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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}   
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole juin 2001~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soient trois points de l'espace A, B, C non alignés et soit $k$ un réel de 
l'intervalle $[- 1~;~1]$.

On note $G_k$ le barycentre du système $\left\{\left(\text{A},~k^2+ 1\right),~ (\text{B},~k),~ (\text{C},~- k)\right\}$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire 
les points G$_1$ et G$_{-1}$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $k$ de l'intervalle $[- 1~;~1]$, on a l'égalité : 
\[\vect{\text{A}G_k} = - \dfrac{k}{k^2 + 1}\vect{\text{BC}}.\] 
		\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $[- 1~;~1]$ par
		 
\[f(x) = - \dfrac{x}{x^ 2 + 1}.\]
 
		\item En déduire l'ensemble des points $G_{k}$ quand $k$ décrit l'intervalle $[- 1~;~1]$.		 
	\end{enumerate}
Pour la suite de l'exercice, aucune figure n'est demandée sur la copie.
  
\item Déterminer l'ensemble E des points $M$ de l'espace tels que : 
\[\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - 
\vect{M\text{C}}\right\| = \left\|2\vect{M\text{A}} - 
\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\]
\item Déterminer l'ensemble F des points $M$ de l'espace tels que : 
\[\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - 
\vect{M\text{C}}\right\| = \left\|2\vect{M\text{A}} - 
\vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\|.\] 
\item L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal 
\Oijk. Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives 
(0~;~0~;~2), $(- 1~;~2~;~1)$ et 

$(- 1~;~2~;~5)$. Le point $G_{k}$ et les ensembles 
(E) et (F) sont définis comme ci-dessus. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G$_1$ et G$_{-1}$.
		 
Montrer que les ensembles (E) et (F) sont sécants. 
		\item Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ intersection de (E) et 
(F). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv{} [unité graphique : 6 cm].

On considère la suite $(\alpha_n)$ de nombres réels définie par 
$\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et, pour  tout entier naturel $n,~\alpha_{n + 1} = \alpha_n + \dfrac{5\pi}{6}$. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $M_n$ le point du cercle $\mathcal{C}$ de 
centre O et de rayon 1 tel que l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M_n} \right)$ ait pour mesure $\alpha_n$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Placer les douze points M$_0$,~ M$_1$,~ M$_2$,~$\ldots$, M$_{11}$. 
\item On appelle $z_n$ l'affixe de $M_n$. Montrer que, pour tout entier 
naturel $n$, on a l'égalité : $z_n = 
\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{12}\right)}$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer, pour tout entier naturel $n$, les propriétés 
suivantes : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les points $M_n$ et $M_{n + 6}$ sont diamétralement opposés ; 
\item[$\bullet~$] les points $M_{n}$ et $M_{n+12}$ sont confondus. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité $z_{n + 4} = \text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}}z_n$.
 
En déduire que la distance $M_n M_{n + 4}$ vaut $\sqrt{3}$ puis que le triangle

$M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$, est équilatéral.
 
On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des 
points $M_n$ sont de la forme $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$. 
	\end{enumerate} 
\item Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M$_0$,~M$_1$, 
~M$_2$,~$\cdots$,~M$_{11}$ sont disposés dans une urne. On tire au hasard et 
simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir 
les trois sommets d'un triangle équilatéral. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} [unité graphique : 6~cm].
% 
%On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe 
%$z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = 
%z\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et on définit une 
%suite de points ($M_n$) de la manière suivante :
% 
%M$_0$ a pour affixe $z_{0} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ et, pour tout entier naturel $n,~ M_{n+1} = f(M_{n})$.
%
%On appelle $z_{n}$ l'affixe de $M_n$. 
\begin{enumerate} 
\item %Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de  $f$.
La multiplication par $\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ correspond à une rotation de centre O et d'angle $\dfrac{5\pi}{6}$.

