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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Correction du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole~\decofourright\\ juin 2004}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On a pour tout $n \in \N,~u_{n+1} = u_{n} + 2n + 3$, 
donc $ u_{n+1} - u_{n} = 2n+3$.\\
Or $2n+3 \geqslant 3 >  0$,  donc $u_{n+1} - u_{n} > 0$  quel que soit  $n \in \N$. Conclusion : 
la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démonstration par récurrence :
		\begin{itemize}
\item Initialisation : $u_{0} = 1 > 0^2$ : vrai ;
\item Hérédité : supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que $u_{n} > n^2$, alors $u_{n+1} = u_{n} + 2n+3 > n^2 + 2n + 1 + 2$ ou encore $u_{n+1}> (n+1)^2 + 2$ donc a fortiori $u_{n+1} > (n + 1)^2.$
\end{itemize}
On a donc démontré par récurrence que pour tout $n \in \N,~u_{n}> n^2$
		\item Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}n^2 = + \infty$ on a par comparaison : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_{n} = + \infty.$
\end{enumerate}
\item  On calcule les premiers termes :
$\begin{array}{l c r}
u_{0} &=& 1\\
u_{1} &=& u_{0} + 3 = 4\\
u_{2} &=& u_{1} + 2 + 3 = 9\\
u_{3} &=& u_{2} + 4 + 3 = 16\\
u_{4} &=& u_{3} + 6 + 3 = 25\\
\end{array}$\\
On peut donc   conjecturer que  $u_{n} = (n+1)^2$.\\
Démonstration de  la propriété par récurrence :
		\begin{itemize}
\item Initialisation $u_{0}= 1 = 1^2$
\item Hérédité : supposons qu'il existe $n \in \N$ tel que $u_{n} = (n + 1)^2$\\
On a donc $u_{n+1} = u_{n} + 2n  + 3 = (n + 1)^2 + 2n + 3 = n^2 + 2n + 1 + 2n + 3 = n^2 + 4 n + 4 = (n + 2)^2.$
\end{itemize}
On a donc démontré par récurrence que quel que soit $n \in \N,~u_{n} = (n + 1)^2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de  spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $(1 + \text{i})^6 = [(1 + \text{i})^2]^3 = 
(1 + \text{i})6 = (1 + 2\text{i} - 1)^3 = (2\text{i})^3 = - 8\text{i}$.\\\
\emph{Autre méthode :} $|1 + \text{i}|^2 = 2$, donc $|1 + \text{i}| = \sqrt{2}$ ; donc $1 + \text{i} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.\\
Donc  $(1 + \text{i})^6  = \left[\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right]^6 = 8\text{e}^{6\text{i}\frac{\pi}{4}}) = 8\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{2}} = - 8\text{i}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit l'équation $z^2 = - 8\text{i}$ ; d'après la question précédente  $(1 + \text{i})^6 = -8\text{i}$
donc $[(1 + \text{i})^3]^2 = -8\text{i}$
donc le nombre complexe $z = (1 + \text{i})^3$ est solution de (E) ;
 or $(1 + \text{i})^3 = (1 + \text{i})^2  (1 + \text{i}) = (1 + 2\text{i} - 1)(1 + \text{i}) = - 2 + 2\text{i}$.\\
Conclusion :  $-2 + 2\text{i}$ est une solution de (E).
		\item  $z^2 = - 8\text{i}$, 
d'où $z^2 -(-8\text{i}) = 0 \iff 
z^2 - (- 2 + 2\text{i})^2 = 0 \iff 
[z - (-2 + 2\text{i})] [z + (-2 + 2\text{i})] = 0$.\\
On retrouve la solution précédente et aussi le nombre complexe $2 - 2\text{i}$ autre solution de l'équation (E).
	\end{enumerate}
\item $(1 + \text{i})^6 = -8\text{i} \iff 
[(1 + \text{i})^2]^3 = -8\text{i}$.\\
Le nombre complexe $(1 + \text{i})^2 = 2\text{i}$ est solution de l'équation (E$'$).
\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Soit A le point d'affixe 2i
Si B est l'image de A par $r$, on a :

