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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%%%%%%%%%%%%%%% définition escalier
\newcommand{\escalier}[4]{%
\code{/x 1 def}
\moveto(!x 1)
\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=red](!x 0)(!x x)
\multido{\i=0+1}{4}{%
\code{/y x dup  mul 4 add ln def}
%\moveto(!x 0)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{->}(!x 0)(!x x)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt,ArrowInside=->](!x x)(!x y)(!y y)
\code{/x y def}%
\uput[d](!x 0){$A_{\i}$}				% (on place les nom des points)
}
} 
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2009}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
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\thispagestyle{empty}
%\tapuscrit{Jean-Paul GOUALARD}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole \& La Réunion 
~\decofourright\\[5pt]septembre 2009}}
\end{center}

\subsection*{EXERCICE 1 \hfill  (6 points)}
\begin{center}
Commun à tous les candidats
\end{center}

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \ln(x^2 + 4)$ .\\

\textbf{PARTIE A}
\begin{enumerate}
\item  %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
Quel que soit le réel $x,\:x^2 \geqslant 0 \Rightarrow x^2 + 4 \geqslant 4 \Rightarrow \ln \left(x^2 + 4 \right)$ existe.

La fonction $f$ est la composée de la fonction $x \longmapsto x^2 + 4$, dérivable sur $\R$ \`a valeurs dans $]4~;~+ \infty[$ et de la fonction $x \longmapsto \ln x$ qui est  dérivable sur $]4~;~+\infty[$. La fonction $f$ est donc dérivable sur $]0~;~+ \infty[$.

Comme $\left(\ln \circ u(x)\right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$, avec $u(x) = x^2 + 4$ on obtient $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 4}$ quel que soit $x \in [0~;~+\infty[$.

Le numérateur et le dénominateur étant positifs, le quotient est positif, donc la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. La dérivée n'étant nulle qu'en $0$, on peut affirmer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+ \infty[$.
\item %Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.
\begin{enumerate}
\item  %Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ .
La fonction $g$ est dérivable et $g'(x) = f'(x) - 1 = \dfrac{2x}{x^2 + 4} - 1 = \dfrac{-x^2 + 2x - 4}{x^2 + 4}$.

Le signe de $g'(x)$ est donc celui du trinôme $-x^2 + 2x - 4$.

Son discriminant $\Delta = 4 - 16 = - 12$ donc $g'(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$ donc négatif pour tout $x \in [0~;~+\infty[$.

La fonction $g$ est donc décroissante sur $[0~;~+\infty[.$
\item %Montrer que sur l'intervalle $[2~;~3]$ l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$.

%Donner la valeur arrondie de $\alpha$ à 10$^{-1}$.
$\bullet~$ la fonction $g$ est continue, car dérivable  sur $[2~;~3]$ ;

$\bullet~$ $g$ est décroissante sur $[2~;~3]$ ;

$\bullet~$ $g(2) = \ln 8 - 2 \approx 0,07 > 0$ et $g(3) = \ln 13 - 3 \approx -0,4 < 0$ ;

Il existe donc un réel unique $\alpha \in [2~;~3]$ tel que $g(\alpha) = 0$.

On trouve de même que $g(2,1) \approx 0,03$ et $g(2,2) \approx -0,03$. Donc $2,1 < \alpha < 2,2$.

Enfin $g(2,15) \approx 0,004$ et $g(2,16)\approx -0,006$.

Conclusion $\alpha \approx 2,2$ à 0,1 près.
\item %Justifier que le nombre réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = x$.
On a $g(x) = 0 \iff f(x) - x = 0 \iff f(x) = x$. Les deux équations sont équivalentes donc ont les mêmes solutions, en l'occurrence il existe un réel unique $\alpha$ tel que $f(\alpha) = \alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{PARTIE B}\\

%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\

%On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+l} = f(u_{n})$.

