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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2 - corrigé}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, Maroc}}
\rfoot{\small{21 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole\footnote{Antilles-Guyane, Maroc} 21 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
%Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.}
%
%\bigskip

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux \og mondes \fg : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.

Lorsqu'il joue une partie, on admet que:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac25$ ;
\item[$\bullet~~$] si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu'il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.
\end{itemize}

On considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og Le joueur choisit le monde A \fg{}; 
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og Le joueur choisit le monde B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $G$ : \og Le joueur gagne la partie \fg.
\end{itemize}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
On sait donc que $P(A)=\dfrac{2}{5}$, $P_{A}(G)=\dfrac{7}{10}$ et $P(G)=\dfrac{12}{25}$.
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{7}{10}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{25}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{7}{25}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{24}{125}$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$P(A\cap G)=P(A)\times P_{A}(G)=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{10}=\dfrac{7}{25}$
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\item La probabilité $P_B(G)$ de l'événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{7}{15}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{5}{12}$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$

D'après la formule des probabilités totales:
$P(G)=P(A\cap G)+P(B\cap G)$ donc $P(B\cap G)=P(G)-P(A\cap G)=\dfrac{12}{25}-\dfrac{7}{25}=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}$.

$P_{B}(G) = \dfrac{P(B\cap G)}{P(B)}
=\dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{3}$
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, un joueur effectue 10 parties successives. 
On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. 
On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de succès sur 10 parties; la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{12}{25}$.
\end{tabular}

\begin{enumerate}[resume]
\item La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $0,859$&\textbf{b.~~}0,671&\textbf{c.~~}0,188&\textbf{d.~~}  0,187
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$P(X=6)=\ds\binom{10}{6}\times \left ( \dfrac{12}{25}\right )^{6}\times \left (1-\dfrac{12}{25}\right )^{10-6} \approx 0,188$
\hfill\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\item On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $n = 2$&\textbf{b.~~} $n = 3$&\textbf{c.~~} $n = 4$&\textbf{d.~~} $n = 5$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
On cherche $n$ tel que $P(X\leqslant n) \approx 0,207$; à la calculatrice, on trouve $n=3$.
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\item La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $1 - \left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$&\textbf{b.~~} $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$&\textbf{c.~~} $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$&\textbf{d.~~}$1 - \left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$P(X\geqslant 1) = 1-P(X=0) = 1-\ds\binom{10}{0}\left (\dfrac{12}{25}\right )^{0}\left (1-\dfrac{12}{25}\right )^{10-0}=1-\left (\dfrac{13}{25}\right )^{10}$
\hfill\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Des biologistes étudient l'évolution d'une population d'insectes dans un jardin botanique. 

Au début de l'étude la population est de \np{100000}~insectes.

Pour préserver l'équilibre du milieu naturel le nombre d'insectes ne doit pas dépasser \np{400000}.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'un premier modèle en laboratoire}

\medskip

L'observation de l'évolution de ces populations d'insectes en laboratoire, en l'absence de tout prédateur, montre que le nombre d'insectes augmente de 60\,\% chaque mois.

En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l'évolution de la population d'insectes à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. 
On a donc $u_0 = 0,1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que pour tout entier naturel $n$: $u_n = 0,1 \times 1,6^n$.
Augmenter de 60\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{60}{100}=1,6$.
La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,6$.

La forme explicite d'une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ est: $u_n=u_0\times q^n$ donc $u_n = 0,1 \times 1,6^n$ pour tout $n$ de $\N$.

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$1,6>1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 1,6^n = +\infty$

On en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,1\times 1,6^n = +\infty$ et donc que $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n = +\infty$.

\item On résout l'inéquation $u_n > 0,4$.

$u_n>0,4
\iff
0,1\times 1,6^n >0,4
\iff
1,6^n >4
\iff
\ln\left (1,6^n\right ) > \ln(4)
\iff
n\times \ln(1,6)>\ln(4)\\
\phantom{u_n>0,4}
\iff
n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)}$

Or $\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)}\approx 2,95$, donc le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$ est 3.

\item %Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
$u_3>0,4$ signifie que le nombre d'insectes dépasse \np{400000} dès le 3\ieme{} mois; selon ce modèle le milieu naturel n'est donc pas préservé.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'un second modèle}

\medskip

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d'insectes à l'aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par :
$v_0 = 0,1$  et, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = 1,6v_n - 1,6v_n^2$,
où, pour tout entier naturel $n,\: v_n$ est le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $v_1=1,6v_0 - 1,6 v_0^2 = 1,6\times 0,1 - 1,6\times 0,1^2 = 0,144$.

