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% Tapuscrit : François Kriegk
% Figures version pstricks : Jean-Luc Poncin
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Métropole 19 juin 2014},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole 19 juin 2014~\decofourright}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip
		\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item L'image de $0$ par la fonction $f_1$ est : $f_1(0) = 0 + \e^{-0} = 1$.

Le point d'abscisse $0$ sur la courbe $\mathcal{C}_1$, représentative de la fonction $f_1$, est le point de coordonnées $\left(0~;~f_1(0)\right)$, c'est à dire ici 
$\left(0~;~1\right)$. Le point $A$, de coordonnées $\left(0~;~1\right)$ est donc bien un point de la courbe $\mathcal{C}_1$.
                  
\item La fonction $f_1$ est dérivable sur \textbf{R}, en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur \textbf{R}.

Sa dérivée est définie sur \textbf{R} par :

$f_1'(x) = 1 + (-1)\e^{-x} = 1 - \e^{-x}$.

\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~\iff~$} l}
On a : $f_1'(x) \geqslant 0$ & $1 - \e^{-x}$\\
                             & $ 1 \geqslant \e^{-x}$\\
                             & $0 \geqslant -x$, car $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0~;~+\infty\right[$\\
                             & $ x \geqslant 0$.
                  \end{tabular}

                  On en déduit donc le tableau de variations suivant :
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
\psframe(5,3) \psline(0,2)(5,2) \psline(0,2.5)(5,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](3,2.4){$0$} \uput[u](4.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f'_1(x)$} \uput[u](2,1.9){$-$} \uput[u](3,1.9){$0$} \uput[u](4,1.9){$+$}
\rput(0.5,1){$f_1$}\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](3,0){1}\uput[d](4.5,2){$+ \infty$} 
\psline{->}(1.5,1.5)(2.5,0.5) \psline{->}(3.5,0.5)(4.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}                 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{center}
%  $\tabvar{%
%    \tx{x}&\tx{-\infty}&&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
%    \tx{f_1'(x)}&&\tx{-}&&\tx{+}&\cr
%    \tx{f_1}&\txh{+\infty}&\fd&\txb{1}&\fm&\txh{+\infty}\cr
%          }$
%\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Justifions maintenant les deux limites :

On a $\lim\limits_{x \to +\infty}x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\e^{-x} = \lim\limits_{y \to -\infty}\e^y = 0$, et donc par somme :

$\lim\limits_{+\infty}f_1 = +\infty$.

Pour tout $x$ on a : $f_1(x) = \e^{-x} \times \left(x \e^x + 1\right)$. Et on a : $\lim\limits_{x \to -\infty} x \e^x = 0$, d'après la propriété des croissances comparées. On en déduit, par somme : $\lim\limits_{x \to -\infty} x \e^x + 1 = 1$.

Comme par ailleurs on a : $\lim\limits_{x \to -\infty} \e^{-x} = \lim\limits_{y \to +\infty}\e^y = +\infty$, on en déduit, par produit : $\lim\limits_{-\infty} f_1 = +\infty$.
       \end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}
                
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit un entier naturel $n$ non nul, et un réel $x$, choisi dans l'intervalle $[0~;~1]$.
		
$x$ étant dans l'intervalle $[0~;~1]$, $x$ est positif. La fonction exponentielle étant à valeurs strictement positives, on en déduit que $\e^{-nx}$ est également un nombre positif. La somme de deux nombres positifs étant elle-même positive, on en déduit que $f_n(x)$ est positif.
                    
On a donc prouvé que pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est à valeurs positives sur l'intervalle $[0~;~1]$.
                    
$I_n$ est donc l'intégrale sur un intervalle d'une fonction positive sur cet intervalle, c'est donc l'aire (exprimée en unité d'aire) de la portion de plan délimitée par : l'axe des abscisses; la courbe $\mathcal{C}_n$, représentative de $f_n$, et les droites verticales d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) et $x = 1$.
                    
	\item Sur l'intervalle $[0 ~;~1]$, il semble que, plus $n$ augmente, plus les courbes $\mathcal{C}_n$ semblent se rapprocher du segment d'équation $y = x$, chaque courbe semblant être en dessous de la courbe d'indice précédent.
	
On en déduit que les aires successives sous ces courbes doivent être de plus en plus petites, et donc que la suite $\left(I_n\right)$ doit être décroissante.
                    
Comme de plus il semble que les courbes \og s'écrasent \fg{} sur le segment d'équation $y = x$, à la limite, l'aire sous la courbe devrait tendre vers l'aire sous le segment, c'est à dire $\dfrac12$.

On peut donc émettre la conjecture que la suite converge vers $\dfrac12$ en décroissant.
	\end{enumerate}
\item On a :

\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l}
                    $I_{n+1}-I_n$ & $\displaystyle{\int_0^1{f_{n+1}(x)~\text{d} x} - \int_0^1{f_{n}(x)~\text{d} x}}$\\
                                  & $\displaystyle{\int_0^1{\left(f_{n+1}(x) - f_n(x) \right)~\text{d} x}}$, par linéarité de l'intégrale.\\
                                  & $\displaystyle{\int_0^1{\left(x + \e^{-(n+1)x} - \left(x + \e^{-nx} \right) \right)~\text{d} x}}$\\
                                  & $\displaystyle{\int_0^1{\left(x + \e^{-(n+1)x} - x - \e^{-nx} \right)~\text{d} x}}$\\
                                  & $\displaystyle{\int_0^1{\e^{-(n+1)x} \left(1 - \e^{x} \right)~\text{d} x}}$\\
                  \end{tabular}
                  
Ce qui est ce que l'on souhaitait démontrer.

On va maintenant en déduire le signe de cette différence. Pour tout entier $n$ naturel non nul et pour tout $x$ dans l'intervalle $[0~;~1]$, le nombre $\e^{-(n+1)x}$ est strictement positif, car la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, quant au nombre $1 - \e^x$, il est négatif, car $x$ étant dans l'intervalle $[0~;~1]$, on a $x \geqslant 0$, et comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur \textbf{R}, donc on en déduit que $\e^x \geqslant \e^0$, soit $\e^x \geqslant 1$, donc il suit que $ 1 - \e^x \leqslant 0$.