%La courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 
\begin{enumerate}
\item  %À partir de $u_{0}$, en utilisant la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\Delta$, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière, placer les termes $u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.
En résumé : verticalement vers $\mathscr{C}$, horizontalement vers $\Delta$. Cf. la figure à la fin.
\item %Placer le point $I$ de la courbe $\mathscr{C}$ qui a pour abscisse $\alpha$.
Cf. la figure à la fin.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $1 \leqslant u_{n}\leqslant  \alpha$.
Démonstration par récurrence :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item \emph{Initialisation} : on a bien $1 \leqslant u_{0} \leqslant \alpha$ puisque $u_{0} = 1$ ; la relation est vraie au rang $0$. 
\item \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons  que : $1 \leqslant u_{n}\leqslant  \alpha$. 

Par croissance de la fonction $f$, on a :

$f(1) \leqslant f\left(u_{n}\right) \leqslant f(\alpha) \iff \ln 5 \leqslant u_{n+1} \leqslant  \alpha.$ Comme $1 < \ln 5$, on a bien :

$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

La proposition est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n$ au moins égal à 1,  elle est vraie au rang $n + 1$, elle est donc vraie pour tout naturel $n,\:1 \leqslant u_{n}\leqslant  \alpha$.
		\item %Démontrer que la suite c converge. 
On démontre facilement ($u_{0} \leqslant u_{1}$, puis $u_{n }\leqslant u_{n+1} \Rightarrow u_{n+1} \leqslant u_{n+2}$) que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. Comme elle est majorée par $\alpha$ d'après la question précédente, elle converge vers $\ell \leqslant \alpha$.
		\item %Déterminer sa limite. 
Or la fonction $f$ est continue donc en particulier en $\ell$, on a $f\left(u_{n}\right) = u_{n+1} \Rightarrow f(\ell) = \ell$ (par limite en plus l'infini). On sait que la seule solution de cette équation est $\alpha.$

Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{EXERCICE 2 :\hfill(5 points)}
\begin{center}
Commun à tous les candidats
\end{center}

%L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  %On désigne par $\mathscr{P}$ le plan d'équation $x + y -1 = 0$ et par $\mathscr{P}'$ le plan d'équation $y + z - 2 = 0$.\\
%Justifier que les plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{P}'$ sont sécants et vérifier que leur intersection est la droite $\mathscr{D}$, dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\y=t\\z=2-t\end{array}\right.$,  où $t$ désigne un nombre réel.
$\mathscr{P}$ a pour vecteur normal $\vect{n}(1~;~1~;~0)$ ;

$\mathscr{P}'$ a pour vecteur normal $\vect{n'}(0~;~1~;~1)$ : ces vecteurs n'étant pas colinéaires, les plans ne sont pas parallèles ; leur intersection est donc une droite $\mathscr{D}$ dont tous les points de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ vérifient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x + y -1 &=& 0\\
y + z - 2 &=& 0
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 - y\\
z  &=& 2 - y
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 - y\\
z  &=& 2 - y\\
y&=&t
\end{array}\right. (t \in \R) \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 - t\\
z  &=& 2 - t\\
y&=&t
\end{array}\right. ~(t \in \R)$ qui est une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer une équation du plan $\mathscr{R}$ passant par le point O et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$.
La droite $\mathscr{D}$ contient le point $(1~;~0~;~2)$ et a pour vecteur directeur $\vect{u}(-1~;~1~;~-1)$ et ce vecteur est normal au plan $\mathscr{R}$.

Une équation de ce plan est donc : $M(x~;~y~;~z) \in \mathscr{R} \iff -x + y - z = 0 \iff x - y  + z = 0.$
\item %Démontrer que le point I, intersection du plan $\mathscr{R}$ et de la droite $\mathscr{D}$, a pour coordonnées $(0~;~1~;~1)$.
$\mathscr{R}$ et $\mathscr{D}$ étant perpendiculaires sont sécants en un point dont les coordonnées vérifient les équations de  $\mathscr{D}$ et de $\mathscr{R}$ soit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 - t\\
z  &=& 2 - t\\
y&=&t\\
x - y + z&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 - t\\
z  &=& 2 - t\\
y&=&t\\
1 - t - t + 2 - t&=&0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1 - t\\
z  &=& 2 - t\\
y&=&t\\
1 &=&t
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 0\\
y&=&1\\
z  &=& 1\\
1 &=&t
\end{array}\right.$
 Conclusion : I(0~;~1~;~1)
\end{enumerate}

\item %Soient A et B les points de coordonnées respectives $\left(-\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$ et $(1~;~1~;~0)$.
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que les points A et B appartiennent au plan $\mathscr{R}$.
A $\in \mathscr{R} \iff -\dfrac{1}{2} - 0 + -\dfrac{1}{2} = 0$ qui est vrai ;

B $\in \mathscr{R} \iff 1 - 1 + 0 = 0$ qui est vrai.
\item %On appelle A' et B' les points symétriques respectifs des points A et B par rapport au point I.\\
%Justifier que le quadrilatère ABA' B' est un losange.
I étant le milieu de [AA$'$] et [BB$'$], le quadrilatère ABA$'$ B$'$ est un  est un parallélogramme.

