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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%% Corrigé de Jean-Paul Goualard %%%%%
\DeclareMathOperator{\e}{e}
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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\begin{center}
\section*{\fbox{\textcolor{red}{\decofourleft~Correction du sujet Métropole S juin 2006~\decofourright}}}
\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1}}

On ne demandait pas de justification ; celles-ci sont données à but pédagogique

\medskip

\begin{enumerate}

\medskip

\item L'équation $2x + 2y - z - 11 = 0$ est l'équation d'un plan $\mathcal{P}$.

$\bullet$ $2x_A+2y_A-z_A-11=2\times 2+2\times 4-1-11=0$ donc A appartient à $\mathcal{P}$.

$\bullet$ $2x_B+2y_B - z_B-11 = 2\times 0+2\times 4-(-3)-11=0$ donc B appartient à $\mathcal{P}$.

$\bullet$ $2x_C+2y_C-z_C-11 = 2\times 3 + 2\times 1-(-3)-11=0$ donc C appartient à $\mathcal{P}$.

%$\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\0\\-4\end{pmatrix}$ ; $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\-3\\-4\end{pmatrix}$.

Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les trois points A, B et C ne sont pas alignés et appartiennent au plan $\mathcal{P}$, donc ce plan est le plan (ABC). L'affirmation est donc \textbf{vraie}.
\item $2x_E+2y_E-z_E-11=2\times 3+2\times 2-(-1)-11=0$ donc E appartient à (ABC).

Le vecteur $\vect{DE}$ a pour coordonnées : $\vect{DE}\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}$. Alors : $\vect{DE}~\cdot~\vect{AB}=-4+0-4\neq 0$ donc les vecteurs $\vect{DE}$ et $\vect{AB}$ ne sont pas orthogonaux. Le point E n'est donc pas le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC). L'affirmation est \textbf{fausse}.
\item $\vect{CD}\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}$ donc $\vect{AB}.\vect{CD}=4+0-4=0$. Les deux vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{CD}$ sont orthogonaux donc les droites (AB) et (CD) aussi. L'affirmation est \textbf{vraie}.
\item Le point C n'appartient pas à la droite dont on donne la représentation paramétrique. En effet, si c'était le cas, il existerait un réel $t$ tel que : 

$\left\{\begin{array}{rcr}-1+2t&=&3\\-1+t&=&1\\\phantom{2}1-\phantom{2}t&=&-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{lcr}t&=&2\\t&=&2\\t&=&4\end{array}\right.$, ce qui est impossible. Par conséquent, l'affirmation est \textbf{fausse}.
\item $\vect{AI}\begin{pmatrix}-\dfrac{7}{5}\\0\\-\dfrac{14}{5}\end{pmatrix}$ donc $\vect{AB}=\dfrac{10}{7}\vect{AI}$. Les deux vecteurs sont colinéaires, donc I appartient bien à la droite (AB). L'affirmation est \textbf{vraie}.
\end{enumerate}
Il fallait donc répondre : \textbf{V -- F -- V -- F -- V}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^2\text{e}^{1-x}$.
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(1-x)=+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\text{e}^{1-x}=+\infty$ par le théorème de composition des limites. Comme on a aussi $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=+\infty$, on en déduit que : $\boxed{\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty}$.\\
Pour tout $x$, on a : $f(x)=\text{e}x^2\text{e}^{-x}=\text{e}\dfrac{x^2}{\text{e}^x}$.\\D'après le théorème de croissance comparée, $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\text{e}^x}{x^2}=+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2}{\text{e}^x}=0$. On en déduit que $\boxed{\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0}$.

L'axe $(Ox)$ est donc asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
		\item $f$ est dérivable comme produit et composée de fonctions dérivables ;
		
pour tout x de $\mathbb{R}$, $f'(x)=2x\text{e}^{1-x}-x^2\text{e}^{1-x}=(2x-x^2)\text{e}^{1-x}=\boxed{x(2-x)\text{e}^{1-x}}$.
\item Pour tout x, $\text{e}^{1-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x(2-x)$ qui est strictement positif entre ses racines donc sur $]0~;~2[$, nul en 0 et 2 et négatif ailleurs.

