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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  S}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2007}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  
Métropole--La Réunion~\decofourright\\septembre 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances}

P est vraie : il suffit de reprendre la définition du nombre dérivé de la fonction $x^n$ en un point $x_{0}$. L'application du développement de $\left(x_{0} + h\right)^n$ par la formule du binôme permet de montrer que $f^{\prime}(x_{0}) = nx_{0}^{n-1}$.

Q est fausse : on a ici la dérivée d'une fonction composée et  $f^{\prime}(x) = n u^{\prime}u^{n-1}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Avec $h(x) = g(\cos x),~h^{\prime}(x) = (\cos x)^{\prime}g^{\prime}(\cos x) = - \sin x \times \dfrac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 x}} = \dfrac{- \sin x }{\sqrt{\sin^2 x}}$.
		
Comme $x \in ] - \pi~;~0[,~\sin x < 0$, donc $\sqrt{\sin^2 x} = - \sin x $.

Finalement $h^{\prime}(x) = \dfrac{- \sin x}{- \sin x} = 1$.
		\item $h^{\prime}(x) = 1$ implique $h(x) = x + k$, avec $k \in \R$.
		
$h\left(- \dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\cos\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)\right) = g(0) = 0$. Donc $0 = - \dfrac{\pi}{2} + k \iff k = \dfrac{\pi}{2}$.

Conclusion : sur $] -\pi~;~0[,~h(x) = x +  \dfrac{\pi}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 

\psset{unit=3.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2222)(3.2222,2.5555)
\multido{\d=0.0000+0.1111}{30}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](\d,0)(\d,2.5555)}
\multido{\d=0.0000+0.1111}{24}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](0,\d)(3.222,\d)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-0.2,-0.2222)(3.2222,2.5555)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[d](3.2,0){$x$} \uput[l](0,2.5){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](2,0){A} 
\psplot{-0.5}{3.2}{x 3 div 23 27 div add}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000]{0}{3}{x}\rput{45}(2,2.05){\red $y = x$}
\psline[linestyle=dashed,plotpoints=3000](2,0)(2,1.5185)(1.5185,1.5185)(1.5185,0)
\psline[linestyle=dashed](1.5185,1.358)(1.358,1.358)(1.358,0)
\psline[linestyle=dashed](1.358,1.3045)(1.3045,1.3045)(1.3045,0)
\uput[d](2,0){$u_{0}$} \uput[d](1.5185,0){$u_{1}$} \uput[d](1.358,0){$u_{2}$} \uput[d](1.3045,-0.1){$u_{3}$} 
\end{pspicture*}

\medskip
		\item Si la suite est convergente, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n+1} = \ell$.\\
La relation $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n} + \dfrac{23}{27}$ donne par passage \`a la limite $\ell = \dfrac{1}{3}\ell + \dfrac{23}{27} \iff  \dfrac{2}{3}\ell = \dfrac{23}{27}  \iff \ell = \dfrac{23}{18}.$
		\item Par récurrence :\\
\begin{itemize}
\item Initialisation : $u_{0} = 2 = \dfrac{36}{18} \geqslant  \dfrac{23}{18}$.
\item Hérédité : supposons que $u_{n} \geqslant \dfrac{23}{18}$ ; alors $\dfrac{1}{3}u_{n} \geqslant \dfrac{1}{3} \times \dfrac{23}{18}$ soit $\dfrac{1}{3}u_{n} \geqslant  \dfrac{23}{54}$. Puis $\dfrac{1}{3}u_{n} + \dfrac{23}{27} \geqslant  \dfrac{23}{54} + \dfrac{23}{27} \iff u_{n+1} \geqslant \dfrac{3 \times 23}{3 \times 18} \iff u_{n+1} \geqslant \dfrac{23}{18}.$\\
On a donc bien démontré que pour tout naturel $n,~u_{n} \geqslant \dfrac{23}{18}$.
\end{itemize}
		\item Monotonie : 

On la démontre par récurrence :

\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation}  : on a $u_{0} = 2$ et $u_{1} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{23}{27} = \dfrac{41}{27} < \dfrac{54}{27} = u_{0}$. Donc $u_{0}> u_{1}$. La relation est vraie au rang $0$.
\item \emph{Hérédité} :

Soit  un naturel $p$ et supposons  que $u_{p-1} > u_{p}$. Par croissance de la fonction $f$ sur $\R$, on a $f\left(u_{p-1} \right) > f\left(u_{p} \right) \iff u_{p} > u_{p+1}$. La relation est vraie au rang $p+1$.
\end{itemize}
Conclusion : la relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ elle est vraie au rang $n + 1$ :  on a démontré par récurrence  que pour tout $n \in \N,\: u_{n} > u_{n+1}$.

La suite $\left(u_{n} \right)$ est donc minorée et décroissante : elle est donc convergente ; on sait d'après ce qui précède que la limite de cette suite est $\dfrac{23}{18}$.
\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $S_{n} = \displaystyle\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{10^k}$.
		