%Placer les points M$_{0}$,~ M$_{1}$,~ M$_{2}$.
M$_0$ est le point d'affixe i. On obtient les points successifs sur la figure ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){1}
\uput[ur](0,1){M$_0$}\uput[dl](1;240){M$_1$}\uput[ur](1;390){M$_2$}
\psdots(1;90)(1;240)(1;390)
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0)(1;240)(0;0)(1;390)(0.5;90)
\psarc{->}(0,0){0.2}{90}{240}\psarc{->}(0,0){0.15}{240}{390}
\rput(-0.25,0.2){$\frac{5\pi}{6}$}\rput(0.18,-0.22){$\frac{5\pi}{6}$}
\uput[ul](0,0){O}\uput[u](-0.5,0){$-\frac{1}{2}$}\uput[l](0,0.5){$\frac{1}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité 

%\[z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6}\right)}\]
 
%(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
Démonstration par récurrence :

\emph{Initialisation} : on a $z_0 = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5\times 0\pi}{6}\right)} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2}\right)}$ : l'égalité est vraie au rang $0$.

\emph{Hérédité} : soit un entier quelconque $p$,\: $p\geqslant 0$ et supposons que $z_{p} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5p\pi}{6}\right)}$.

Alors $z_{p+1} = z_p \times \text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5p\pi}{6}\right)}\times \text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5(p+1)\pi}{6}\right)}$ ; donc la relation est vraie au rang $p + 1$.

La relation est vraie au rang $0$ et pour tout entier 
$n \geqslant 0$, \:$z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6}\right)}$ entraîne que $z_{n+1} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5(n+1)\pi}{6}\right)}$ ; on a donc démontré par le principe de la récurrence que pour tout naturel $n$, \: $z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6}\right)}$.
\item %Soient deux entiers $n$ et $p$ tels que $n$ soit supérieur ou égal à $p$. Montrer que deux points $M _{n}$ et $M_{p}$ sont confondus si, et  seulement si, $(n - p)$ est multiple de 12.
$M _{n}$ et $M_{p}$ sont confondus si, et  seulement si les arguments de $z_n$ et de $z_p$ sont égaux à $2k\pi$ près, soit si :

$\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6} + 2k\pi \iff  \frac{5n\pi}{6} =  \frac{5n\pi}{6} + 2k\pi \iff$

$5n\pi = 5p\pi + 12k\pi \iff 5n = 5p + 12k \iff 5n - 5p = 12k \iff 5(n - p) = 12k$, avec $k \in \Z$.

Donc $5(n - p)$ divise 12 mais comme 5 est premier avec 12, d'après le théorème de Gauss, $(n - p)$ divise 12 ou encore $(n - p)$ est un multiple de 12.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %On considère l'équation (E) : $12x - 5y = 3$ où $x$ 
%et $y$ sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) est solution, résoudre l'équation (E).
On a $12\times 4  - 5\times 9 = 48 - 45 = 3$ : le couple (4 ; 9) est une solution de l'équation (E). De :

$\left\{\begin{array}{l c r}
12x - 5y &=& 3\\
12\times 4  - 5\times 9 &=& 3
\end{array}\right.$ on en déduit par différence $12(x - 4) - 5(y - 9) = 0 \iff 12(x - 4)   = 5(y - 9)\quad (1)$.

On en déduit que 5 divise $12(x - 4)$, mais comme 5 est premier avec 12 d'après le théorème de Gauss, 5 divise $x - 4$. 

Il existe donc $k \in \Z$ tel que $x - 4 = 5k \iff x = 4 + 5k,\:k \in \Z$.

En remplaçant dans (1) $x - 4$ par $5k$, on obtient :

$12\times 5k   = 5(y - 9) \iff 12k = y - 9 \iff y = 9 + 12k,\:k \in \Z$.

Inversement : $12\times (4 + 5k) - 5\times (9 + 12k) =  48 + 60k - 45 - 60k = 48 - 45 = 3$.

Les couples solutions de (E) sont donc les couples $(4 + 5k~;~9 + 12k),\:k \in \Z$.

Avec $k = 0$ on retrouve le couple solution donné dans l'énoncé.
		\item %En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$).
$M_n$ appartient à  [O$x$)  si arg $z_n = 0 \quad [2\pi] \iff \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{5n\pi}{6} = 0 \quad [2\pi] \iff \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{5n\pi}{6} = 2k\pi$, avec $k \in \Z$, ou encore

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{5n}{6} = 2k \iff 3 + 5n = 12k \iff 12k - 5n = 3$. On retrouve l'équation (E) avec $x = k$ et $y = n$. Les solutions sont telles que $y = n = 9 + 12k'$, avec $k' \in Z$.