On en déduit le tableau de variations :
\begin{center}$ \begin{array}{|c|lcccccr|}
\hline
x&-\infty&&0&&2&&+\infty\\
\hline
f'(x)&&-&0&+&2&-&\\
\hline
&+\infty&&&&\dfrac{4}{\text{e}}&&\\
f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\
&&&0&&&&0\\
\hline
\end{array}$\end{center}
\begin{figure}[h]
Courbe :
\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(6,7)
%repère
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.5)(6,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.7,0){$\vect{i}$ }\uput[l](0,0.7){$\vect{j}$ }
\uput[d](2,0){2}
%tangentes horizontales
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-0.75,0)(0.75,0)\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(1.25,1.47)(2.75,1.47)
%courbe
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{6}{ 2.71828 1 x sub exp x 2 exp mul }
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1.47)
%Aire
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{ 2.71828 1 x sub exp x 2 exp mul }
\psline(2,0)(0,0)}
\uput[d](1.4,0.8){$\mathcal{A}$ }
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{figure}

\end{enumerate}
\newpage
\item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose : $I_n=\int_0^1x^n\text{e}^{1-x}\text{d }x$.
	\begin{enumerate}
		\item $I_{n+1}=\int_0^1x^{n+1}\text{e}^{1-x}\text{d }x$.
		
Prenons $\left\{\begin{array}{lcl}u_{n+1}(x)&=&x^{n+1}\\ v'(x)&=&\text{e}^{1-x}\end{array}\right.$. Alors : $\left\{\begin{array}{lcl}u_{n+1}'(x)&=&(n+1)x^{n}\\ v(x)&=&-\text{e}^{1-x}\end{array}\right.$.

$u_{n+1}$ et $v$ ont des dérivées continues donc on peut appliquer la formule d'intégration par parties.

On a : $I_{n+1}=\int_0^1u_{n+1}(x)v'(x)\text{d }x=[u_{n+1}(x)v(x)]_0^1-\int_0^1u_{n+1}'(x)v(x)\text{d }x\\=\left[-x^{n+1}\text{e}^{1-x}\right]_0^1+\int_0^1(n+1)x^N\text{e}^{1-x}\text{d }x=-1+(n+1)I_n$.

Par conséquent, pour tout n, on a : $\boxed{I_{n+1}=(n+1)I_n-1}$.
		\item La même formule d'intégration par parties donne :
		
$I_1=\int_0^1x^{1}\text{e}^{1-x}\text{d }x=[-x\text{e}^{1_x}]_0^1+\int_0^1\text{e}^{1_x}\text{d }x=-1+\left[-\text{e}^{1-x}\right]_0^1=-1+(-1+\text{e})=\boxed{\text{e}-2}$.

En appliquant la formule précédente, on trouve : $I_2=2I_1-1=\boxed{2\text{e}-5}$.
		\item On remarque que $I_2=\int_0^1f(x)\text{d }x$ donc comme $f$ est une fonction positive, $I_2$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe $(Ox)$ et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ de [0~;~1], on a : $0\leqslant x\leqslant 1$ donc $-1\leqslant -x\leqslant0$, d'où $0\leqslant1-x\leqslant 1$ qui donne $1\leqslant\text{e}^{1-x}\leqslant \text{e}$ (en appliquant la fonction exponentielle qui est croissante) et finalement $x^n\leqslant x^n\text{e}^{1-x}\leqslant \text{e}x^n$ (en multipliant par $x^n$ qui est positif).
		\item En utilisant les propriétés de l'intégrale, on obtient :
		
$\int_0^1x^n\text{d}x\leqslant\int_0^1x^n\text{e}^{-x}\text{d}x\leqslant \int_0^1\text{e}x^n\text{d}x$ soit $\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1\leqslant I_n\leqslant \text{e}\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1$.