$\begin{array}{lc l l l ll}
S_{n}&=&\dfrac{1}{10^2}+ &\dfrac{1}{10^3}+ & \cdots + &\dfrac{1}{10^{n+1}}&\\
\dfrac{1}{10}S_{n}&=&&\dfrac{1}{10^3}+&\cdots+&\dfrac{1}{10^{n+1}}+&\dfrac{1}{10^{n+2}}\\
\end{array}$

Par différence on obtient $\dfrac{9}{10}S_{n} = \dfrac{1}{10^2} - \dfrac{1}{10^{n+2}} = \dfrac{1}{10^2}\left( 1 - \dfrac{1}{10^n} \right) \iff$

$S_{n} = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)$.
		\item On a $v_{1} = 1,2 + 7 \times \dfrac{1}{10^2}~;~v_{2} = 1,2 + 7 \left(\dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} \right)$ et pour tout $n \in \N,$
		
$v_{n} =  1,2 + 7\left( \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + \cdots + \dfrac{1}{10^{2n+1}} \right) = 1,2 + 7 \times \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)$.
		
Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{10^n} = 0,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 1,2 + \dfrac{7}{90} = \dfrac{12}{10} + \dfrac{7}{90} = \dfrac{115}{90} = \dfrac{23}{18}$. Cette limite est bien rationnelle.
	\end{enumerate}
\item Suites adjacentes ?

On a vu que la suite $\left(u_{n} \right)$ est décroissante. 

De plus $v_{n+1} - v_{n} = \dfrac{7}{10^{n+2}} > 0$ : la suite $\left(v_{n} \right)$ est donc croissante.

Enfin ces deux suites ont la même limite $\dfrac{23}{18}$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(u_{n} - v_{n}\right) = 0$.

Conclusion : ces deux suites sont adjacentes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a $Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}}{2 + 2\text{i}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1 + \text{i}\sqrt{3}}{1 + \text{i}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{(1 + \text{i}\sqrt{3})(1 - \text{i})}{(1 + \text{i})(1 - \text{i})} =$

$ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1 + \sqrt{3} - \text{i} + \text{i}\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\left[1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right) \right]$.
\item Modules et arguments :
\begin{itemize}
\item $\left|z_{1}\right|^2 = 2 + 6 = 8 \Rightarrow |z_{1}| = 2\sqrt{2}$. On a donc $z_{1} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Donc arg$(z_{1}) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$.

\item On a de même   $|z_{2}| = 2\sqrt{2}$, puis $z_{2} =  2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

Donc arg$(z_{2}) = \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$.

\item Il suit $Z = \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\text{e}^{\text{i}\left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right)} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.

Donc $|Z| = 1$ et arg$(Z) = \dfrac{\pi}{12}~~[2\pi]$.
\end{itemize}
\item On déduit des deux questions précédentes que $Z = \cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) + \text{i}\sin \left( \dfrac{\pi}{12}\right)$ et par identification :

\[\cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\left( 1 + \sqrt{3}\right)~~\text{et}~~\sin \left( \dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{3} - 1\right)  \]

\item On place facilement le point B(2~;~2) :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,0)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psarc(0,0){2.858}{0}{180}
\psarc(0,0){1}{0}{180}
\psline(0,0)(2,2) \psline[linestyle=dashed](1.414,-0.3)(1.414,3)
\SpecialCoor
\psline(0;0)(2.828;60) \psline(0;0)(2.828;30)\psline(0;0)(2.828;45)
\psline(0;0)(1;15)\uput[d](0;0){O} \uput[d](2.828;0){I}
\uput[ur](2.828;60){A$\left(\frac{\pi}{6}\right)$} \uput[ur](2.828;45){B$\left(\frac{\pi}{4}\right)$} \uput[ur](2.828;30){D$\left(\frac{\pi}{6}\right)$} \uput[ur](1;15){C$\left(\frac{\pi}{12}\right)$}
\end{pspicture}
\end{center}

Le point A d'affixe $z_{1}$ est obtenu en construisant la médiatrice du segment [OI].

Le point D est obtenu en construisant la bissectrice de $\widehat{\text{IOA}}$.

Le point C avec la bissectrice de $\widehat{\text{IOD}}$ et le cercle de centre O et de rayon 1.

\item Le module :  $\left|Z^{\np{2007}}  \right| = |Z|^{\np{2007}} = 1^{\np{2007}} = 1$.

L'argument : arg$\left(Z^{\np{2007}} \right) = \np{2007} \times \dfrac{\pi}{12}\dfrac{669\pi}{4} = \dfrac{672\pi - 3\pi}{4} = 2\pi - 3\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{3\pi}{4}$.