D'autre part : $\vect{\text{IA}}\left(- \dfrac{1}{2}~;~-1~;~- \dfrac{1}{2}\right)$ et $\vect{\text{IB}}\left(1~;~0~;~- 1\right)$.

Donc $\vect{\text{IA}} \cdot \vect{\text{IB}} = - \dfrac{1}{2} +  \dfrac{1}{2} = 0.$

Le parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires : c'est un losange
\item %Vérifier que le point S de coordonnées $(2~;~-1~;~3)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
Le point S correspond bien au point de $\mathscr{D}$ de paramètre $-1$
\item %Calculer le volume de la pyramide SABA' B'.\\
A, B, I, A$'$ et B$'$ sont des points de $\mathscr{R}$ et I et S appartiennent à la droite $\mathscr{D}$, donc la droite (IS) est la hauteur issue de S de la pyramide 
%\emph{On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide de base d'aire $b$ et de hauteur $h$ est: $V=\dfrac{1}{3}b\times h$}.
L'aire du losange est égale au quadruple de l'aire du triangle rectangle IAB. On a  IA = $\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ; IB = $ \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Donc aire (ABA$'$'B$'$) = $4 \times \dfrac{1}{2} \times\dfrac{\sqrt{6}}{2} \times \sqrt{2} = \sqrt{12}$.

La hauteur : $\vect{\text{IS}}(2~;~-2~;~2)$, d'où IS = $ \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12}$.

Finalement $V = \dfrac{1}{3} \times \sqrt{12}\times \sqrt{12}  =  \dfrac{1}{3} \times 12 = 4$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{EXERCICE 3 :\hfill(4 points)}
\begin{center}
 Commun à tous les candidats
\end{center}
\textbf{PARTIE A}

%Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par $f(x) =\mathrm{e}^{x}$ .\\
%On appelle $\mathscr{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
\begin{enumerate}
\item  %Soit $a$ un nombre réel. Démontrer que la tangente à la courbe $\mathscr{C}_{f}$ au point $M$ d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses au point $P$ d' abscisse $a -1$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et $f'(x) = \mathrm{e}^{x}$.

L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y - f(a) = f'(a)(x - a) \iff y - \mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{a}(x - a)$.

Elle coupe l'axe des abscisses au point d'ordonnée $0$ ; donc $0 - \mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{a}(x - a) \iff -1 = x - a \iff x = a - 1$ (car $\mathrm{e}^{a} \neq 0$. On a donc $P(a - 1~;~0)$.

\item  %Soit $N$ le projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses. Démontrer que $\overrightarrow{NP} = -\overrightarrow{i}.$
On a $M\left(a~;~\mathrm{e}^{a}\right)$ et $N(a~;~0)$.

D'ou $\vect{NP}(- 1~;~0)$ ce qui signifie que $\vect{NP} = - \vect{\imath}$.
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B}\\

%Soit $g$ une fonction dérivable sur l'ensemble des nombres réels telle que $g'(x)\neq 0$ pour tout nombre réel $x$.\\
%On appelle $\mathscr{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ .\\
%Soit $a$ un nombre réel. On considère le point $M$ de la courbe $\mathscr{C}_{g}$ d'abscisse $a$ et le point $N$ projeté orthogonal du point $M$ sur l'axe des abscisses.\\
%Soit $P$ le point d'intersection de la tangente $T_{a}$ à la courbe $\mathscr{C}_{g}$ au point $M$ avec l'axe des abscisses.\\
%Le graphique ci-dessous illustre la situation de la partie B.