                  Le produit de deux nombres de signes contraires étant négatif, on vient de prouver que, pour tout entier $n$ naturel non nul et pour tout $x$ dans l'intervalle $[0~;~1]$, le nombre $\e^{-(n+1)x} \left(1 - \e^x \right)$ est négatif. L'intégrale entre deux bornes bien rangées d'une fonction négative étant négative, on en déduit que, pour tout entier $n$ non nul, la différence $I_{n+1} - I_n $ est négative. On en déduit que la suite $(I_n)$ est décroissante.
                  
                  Comme par ailleurs, on a déjà prouvé que, pour tout $n$ naturel non nul, la fonction $f_n$ est à valeurs positives sur l'intervalle d'intégration $[0~;~1]$, on en déduit que l'intégrale de cette fonction positive entre des bornes (0 et 1) bien rangées est positive, donc cela signifie que pour tout $n$ naturel non nul, $I_n$ est positif. On a donc prouvé que la suite est minorée par 0.
                  
                  $(I_n)$ étant une suite minorée et décroissante, on peut en conclure qu'elle est convergente vers une limite $\ell \geqslant 0$, car la suite est minorée par $0$.

		\item Nous allons maintenant déterminer cette limite $\ell$. Pour tout entier $n$ naturel non nul, une primitive de $f_n$ sur l'intervalle $[0~;~1]$ est définie par :
		
                  $F_n(x) = \dfrac12 x^2 + \dfrac{-1}{n} \e^{-nx} = \dfrac12 x^2 - \dfrac{1}{n} \e^{-nx}$.
                  On a donc :
                  
                  $I_n = \displaystyle{\int_0^1{f_n(x) \text{d}x}} = \left[\dfrac12 x^2 - \dfrac{1}{n} \e^{-nx}\right]_0^1 = F_n(1) - F_n(0). $
                  
                  $I_n = \dfrac12 \times 1^2 - \dfrac1n \e^{-n} - \left( \dfrac12 \times 0^2- \dfrac1n \e^0 \right) = \dfrac12 + \dfrac1n \times \left( 1 - \e^{-n} \right)$.
                  
                  Comme on a : $\lim\limits_{n \to +\infty}\e^{-n} = 0$, on en déduit que $\lim\limits_{n \to +\infty}1 - \e^{-n} = 1$ et comme $\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac1n = 0$, par produit, puis par somme de limites, on en déduit :
$\lim\limits_{n \to +\infty}I_{n} = \dfrac12$.
                 
                  
                  Finalement, nos deux conjectures sont bien vérifiées : la suite est bien décroissante, et converge vers une limite qui est bien $\dfrac12$, l'aire sous la droite d'équation $y=x$ entre les abscisses 0 et 1.                  
                \end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question (et la suivante), le choix de la personne dans la population étant fait au hasard, on est dans une situation d'équiprobabilité et donc les proportions sont assimilées à des probabilités.
	\begin{enumerate}
		\item Le pourcentage de personnes malades étant de 0,1\%, la probabilité de l'évènement $M$ sera donc de 0,001.
		
On obtient l'arbre pondéré suivant :
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
  \psset{levelsep=20mm,treesep=10mm,nrot=:U}
  \pstree[treemode=R,nodesep=0mm]{\Tdot}
  % gros point noir à la racine
  % nodesep réglé à 0 pour que les deux branches 
  % issues du gros point soient collées au point
  {
    \pstree[nodesep=0.5mm]
    % nodesep réglé à 0.5 mm pour la même raison que 
    % dans l'arbre précédent
    {\Tr{$M$}\naput{\small $0,001$}}
    {
      \Tr{$T$}\naput{\small $0,99$}
      \Tr{$\overline{T}$}\nbput{\small $0,01$}
    }
    \pstree[nodesep=0.5mm]
    {\Tr{$\overline{M}$}\nbput{\small $0,999$}}
    {
      \Tr{$T$}\naput{\small $0,001$}
      \Tr{$\overline{T}$}\nbput{\small $0,999$}
    }
  }
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
        \item On applique la loi des probabilités totales, les évènements $M$ et $\overline{M}$ constituant une partition de l'univers :
        
                    $P(T) = P(M \cap T) + P\left(\overline{M} \cap T \right) = 0,001 \times 0,99 + 0,999 \times 0,001$ ; 
                    $P(T) = 0,001 \times (0,99+ 0,999) =$
                    
$1,989 \times 10^{-3}$.
                    
On obtient donc bien la valeur attendue.                    
		\item Puisque l'affirmation fait référence à la probabilité d'être malade \emph{sachant que} le test est positif, on va calculer la probabilité conditionnelle suivante :
                    $P_T(M) = \dfrac{P(T \cap M)}{P(T)} = \dfrac{0,001 \times 0,99}{1,989 \times 10^{-3}} = \dfrac{0,99}{0,99 + 0,999} \approx 0,498$.
                    
La probabilité est inférieure à 0,5 (le dénominateur étant supérieur au double du numérateur), l'affirmation est correcte : si une personne obtient un test positif, alors la probabilité qu'elle soit effectivement malade est (légèrement) inférieure à 0,5, soit un peu moins d'une chance sur deux.
	\end{enumerate}
\item On reprend la même démarche, mais en modifiant les probabilités portées sur les branches de l'arbre qui devient :
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
  \psset{levelsep=20mm,treesep=10mm,nrot=:U}
  \pstree[treemode=R,nodesep=0mm]{\Tdot}
  % gros point noir à la racine
  % nodesep réglé à 0 pour que les deux branches 
  % issues du gros point soient collées au point
  {
  \pstree[nodesep=0.5mm]
  % nodesep réglé à 0.5 mm pour la même raison que 
  % dans l'arbre précédent
  {\Tr{$M$}\naput{\small $x$}}
  {
  \Tr{$T$}\naput{\small $0,99$}
  \Tr{$\overline{T}$}\nbput{\small $0,01$}
  }
  \pstree[nodesep=0.5mm]
  {\Tr{$\overline{M}$}\nbput{\small $1-x$}}
  {
  \Tr{$T$}\naput{\small $0,001$}
  \Tr{$\overline{T}$}\nbput{\small $0,999$}
  }
  }
\end{center}

\medskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
                  On a alors : $P(T) = 0,99x + 0,001 \times (1 - x) = 0,001 + 0989x$ et donc :
                  
                  $P_T(M) = \dfrac{0,99x}{0,001 + 0,989x}$.
                  