Le nombre d'insectes au bout d'un mois est donc égal à \np{144000}.

\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$ par
$f(x) = 1,6x - 1,6x^2$.

	\begin{enumerate}
		\item On résout l'équation $f(x) = x$.

$f(x)=x
\iff
1,6x-1,6x^2=x
\iff
0,6x - 1,6x^2=0
\iff
x\left (0,6-1,6x\right )=0\\
\phantom{f(x)=x}
\iff
x=0 \text{ ou }	0,6-1,6x=0
\iff
x=0 \text{ ou } x=\dfrac{0,6}{1,6}
\iff
x=0 \text{ ou } x=\dfrac{3}{8}$

Les deux solutions appartiennent à l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$, donc l'équation $f(x)=x$ admet deux solutions dans cet intervalle: 0 et $\dfrac{3}{8}$.
		
		\item %Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$.
$f'(x)=1,6\times 1 - 1,6\times 2x = 1,6\left (1-2x\right )$

$x\in\left[0~;~\dfrac12\right]$ donc $x\leqslant \dfrac{1}{2}$ et donc $1-2x\geqslant 0$.

Sur $\left[0~;~\dfrac12\right]$, $f'(x)\geqslant 0$ donc $f$ est croissante.
			\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On va montrer par récurrence que la propriété $n$, $0 \leqslant v_n  \leqslant  v_{n+1} \leqslant  \dfrac12$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
		
\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

$v_0=0,1$ et on a vu que $v_1= 0,144$; on a donc $0 \leqslant v_0 \leqslant v_1 \leqslant \dfrac{1}{2}$.

La propriété est donc vraie au rang 0.
\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n$, c'est-à-dire $0 \leqslant v_n  \leqslant  v_{n+1} \leqslant  \dfrac12$; c'est l'hypothèse de récurrence.

On a: $0 \leqslant v_n  \leqslant  v_{n+1} \leqslant  \dfrac12$ et on sait que la fonction $f$ est croissante sur $\left[0~;~\dfrac12\right]$; on en déduit que:
$f(0) \leqslant f(v_n)  \leqslant  f(v_{n+1}) \leqslant  f\left (\dfrac12\right )$.

$f(0)=0$; $f(v_n)=v_{n+1}$; $f(v_{n+1})=v_{n+2}$ et $f\left (\dfrac{1}{2}\right )=1,6\times \dfrac{1}{2}-1,6\times \left (\dfrac{1}{2}\right )2=0,4$

Donc $f(0) \leqslant f(v_n)  \leqslant  f(v_{n+1}) \leqslant  f\left (\dfrac12\right )$ équivaut à $0 \leqslant f(v_{n+1}) \leqslant f(v_{n+2}) \leqslant  0,4$
ce qui entraine $0 \leqslant f(v_{n+1})  \leqslant  f(v_{n+2}) \leqslant  \dfrac{1}{2}$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire pour tout $n$; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n$.
\end{list}

On a donc démontré que, pour tout $n$, on a: $0 \leqslant v_n  \leqslant  v_{n+1} \leqslant  \dfrac12$.
		
		\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.
\begin{list}{\textbullet}{On sait que:}
\item $v_n \leqslant v_{n+1}$ pour tout $n$, donc la suite $(v_n)$ est croissante;
\item $v_n\leqslant \dfrac{1}{2}$ pour tout $n$, donc la suite $(v_n)$ est majorée par $\dfrac{1}{2}$.
\end{list}		

La suite $(v_n)$ est croissante et majorée donc, d'après le théorème de la convergence monotone, on peut dire que la suite $(v_n)$ est convergente.

On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.

		\item %Déterminer la valeur de $\ell$. 
La suite $(v_n)$ est croissante et admet pour limite $\ell$; donc pour tout $n$, on aura $v_n \leqslant \ell$. En particulier $v_1\leqslant \ell$ donc $\ell\geqslant 0,1$.

La limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$ donc c'est soit $0$, soit $\dfrac{3}{8}$. Mais $\ell\geqslant 0,1$ donc $\ell$ ne peut être égale à 0.
Donc $\ell=\dfrac{3}{8}=0,375$.		
		
Pour tout $n$, on aura $v_n\leqslant \ell$, donc $v_n \leqslant 0,375$; il y aura donc toujours moins de \np{375000} insectes. Donc, selon ce modèle,  l'équilibre du milieu naturel sera préservé.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[resume]
\item  On donne ci-contre la fonction \texttt{seuil}, écrite en langage Python.