%Courbe
\begin{center}
\psset{xunit=3.0cm,yunit=2.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(3.1,2.6)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-1,-0.5)(3,2.5)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[d](0.7,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.0}{3.0}{2*2.718281828^(-(x+1))}
\psplot{-1}{3}{(--0.49-0.23*x)/1}
\psline[linestyle=dashed](1.18,0.23)(1.18,0)
\rput[bl](-0.96,1.93){\blue $\mathscr{C}_{g}$}
\psdots(1.18,0.23)
\uput[ur](1.19,0.25){$M$}
\psdots(1.18,0)
\uput[dr](1.19,0.03){$N$}
\psdots(2.18,0)
\rput[bl](2.19,0.03){$P$}
\uput[d](2.9,0){$x$}
\uput[l](0,2.5){$y$}
\uput[u](-0.9,0.7){$T_a$}
\end{pspicture*}

\end{center}


\begin{enumerate}
\item %Démontrer que le point P a pour coordonnées $\left(a-\dfrac{g(a)}{g'(a)}\right)$.
L'équation de la tangente est : $y - g(a) = g'(a)(x - a)$. Le point $P$ d'ordonnée nulle est tel que $0 - g(a) = g'(a)(x - a) \iff x - a = - \dfrac{g(a)}{g'(a)} \iff x = a - \dfrac{g(a)}{g'(a)}.$ (car $g'(a) \neq 0$)
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\
%Existe-t-il une fonction $g$ vérifiant $g(0) = 2$ et $\overrightarrow{NP} =\overrightarrow{i}$ ?
On a $P\left(a - \dfrac{g(a)}{g'(a)}~;~0\right)$ et $N(a~;~0)$, d'où $\vect{NP}\left(-\dfrac{g(a)}{g'(a)}~;~0 \right)$.

Donc $\vect{NP} = \vect{\imath} \iff -\dfrac{g(a)}{g'(a)} = 1 \iff - g(a) = g'(a)$.

La fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle $y' = - y$ ; on sait que les solutions de cette équation sont de la forme $y = C\text{e}^{-x}$. Avec la condition initiale $y(0) = 2$, on obtient $2 = C\text{e}^{-0} \iff C =2.$

Conclusion : il existe bien une seule fonction vérifiant les deux conditions données, c'est la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2\text{e}^{-x}.$
\end{enumerate}

\subsection*{EXERCICE 4 :\hfill (5 points)}
\begin{center}
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}
%Un réparateur de vélos a acheté 30~\% de son stock de pneus à un premier fournisseur, 40~\% à un deuxième et le reste à un troisième.\\
%Le premier fournisseur produit 80~\% de pneus sans défaut, le deuxième 95~\% et le troisième 85~\%. 
\begin{enumerate}
\item %Le réparateur prend au hasard un pneu de son stock.
\begin{enumerate}
\item  %Construire un arbre de probabilité traduisant la situation, et montrer que la probabilité que ce pneu soit sans défaut est égale à 0,875.
F$_{1}$ désigne l'évènement : \og le pneu provient du fournisseur 1 \fg.

D désigne l'évènement : \og le pneu présente un défaut \fg.

On a l'arbre suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,shortput=nab,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F_{1}$~}\naput{0,3}}
	{\TR{$\overline{D}$}\naput{0,8}
	\TR{$D$}\nbput{0,2}
	}
\pstree{\TR{$F_{2}$~}\naput{0,4}}
	{\TR{$\overline{D}$}\naput{0,95}
	\TR{$D$}\nbput{0,05}
	}
\pstree{\TR{$F_{3}$~}\nbput{0,3}}
	{\TR{$\overline{D}$}\naput{0,85}
	\TR{$D$}\nbput{0,15}
	}
}
\end{center}

\bigskip

D'après le théorème des probabilités totales :

$p\left(\overline{D}\right) = p\left(F_{1} \cap \overline{D}\right) + p\left(F_{2} \cap \overline{D}\right) + p\left(F_{3} \cap \overline{D}\right)$ soit 

$p\left(\overline{D}\right) = 0,3 \times 0,8 + 0,4 \times 0,95 + 0,3 \times 0,85 = 0,24 + 0,38 + 0,255 = 0,875$.
%\item Sachant que le pneu choisi est sans défaut, quelle est la probabilité qu'il provienne du deuxième fournisseur ? On donnera la valeur arrondie du résultat à 10$^{-3}$.
On a 

$p_{\overline{D}}\left(F_{2}\right) = \dfrac{p\left(\overline{D} \cap F_{2} \right)}{p\left(\overline{D} \right)} = \dfrac{0,4 \times 0,95}{0,875} = \dfrac{0,38}{0,875} \approx 0,434$.