                  On rappelle que $x$ est une proportion, donc un nombre réel compris entre 0 et 1, les probabilités données ci-dessus sont donc bien comprises entre 0 et 1 également.
                  
                  La question est alors de résoudre l'inéquation suivante :
                  
                  \begin{tabular}[t]{@{} l @{$~\iff~$} l l}
                    $P_T(M) \geqslant 0,95$ & $ \dfrac{0,99x}{0,001 + 0,989x} \geqslant 0,95$\\
                                            & $ 0,99x \geqslant 0,95 \times (0,001 + 0,989x)$	&car $0,001 + 0,989x \geqslant 0$.\\
                                            & $ 0,99x \geqslant   0,00095 + 0,93955x$\\
                                            & $0,05045x \geqslant 0,00095$\\
                                            & $ x \geqslant \dfrac{0,00095}{0,05045}$& car $0,05045$ est positif.\\
                  \end{tabular}
                  
                  Le test sera donc commercialisable à condition que la proportion $x$ soit supérieure à $\dfrac{0,00095}{0,05045} = \dfrac{19}{1009} \approx 0,01883$, c'est à dire quand le pourcentage de la population atteint par la maladie est supérieur à environ 1,88\%.
                \end{enumerate}


\smallskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On utilise la calculatrice, qui donne :
                    $P(890 \leqslant X \leqslant 920) \approx 0,92$ à $10^{-2}$ près.
                    
		\item On pose $Z$, variable aléatoire définie par : $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} $. Comme $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu~;~\sigma)$, alors $Z$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0~;~1)$.
		
On peut donc utiliser le nombre $u_{0,01} \approx 2,58$ tel que :

$P(-u_{0,01} \leqslant Z \leqslant u_{0,01}) \approx 1 - 0,01 = 0,99$ à $10^{-3}$ près.
                    
\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~\iff~$} l}
                      Or : $-2,58 \leqslant Z \leqslant 2,58$ & $-2,58 \leqslant \dfrac{X - 900}{7} \leqslant 2,58$\\
                                                              & $-18,06 \leqslant X - 900 \leqslant 18,06$\\
                                                              & $ 900 - 18,06 \leqslant X \leqslant 900 + 18,06$\\
\end{tabular}
	
Puisque le nombre $h$ demandé est entier, on arrondit à $h = 18$.
                    
On vérifie bien à la calculatrice que $P(882 \leqslant X \leqslant 918) \approx 0,9899 \approx 0,990$  à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Puisque la sélection de l'échantillon est assimilée à un tirage au sort avec remise, on a donc $1000$ répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $0,97$, ce qui conduit donc à un schéma de Bernoulli qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(1000~;~0,97)$. 

Le paramètre $n = 1000$ étant suffisamment élevé, on en déduit que la fréquence de succès pour ce schéma de Bernoulli est comprise dans l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ : $\left[ 0,97 - 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{1000}}~;~0,97 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,97 \times 0,03}}{\sqrt{1000}}\right]$. Le calcul des valeurs approchées donne, à $10^{-4}$ près : $\left[ 0,9594~;~0,9806\right]$.
                  
                  Cela signifie que la proportion de comprimés conformes dans un lot de $1000$ comprimés est comprise dans l'intervalle ci-dessus, avec une probabilité de 0,95. Comme la proportion de comprimés conformes constatée dans cet échantillon est de $\dfrac{1000 - 53}{1000} = 0,947$, c'est à dire en dehors de l'intervalle de fluctuation asymptotique déterminé précédemment, on en déduit que les réglages faits par le laboratoire ont une forte probabilité d'être à revoir. La probabilité qu'ils soient corrects bien que l'échantillon donne une proportion de comprimés conformes en dehors de l'intervalle de fluctuation n'est que de $0,05$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Nous avons une équation de degré 2, à coefficients réels. On va donc calculer le discriminant $\Delta$ du trinôme du second degré.

$\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 16 = 16 - 4 \times 16 = -3 \times 16 = -48$.
                  
Le discriminant étant strictement négatif, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées, qui sont :

$Z_1 = \dfrac{-4 - \i \sqrt{48}}{2} = \dfrac{-4 - 4\i \sqrt{3}}{2} = -2 - 2\i \sqrt{3}$ et $Z_2 = \overline{Z_1} = -2 + 2\i\sqrt{3}$.
                  
Présentons maintenant ces nombres sous leur forme exponentielle, en commençant par calculer le module de $Z_1$ :

$\left|Z_1\right| = \sqrt{(-2)^2 + \left(-2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{4 + 12} = 4.$

On peut donc écrire : $Z_1 = 4 \times \left(\dfrac{-2}{4} + \i \dfrac{-2\sqrt3}{4} \right) = 4 \times \left(\dfrac{-1}{2} + \i \dfrac{-\sqrt3}{2} \right)$.
                  
Un argument de $Z_1$ sera donc un angle dont le cosinus est $\dfrac{-1}2$ et le sinus est $\dfrac{-\sqrt3}{2}$, donc $\pi + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3}$ dont la mesure principale est $\dfrac{-2\pi}{3}$.
                  
La forme exponentielle de $Z_1$ est donc : $Z_1 = 4\e^{\frac{-2\i\pi}3}$, et puisque $Z_2$ est le conjugué de $Z_1$, d'après les propriétés des modules et arguments : $Z_2 = 4\e^{\frac{2\i\pi}3}$.

                  L'équation admet donc deux solutions, qui sous leurs formes exponentielles sont : $Z_1 = 4\e^{\frac{-2\i\pi}3}$ et $Z_2 = 4\e^{\frac{2\i\pi}3}$.
                  
                \item Si $a$ a pour module 2 et pour argument $\dfrac{\pi}{3}$, alors $a = 2\e^{\frac{\i\pi}3}$ et donc, d'après les propriété du module et des arguments, $a^2 = 2^2\e^{2\times \frac{\i\pi}3}$, donc on a $a^2 = Z_2$ et donc la forme algébrique de $a^2$ est $-2 + 2\i\sqrt3$.
                
