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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\red\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole--La Réunion~\decofourright}\\\textbf{\red septembre 2006}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\blue \textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{\blue Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item~\\
\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{E$_{1}$}\taput{$0,5$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{E$_{2}$}\taput{$0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{O$_{2}$}\tbput{$0,8$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{O$_{1}$}\tbput{$0,5$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{E$_{2}$}\taput{$0,8$}
\Tdot~[tnpos=r]{O$_{2}$}\tbput{$0,2$}
 		}
}
\end{center}

\medskip
\item On a $p\left(\text{E}_{1} \right) = 0,5~;~p_{\text{E}_{1}}\left(\text{O}_{2}\right)  = 0,8~;~p\left(\text{E}_{1} \cap \text{E}_{2} \right) = 0,5 \times 0,2 = 0,1$.
\item La probabilité cherchée est $p\left(\text{E}_{1} \cap \text{E}_{2} \right) + p\left(\text{O}_{1} \cap \text{O}_{2} \right) = 0,1 + 0,5 \times 0,2 =$

$0,1 + 0,1 = 0,2.$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a ici une épreuve de Bernoulli de paramètres $n$ et $p = 0,5 = \dfrac{1}{2}$. La probabilité que $k$ touristes partent à l'Est est donc :$\binom{n}{k}0,5^k \times (1 - 0,5)^{n - k} = \binom{n}{k}0,5^n.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item étant donné qu'il y a au moins $3$ touristes et qu'il n'y a que $2$ plages, il y a obligatoirement au moins deux touristes au moins sur une plage, donc il ne peut pas y avoir deux touristes \emph{heureux}.
		\item Il ne peut y avoir un touriste \emph{heureux} que dans deux cas :
		
	\setlength\parindent{5mm}
	\begin{itemize}
\item un seul est parti à l'Est et les autres ($n - 1$) vers l'Ouest ;
\item un seul est parti vers l'Ouest et les autres ($n - 1$) vers l'Est.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm}
		
On a donc $p = \binom{n}{1}0,5\times 0,5^{n-1} + \binom{n}{1}0,5\times 0,5^{n-1} = n\left( \dfrac{1}{2}\right)^n + n\left( \dfrac{1}{2}\right)^n = 2n\left( \dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{n}{2^{n-1}}.$
		\item La probabilité qu'il y ait un touriste \emph{heureux} parmi $10$ touristes est :
		
$\dfrac{10}{2^9} = \dfrac{10}{512}  \approx 0,195$ soit $0,20$ au centième près (1 chance sur 5).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\blue \textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{\blue Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $\vect{\text{O}M}(x~;~y)$ et $\vect{\text{O}M'}(x'~;~y')$.

$\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vect{\text{O}M} \cdot \vect{\text{O}M'}(x'~;~y') = 0 \iff xx' + yy' = 0.$

Or $z'\overline{z} = (x' + \text{i}y')(x - \text{i}y) = xx' + yy' + \text{i}\left(xy' - x'y\right).$ D'où Re$\left(z'\overline{z} \right) = xx' + yy'$.

Conclusion : $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si Re($z'\overline{z}) = 0$.
\item De même O, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, soit si $y = \alpha x$ et $y' = \alpha x'$  soit si $xy' - x'y = 0$.

Or Im$\left(z'\overline{z} \right) = xy' - x'y$.

Conclusion : O, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si Im($z'\overline{z}) = 0$.

\medskip

\hspace{-0,5cm}\textbf{Applications}

\medskip

\item Soit $N\left(z^2 - 1 \right)$. D'après la question 1. $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}N}$ sont orthogonaux si et seulement si Re($\overline{z}\left(z^2 - 1 \right)) = 0 \iff \text{Re}\left[(x - \text{i}y)\left(x^2 - y^2 - 1 + 2\text{i}xy\right) \right] = 0 \iff $

$x \left(x^2 - y^2 - 1\right) + 2xy^2 = 0\iff x \left(x^2 - 1\right) = 0 \iff x = 0 ~\text{ou}~x^2 + y^2 - 1 = 0 \iff x = 0 ~\text{ou}~x^2 + y^2  = 1$.