$z_{\text{B}} = b = z_{\text{A}}\text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$. Donc $b = 2\text{i}\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3} - \text{i}$.\\
Pour  C,  l'image de B par la rotation $r$, on a : $c = \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}b = $

$\left( - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\sqrt{3} - \text{i} \right)  = \dfrac{\sqrt{3}}{2 } + \dfrac{\sqrt{3}}{2 }  + \text{i}\left(\dfrac{1}{2}- \dfrac{3}{2}  \right) = \sqrt{3} - \text{i}$.
		\item On a $\left( -\sqrt{3} - \text{i} \right) ^3 = \left( -\sqrt{3} - \text{i} \right) ^2\left( -\sqrt{3} - \text{i} \right)  = \left( 2 + 2\text{i}\sqrt{3}\right)\left( -\sqrt{3} - \text{i} \right) = -2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2\text{i} - 6\text{i} = - 8\text{i}.$\\
\emph{Variante :} pour $c$ : on calcule facilement que $|c| = 2$, d'où $c = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \text{i}\dfrac{1}{2} \right) = 2 \left(\cos \left(- \frac{\pi}{6} \right)  + \text{i}\sin \left(- \frac{\pi}{6} \right)\right) = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.$\\
D'où $c^3 = \left( 2\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} \right)^3 = 2^3\text{e}^{-3\text{i}\frac{\pi}{6}} = 8\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} = - 8\text{i}$.\\
Donc $b$ et $c$ sont solution de l'équation (E$'$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Représentation des points A, B, C.
		
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,2)(-1.732,-1)(1.732,-1)
\uput[ur](0,2){A}\uput[dl](-1.732,-1){B} 
\uput[dr](1.732,-1){C}\uput[dr](0,0){O}
\pspolygon(0,2)(-1.732,-1)(1.732,-1)
\end{pspicture}		
\end{center}

		\item AB = $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}}\right| = \left|- \sqrt{3} -3 \text{i}\right| = 2\sqrt{3}$ ;
		
AC $= \left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}\right| = \left|\sqrt{3} - 3\text{i}  \right| = 2\sqrt{3}$ ;

BC $= \left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right| = \left|2\sqrt{3}  \right| = 2\sqrt{3}$.

Par la rotation $r$ :
\begin{itemize}
\item l'image de A est B ;
\item l'image de B est C ; 
\item l'image de C est C$'$ tel que $z_{\text{C}'} = \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\left( \sqrt{3} - \text{i}\right) = \left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\left( \sqrt{3} - \text{i}\right)  = - \dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\right) = 2\text{i}.$\\
Donc C$'$ = A.\\
L'image de C est A.
\end{itemize}
 Les trois points images sont donc les sommets du triangle BCA. Or ce triangle a ses trois côtés de même longueur : il est donc équilatéral.
		\item G  centre de gravité (ou isobarycentre des points A, B et C)  du triangle ABC a une affixe telle que $z_{\text{G}} = \dfrac{z_{\text{A}} + z_{\text{B}} + z_{\text{C}}}{3} = \dfrac{2\text{i} -\sqrt{3} - \text{i} + \sqrt{3} - \text{i}} {3} = 0$.
		
Le centre de gravité est donc le point O.

\emph{Autre méthode :} par définition de la rotation on a OA = OB = OC ; O est donc le centre du cercle circonscrit au triangle (ABC) ; or ce triangle est équilatéral : son centre du cercle circonscrit est aussi son centre de gravité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de  spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $1 + x + x^2 + \cdots + x^{k-1}$ est la somme des $k$ premiers termes de la suite géométrique  de premier terme $1$ et de raison $x$ : elle est donc égale à : $\dfrac{x^k - 1}{x - 1}$ (pour $x \neq 1$).\\
Donc $(x-1)\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{k-1} \right) = (x - 1) \times \dfrac{x^k - 1}{x - 1} = x^k - 1$.

Pour $x = 1$ : l'égalité est évidente.
\item
	\begin{enumerate}
		\item $n \in \ N,~n = dk$.
		