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
	\begin{enumerate}
		\item %Qu'observe-t-on si on saisit \texttt{seuil(8.4)} ?
La fonction \texttt{seuil(a)} donne la première (et plus petite) valeur de \texttt{n} telle que \texttt{v>=a}, c'est-à-dire telle que $v_n\geqslant a$.

On a vu que $v_n\leqslant 0,375$ pour tout $n$; il n'y	 a donc pas de valeur de $n$ pour laquelle $v_n\geqslant 0,4$. 

Le programme ne s'arrête jamais.
	\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
def seuil(a) :\\
\qquad v=0.1\\
\qquad n=0\\
\qquad while v<a :\\
\qquad \qquad v=1.6*v-1.6*v*v\\
\qquad \qquad n=n+1\\
\qquad return n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[resume]
		\item %Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de \texttt{seuil(0.35)}.
À la calculatrice, on trouve $v_5\approx 0,338 <0,35$ et $v_6\approx 0,358 \geqslant 0,35$; donc la valeur renvoyée par \texttt{seuil(0.35)} est 6.
		
%Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Cela signifie qu'à partir du 6\ieme{} mois, il y aura plus de \np{350000} insectes.
\end{enumerate}	

\end{enumerate}	

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2x + y - z +2 = 0$,
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point B(1~;~1~;~2) et dont un vecteur normal est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$.
\end{itemize}

%\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le vecteur $\vect{n_1}\;\begin{pmatrix} 2 \\1 \\ -1\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}_1$ d'équation $2x+y-z+2=0$.
		
		\item %On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan.
		
%Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires. 

$\vect{n_1}.\vect{n_2} = 2\times 1 + 1\times (-1) +(-1)\times 1 = 0$ donc $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ sont orthogonaux. 

On en déduit que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.
Le plan $\mathcal{P}_2$ a pour vecteur normal $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$, donc il a une équation cartésienne de la forme $x-y+z+d=0$ où $d$ est un réel à déterminer.

$\text{B} \in \mathcal{P}_2$ donc $x_{\text B}-y_{\text B}+z_{\text B}+d=0$, autrement dit $1 - 1 +2 +d=0$ donc $d=-2$.

Le plan $\mathcal{P}_2$ a donc pour équation cartésienne $x-y+z-2=0$.

		\item On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x&0\\y & -2 + t\\ z&\phantom{2+t}t
\end{array}\right.,\quad t \in  \R$.

On cherche l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\;;\;y\;;\;z)$ vérifiant le système:
$\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
2x+y-z +2 & 0\\
x - y + z - 2&0
\end{array}
\right .$.

$\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
2x+y-z +2 & 0\\
x - y + z - 2&0
\end{array}
\right .
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
2x+y & z-2\\
x - y &-z+2
\end{array}
\right .
\iff
\left \{
\begin{array}{l !{=} l}
3x&0\\
2x+y & z-2
\end{array}
\right .$

On aboutit donc à $x=0$, $y=z-2$ et $z$ quelconque égal à $t$.

Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ont donc pour intersection la droite de représentation paramétrique 
$\left \{
\begin{array}{l !{=} r l}
x & 0\phantom{+t}\\
y & -2+t & t\in\R\\
z & t
\end{array}
\right .$, c'est-à-dire la droite $\Delta$.

	\end{enumerate}
	\end{enumerate}
	
On considère le point A(1~;~1~;~1) et on admet que le point A n'appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.

On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite $\Delta$.

\begin{enumerate}[resume]
\item On rappelle que, d'après la question 2. b, la droite $\Delta$ est l'ensemble des points M$_t$ de coordonnées $(0~;~-2 + t~;~t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout réel $t$,\: AM$_t = \sqrt{2t^2 - 8t + 11}$.
		
$\text{AM}_t^2 = (0-1)^2 + (-2+t-1)^2 +(t-1)^2 = 1 + \left (9 -6t +t^2\right ) +\left (t^2 -2t +1\right ) = 2t^2 -8t +11$

Donc $\text{AM}_t = \ds\sqrt{2t^2-8t+11}$.
		
		\item %En déduire que AH $= \sqrt 3$.
Le point H est le projeté orthogonal de A sur la droite $\Delta$, donc la longueur AH  réalise le minimum des longueurs AM$_t$ où M$_t$ est un point de $\Delta$.

Il faut donc chercher le minimum de $ \ds\sqrt{2t^2-8t+11}$, donc le minimum de $2t^2-8t+11$.

D'après les propriétés de la fonction du second degré, le minimum de $f(x)=ax^2+bx+c$ quand $a>0$, est réalisé pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ et vaut $f\left (-\dfrac{b}{2a}\right )$.