L'ensemble des points $M$ est donc la réunion de l'axe des ordonnées ($x = 0$) et du cercle centré en O et de rayon $1$ ($x^2 + y^2  = 1$).
\item $P\left(\dfrac{1}{z^2} - 1\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $z \in \C^*$		
\begin{align*}
		\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2 - 1}\right) &=\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right) \overline{\left[-z^2\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\right]}\\
		&= \overline{-z^2}\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\overline{\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)} \\
		&= \overline{-z^2}\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2\\
		&=-\overline{z}^2 \left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2
		\end{align*}
		\item O, $N$ et $P$ sont alignés d'après 2. si et seulement si  Im$\left[\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2 - 1}\right) \right] = 0 \iff \text{Im}\left[ -\overline{z}^2 \left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2 \right] = 0 \iff \text{Im}\left(-\overline{z}^2  \right) = 0~ \iff \text{Im}\left(-x^2 +2\text{i}xy + y^2\right) = 0 ~\text{ou}~\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2 = 0 \iff xy = 0 ~\text{ou} ~ \dfrac{1}{z^2}-1 = 0 \iff x = 0~\text{ou}~y = 0~\text{ou}~\dfrac{1}{z^2} = 1 \iff x = 0~\text{ou}~y = 0~\text{ou}~z = - 1~\text{ou}~z = 1$.
		
Conclusion : l'ensemble des points $M$ tels que O, $N$ et $P$ sont alignés  est la réunion des deux axes de coordonnées (excepté l'origine O).	
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\blue \textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{\blue Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

$(\mathcal{E})\quad : \quad  17x - 24y = 9$

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a $17 \times 9 - 24 \times 6 = 9$ qui est vraie.
		\item De $\left\{\begin{array}{l c l}
17x - 24y &=& 9\\
17 \times 9 - 24 \times 6 &=& 9\\
\end{array}\right.$, on déduit par différence : \\$17(x - 9) - 24(y - 6) = 0 \iff 17(x - 9)   = 24(y - 6) \quad (1)$.

Donc $24$ divise $17(x - 9)$, mais étant premier avec $17$, divise $x - 9$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $x - 9 = 24k \iff x = 9 + 24k.$

En reportant dans (1), $17 \times 24k = 24(y - 6) \iff 17k = y - 6 \iff \\y = 6 + 17k$.

L'ensemble des solutions de l'équation $(\mathcal{E})$ est donc :

\[\left\{(9 + 24k~;~6 + 17k)\right\},~k \in \Z.\]

On vérifie que pour tout $k \in \Z,~ 17(9 + 24k) - 24(6 + 17k) = $

$153 + 17 \times 24k - 144 - 24 \times 17k = 9$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Si Jean a effectué $y$ tours avant d'attraper le pompon à l'instant $t$, alors que le pompon a effectué $x$ tours, alors $t = 17x$ (le pompon), et comme Jean met $\dfrac{3}{8}\times 24 = 9$  secondes pour aller de H à A, alors pour lui $t = 9 + 24y$, soit en égalant :
$17x = 9 + 24y \iff 17x - 24y = 9, x \in \N,~y \in \N.$

Le couple $(x~;~y)$ doit donc être une solution de l'équation résolue à la question 1.

Or d'après l'ensemble des solutions, le plus petit couple de nombres positifs vérifiant cette équation est le couple (9 ; 6). Donc le temps nécessaire à Jean pour attraper le pompon est $t = 17 \times 9 = 9 + 24 \times 6 = 153$ secondes soit 2 minutes et 33 secondes.
		\item En deux minutes Jean n'a pas le temps d'attraper le pompon.
		\item En raisonnant comme au a.
		
		\setlength\parindent{5mm}
		\begin{itemize}
			\item Si Jean attrape le pompon au point B, on doit avoir $t = \dfrac{17}{4} + 17x = \dfrac{5}{8}\times 24 + 24y \iff 68x = 43 + 96y \iff 68x - 96y = 43$.
			
Or le PGCD de 68 et 96 est 4 qui ne divise pas 43, donc cette équation n'a pas de solutions entières.
			\item  Si Jean attrape le pompon au point C, on doit avoir $t = \dfrac{17}{2} + 17x = \dfrac{7}{8}\times 24 + 24y \iff 34x = 25 + 48y \iff 34x - 48y = 25$.

Le PGCD de 34 et 48 est 2 qui ne divise pas 25, donc cette équation n'a pas de solutions entières.
			\item Si Jean attrape le pompon au point D, on doit avoir $t = \dfrac{51}{4} + 17x = \dfrac{1}{8}\times 24 + 24y \iff 68x = -39 + 96y \iff 68x - 96y = -39$.
			
Le PGCD de 68 et 96 est 4 qui ne divise pas 39, donc cette équation n'a pas de solutions entières.