Par conséquent : $\boxed{\dfrac{1}{n+1}\leqslant I_n\leqslant \dfrac{\text{e}}{n+1}}$.

Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\dfrac{1}{n+1}$ et $\dfrac{\text{e}}{n+1}$ tendent vers 0 donc $I_n$ tend aussi vers $0$ (théorème des gendarmes).$\boxed{\lim_{n\rightarrow+\infty}I_n=0}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 (pour ceux n'ayant pas choisi la spécialité)}}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $z$ un nombre complexe non nul. $z\times \dfrac{1}{z}=1$ donc d'après les prérequis, $\arg\left(z\times \dfrac{1}{z}\right)=\arg(z)+\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=\arg(1)=0+2k\pi$. Par conséquent : $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z)+2k\pi$.
		
Alors, pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ non nuls :

$\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg\left(z\times \dfrac{1}{z'}\right)=\arg(z)+\arg\left(\dfrac{1}{z'}\right)= $

$\arg(z)+(-\arg(z'))=\arg(z)-\arg(z')+2k\pi$.
\item Soient A, B et C trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$.

Alors : $\arg\left(\dfrac{c-a}{b-a}\right)=\arg(c-a)-\arg(b-a)=(\vect{u},\vect{AC})-(\vect{u},\vect{AB})$ (d'après le prérequis) $=(\vect{AB},\vect{AC})$ (d'après la relation de Chasles).
	\end{enumerate}

\item Soit $f$ l'application de $P\setminus\{O\}$ dans $P\setminus\{O\}$ qui, à tout point $M(z)$ associe le point $M'(z')$ avec $z'=\dfrac{1}{\overline{z}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $z\neq 0$, $\arg(z')=\arg\left(\dfrac{1}{\overline{z}}\right)=-\arg(\overline{z})=\arg(z)+2k\pi$. 
		
$\boxed{\arg(z')=\arg(z)+2k\pi}$.
		
On en déduit que $(\vect{u},\vect{OM})=(\vect{u},\vect{OM'})+2k\pi$ donc $M$ et $M'$ appartiennent à une \textbf{même demi-droite d'origine $O$}.
		\item $f(M)=M$ équivaut à $\dfrac{1}{\overline{z}}=z$ donc à $z\overline{z}=1$ c'est-à-dire à $|z|^2=1$ donc à $|z|=1$.\\
\fbox{L'ensemble des points invariants par $f$ est le cercle de centre $O$ et de rayon 1}.
		\item Pour tout $z\neq 0$ :
		
$\dfrac{z'-1}{z'-\text{i}}=\dfrac{\dfrac{1}{\overline{z}}-1}{\dfrac{1}{\overline{z}}-\text{i}}=\dfrac{1-\overline{z}}{1-\text{i}\overline{z}}=\dfrac{1-\overline{z}}{\text{i}(-\text{i}-\overline{z}}=\dfrac{1}{\text{i}}\dfrac{\overline{z}-1}{\overline{z}+\text{i}}=\dfrac{1}{\text{i}}\dfrac{\overline{z-1}}{\overline{z}-\text{i}}=\dfrac{1}{\text{i}}\overline{\left(\dfrac{z-1}{z-\text{i}}\right)}$

donc $\boxed{\dfrac{z'-1}{z'-\text{i}}=\dfrac{1}{\text{i}}\overline{\left(\dfrac{z-1}{z-\text{i}}\right)}}$

On en déduit que : $\arg\left(\dfrac{z'-1}{z'-\text{i}}\right)=\arg\left(\dfrac{1}{\text{i}}\right)+\arg\left(\overline{\left(\dfrac{z-1}{z-\text{i}}\right)}\right)=$

$\arg(-\text{i})-\arg\left(\dfrac{z-1}{z-\text{i}}\right)=-\dfrac{\pi}{2}-\arg\left(\dfrac{z-1}{z-\text{i}}\right)+2k\pi$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $z$ tel que $z\neq 1$ et $z\neq \text{i}$. (donc $M\neq U$ et $M\neq V$).
		