D'après la question \textbf{1.} $a^n - 1 = (a - 1)\left(1 + a + a^2 + \cdots + a^{n - 1} \right) = a^{dk} - 1 = \left(a^d \right)^k - 1 = \left(a^d - 1\right)\left( \cdots + \cdots \right)$,~ la parenthèse étant une somme d'entiers donc un entier.
		
Conclusion : $a^n - 1 =  \left(a^d - 1\right)\left(\cdots + \cdots \right)$, ce qui signifie que $\left(a^d - 1\right)$ est un diviseur de $a^n - 1$.
		\item On a donc 
		\begin{itemize}
	\item \np{2004} est multiple de 3, donc d'après le \textbf{a.} $2^{\np{2004}} - 1$ est divisible par $2^3 - 1 = 7$ ;
	\item \np{2004} est multiple de 3 et de de 2, donc de 6 ; d'où $2^{\np{2004}} - 1$ est divisible par $2^6 - 1 = 63$ :
	\item On vient de voir que $2^{\np{2004}} - 1 = 63k = 9\times (7k)$, donc $2^{\np{2004}} - 1$ est divisible par $9$.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $m = dm'$ et $n = dn'$. Puisque $d$ est le plus grand diviseur commun à $m$ et $n$, on sait que $m'$ et $n'$ sont premiers entre eux. D'après Bezout il existe $(u,~v) \in \Z^2$ tel que 
		\[m'u - n'v = 1 \iff m'ud - n'vd = d \iff mu - nv = d\]
		\item Avec $u$ et $v$ positifs, l'égalité précédente peut s'écrire $mu = nv + d.$
		
		D'où : $\left(a^{mu} - 1 \right)- \left(a^{nv} - 1\right)a^d = \left(a^{nv + d} - 1\right) - \left(a^{nv} - 1\right)a^d  = \left(a^{nv}\times a^d - 1\right) - \left(a^{nv} - 1\right)a^d   = \left(a^{nv}\times a^d\right) - 1 - \left(a^{nv}\times a^d\right)  + a^d = a^d - 1.$
		
Le PGCD de $a^{mu} - 1$ et $a^{nv} - 1$ divise aussi $a^{mu} - 1$ et $\left(a^{nv} - 1\right)a^d$ (et c'est le plus grand diviseur) donc leur différence  qui est $a^d - 1$.

Donc le PGCD de 	$\left(a^{mu} - 1 \right)- \left(a^{nv} - 1\right)a^d$ et de $a^{np} - 1$ est égal au PGCD de $a^d - 1$  et de $a^{np} - 1$.
Nous avons vu à la question précédente que comme $d$ divise $n$, $a^d - 1$  divise $a^{nv} - 1$.

Conclusion  :le PGCD de 	$a^{mu} - 1$ et $a^{nv} - 1$ est égal à $a^d - 1.$
		\item Application : $m = 63,~n = 60$.
		
		$63 = 3^2 \times 7$ et $60 = 2 \times 3 \times 5$. Donc PGCD$(63~;~60) = 3$.
		
On a $m = 63 = 3 \times 21= 3 m'$ et $n = 60 = 3 \times 20 = 3  n'$.

D'autre part 21 et 20 sont premiers et on trouve facilement 

$u = 1,~v = 1$ tels que $21 \times 1 - 20 \times 1 = 1$.

Donc $mu - nv = 63 - 60 = 3 = \text{PGCD}(63~;~60)$.
En appliquant le résultat de la question précédente : 
		
PGCD$\left(2^{63} - 1~;~2^{60} - 1\right) = 2^3 - 1 = 7$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Réponse D :  Pour que S appartienne à $\mathcal{D}$, il faut que les coordonnées de S vérifient les équations paramétriques de $\mathcal{D}$.
Or ces coordonnées de S ne vérifient  ni A($z \neq 3$)  ni B (il faudrait $t = -1$ et $t = 1/3$), mais  vérifient les équations  C et  D. 

De plus 
 $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$ il faut que tout vecteur directeur de $\mathcal{D}$ soit colinéaire à tout vecteur normal de $\mathcal{P}$.
Le vecteur $\vect{n}(1~; 1~;~-3)$ est normal à $\mathcal{P}$.