Conclusion : Jean ne peut attraper le pompon qu'au point A.					\end{itemize}
			\setlength\parindent{0mm}			
		\item Si Jean part de E, on a toujours $t = 17x$ et pour Jean $t = \dfrac{1}{8}\times 24 + 24y = 3 + 24y$, d'où $17x = 3 + 24y \iff 17x - 24y = 3.$
		
Or $17 \times 3 - 24 \times 2 = 3$, donc le couple $(3~;~2)$ est solution de cette équation.

Le temps nécessaire à Jean pour attraper le pompon est $t = 17 \times 3 = 51$ secondes qui sont bien inférieures aux deux minutes payées. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\blue \textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{\blue Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Si sur $\left]- \infty~;~\dfrac{1}{2}\right[,~y_{0 } > 0$, alors $z = \dfrac{1}{y_{0}}$ existe (et $z> 0$). En dérivant $z = \dfrac{1}{y_{0}}$, on obtient :

$z' = - \dfrac{y'_{0}}{y_{0}^2}$. Or par définition $y'_{0} = y_{0}^2 + \lambda y_{0}$, donc :

$z' = - \dfrac{y_{0}^2 + \lambda y_{0}}{y_{0}^2} = - 1 - \lambda\dfrac{1}{y_{0}} = - 1 - \lambda z$.

De plus $y(0) = 1 \Rightarrow z(0) = \dfrac{1}{y(0)} = 1$.\\
Conclusion $z$ est solution de l'équation différentielle : $\left\{\begin{array}{l c l}
z'&=&- 1 - \lambda z\\
z(0)&=&1\\
\end{array}\right.$
\item
	\begin{enumerate}
		\item Cours : posons $u = \lambda z + 1$ ; $u$ est dérivable et $u' = \lambda z' = - \lambda (\lambda z +1)$ ($z$ solution de l'équation différentielle).
		
Donc $u' = - \lambda u$ et d'après le pré-requis les fonctions $u$ solution de cette dernière équation différentielle sont de la forme : $u(x) = C\text{e}^{- \lambda x} =$

$ \lambda z  + 1 \iff \lambda z = C\text{e}^{- \lambda x} - 1 \iff z  = \dfrac{C}{\lambda}\text{e}^{- \lambda x} - \dfrac{1}{\lambda}$ (car $\lambda \neq 0$).

De plus $z(0) =  \dfrac{C}{\lambda} - \dfrac{1}{\lambda} = 1 \iff C - 1 = \lambda \iff C = 1 + \lambda$.
		
Ceci montre l'existence et l'unicité de la fonction $z_{0}$.
		\item Donc $z_{0}(x) = \dfrac{1 + \lambda}{\lambda}\text{e}^{- \lambda x} - \dfrac{1}{\lambda}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f$ définie sur $]0~;~1]$ par $f(x) = \ln (1 + x) - \dfrac{x}{x+1}$. $f$ somme de fonctions dérivables est dérivable et $f'(x) = \dfrac{1}{1 + x} - \dfrac{1 + x - x}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{1 + x} - \dfrac{1}{(1 + x)^2} = \dfrac{1 + x - 1}{(1 + x)^2} = \dfrac{x}{(1 + x)^2}$ qui est un quotient de nombres supérieurs à zéro quel que soit $x \in ]0~;~1]$.
		
La dérivée étant positive, la fonction $f$ est croissante sur $]0~;~1]$.

Comme $\displaystyle\lim_{x \to 0_{+}} f(x) = 0$, il en résulte que $f(x) > 0$ sur $]0~;~1]$. Donc \\$\ln (1 + x) - \dfrac{x}{x+1} > 0 \iff \ln (1 + x) > \dfrac{x}{x+1}.$

En particulier comme $0 < \lambda \leqslant 1,~\ln (1 + \lambda) > \dfrac{\lambda}{\lambda+1}$.
		\item On a $\ln (1 + \lambda) > \dfrac{\lambda}{\lambda+1} \iff \dfrac{1}{\lambda}\ln (1 + \lambda) > \dfrac{1}{\lambda + 1}$ (1).
		
Or $0 < \lambda \leqslant 1 \iff 1 < \lambda + 1 \leqslant 2 \iff \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{\lambda + 1}$ (2).