$n$ étant un naturel, finalement $M_{n}$ appartient à la demi-droite [O$x$) si, et seulement si :

\[n = 9 + 12k',\quad k' \in \N.\]
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 
Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique 
(unité graphique : 2~cm). 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
$\star~$Étude d'une fonction $f$

\medskip

On définit la fonction $f$ sur $]0~;~+~\infty[$ par : 

\[f(x) = \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right).\] 

\begin{enumerate} 
\item %Calculer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$.
$\bullet~~$Limite en $0$ :

On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\sqrt{1 + x} - 1\right) = 0$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right) = - \infty$.

$\bullet~~$Limite en $+ \infty$ :

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + x} - 1 = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right) = + \infty$.
\item %Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+~\infty[$.
$f$est dérivable sur  $]0~;~+~\infty[$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = \dfrac{\frac{1}{2\sqrt{1 + x}}}{\sqrt{1 + x} - 1} = \dfrac{1}{2\sqrt{1 + x}\left(\sqrt{1 + x} - 1 \right)}$.

Or $x > 0 \Rightarrow x + 1 > 1 \Rightarrow \sqrt{x + 1} > 1 \iff \sqrt{x + 1} - 1 > 0$ : tous les termes de la dérivée sont supérieurs à zéro, donc sur $]0~;~+~\infty[$, \: $f'(x) > 0$ : la fonction est croissante de moins à plus l'infini.
\item %Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans \Ouv~ et A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 3.
 
%Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $\dfrac{5}{4}$, P le projeté orthogonal de B sur l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et H le projeté orthogonal de B sur l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$.

%Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer les points A, B, P et H dans le repère \Ouv~ et représenter la courbe $(\mathcal{C})$.
On a $f(3) =  \ln \left(\sqrt{1 + 3} - 1\right) = \ln \left(\sqrt{4} - 1\right) = \ln 1 = 0$. Donc A(3~;~0).

D'autre part $f\left(\frac{5}{4}\right) = \ln \left(\sqrt{1 + \frac{5}{4}} - 1\right) = \ln \left(\sqrt{\frac{9}{4}} - 1\right) = \ln \left(\frac{3}{2} - 1\right) = \ln \left(\frac{1}{2}\right) = - \ln 2$. B$\left(\frac{5}{4}~;~- \ln 2\right)$.

Donc P$\left(\frac{5}{4}~;~0 \right)$ et H$\left(0~;~- \ln 2 \right)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-5)(10,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-0.2,-5)(10,4)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.01}{10}{x 1 add sqrt 1 sub ln}
\uput[u](3,0){A}\uput[dr](1.25,-0.69){B} \uput[u](1.25,0){P} \uput[l](0,-0.69){H}
\psline[linestyle=dashed](1.25,0)(1.25,-0.69)(0,-0.69)
\uput[u](8,0.75){\cyan $(\mathcal{C})$}
\uput[r](0,3){A$'$} \uput[ur](0.69,1.25){B$'$}\uput[l](0,1.25){P$'$}\uput[ur](0.69,0){H$'$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10}{2.71828 x 2 mul neg exp 2.71828 x neg exp 2 mul add}
\psline[linestyle=dashed](0.69,0)(0.69,1.25)(0,1.25)
\uput[d](0.69,0){$\ln 2$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
$\star~$Utilisation d'une rotation

\medskip

Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. À tout 
point $M$ du plan d'affixe $z$ la rotation $r$ associe le point $M'$ 
d'affixe $z'$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Donner $z'$ en fonction de $z$.
		 
%On note $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'~ (x,~ y,~ x',~ y'$ réels). 
%Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$, puis exprimer $x$ 
%et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
On sait que la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ associe au point $M$ d'affixe $z$, le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

$z' = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z = \text{i}z$.