Or la droite définie par C a un vecteur directeur de coordonnées $(1~;~-2~;~0)$ qui n'est pas colinéaire à $\vect{n}$.

Par contre un vecteur directeur de la droite définie par D a pour coordonnées  $(1~; 1~;~-3)$ qui sont les coordonnées de $\vect{n}$. 
\item  Réponse D car seules les coordonnées de D vérifient l'équation du plan $\mathcal{P}$ : elles correspondent à la valeur $t =  \dfrac{14}{11}$.
\item  Réponse B :\\
$d(\text{S},~ \mathcal{P}) = \dfrac{|1 - 2 + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-3)^2}}= \dfrac{3}{\sqrt{11}}$.
\item  Réponse B :\\
La distance de S au plan est inférieure à 3 donc l'intersection de la sphère  et du plan $\mathcal{P}$ est un cercle de centre H.\\
Le triangle SHM, M étant un point du cercle  est rectangle en H.\\
D'après le théorème de Pythagore on a : $3^2 = \left( \dfrac{3}{\sqrt{11}}\right)^2 + r^2 \iff r^2 = 9 - \dfrac{9}{11} = \dfrac{90}{11} \Rightarrow r = 3 \sqrt{\dfrac{10}{11}}.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On a donc $0,5 = \displaystyle\int_{0}^{200} \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = \left[-\text{e}^{- \lambda x}  \right]_{0}^{200} = - \text{e}^{- 200\lambda} + 1 \iff \text{e}^{- 200\lambda} = 0,5 \iff -200\lambda = - \ln 2 \iff \lambda = \dfrac{\ln 2}{200}$.
\item  La probabilité cherchée est $1 - \displaystyle\int_{0}^{300} \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x = 1 - \left[- \text{e}^{- \lambda x}  \right]_{0}^{300} = \text{e}^{- 300\lambda } = \text{e}^{- \frac{300\ln 2}{200}} = {e}^{- \frac{3\ln 2}{2}} \approx 0,353$ soit $0,35$ à $10^{-2}$ près par défaut.
\item
	\begin{enumerate}
\item  Pour calculer l'intégrale on pose :\begin{center}
$\begin{array} {l l}
u(x) = x& v'(x) = \text{e}^{-\lambda x}\\
u'(x) = 1 & v(x) = - \dfrac{1}{\lambda}\text{e}^{-\lambda x}\\
\end{array}$\end{center}

Les fonctions $u,~u',~v,~v'$ étant continues, on peut intégrer par parties et
		
$\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \left[- \lambda \dfrac{1}{\lambda} x\text{e}^{-\lambda x}  \right]_{0}^{A} + \dfrac{1}{\lambda}	\displaystyle\int_0^A  \text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \left[- x\text{e}^{-\lambda x} -  \dfrac{1}{\lambda^2}\text{e}^{-\lambda x} \right]_{0}^{A} = \left[-x\text{e}^{-\lambda x} - \dfrac{1}{\lambda}\text{e}^{-\lambda x}  \right]_{0}^A = - A\text{e}^{-\lambda A} - \dfrac{1}{\lambda}\text{e}^{-\lambda A} + \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{- \lambda A\text{e}^{-\lambda A} - \text{e}^{-\lambda A} + 1}{\lambda}$.	
	\end{enumerate}
		\item Comme $\displaystyle\lim_{A \to + \infty} \text{e}^{-\lambda A} = 0$ (car $\lambda > 0$ et que $\displaystyle\lim_{A \to + \infty} A\text{e}^{-\lambda A} = 0$, on en déduit que :

		\[\displaystyle\lim_{A \to + \infty} \dfrac{- \lambda A\text{e}^{-\lambda A} - \text{e}^{-\lambda A} + 1}{\lambda} = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{200}{\ln 2}.  \]
		
Donc $d_{m} = \dfrac{200}{\ln 2} \approx 289~$semaines à une semaine près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item   $x'(t) = v(t)$.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $v$ est solution de l'équation (F), alors pour tout réel $t \geqslant 0,$

$v'(t) = - \dfrac{1}{8}v(t) + \dfrac{1}{4}$.

Or $x'(t) = v(t) \Rightarrow x''(t) = v'(t)$.