Donc le minimum de $2t^2 - 8t + 11$ est réalisé pour $t=-\dfrac{-8}{2\times 2}=2$, et  vaut $2\times 2^2 -8\times 2 + 11 = 3$.

On en déduit que $\text{AH}=\ds\sqrt{3}$.
		
		
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point A et H$_1$ le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.
		
La droite $\mathcal{D}_1$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ donc le vecteur $\vect{n_1}$, normal au plan $\mathcal{P}_1$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}_1$. De plus la droite $\mathcal{D}_1$ passe par le point A. Elle a donc pour représentation paramétrique:

$\left \{
\begin{array}{l !{=} r l}
x & x_{\text A} + 2t\\
y & y_{\text A} +t & t\in \R\\
z & z_{\text A} -t
\end{array}
\right .$
c'est-à-dire
$\left \{
\begin{array}{l !{=} r l}
x & 1 + 2t\\
y & 1 +t & t\in \R\\
z & 1 -t
\end{array}
\right .$		
		
		\item %En déduire que le point H$_1$ a pour coordonnées $\left(- \dfrac13~;~\dfrac13~;~\dfrac53\right)$.
La droite $\mathcal{D}_1$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ donc le projeté orthogonal de A sur $\mathcal{P}_1$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}_1$ et de $\mathcal{P}_1$; ses coordonnées vérifient le système:

$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
x & 1 + 2t\\
y & 1 +t \\
z & 1 -t\\
2x +y-z+2 & 0
\end{array}
\right .$

Donc $t$ vérifie $2(1+2t) +(1+t) -(1-t) +2=0$, soit $2+4t+1+t-1+t+2=0$, ce qui donne $t=-\dfrac{2}{3}$.

$x=1+2t = 1-\dfrac{4}{3} =-\dfrac{1}{3}$, $y=1+t = 1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ et $z=1-t= 1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$

Le point H$_1$ a donc pour coordonnées $\left (-\dfrac{1}{3}\;;\; \dfrac{1}{3}\;;\;\dfrac{5}{3} \right )$.
		
	\end{enumerate}
\item Soit H$_2$ le projeté orthogonal de A sur le plan $\mathcal{P}_2$.

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%\begin{enumerate}[resume]
On admet que H$_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac43~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right)$
et que H a pour coordonnées (0~;~0~;~2). 

Sur le schéma ci-contre, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$
sont représentés, ainsi que les points A, H$_1$, H$_2$, H. 
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.4,8.6)
%\psgrid
\pspolygon(0,2.7)(5.5,0.5)(7.2,4.3)(1.7,6.5)
\psline(2.5,0)(2.5,4.7)(4.2,8.4)(4.2,5.3)
\psline(1.8,0)(3.1,2.7)
\psline[linestyle=dashed](3.1,2.7)(3.6,3.62)
\psline[linestyle=dashed](4.2,5.3)(4.2,1.1)
\psline(3.6,3.62)(5.6,8)
\psline(4.2,1.1)(3.7,0)
\pspolygon(3.1,2.7)(4.6,2.3)(4.6,3.4)(3.1,3.8)%HH2AH1
\uput[l](2,0.4){$\Delta$}\rput(0.4,2.8){$\mathcal{P}_2$}\rput(4,7.4){$\mathcal{P}_1$}
\uput[dl](3.1,2.7){H}\uput[dr](4.6,2.3){H$_2$}\uput[ur](4.6,3.4){A}\uput[ul](3.1,3.8){H$_1$}
\end{pspicture}
}
\end{minipage}

%Montrer que AH$_1$HH$_2$ est un rectangle.

Le vecteur $\vect{\text{AH}_1}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
-\frac{1}{3}-1 \\ \frac{1}{3}-1 \\ \frac{5}{3}-1
\end{pmatrix}$
=
$\begin{pmatrix}
-\frac{4}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3}
\end{pmatrix}$.

Le vecteur $\vect{\text{H}_2\text{H}}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix}
0- \frac{4}{3}\\ 0- \frac{2}{3} \\ 2- \frac{4}{3}
\end{pmatrix}$
=
$\begin{pmatrix}
-\frac{4}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3}
\end{pmatrix}$.

$\vect{\text{AH}_1} = \vect{\text{H}_2\text{H}}$ donc la quadrilatère AH$_1$HH$_2$ est un parallélogramme.

La droite (AH$_1$) est orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ et H$_1$  appartient à ce plan; donc (AH$_1$) est perpendiculaire à toutes les droites de $\mathcal{P}_1$ passant par H$_1$, en particulier la droite (HH$_1$).