Le nombre $a$ est donc une solution à l'équation dont on parle dans cette question. L'autre solution sera donc $-a$, car $(- a)^2 = a^2$, donc si $a$ est une solution, $-a$ en sera une aussi.

On va donc présenter les deux solutions sous forme algébrique, comme demandé :
                  
$a = 2\e^{\frac{\i\pi}3} = 2 \times \left( \dfrac12 + \i \dfrac{\sqrt3}{2} \right) = 1 + \i \sqrt3$ et $-a = -1 + \i \times \left(-\sqrt3\right)$.
                  
                \item Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes. Il existe donc quatre nombres réels $x_1$; $y_1$; $x_2$ et $y_2$ tels que $z_1 = x_1 + \i y_1$ et $z_2 = x_2 + \i y_2$.
                
                  \begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l}
                    On a alors $z_1 z_2$ & $(x_1 + \i y_1)(x_2 + \i y_2)$\\
                                         &$ x_1 x_2 + \i x_1 y_2 + \i y_1 x_2+ \i^2y_1y_2$\\
                                         &$ (x_1 x_2 - y_1y_2) + \i (x_1y_2 + x_2y_1)$\\
                  \end{tabular}
                  
Comme les nombres $x_1$, $x_2$, $y_1$ et $y_2$ sont réels, alors on peut définir les nombres $x_3 = x_1x_2 - y_1 y_2$ et $y_3 = x_1y_2 + x_2y_1$, qui sont réels également.
                  
On a donc écrit le produit $z_1 z_2$ sous la forme $x_3 + \i y_3$, où $x_3$ et $y_3$ sont des nombres réels, donc le conjugué de $z_1z_2$ est :

$\overline{z_1z_2} = x_3 -\i y_3 = (x_1 x_2 - y_1y_2) - \i (x_1y_2 + x_2y_1)$.

Par ailleurs, calculons le produit : $\overline{z_1}~\overline{z_2} = (x_1 - \i y_1)\times(x_2 - \i y_2)$\\
                  $\overline{z_1}~\overline{z_2} = x_1 x_2 - \i x_1 y_2 - \i y_2 x_1 + (-\i)^2y_1 y_2 = (x_1 x_2 - y_1y_2) - \i (x_1y_2 + x_2y_1)=\overline{z_1z_2} $
                  
Nous avons donc démontré que pour deux nombres complexes quelconques $z_1$ et $z_2$, on a : 

$\barre{z_1}~\barre{z_2} = \barre{z_1z_2} $.
                  
\smallskip
                  
La seconde propriété sera démontrée par récurrence. Posons, pour tout entier naturel $n$ non nul la propriété $\mathcal{P}_n$, qui dit que pour tout complexe $z$, on a $\barre{z^n} = \left(\barre{\vphantom{z^n}z}\right)^n$.
                  
\emph{Initialisation :} Pour $n=1$, on a $z^1=z$, donc $\barre{z^1} = \barre{z\vphantom{z^1}} = \left(\barre{\vphantom{z^1}z}\right)^1$ : \emph{la propriété $\mathcal{P}_1$ est donc vraie}.

\emph{Hérédité :} Pour $n$ entier  naturel  quelconque non nul, on suppose vraie la propriété $\mathcal{P}_n$, c'est à dire que l'on suppose que pour tout complexe $z$, on a $\barre{z^n} = \left(\barre{z\vphantom{z^n}}\right)^n$.
                  
Soit $z$ un nombre complexe. On s'intéresse donc à $\barre{z^{n+1}}$. 
On a $z^{n+1} = z^n \times z$, donc :
                  
\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l l}
                    $\barre{z^{n+1}}$ & $ \barre{z^n \times z}$\\
                                         & $\barre{z^n} \times \barre{\vphantom{z^n}z}$& application de la propriété précédente.\\
                                         & $\left(\barre{z}\right)^n \times \overline{z}$& par hypothèse de récurrence.\\
                                         & $\left(\barre{z}\right)^{n+1}$& ce qui constitue la propriété $\mathcal{P}_{n+1}$.\\
\end{tabular}
                  
\emph{Conclusion :} Nous avons donc démontré que la propriété $\mathcal{P}_1$ est  vraie et que si la propriété $\mathcal{P}_{n}$ est vraie, cela implique que $\mathcal{P}_{n+1}$ l'est également. On peut donc dire par le principe de la récurrence  que pour tout entier $n$ naturel non nul, et pour tout nombre complexe $z$, on a  $\barre{z^n} = \left(\barre{\vphantom{z^n}z}\right)^n$.
                  
                \item Soit $z$ une solution de l'équation $(E)$, cela signifie que l'on a : $z^4 + 4z^2 + 16 = 0$. Vérifions maintenant si le conjugué de $z$ est une solution de l'équation:
                
\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~=~$} l l}
$\overline{z}^4 + 4\overline{z}^2 + 16$&$\overline{z^4} + 4\overline{z^2} + 16$&dernière propriété démontrée.\\
	&$\overline{z^4} + \overline{4z^2} + 16$& \begin{tabular}[t]{@{}l}première propriété démontrée\\sachant que $4 = \overline{4}$, car 4 est réel.\\ \end{tabular}\\
	&$\overline{z^4 + 4 z^2 + 16}$&somme des conjugués.\\
	&$\overline{0}$& car $z$ est solution de $(E)$.\\
	&$0$& car $0$ est réel, donc est son propre conjugué.\\
\end{tabular}
                  
On a établi à la question \textbf{2.} que les nombres $a$ et $-a$ sont tels que $a^2 = Z_2$ et $(-a)^2 = Z_2$.

Comme par ailleurs on a dit que $Z_2$ est solution de l'équation $Z^2 + 4Z + 16 = 0$, cela signifie que $\left(a^2\right)^2 + 4\left(a^2\right) + 16 = 0$, donc que $a^4 + 4a^2 + 16 =0$, donc $a$ est solution de $(E)$ et de la même façon, $-a$ est aussi une solution de cette équation.