$M$ appartient à la droite $(UV)$ privée de $U$ et $V$ si et seulement si 

$(\vect{MU},\vect{MV}) = k\pi$ c'est-à-dire $\arg\left(\dfrac{z-1}{z-\text{i}}\right)=k\pi$ donc si et seulement si $\dfrac{z-1}{z-\text{i}}$ est réel non nul.
		\item $M(z)$ est un point de la droite $(UV)$ privée de $U$ et $V$ si et seulement si $\arg\left(\dfrac{z-1}{z-\text{i}}\right)=k\pi$ (d'après la question précédente) donc $\arg\left(\dfrac{z'-1}{z'-\text{i}}\right)=-\dfrac{\pi}{2}-\arg\left(\dfrac{z-1}{z-\text{i}}\right)=\pm\dfrac{\pi}{2}+2k'\pi$ c'est-à-dire $(\vect{M'V},\vect{M'U})=\pm\dfrac{\pi}{2}+2k'\pi$.
		
$M'$ décrit alors le cercle de diamètre $[UV]$, privé des points $U$, $V$ et $O$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 (pour ceux ayant choisi la spécialité)}}
\textbf{Partie A :}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Théorème de Bézout :} Deux entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $ux+vy=1$.

\textbf{Théorème de Gauss :} Soient trois entiers relatifs $a$, $b$ et $c$. Si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.
\item \textbf{Démontrons le théorème de Bézout :}

On suppose que $a$ et $b$ sont premiers entre eux et que $a$ divise $bc$.

Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe $u$ et $v$ relatifs tels que $ua+vb=1$.

Alors : $uac+vbc=c$. Comme $a$ divise $bc$, il existe $k$ relatif tel que $bc=ka$.

On en déduit : $uac+kav=c$ donc $a(uc+kv)=c$. $uc+kv$ est un entier relatif (somme et produit de relatifs) donc $a$ divise $c$.

\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère le système $(S)$ $\left\{\begin{array}{lclr} n&\equiv& 13&(19)\\n&\equiv&6&(12)\end{array}\right.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item 19 est un nombre premier donc 19 et 12 sont premiers entre eux ; d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $19u+12v=1$.

On pose alors $N=13\times 12v+6\times 19u$.

$N=13(1-19u)+6\times 19u=13-1319u+6\times 19u\equiv 13(19)$.

$N=13\times 12v+6\times (1-12v)=13\times 12v+6-6\times 12v\equiv 6(12)$.

\textbf{$N$ est bien solution du système $S$}.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n_0$ une solution de $(S)$.
		
$n$ est solution de $(S)$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{lclr} n&\equiv& 13&(19)\\n&\equiv&6&(12)\end{array}\right.$ c'est-à-dire $\left\{\begin{array}{lclclr} n&\equiv& 13&\equiv& n_0&(19)\\n&\equiv&6&\equiv&n_0&(12)\end{array}\right.$

donc $(S)$ équivaut à $\left\{\begin{array}{lclr} n&\equiv& n_0&(19)\\n&\equiv&n_0&(12)\end{array}\right.$.
		\item $\bullet$ Si $n\equiv n_0(12\times 19)$ alors il est clair que $n\equiv n_0(19)$ et $n\equiv n_0(12)$ donc que $\left\{\begin{array}{lclr} n&\equiv& n_0&(19)\\n&\equiv&n_0&(12)\end{array}\right.$ .
		
$\bullet$ \textbf{Réciproquement :}

Si $\left\{\begin{array}{lclr} n&\equiv& n_0&(19)\\n&\equiv&n_0&(12)\end{array}\right.$, alors il existe $k$ et $k'$ entiers relatifs tels que 

$n-n_0=19k$ et $n-n_0=12k'$ donc $19k=12k'$.

19 divise donc $12k'$. Comme 12 et 19 sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, 19 divise $k'$ donc $k'=12k''$, $k''\in\mathbb{Z}$. Alors $n-n_0=12\times 19k''$ donc $n\equiv n_0(12\times 19)$.