Le parallélogramme AH$_1$HH$_2$  possède un angle droit donc c'est un rectangle.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)$,
où ln désigne la fonction logarithme népérien.
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. 
%
%La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=2.25cm,yunit=2.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-0.8)(2.4,2.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-0.8)(2.4,2.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-3}{2.4}{2.71828 x neg exp 1 add ln}
\psplotTangent[linestyle=dashed]{0}{4}{2.71828 x neg exp 1 add ln}
\psline[linestyle=dashed](-3,2.7)(3.4,-0.45)
\psdots(-2.2,2.3)(2.3,0.1)
\uput[u](-2.2,2.3){$M_a$}\uput[u](2.3,0.1){$N_a$}
\uput[dl](-1.6,1.8){\red $\mathcal{C}$}\uput[d](2.3,-0.43){$T_0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On détermine la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
		
$\ds\lim_{x\to -\infty} -x = +\infty$ et $\ds\lim_{X\to +\infty} \e^{X}=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$ et donc $\ds\lim_{x\to -\infty} 1+\e^{-x}=+\infty$.

$\ds\lim_{x\to -\infty} 1+\e^{-x}=+\infty$ et $\ds\lim_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\ds\lim_{x\to -\infty} \ln\left (1+\e^{-x}\right )=+\infty$.

Donc $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
		
		\item On détermine la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
		
$\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-x} = 0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} 1+\e^{-x} = 1$ .

$\ds\lim_{X\to 1} \ln(X)= \ln(1) = 0$ donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \ln\left (1+\e^{-x}\right ) = 0$.

Donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.

%Interpréter graphiquement ce résultat.

On en déduit que la droite d'équation $y=0$, c'est-à-dire l'axe des abscisses, est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.

		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

$f(x)$ est de la forme $\ln(u(x))$ avec $u(x)=1+\e^{-x}$.
Sa dérivée est de la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ donc

$f'(x)= \dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} =  \dfrac{-\e^{-x}\times \e^{x}}{\left (1+\e^{-x}\right )\times \e^{x}} = \dfrac{-1}{\e^{x}+1}=\dfrac{-1}{1+\e^{x}}$
		
%Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$,\: $f'(x) = \dfrac{-1}{1 + \text{e}^x}$.
		\item Pour tout réel $x$, on a $\e^{x}>0$ donc $f'(x)<0$.
		
On dresse le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & -\infty   & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{+\infty} &    &    \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

	\end{enumerate}	
\item On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.
	\begin{enumerate}
		\item La tangente $T_0$ a pour équation $y=f'(0)\left (x-0\right )+f(0)$.		

$f(0) = \ln\left (1+\e^{0}\right )=\ln(2)$ et $f'(0) = \dfrac{-1}{1+\e^{0}} = -\dfrac{1}{2}$

$T_0$ a donc pour équation: $y=-\dfrac{1}{2}x + \ln(2)$.
		
		\item %Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.
$f'(x)=\dfrac{-1}{1+\e^{x}}$ donc $f''(x)= \dfrac{0 - (-1)\times \e^{x}}{(1+\e^{x})^2}
= \dfrac{\e^{x}}{(1+\e^{x})^2}$

Pour tout réel $x$, $\e^{x}>0$ donc $f''(x)>0$. donc la fonction $f$ est convexe sur $\R$.		
				
		\item %En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a: $f(x) \geqslant  - \dfrac12x + \ln (2)$.
La fonction $f$ est convexe, donc  la courbe $\mathcal{C}$ est située au dessus de toutes ses tangentes, en particulier $T_0$.
Donc pour tout réel $x$, on a $f(x) \geqslant -\dfrac{1}{2} x + \ln(2)$.
		\end{enumerate}	
		
\item Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-a$ et $a$. 
On a donc : $M_a\left(-a~;~ f(-a)\right)$ et $N_a\left(a~;~ f(a)\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) - f(-x) = - x$.
$f(x)-f(-x)=\ln \left (1+\e^{-x}\right ) - \ln \left (1+\e^{x}\right )
= \ln \left ( \dfrac{1+\e^{-x}}{1+\e^{x}}\right )
= \ln \left ( \dfrac{\e^{-x}\left (\e^{x}+1\right )}{1+\e^{x}}\right )
= \ln \left (\e^{-x}\right )= -x$		
		
		\item% En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
La droite $\left(M_aN_a\right)$ a pour coefficient directeur:
$\dfrac{y_{N_a}-y_{M_a}}{x_{N_a}-x_{M_a}}
= \dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)}
= \dfrac{-a}{2a}=-\dfrac{1}{2}$

La droite $T_0$ a pour coefficient directeur $-\dfrac{1}{2}$.

Les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ ont le même coefficient directeur donc elles sont parallèles.
		

	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}