Nombre de couverts : $y_i$	& 500&350&270&190	&140 &75 &50\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Représenter graphiquement dans le repère fourni en annexe (à rendre avec la copie) le nuage de points associé à cette série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$.
Voir l'annexe à la fin.
\item %Compte tenu de l'allure de ce nuage, on choisit de réaliser un ajustement de cette série par la courbe $C$ représentée dans le même repère, où $C$ est la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [15~;~35] par : 

\[f(x) = \np{2639}\text{e}^{- 0,116x}.\]

%On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [15~;~35] et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [15~;~35].
Sur l'intervalle [15~;~35], \: $f'(x) = - 0,116 \times \np{2639}\text{e}^{- 0,116x} = - 306,124\text{e}^{- 0,116x}$.
		\item %On remarque sur le graphique que la fonction est décroissante sur l'intervalle [15~;~ 35].
		
%Le prouver par le calcul.
On sait que, que soit le réel $x$, \: $\text{e}^{- 0,116x} > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $- 306,124$, donc $f'(x) < 0$ sur l'intervalle [15~;~35], donc $f$ est décroissante sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On admet que la fonction $f$ permet de modéliser le nombre de couverts pour le service du soir en
%fonction du tarif, noté $x$, fixé par le restaurateur ($x$ appartenant à l'intervalle [15~;~35]).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le restaurateur estime que, si moins de 100 couverts sont servis, son restaurant ne sera pas
rentable.

%Par lecture graphique, indiquer le prix maximum que le restaurateur doit fixer pour son buffet pour assurer la rentabilité de son restaurant.

%\emph{On laissera apparents les traits de construction}.
On constate 100 couverts correspondent à un peu plus de 28~euros. Le prix maximum pour avoir un minimum de 100 couverts est donc 28~\euro.
\item  %Pour ce grand buffet, le \textbf{prix de revient} de chaque couvert est de 12~\euro.

%\textbf{On rappelle qu'une estimation du nombre de couverts pour un service du soir est donnée
%par l'expression : \boldmath $\np{2639}\text{e}^{- 0,116x}$ \unboldmath, lorsque le tarif est fixé à \boldmath $x$ \unboldmath\euro} .
	\begin{enumerate}
		\item %Dans cette question, le tarif est fixé à 24~\euro.
		
%En indiquant les calculs, expliquer pourquoi:
		
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item %le nombre de couverts est estimé à $163$ ;
On a $f(24) = \np{2639}\text{e}^{- 0,116\times 24} = \np{2639}\text{e}^{- 2,784} \approx 163,166$ soit à peu près 163~couverts.
\item %le prix de revient d'un service du soir est d'environ \np{1956}~\euro ;
On a $163 \times 12 = \np{1956}$~(\euro).
\item %le chiffre d'affaires réalisé au cours du service du soir est d'environ \np{3912}~\euro.
Le chiffre d'affaires est égal à $163 \times 24 = \np{3912}$~(\euro).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		\item %Le tarif étant maintenant fixé à $x$~\euro, exprimer en fonction de $x$ :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item %le prix de revient $R(x)$ d'un service du soir ;
Le prix de revient est $R(x) = 12 \times \np{2639}\text{e}^{- 0,116x} = \np{31668}\text{e}^{- 0,116x}$.
\item %le chiffre d'affaires $C(x)$ réalisé au cours du service du soir ;
Le chiffre d'affaires $C(x)$ réalisé au cours du service du soir est $C(x) = x \times \np{2639}\text{e}^{- 0,116x} = \np{2639}x\text{e}^{- 0,116x}$.
\item %le bénéfice réalisé au cours du service du soir.
Le bénéfice réalisé au cours du service du soir est donc égal à :

$C(x) - R(x) = \np{2639}x\text{e}^{- 0,116x} - \np{31668}\text{e}^{- 0,116x} = \text{e}^{- 0,116x}(\np{2639}x - \np{31668})$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 	\end{enumerate}
\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation}
	
\medskip

%On admet que le bénéfice d'un service du soir est donné par la fonction $B$ définie pour tout $x$ de l'intervalle [15~;~35] par : 

\[B(x) = \np{2639}(x - 12)\text{e}^{- 0,116x}.\]

%On admet également que la fonction $B$ est dérivable sur l'intervalle [15~;~35] et que sa fonction
%dérivée $B'$ est définie par : 

$B'(x) = \np{2639}(2,392 - 0,116x)\text{e}^{- 0,116x}$.

%Quel tarif le restaurateur doit-il fixer pour réaliser un bénéfice maximum lors du service du soir ? Présenter une réponse argumentée.

Cherchons le signe de $B'(x)$. Comme quel que soit $x \in [15~;~35]$, \:

 $\text{e}^{- 0,116x} > 0$, le signe de $B'(x)$ est celui de $2,392 - 0,116x$.

$\bullet~~$ $2,392 - 0,116x > 0 \iff 2,392 > 0,116x \iff \dfrac{2,392}{0,116} > x$. Donc la fonction est croissante sur $\left[15~;~\dfrac{2,392}{0,116} \right]$ ;

$\bullet~~$ $2,392 - 0,116x < 0 \iff 2,392 < 0,116x \iff \dfrac{2,392}{0,116} < x$. Donc la fonction est décroissante sur $\left[\dfrac{2,392}{0,116}~;~35\right]$ ;

$\bullet~~$ $2,392 - 0,116x = 0 \iff 2,392 = 0,116x \iff \dfrac{2,392}{0,116} = x$.

$f\left(\frac{2,392}{0,116} \right) \approx \np{2080,41}$ est le maximum de la fonction.

Or $\dfrac{2,392}{0,116} \approx 20,62$

Si le restaurateur fixe un prix entier avec $x = 20$, il réalisera un bénéfice de $\np{2074,75}$~\euro{} et s'il le fixe à $x = 21$, il réalisera un bénéfice de $\np{2078,45}$~\euro{}.

Il a donc intérêt à le fixer à 21~\euro.

S'il fixe le prix à 20,50~\euro{} le bénéfice sera de \np{2080,20}~\euro.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

{\large \textbf{Annexe à rendre avec la copie}}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 1 :} tableau à compléter

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}m{2.25cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
Habitants interrogés	&Restaurant gastronomique	&Restauration rapide&Brasserie	& Total
\\ \hline
Moins de 30 ans			&40							&260				&100			&400\\ \hline
30 ans ou plus			&80							&460				&660			&\np{1200}\\ \hline
Total					&120						&720				&760			& \np{1600}
\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 2 :} nuage de points et courbe de la fonction $f$

\vspace{1cm}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.02cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-1,-25)(22,550)
\multido{\n=0+1}{23}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,525)}
\multido{\n=0+25}{22}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.25pt](0,\n)(22,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=14,Dy=25]{->}(0,0)(-0.5,-24)(22,550)
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\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{22}{2639 2.71828 x 14 add 0.116  mul exp div}
\psdots(1,500)(3,350)(6,270)(8.5,190)(11,140)(16,75)(21,50)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt,linecolor=red,ArrowInside=->](0,100)(14.1,100)(14.1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}