On a montré que $\left\{\begin{array}{lclr} n&\equiv& n_0&(19)\\n&\equiv&n_0&(12)\end{array}\right.$ équivaut à $n\equiv n_0$ ($12\times 19)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Appliquons l'algorithme d'Euclide : 
		
On a successivement :

$19=1\times 12+7$

$12=7\times 1+5$

$7=5\times 1+2$

$5=2\times 2+1$

d'où $1=5-2\times 2=5-2(7-5\times 1)=5\times 3-2\times 7=(12-7)\times 3-2\times 7=12\times 3-7\times 5=12\times 3-(19)12)\times 5=\boxed{12\times 8-19\times 5}$.

Un couple $(u~;~v)$ est : $\boxed{(u~;~v)=(-5~;~8)}$.

Alors $\boxed{N=13\times 12\times 8+6\times 19\times (-5)=\boxed{678}}$.
		\item $N=678$ est une solution de $S$. D'après la question $2 b)$, les solutions de $(S)$ sont tous les nombres $n$ tels que $n\equiv N~(12\times 19)$ c'est-à-dire $n\equiv 678~(228)$. (car $12\times 19=228)$
		
$\boxed{\mathcal{S}=\{678+228k,~k\in\mathbb{Z}\}}$
	\end{enumerate}

\item Soit $n$ un entier tel que, si on le divise par 12, le reste est 6 et si on le divise par 19, le reste est 13. $n$ est donc une solution de $(S)$. Alors $n\equiv 678~(228)\equiv 222~(228)$.
Le reste $r$ de la division de $n$ par $228=12\times 19$ est $\boxed{222}$.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}

\begin{enumerate}
\item Notons $C$ l'évènement \og le ballon est crevé\fg. Alors $p(C)=0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Comme les tirs sont indépendants la probabilité que la ballon soit intact au bout de deux tirs est $(1 - p(C))^2 = 0,8^2 = 0,64$.
		\item Calculons la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon. L'évènement contraire est : \og deux tirs ne suffisent pas\fg, autrement dit, le ballon n'est pas crevé au bout de deux tirs. C'est l'évènement contraire de celui étudié au a). Sa probabilité vaut 1 - 0,64 = 0,36.
		\item Calculons la probabilité $p_n$ que $n$ tirs suffisent pour crever le ballon. L'évènement contraire est \og le ballon n'est pas crevé au bout de $n$ tirs\fg, de probabilité $(p(\overline{C})^n = 0,8^n$ (car les tirs sont indépendants).
		
Par conséquent : $\boxed{p_n=1-0,8^n}$.
		\item $p_n > 0,99$ équivaut à $1-0,8^n>0,99$ c'est-à-dire à $0,8^n<0,01$.
		
La fonction $\ln$ étant croissante, on trouve $n\ln0,8 < \ln 0,01$ donc 

$n > \dfrac{\ln0,01}{\ln0,8}$ soit $\boxed{n\geqslant 21}$.

\fbox{Il faut que $n\geqslant 21$ pour que $p_n > 0,99$}.
	\end{enumerate}
\item Pour chaque valeur de $k$ compris entre 1 et 4, la probabilité de crever le ballon est la probabilité $p_k$, calculée en 1) c) : $p_k=1-0,8^k$.

Le dé n'est pas pipé donc chaque face a la même probabilité de sortie égale à $\dfrac{1}{4}$.

La probabilité de crever le ballon est : $\dfrac{1}{4}(p_1+p_2+p_3+p_4)=\boxed{0,4096}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Les fréquences sont : $f_1=\dfrac{58}{200} = \dfrac{29}{100}$ ; $f_2=\dfrac{49}{200}$ ; $f_3 = \dfrac{52}{200}=\dfrac{13}{50}$ et $f_4=\dfrac{41}{200}$.
		\item Alors $d^2=\sum_{k=1}^4\left(f_k-\dfrac{1}{4}\right)^2=\boxed{0,00375}$.
		\item On constate que $d^2<D_9$.
		
\fbox{Au risque de 10\%, on peut considérer que le dé n'est pas pipé.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document} 