\end{enumerate}

\item %Le réparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisamment important pour assimiler ce choix de dix pneus à un tirage avec remise de dix pneus.\\
%Quelle est alors la probabilité qu'au plus un des pneus choisis présente un défaut ? On donnera la valeur arrondie à 10$^{-3}$.
La variable aléatoire donnant le nombre de pneus ayant un défaut suit une loi binomiale de probabilité $1 - 0,875 = 0,125$ avec $n = 10$.

La probabilité cherchée est donc égale à :

$p(D\leqslant 1) = p(D = 0) + p(D = 1) = 0,125^0\times 0,875^{10} + \displaystyle\binom{10}{1}\times 0,125^1 \times 0,875^9 =$

$ 0,875^{10} + 10 \times 0,125 \times 0,875^9 \approx{0,6388} \approx{0,639}$ au millième près
\item %On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de kilomètres parcourus par un pneu, sans crevaison. On fait l'hypothèse que X suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

%On rappelle que, pour tout nombre réel $k$ positif : $P(X\leqslant k) = \int_{0}^k \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ d}x$

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $P(500\leqslant X\leqslant 1000) =\mathrm{e}^{-500\lambda}-\mathrm{e}^{\nombre{1000}\lambda}$.
On a $p(500 \leqslant X \leqslant 1000) = \displaystyle\int_{0}^{1000}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x - \displaystyle\int_{0}^{500}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \displaystyle\int_{500}^{1000}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \left[\text{e}^{-\lambda x} \right]_{500}^{1000} = - \text{e}^{-1000\lambda} - \left(\text{e}^{-500\lambda} \right) = \text{e}^{-500\lambda} - \text{e}^{-1000\lambda}$.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.\\

%La probabilité que le pneu parcoure entre 500 et \nombre{1000} kilomètres sans crevaison étant égale à $\dfrac{1}{4}$, déterminer la valeur arrondie à $10^{-4}$ du paramètre $\lambda$.
On a donc $p(500 \leqslant X \leqslant 1000) = \dfrac{1}{4} \iff \text{e}^{-500\lambda} - \text{e}^{-1000\lambda} = \dfrac{1}{4} \iff \text{e}^{-500\lambda} - \left(\text{e}^{-500\lambda} \right)^2 - \dfrac{1}{4} = 0$.

En posant $x = \text{e}^{-500\lambda}$, l'équation à résoudre s'écrit $x - x^2 - \dfrac{1}{4} = 0 \iff x^2 - x + \dfrac{1}{4} = 0 \iff \left(x - \dfrac{1}{2} \right)^2  = 0 \iff x - \dfrac{1}{2} = 0 \iff x = \dfrac{1}{2}$.
Il reste à résoudre :

$\text{e}^{-500\lambda} = \dfrac{1}{2}$ soit d'après la croissance de la fonction $\ln,\: -500\lambda = \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) \iff $

$-500\lambda = - \ln 2 \iff \lambda = \dfrac{\ln 2}{500}\approx \nombre{0,00138} \approx \nombre{0,0014}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{EXERCICE 4 :\hfill  (5 points)}
\begin{center}
\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le reste dans la division euclidienne de \nombre{2009} par 11.
$\nombre{2009} = 11 \times 182 + 7$. Le reste est donc égal à $7$.
\item %Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11. 
On a $2^5 = 32 = 11 \times 2 + 10$, donc $2^5 \equiv 10 \mod 11$, ou $2^5 \equiv - 1 \mod 11$ donc 

$\left(2^5\right)^2 \equiv (- 1)^2 \mod 11 \iff 2^{10} \equiv 1 \mod 11$.

Le reste dans la division euclidienne de $2^{10}$ par 11 est égal à 1.
\item %Déterminer le reste dans la division euclidienne de $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009}$ par 11.
On a    $2^{\nombre{2009}} = 2^{10 \times 200 + 9} = 2^{10 \times 100}\times 2^9 = \left(2^{10} \right)^{100}\times 2^9 $.