                  En appliquant la propriété démontrée au début de cette question, on en déduit que les nombres $\overline{a}$ et $\overline{-a}$ sont également des solutions à cette équation.
                  Nous avons donc 4 solutions à l'équation, qui sont distinctes : 
                  $a = 1 + \i \sqrt3$; $-a = - 1 - \i \sqrt3$; $\overline{a} = 1 - \i \sqrt3$ et $\overline{-a} = -1 + \i \sqrt3$, donc puisqu'il y a au maximum 4 solutions à l'équation, celle ce ne peut avoir d'autre solution que celles trouvées, et donc l'équation $(E)$ a été résolue.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Tout d'abord, une figure :
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture*}(-1.8,-2.1)(3.5,3.5)
    % \psframe(-1.8,-2.1)(3.5,3.5)
    % \psgrid(-4,-4)(4,4)
    \pspolygon(-1.6,-1.6)(0,3)(3,0) % triangle BDC
    % droite (DF)
    % m = (-0.8-3)/0.7 = -3.8/0.7 = -5.429
    % y = -5.429 x + 3
    \psplot{-0.2}{1}{-5.429 x mul 3 add}
    \psset{linestyle=dashed}
    \psline(0,3)(0,0)(3,0) % D-A-C
    \psline(0,0)(-1.6,-1.6) % A-B
    % marquage des points
    \psdots(0,3)(0,0)(1.5,0)(3,0)(-0.8,-0.8)(-1.6,-1.6)(0.7,-0.8)
    % etiquettes des points
    \uput[ur](0,3){$D$} \uput[ul](0,0){$A$} 
    \uput[ur](1.5,0){$G$} \uput[dr](3,0){$C$} 
    \uput[ul](-0.8,-0.8){$E$} \uput[dr](-1.6,-1.6){$B$} 
    \uput[dr](0.7,-0.8){$F$}
  \end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
		\item Commençons par des coordonnées \og évidentes \fg, puisque liées au repère :
		
$A(0~;~0~;~0)~;~B(1~;~0~;~0)~;~C(0~;~1~;~0)$ et $D(0~;~0~;~1)$.
    
Puisque $F$ est le milieu de $[BC]$, on en déduit que ses coordonnées sont la moyenne de celles des points $B$ et $C$, donc $F\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$.
		\item Les coordonnées du vecteur $\vect{DF}$ sont donc : $\vect{DF}\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~-1\right)$.
  
Si on appelle $M_t$ le point de paramètre $t$ sur la droite $(DF)$, défini tel que $\vect{DM_t} = t\vect{DF}$, alors la représentation paramétrique de la droite $(DF)$ est donnée par : 
$ \left\{\begin{array}{lcr}
               \rule[-2ex]{0pt}{5.5ex}x&=&\dfrac{1}{2}t\\
               \rule[-2ex]{0pt}{5.5ex} y &=& \dfrac{1}{2}t\\
               z &=& 1 - t
\end{array}\right.\: t \in $\textbf{R}.
           
		\item Puisque le plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à $(DF)$, alors un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est le vecteur $2\vect{DF}$, de coordonnées $(1~;~1~;~-2)$. Une équation cartésienne du plan sera alors de la forme $x+y-2z+d=0$, où $d$ est un nombre réel. Comme ledit plan doit contenir le point $A$, le réel $d$ doit être choisi de sorte que les coordonnées de $A$ vérifient l'équation, donc:\\
  $0 + 0 -2 \times 0 + d = 0$, ce qui donne $d=0$.
  
  Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est donc : $x + y - 2z = 0$.
		\item Le point $H$ est un point de $(DF)$, mais c'est aussi un point de $\mathcal{P}$, donc ses coordonnées sont celles d'un point de paramètre $t$ dans la représentation paramétrique, qui vérifie également l'équation du plan:
		
\begin{tabular}[t]{@{} l @{$~\iff~$} l}
     $M_t \in \mathcal{P}$ & $ \dfrac{1}{2}t + \dfrac{1}{2}t - 2(1-t) = 0$ \\
                           & $ 3t - 2 = 0$ \\
                           & $ t = \dfrac{2}{3}$ \\
     \end{tabular}
     
Le point de paramètre $t$ sur la droite $(DF)$ est sur le plan $\mathcal{P}$ si et seulement si le paramètre $t$ est $\dfrac{2}{3}$, ce qui nous indique que le point $H$ est le point de coordonnées : $\left(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}~;~1- \dfrac{2}{3}\right)$, c'est-à-dire : $H\left(\dfrac{1}{3} ~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$

		\item Calculons les coordonnées des vecteurs $\vect{HE}$ et $\vect{HG}$: \\
           $\vect{HE} = \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}~;~0 - \dfrac{1}{3}~;~0 - \dfrac{1}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{6}~;~ - \dfrac{1}{3}~;~ - \dfrac{1}{3}\right)$ \\
           $\vect{HG} = \left(0-\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}~;~0 - \dfrac{1}{3}\right) = \left(-\dfrac{1}{3}~;~  \dfrac{1}{6}~;~ - \dfrac{1}{3}\right)$.\\
           Comme on travaille avec un repère orthonormé, le produit scalaire des deux vecteurs peut être obtenu avec ces coordonnées, et on a :\\
           $\vect{HE} \cdot \vect{HG} = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{-1}{3} +  \dfrac{-1}{3} \times \dfrac{1}{6} +  \dfrac{-1}{3} \times \dfrac{-1}{3} =  \dfrac{-1}{18} + \dfrac{-1}{18} + \dfrac{1}{9} = 0$.
           
Comme le produit scalaire des deux vecteurs est nul, ceux ci sont orthogonaux, et donc l'angle 
$\widehat{EHG}$ est bien droit.
	\end{enumerate}
\item On reconnaît dans le point $M$ décrit, le point de paramètre $t$ dans la représentation paramétrique de la droite $(DF)$ donnée à la question \textbf{1. b.}.
                         