On a donc $Z^{\np{2007}} = \text{e}^{-\frac{3\pi}{4}} = \cos \left(-\frac{3\pi}{4} \right) + \text{i}\sin \left(-\frac{3\pi}{4} \right)  = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$	&1	&2	&3	&4	&5	&6\\ \hline
$y$	&1	&4	&5	&2	&3	&6\\ \hline
\end{tabularx}

		\item On vient de voir que $5 \times 3\equiv 1 \pmod 7$ donc $3x\equiv 5 \pmod 7\iff 5 \times 3x\equiv 5\times 5 \pmod 7$ mais comme $25 \equiv 4 \pmod 7$ on a bien $3x \equiv 5 \pmod 7 \iff x \equiv 4 \pmod 7$.
		\item L'équation $ax \equiv 0 \pmod 7$ équivaut à $7 \mid ax$ mais comme $7$ est premier avec $a$ d'après le théorème de Gauss  on a : $7 \mid x$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Comme $a\times a^{p-2}=a^{p - 1}$ et que $a$ n'est pas divisible par $p$, d'après le petit théorème de Fermat on a $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$, donc $a^{p - 1}$ est solution de l'équation $ax\equiv 1 \pmod p$.
		\item  On a $r\equiv a^{p - 2}\pmod p$ donc $r$ est bien solution de l'équation $ax\equiv 1 \pmod p$.
	  
Maintenant montrons l'unicité par l'absurde.
	  
On suppose que deux entiers $r_1$ et $r_2$ de A$_p$ sont solutions de l'équation.
	   
On a $ar_1\equiv ar_2\pmod p \iff a^{p-2}\times ar_1\equiv a^{p-2}\times ar_2\pmod p\iff $

$r_1\equiv r_2\pmod p$. Ainsi $r_1-r_2$ est un multiple de $p$ mais $r_1-r_2$ est dans l'ensemble $\{- (p - 1)~;~- (p - 2)~;~\dots~;~p - 1\}$, et le seul multiple de $p$ dans cet ensemble est : $0$  donc $r_1=r_2$, ce qui montre l'unicité.
	  \item On a $xy \equiv 0 \pmod p$ donc soit $p \mid x$ soit $p$ et $x$ sont premiers entre eux et d'après le théorème  de Gauss  on a :  $p\mid y$.
	  \item On sait que le reste de la division de $2^{31-2}$ par 31 est l'unique   solution de  l'équation $2x\equiv 1\pmod{31}$, or $2^5\equiv  1\pmod{31}$ donc $2^{25} \equiv 1\pmod{31}$ ainsi 
	  $2^{29}\equiv 2^4\pmod{31}$, $2^4=16$ est l'unique solution de de  l'équation $2x\equiv 1 \pmod{31}$ dans A$_{31}$.
	  
	  On sait que le reste de la division de $3^{31-2}$ par 31 est l'unique   solution de  l'équation $3x \equiv 1 \pmod{31} $.  (faire tous les calculs jusqu'à $3^{29}$).
	  
Pour la dernière équation, on  factorise :
	  
$6x^2 - 5x + 1 = (2x - 1)(3x - 1)$ ainsi 
	
\begin{equation*}
%\label{ }
\begin{split}
 6x^2-5x+1\equiv 0 \pmod{31}\iff (2x - 1)(3x - 1)\equiv 0 \pmod{31}\\
 \iff(2x-1)\equiv 0 \pmod{31}  \ \text{ou}\ (3x - 1)\equiv 0 \pmod{31} 
\end{split}
\end{equation*}	 
	 On sait donc que les solutions de ces deux dernières équations sont  dans $\Z$  : $16 + 31k$ et $21 + 31k$ où $k\in\Z$ d'après les deux équations précédentes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\begin{enumerate}
\item   (E$_{0}$) : $ y^{\prime} + y = 1 \Longleftrightarrow y^{\prime}=-y+1 \Longleftrightarrow y=C\e^{-x}+1$ où $ C $ est une constante réelle.
\item  $ f $ solution de (E) $ \Longleftrightarrow f\,^{\prime}+(1+\tan x)f=\cos x $

Or $ f(x) = g(x)\cos x $. $f$ est dérivable sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ en tant que produit de fonctions dérivables 

et $ f'(x)=g'(x)\cos x-g(x)\sin x $

Ainsi  $f$ solution de E $ \Longleftrightarrow g'\cos x-g\sin x+ (1 + \tan x)g \cos x = \cos x$

$ \Longleftrightarrow g'\cos x-g\sin x+ \left(1+\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)g \cos x = \cos x$

$ \Longleftrightarrow   g'\cos x- g\sin x + g \cos x + g\sin x = \cos x \Longleftrightarrow (g'+ g)\cos x=\cos x$

$\Longleftrightarrow g'+ g=1 $ car $ \cos x \neq 0  $ pour $ x \in  \left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$

$ \Longleftrightarrow  g$ est solution de (E$_{0}$).

\item $f$  est solution de (E) donc G est solution de (E$ _0 $). Or les solutions de (E$ _0 $) sont les fonctions du type $ x\longmapsto  C\e^{-x}+1$ et ainsi, puisque $f = g \times \cos x $, soit

$ f=\left( C\e^{-x}+1 \right)\cos x  $.

De plus, $f(0)=0 \Longrightarrow \left( C\text{e}^0 + 1\right) \cos 0=0 \Longrightarrow C=-1 $

$f$ est donc la fonction définie sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $ f(x)=\left( -\text{e}^{-x}+1\right)\cos x$.
\end{enumerate}
\end{document}