L'équation précédente s'écrit donc :

\begin{equation*}
\begin{split}
 x"(t) &=  - \dfrac{1}{8}x'(t) + \dfrac{1}{4}\\
 8x''(t) &= - x'(t) + 2\\
 25x'(t) + 200x''(t) &= 50
\end{split}
\end{equation*}

 La fonction $x$ est donc solution de l'équation (E).
\item[$\bullet~$] Inversement si $x$ est solution de (E), alors pour tout réel positif,
\begin{equation*}
\begin{split}
 25x'(t) + 200x''(t) &= 50\\
 x''(t) &= - \dfrac{26}{200}x'(t) + \dfrac{50}{200}\\
 x''(t) &= - \dfrac{1}{8}x'(t) + \dfrac{1}{4}\\
 v'(t) &=  - \dfrac{1}{8}v(t) + \dfrac{1}{4}
\end{split} 
\end{equation*}
car en posant $v(t) = x'(t), ~v'(t) = x''(t)$
\end{itemize}

Conclusion : la fonction $x$ est solution de (E) si et seulement si la fonction $v$ est solution de (F).

\textbf{Résolution de (F)} : cette équation est de la forme $y' = ax + b.$ Elle a une solution particulière constante $- \dfrac{b}{a} = -\dfrac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{8}} =  2$ et les solutions de l'équation $y = ax$ sont de la formes $y = K\text{e}^{ax} = K\text{e}^{-\frac{1}{8}x}$ (avec $K \in \R$).

Les solutions de l'équation $y = ax + b$  sont donc de la forme :

$y = K\text{e}^{-\frac{1}{8}x} + 2$

Les fonctions $v$ solutions de l'équation (F) sont les fonctions définies sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[v(t) = K\text{e}^{-\frac{1}{8}t} + 2\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calcul de $x'(t)$ : on sait que $x'(t) = v(t) = K\text{e}^{-\frac{1}{8}t} + 2$.
		
Comme $x'(0) = 0 \iff K\text{e}^{-\frac{1}{8}\times 0} + 2 = 0 \iff K + 2 = 0 \iff K = - 2$, on a finalement pour tout $t$ positif :

		\[x'(t) = 2 - 2\text{e}^{-\frac{1}{8}t} \]
		
		\item Calcul de $x(t)$ : d'après la question précédente $x$ est une primitive sur $[0~;~+ \infty[$ de la fonction $x \longmapsto 2 - 2\text{e}^{-\frac{1}{8}t}$, soit :
		
$x(t) = 2t - 2 \times \dfrac{1}{- \frac{1}{8}}\text{e}^{-\frac{1}{8}t} + K' = 2t + 16\text{e}^{-\frac{1}{8}t} + K'$ avec $K' \in \R$.

Comme on sait que $x(0) = 0$, alors $16 + K' = 0 \iff K' = - 16$.

		Conclusion : la fonction solution de (E) est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[x(t) = 2t - 16 + 16\text{e}^{-\frac{1}{8}t}\]

	\end{enumerate}
\item On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{-\frac{1}{8}t} = 0 $, alors $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}  v(t) = 2$.\\
Donc V = 2.

La vitesse $v$ du chariot est inférieure ou égale à 90\:\% de V si 

$v(t) \leqslant 0,9V \iff -2\text{e}^{-\frac{1}{8}t} + 2 \leqslant 0,9 \times 2 \iff \text{e}^{-\frac{1}{8}t} \geqslant 0,1 \iff -\frac{1}{8}t \geqslant \ln 0,1 \iff \frac{1}{8}t \leqslant \ln 10 \iff t \leqslant 8\ln 10 \approx 18,4$ secondes.
\item La distance parcourue par le chariot au bout de $30$ secondes est : 

\begin{equation*}
x(30) = 2 \times 30 - 16 + 16\text{e}^
{-\frac{30}{8}}\\
x(30) = 44 + 16\text{e}^s{-15}{4}\\
x(30) \approx 44,4
\end{equation*}

En 30 secondes le chariot a parcouru environ 44,4 mètres à 1 décimètre près.
\end{enumerate}
\end{document}