	\begin{enumerate}
		\item Le point $E$ est le milieu du segment $[AB]$, donc ses coordonnées sont $E\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~0\right)$ donc le vecteur $\vect{ME}$ a pour coordonnées :\\
                           $\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}t~;~0-\dfrac{1}{2}t~;~0- (1 - t)\right)$, soit $\vect{ME}\left(\dfrac{1}{2} (1 - t)~;~-\dfrac{1}{2}t~;~ t - 1\right)$.\\
                           On a donc $ME^2 = \vect{ME} \cdot \vect{ME} = \left(\dfrac{1}{2}(1 - t)\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}t\right)^2 + \left( t - 1 \vphantom{\dfrac{1}{2}}\right)^2$\\
                           $ME^2 = \dfrac{1}{4}(t^2 - 2t + 1) + \dfrac{t^2}{4} + t^2 - 2t + 1 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$\\
                           On a bien prouvé $ME^2  = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$
 		\item On procède de façon analogue pour calculer le carré de la distance $MG$ :
                           Le point $G$ est le milieu du segment $[AC]$, donc ses coordonnées sont $E\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$ donc le vecteur $\vect{MG}$ a pour coordonnées :\\
                           $\vect{MG}\left(0 - \dfrac{1}{2}t~;~\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}t~;~0- (1 - t)\right)$, soit $\vect{MG}\left(-\dfrac{1}{2} t~;~\dfrac{1}{2}(1 - t)~;~ t - 1\right)$.\\
                           On a donc $MG^2 = \vect{MG} \cdot \vect{MG} = \left(-\dfrac{1}{2}t\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}(1-t)\right)^2 + \left( t - 1 \vphantom{\dfrac{1}{2}}\right)^2 $\\
                           $MG^2 = \dfrac{t^2}{4}  + \dfrac{1}{4}(t^2 - 2t + 1) + t^2 - 2t + 1 = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}$\\
                           On a bien prouvé $MG^2  = \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}=ME^2$. Deux nombres ont le même carré quand ils sont égaux ou opposés, or $ME$ et $MG$ étant des distances, ils ne peuvent être opposés, donc $ME=MG$ et donc le triangle $MEG$ est bien isocèle en $M$.
                           
Visualisons la situation dans le plan $(MEG)$ :
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-0.4,-0.5)(3.5,3.5)
    % \psframe(-0.4,-0.5)(3.5,3.5)
    % \psgrid(-1,-1)(4,4)
    \pspolygon(0,0)(3,0)(1.5,3) % triangle
    \psline(1.5,0)(1.5,3) % hauteur
    % etiquettes des points
    \uput[dl](0,0){$E$}  \uput[dr](3,0){$G$} 
    \uput[u](1.5,3){$M$} \uput[d](1.5,0){$I$}
    % codage angle droit
    \psline(1.2,0)(1.2,0.3)(1.5,0.3)
    % codage angle EMI  et son étiquette
    \psarc(1.5,3){0.6cm}{-116.6}{-90}
    \uput[-100](1.3,2.4){$\frac{\alpha}{2}$}
  \end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On nomme $I$ le pied de la hauteur issue de $M$ dans ce triangle. Le triangle étant isocèle en $M$, cette hauteur est aussi une bissectrice de l'angle $\widehat{EMG}$, donc on peut dire que dans le triangle $EMI$, rectangle en $I$, l'angle $\widehat{EMI}$ a donc une mesure égale à $\dfrac{\alpha}{2}$, et donc le sinus de cet angle est égal au quotient de la longueur du côté opposé à l'angle par celle de l'hypoténuse, soit : $\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{IE}{ME}$, ce qui donne : $ME \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = IE$, or $IE$ est la moitié de $EG$, puisque $(IM)$, la hauteur issue du sommet principal d'un triangle isocèle est aussi la médiane issue de ce sommet, donc $I$ est le milieu de $[EG]$.

La distance $EG$ peut être calculée en utilisant les coordonnées de $E$ et $G$, puisque le repère est orthonormé :
  
$EG = \sqrt{(x_G-x_E)^2 + (y_G-y_E)^2 + (z_G-z_E)^2} = \sqrt[]{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+0}=\dfrac{1}{2}\sqrt[]{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

  La distance $IE$ étant la moitié de cette distance $EG$, on arrive bien à l'égalité attendue : 
  
$ME \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)  = \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
                           
  \item Puisque $\alpha$ désigne la mesure en radians d'un angle géométrique, on peut en déduire que cette mesure varie dans l'intervalle $[0~;~\pi]$ et donc que le nombre $\dfrac{\alpha}2$ varie dans l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$, intervalle sur lequel la fonction sinus est strictement croissante, donc comme la fonction linéaire de coefficient $\dfrac{1}{2}$ l'est aussi, plus la mesure $\alpha$ est élevée, plus le nombre $\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$ l'est aussi.
  
La réciproque est vraie également : puisque la fonction est strictement croissante, plus l'image est élevée, plus l'antécédent l'est aussi.

On a donc prouvé que la valeur $\alpha$ est maximale si et seulement si $\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$ l'est aussi.
                           
Comme le produit de $\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$ par la distance $ME$ est constant, et que les deux facteurs sont positifs, pour que l'un des facteurs soit maximal, il faut et il suffit que l'autre soit minimal, donc cela prouve $\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)$ est maximal quand la distance $ME$ est minimale.

Enfin, la distance $ME$ étant nécessairement positive, et étant donné que la fonction carré est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on sait que $ME$ est minimal si et seulement si $ME^2$ l'est aussi.

En conclusion, en utilisant ces différentes équivalences, on en déduit que la mesure $\alpha$ est maximale quand $ME^2$ est minimal.
                           
\item  Le polynôme de degré 2 qu'est $\dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t  + \dfrac{5}{4}$ a un coefficient dominant positif, donc son extremum sera un minimum, et celui ci sera atteint pour $t = \dfrac{-\dfrac{-5}{2}}{2\dfrac{3}{2}} = \dfrac{5}{6}$.

La position du point $M$ telle que la mesure de l'angle soit maximale est celle atteinte pour le paramètre $t = \dfrac{5}{6}$, soit pour $M$ de coordonnées : 

$M\left(\dfrac{5}{12}~;~\dfrac{5}{12}~;~\dfrac{1}{6}\right)$.
                           
\emph{Ce qui suit est hors-sujet :} On a alors $ME^2 = \dfrac{3}{2}\times\left(\dfrac{5}{6}\right)^2 - \dfrac{5}{2} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{24}$.

On en déduit alors que $\sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{1}{2\sqrt[]{2}} \times \sqrt[]{\dfrac{24}{5}} = \sqrt{\dfrac{3}{5}}$, ce qui, à l'aide de la calculatrice donne $\alpha \approx 1,7722$ soit un angle d'environ 101,5\textdegree.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

                       \medskip

\begin{enumerate}
\item Au bout d'un an, puisque le bassin B contenait 100 poissons (car $b_0 = 100$), la vente de ces poissons permettra d'en acheter un nombre deux fois plus élevé à mettre dans le bassin A, soit 200. A cela, il faut ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète de toutes façons pour le bassin A. Cela confirme bien $a_1 = 200 + 200 = 400$.