Or  $2^{10} \equiv 1 \mod 11$, donc $\left(2^{10} \right)^{100} \equiv 1^{100} \mod 11$ ;

D'autre part $2^9 = 2^5 \times 2^4$. On a vu que $2^5 \equiv -1 \mod 11$ et $2^4 = 16 \equiv 5 \mod 11$, donc par produit $2^9 = 2^5 \times 2^4 \equiv -5 \mod 11$.

Finalement $2^{\nombre{2009}} \equiv 1 \times (-5) \mod 11 $ ou $2^{\nombre{2009}} \equiv - 5 \mod 11$ et comme $\nombre{2009} \equiv 7 \mod 11$, par somme on obtient finalement :

$2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009} \equiv -5 + 7 \mod 11$ ou encore $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009} \equiv 2 \mod 11$.

Le reste dans la division euclidienne de $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009}$ par 11 est égal à 2.
\end{enumerate}

\item %On désigne par $p$ un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre $A_{n} = 2^{n} + p$.\\

%On note $d_{n}$ le PGCD de $A_{n}$ et $A_{n+1}$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $d_{n}$ divise $2^{n}$.
$A_{n+1} = 2^{n+1} + p$.

Tout diviseur de $A_{n}$ et $A_{n+1}$ divise leur différence $ 2^{n+1} + p - \left(2^n + p \right) = 2^{n+1} - 2^n = 2^n(2 - 1) = 2^n.$

En particulier $d_{n}$ divise $2^n$.
\item %Déterminer la parité de $A_{n}$ en fonction de celle de $p$. Justifier. 
$n$ étant supérieur à zéro, $2^n$ est pair, donc $A_{n} = 2^n + p$ a la même parité que $p$.
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

%Déterminer la parité de $d_{n}$ en fonction de celle de $p$.
D'après la question précédente $A_{n}$ et $A_{n+1}$ ont la parité de $p$. Donc 

si $p$ est pair $A_{n}$ et $A_{n+1}$ et par conséquent leur P. G. C. D. le sont aussi ;

si $p$ est impair $A_{n}$ et $A_{n+1}$ et par conséquent leur P. G. C. D. le sont aussi ;
%En déduire le PGCD de $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009}$ et $2^{\nombre{2010}} + \nombre{2009}$. 
D'après le résultat précédent $A_{\nombre{2009}}$ et $A_{\nombre{2010}}$ sont impairs car $\nombre{2009}$ l'est et leur P. G. C. D. l'est aussi.

Or on a vu que ce P. G. C. D., $d_{n}$ divisait $2^n$. Or tous les diviseurs de $2^n$ sont pairs sauf 1 seul diviseur impair.

Conclusion : le P. G. C. D. de $2^{\nombre{2009}} + \nombre{2009}$ et $2^{\nombre{2010}} + \nombre{2009}$ est égal à 1 : ils sont premiers entre eux.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 1}\\
(à rendre avec la copie)
\end{center}
\begin{center}
\psset{unit=3.8cm,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.2)(3.1,3.1)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{i}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{j}$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.0}{3.0}{x dup  mul 4 add ln}
\psplot[plotpoints=2000]{0}{3.0}{x}
\uput[d](1,0){$u_{0}$}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1,0)(1,1.61)
\uput[d](2.8,2.46){\blue $\mathscr{C}$}
\uput[u](2.5,2.5){$\Delta$}
%\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1,1.61)(1.61,1.61)
%\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1.61,1.886)(1.61,0)
%\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1.61,1.886)(1.886,1.886)(1.886,0)
%\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](1.886,1.886)(1.886,2.022)(2.022,2.022)(2.022,0)
\uput[d](1.61,0){$u_{1}$}\uput[d](1.886,0){$u_{2}$} \uput[d](2.022,0){$u_{3}$} \uput[ul](2.16,2.16){I}
\SpecialCoor
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x dup  mul 4 add ln} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{0}{14}{x}
\pscustom[linewidth=0.5pt]{%le tracé des pts 
\escalier{x dup  mul 4 add ln}{1}{5}{$A$}
}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document} 