On a donc  $z' = x' + \text{i}y' = \text{i}( x + \text{i}y) \iff x' + \text{i}y' = \text{i}x - y$, soit en identifiant les parties réelle et imaginaires :

$\left\{\begin{array}{l c r}
x'&=&- y\\
y'&=& x
\end{array}\right.$. On obtient de façon immédiate : $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=& y'\\
y&=& - x'
\end{array}\right.$
		\item %Déterminer les coordonnées des points A$'$, B$'$ et P$'$ images respectives des points A, B et P par la rotation $r$.
D'après la question précédente :
A$'(0~;~3),\:\text{B}\left(\ln 2~;~\frac{5}{4}\right),\:\text{P}\left(0~;~\frac{5}{4}\right)$.
 
	\end{enumerate} 
\item %On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{- 2x} + 2\text{e}^{- x}$ et ($\Gamma$) sa courbe représentative dans le repère \Ouv. 
	\begin{enumerate} 
		\item %Montrer que lorsqu'un point $M$ appartient à $(\mathcal{C})$, son image $M'$ par $r$ appartient à ($\Gamma$).
$M(x~;~y)$ appartient à $(\mathcal{C})$ si et seulement $y = \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right)$ soit en remplaçant $x$ et $y$ avec les formules trouvées :

$- x' = \ln \left(\sqrt{1 + y'} - 1\right) \iff \text{e}^{- x'} = \sqrt{1 + y'} - 1 \iff \text{e}^{- x'} + 1 = \sqrt{1 + y'} \Rightarrow \left(\text{e}^{- x'} + 1  \right)^2 = 1 + y' \iff \text{e}^{- 2x'} + 2\text{e}^{- x'} + 1 = 1 + y' \iff \text{e}^{- 2x'} + 2\text{e}^{- x'} =  y'$, ce qui signifie que le point $M'$ appartient 	à ($\Gamma$).	 
%On admet que lorsque le point $M$ décrit $(\mathcal{C})$, le point $M'$ décrit ($\Gamma$).
		\item %Tracer sur le graphique précédent les points A$'$, B$'$, P$'$ et la courbe ($\Gamma$) (l'étude des variations de $g$ n'est pas demandée). 
Voir plus haut.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie C}

$\star~$Calcul d'intégrales

\medskip

On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item %Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} g(x)\: \text{d}x$.
On a $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} g(x)\: \text{d}x = \displaystyle\int_{0}^{\ln 2}\left(\text{e}^{- 2x} + 2\text{e}^{- x} \right) \: \text{d}x = \left[- \frac{1}{2}\text{e}^{- 2x} - 2\text{e}^{- x} \right]_0^{\ln 2} = - \frac{1}{2}\text{e}^{- 2\ln 2} - 2\text{e}^{-\ln 2} - \left(- \frac{1}{2}\text{e}^{0} - 2\text{e}^{0} \right) = - \frac{1}{2\text{e}^{\ln 4}} - \frac{2}{\text{e}^{\ln 2}} + \frac{5}{2}  = -\frac{1}{8} + \frac{3}{2}  = \frac{11}{8}$.

%Interpréter graphiquement cette intégrale.
La fonction $g$ est bien entendu positive sur $[0~;~\ln 2]$, donc l'intégrale précédente est égale en unités d'aire à l'aire de la surface limitée par la courbe ($\Gamma$), l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 2$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item %Déterminer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan $\mathcal{D}$ limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l'arc de courbe $(\mathcal{C})$ d'extrémités B et A.
La droite $x = \ln 2$ est la droite (H$'$B$'$), donc l'image de la surface $\mathcal{D}$ et la surface dont on vient de calculer l'aire. On a donc inversement $\mathcal{A} = \frac{11}{8}$. 
		\item %On pose I = $\displaystyle\int_{\frac{5}{4}}^3 \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right)\:\text{d}x.$
		 
%Trouver une relation entre $\mathcal{A}$ et I puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale I.
On a vu que sur $\left[\frac{5}{4}~;~3\right]$, le fonction $f$ est négative, donc l'intégrale $I =  \displaystyle\int_{\frac{5}{4}}^3 \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right)\:\text{d}x$ est l'opposée de l'aire de de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les segments [BP] et [PA].

On a donc $\mathcal{A} = \text{aire(OHBP)} - I$ d'où

$I = \dfrac{5}{4}\ln 2 - \mathcal{A} = \dfrac{5}{4}\ln 2 - \dfrac{11}{8} \approx - 0,51$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}