Pour le bassin B, on va commencer par y transférer les 200 poissons qui étaient dans le bassin A (car $a_0 = 200$), auxquels on ajoute les 100 poissons supplémentaires que le pisciculteur achète pour le bassin B, cela confirme bien : $b_1 = 200 + 100=300$.
                         
On aura ensuite $a_2 = 2\times b_1 + 200 = 2\times300 + 200 = 800$ et, là encore de façon analogue $b_2 = a_1 + 100 = 400 + 100 = 500$.
                         
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On généralise le raisonnement établi à la question précédente : pour tout entier naturel $n$, on a :
\begin{itemize}
\item $a_{n+1} = 2 \times b_n + 200$ : le double du nombre de poissons dans le bassin B l'année précédente, auxquels on ajoute 200 poissons.
\item $b_{n+1} = a_n + 100$ : les poissons transférés du bassin A l'année précédente, auxquels on ajoute 100 poissons.
\end{itemize}

On calcule le produit matriciel $AX_n$ :
\begin{tabular}{cc}
$\times$ & $\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$ \\ 
$\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}$ & $= \begin{pmatrix}2b_n\\a_n \end{pmatrix}$ 
\end{tabular} .

On a donc la somme :

$AX_n + B = \begin{pmatrix}2b_n\\a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}200\\100 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2b_n + 200\\a_n  + 100\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1} \end{pmatrix} = X_{n+1}$.
                           
	\item \begin{tabular}[t]{@{}l@{$~\iff~$}l}
On a : $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} + B$& $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} - A \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = B$\\
                                                                                                                       & $\left(I_2 - A\right) \times \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = B$\\
                               \end{tabular}\\
                               Où la matrice $I_2$ est $\begin{pmatrix}			1&0\\0&1		\end{pmatrix}$ et donc $C = \left(I_2 - A\right) = \begin{pmatrix}		1 &-2\\-1&1	\end{pmatrix}$  est une matrice de déterminant non nul (le déterminant vaut $-1$), donc elle est inversible et $C^{-1} = \begin{pmatrix}			-1&-2\\-1&-1		\end{pmatrix}$. On a donc :\\
                               \begin{tabular}{@{}l@{$~\iff~$}l}
                                 $\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} + B$& $C \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = B$\\
                                                                                                                &$ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = C^{-1} \times B$\\
                               \end{tabular}\\
                               Calculons le produit $C^{-1} \times B$: 
                               \begin{tabular}{cc}
                                 $\times$ & $\begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}$ \\ 
                                 $\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}$ & $= \begin{pmatrix}-200-200\\-200-100 \end{pmatrix}$ 
                               \end{tabular}
                               
On a donc $S = C^{-1} \times B = \begin{pmatrix} 	-400\\-300 \end{pmatrix}$, donc les nombres $x$ et $y$ sont respectivement $-400$ et $- 300$.
                               
\item Pour tout entier naturel $n$, en posant $Y_n = \begin{pmatrix} a_n + 400\\ b_n + 300	\end{pmatrix}$, on pose en fait 

$Y_n = X_n - S$, où $S$ est la matrice déterminée à la question précédente, solution de l'équation $AX + B = X$, donc telle que $AS + B = S$, ou bien $AS = S - B$. On a donc, pour $n$ entier naturel :

\begin{tabular}[t]{@{}l@{$~=~$}ll}
$AY_n$&$A \times \left(X_n - S\right)$\\
                                       &$ AX_n - AS$\\
                                       &$AX_n - (S - B)$& car $S$ est solution de l'équation $AX + B = X$.\\
                                       &$AX_n + B - S$\\
                                       &$X_{n+1} - S$& d'après la relation de récurrence du \textbf{2. a.}\\
                                       &$Y_{n+1}$& d'après la définition de la matrice $Y_n$.
\end{tabular}

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = AY_n$.
		\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel. On a :\\
                               $Z_{n+1} = Y_{2\times(n+1)} = Y_{2n+2} = AY_{2n+1} = A\times(AY_{2n}) = A^2Y_{2n} = A^2Z_n$.\\
                               Or, on calcule $A^2$ : 		
\begin{tabular}{cc}
$\times$ & $\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ \\ 
$\begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ & $= \begin{pmatrix}2&0\\0&2 \end{pmatrix}$
\end{tabular}

                                                                On a donc $A^2 = 2I_2$ et donc $Z_{n+1} = A^2Z_n = 2 I_2 Z_n = 2Z_n$, ce qu'il fallait démontrer.

                                                              \item On admet que pout tout entier $n$ on a $Y_{2n} = 2^nY_0$. En multipliant à gauche par la matrice $A$, cette égalité devient :
                                                              
$AY_{2n} = 2^n AY_0$ et, en utilisant la relation de récurrence établie à la question \textbf{2. c.}, cela donne bien :
                                                                
$Y_{2n+1} = 2^n Y_1$.
                                                                
On en déduit donc, en utilisant $Y_{2n} = 2^nY_0$, que pour tout entier $n$, on a :
                                                                
$\begin{pmatrix} a_{2n}+400\\b_{2n}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} a_{0}+400\\b_{0}+300 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 600\times 2^n\\400\times 2^n \end{pmatrix}$, donc en particulier:
                                                                
$a_{2n} + 400 = 600 \times 2^n$, soit $a_{2n} = 600 \times 2^n - 400$.
                                                                
Puis, en utilisant $Y_{2n+1} = 2^nY_1$, que pour tout entier $n$, on a :
                                                                
$\begin{pmatrix} a_{2n+1}+400\\b_{2n+1}+300 \end{pmatrix} = 2^n \begin{pmatrix} a_{1}+400\\b_{1}+300 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 800\times 2^n\\600\times 2^n \end{pmatrix}$, donc en particulier:
                                                                
$a_{2n+1} + 400 = 800 \times 2^n$, soit $a_{2n} = 800 \times 2^n - 400$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
L'algorithme suivant demande un entier $p$ à l'utilisateur, et renvoie dans la variable $a$ qui sera affichée le nombre de poissons dans le bassin A au bout de $p$ années. En effet :
\begin{itemize}
\item si $p$ est un nombre pair, alors on affecte à $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$, qui sera donc entière et on a $p=2n$. On affecte à $a$ la valeur qui est le résultat de la formule pour $a_{2n}$, c'est à dire $a_p$, formule établie à la question précédente. Donc si $p$ est pair, à la fin de l'algorithme, $a$ contient le nombre de poissons au bout de $p$ années.
\item si $p$ est un nombre impair, alors $p-1$ est pair et $n$ est l'entier $\dfrac{p-1}{2}$ et donc $2n = p-1$, soit $p = 2n+1$. Et comme on affecte à $a$ la valeur obtenue en appliquant la formule obtenue à la question précédente pour calculer $a_{2n+1}$, à nouveau, la valeur renvoyée sera $a_p$.
\end{itemize}
                                                                
\item On peut modifier de façon assez basique l'algorithme présenté précédemment pour l'inclure dans une boucle :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
                                                                    Variables :		& $a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ 
                                                                    Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur 200\\
                                                                    & Affecter à $p$ la valeur 0.\\ 
                                                                    Traitement :	&Tant que $a \leqslant \nombre{10000}$ :\\
                                                                    &\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
                                                                                     Affecter à $p$ la valeur $p+1$\\
                                                                                     Si $p$ est pair \\
                                                                                     \hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
                                                                                                     Affecter à  $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$\\ 
                                                                                                     Affecter à  $a$ la valeur $600 \times 2^n - 400$.\\
                                                                                                   \end{tabular}\\ 
                                                                                     Sinon \\
                                                                                     \hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
                                                                                                     Affecter à  $n$ la valeur $\dfrac{p - 1}{2}$\\
                                                                                                     Affecter à  $a$ la valeur $800 \times 2^n - 400$.\\
                                                                                                   \end{tabular}\\ 
Fin de Si.\\ 
\end{tabular}\\
            &Fin de Tant que\\
            &Affecter à $p$ la valeur $p-1$\\
Sortie :	& Afficher $p$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Cet algorithme initialise les variables $a$ à $a_0$ et $p$ à 0.

Après chaque itération de la boucle \og Tant que \fg, $p$ aura été incrémenté de 1, et la variable $a$ aura été recalculée de sorte qu'elle contient la valeur $a_p$, donc après $n$ itérations, $p$ contient la valeur $n$ et $a$ contient $a_n$.

On sort de la boucle \og Tant que \fg{} dès que la valeur dans $a$ est strictement supérieur à $\nombre{10000}$, c'est à dire le nombre de poissons pour la première année où le bassin A ne suffira plus, nombre d'années qui est contenu dans la variable $p$, donc le nombre d'années où le bassin A suffit est un de moins que ce qui est contenu dans la variable $p$, d'où la dernière affectation de $p$ avant la sortie de l'algorithme.

On peut aussi proposer un algorithme un peu plus raffiné : chaque itération de la boucle \og Tant que \fg{} nous fera passer deux ans au dessus :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables :		     & $a, p$ et $n$ sont des entiers naturels.\\ 
Initialisation :     &Affecter à $a$ la valeur 400\\
                     & Affecter à $p$ la valeur 1.\\ 
Traitement :	     &Tant que $a \leqslant \nombre{10000}$ :\\
                     &\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
                     Affecter à  $n$ la valeur $\dfrac{p+1}{2}$\\ 
				     Affecter à  $a$ la valeur $600 \times 2^n - 400$.\\
Si  $a \leqslant \nombre{10000}$ :\\
                                                                                                    \hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à  $p$ la valeur $p+1$\\
Affecter à  $n$ la valeur $\dfrac{p}{2}$\\
Affecter à  $a$ la valeur $800 \times 2^n - 400$.\\
Si  $a \leqslant \nombre{10000}$ :\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
Affecter à  $p$ la valeur $p+1$\\
\end{tabular}\\ 
Fin de Si\\
\end{tabular}\\ 
Fin de Si\\
\end{tabular}\\
Tant que\\                                                                                                  Sortie :				& Afficher $p$.\\ \hline
                                                                                                \end{tabularx}
\end{center}
Ici, on initialise $a$ avec la valeur $a_1$ et $p$ avec 1.
Du coup, on entre dans la boucle \og Tant que \fg{} avec une valeur $p$ impaire.
On commence par calculer $a_{p+1}$ avec la formule utilisée pour les indices pairs ($p$ impair implique $p+ 1$ pair). $a$ contient donc la valeur $a_{p+1}$.
                                                                                                                                                                                            Si cette valeur reste inférieure à $\nombre{10000}$ alors, cela veut dire que l'année $p+1$ reste valable pour le bassin A, donc on affecte cette valeur $p+1$ à la variable $p$, qui est maintenant paire. On a à ce moment là $a$ qui contient la valeur $a_p$.

À ce moment, on va calculer $a_{p+1}$ avec la formule utilisée pour les indices impairs ($p$ pair implique $p+1$ pair). $a$ contient donc la valeur $a_{p+1}$.
                                                                                              
Si cette valeur reste inférieure à $\nombre{10000}$ alors, cela veut dire que l'année $p+1$ reste valable pour le bassin A, donc on affecte cette valeur $p+1$ à la variable $p$, qui est redevient impaire. On a à ce moment là $a$ qui contient la valeur $a_p$.

On termine l'itération de la boucle avec une valeur à nouveau impaire. Après $n$ itérations de la boucle, si les deux \og Si \fg{} sont appliqués, on a $p$ contenant la valeur $2n+1$ et $a$ contenant $a_p$.
                                                                                              
Par contre, quand l'un ou l'autre des \og Si\fg{} n'est pas appliqué, cela signifie que la variable $a$, calculée et contenant la valeur $a_{p+1}$ ne permet plus d'utiliser le bassin A, donc la dernière année valable pour le bassin A est bien $p$, et donc c'est pour cela que l'on incrémente pas la valeur de $p$.

Le fait que l'un des \og Si\fg{} ne soit pas appliqué va aussi provoquer la sortie de la boucle \og Tant que \fg{} (puisque le test est le même), et donc la valeur contenue dans $p$ est bien la dernière pour laquelle le bassin A peut contenir $a_p$ poissons.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}