En comparant (1) et (2), on en déduit que $\dfrac{1}{\lambda}\ln (1 + \lambda) > \dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item On a $z_{0}(x) = 0 \iff \dfrac{1 + \lambda}{\lambda}\text{e}^{- \lambda x} - \dfrac{1}{\lambda} = 0 \iff \text{e}^{- \lambda x} = \dfrac{1}{1 + \lambda} \iff - \lambda x = \ln \left(\dfrac{1}{1 + \lambda}\right) $

$\iff \lambda x = \ln (1 + \lambda) \iff x  = \dfrac{\ln (1 + \lambda)}{\lambda} > \dfrac{1}{2}$ d'après la question précédente.

Conclusion la fonction $z_{0}$ ne s'annule pas sur l'intervalle $\left]- \infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$.

La fonction $z_{0}$ est continue et garde donc un signe constant sur $\left]- \infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$. Comme $z_{0}(0) = 1 > 0$, il en résulte que la fonction $z_{0}$ est supérieure à zéro sur l'intervalle $\left]- \infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$.

La fonction $y_{0} = \dfrac{1}{z_{0}}$ existe donc, est positive comme inverse d'une fonction positive sur $\left]- \infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ et peut s'écrire :

\[y_{0} = \dfrac{\lambda}{(1 + \lambda)\text{e}^{- \lambda x} - 1}.\]

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{\blue Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{\blue Commun à tous les candidats}

\medskip
\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(9,7)
%\psgrid(0,0)(-2,-3)(9,7)
\uput[dl](0,0){A}\uput[d](3,-2){D}\uput[dr](8,-1){C}\uput[r](5,1){B}
\uput[ul](0.5,5){E}\uput[u](3.5,3){H}\uput[dr](8.5,4){G}\uput[ur](5.5,6){F}
\psline(0,0)(3,-2)
\psline(3,-2)(8,-1)
\psline[linestyle=dashed](8,-1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed](5,1)
\psline(0.5,5)(3.5,3)
\psline(3.5,3)(8.5,4)
\psline(8.5,4)(5.5,6)
\psline(5.5,6)(0.5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.167,5.333)(5.167,2.667)(8.333,2.333)(2,-1.333)(6.5,5.333)
\uput[ul](2.167,5.333){I} \uput[r](5.167,2.667){J} \uput[r](8.333,2.333){K}\uput[dl](2,-1.333){P}\uput[ur](6.5,5.333){Q}
\psline(0.5,5)(0,0)
\psline(3.5,3)(3,-2)
\psline(8.5,4)(8,-1)
\psline[linestyle=dashed](5.5,6)(5,1)
\psline(2,-1.333)(6.5,5.333)
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item Par définition $2\vect{\text{IE}} + \vect{\text{IF}} = \vect{0} \iff \vect{\text{OI}} = \dfrac{1}{3}\left(2\vect{\text{OE}} + \vect{\text{OF}} \right).$\\
De même $\vect{\text{JF}} + 2\vect{\text{JB}} = \vect{\text{0}}  \iff \vect{\text{OJ}} = \dfrac{1}{3}\left(\vect{\text{OF}} + 2\vect{\text{OB}} \right)$ et enfin $2\vect{\text{KG}} + \vect{\text{KC}} = \vect{\text{0}} \iff \vect{\text{OK}} = \dfrac{1}{3}\left( 2\vect{\text{OG}} + \vect{\text{OC}}\right).$\\
Le point I (resp. J et K) est au tiers sur le segment [EF] (resp. [FB] et [GC]) à partir de E (resp. F et G).
\item Le point $\Omega$ du plan (IJK) équidistant des trois sommets du triangle (IJK) est le centre du cercle circonscrit à ce triangle donc le point commun aux trois médiatrices de ce triangle.
\item Dans le repère $\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AE}}\right)$ les coordonnées  sont :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item pour E(0 ; 0 ; 3)
\item pour F(0 ; 3 ; 3)
\item pour B(0 ; 3 ; 0)
\item pour G(3 ; 3 ; 3)
\item pour C(3 ; 3 ; 0)
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On en déduit les coordonnées de I(0 ; 1 ; 3), de J(0 ; 3 ; 1) et de K(3 ; 3 ; 2).
\item P(2 ; 0 ; 0) et Q(1 ; 3 ; 3).

On a $\vect{\text{PQ}}\left(\begin{array}{c}-1\\3\\3\\ \end{array} \right),~\vect{\text{IJ}}\left(\begin{array}{c}0\\2\\-2\\ \end{array}\right)$ et $\vect{\text{IK}}\left(\begin{array}{c}3\\2\\-1\\\end{array} \right)$.

Or $\vect{\text{PQ}} \cdot \vect{\text{IJ}} = -1 \times 0 + 3 \times 2 + 3 \times (-2) = 6 - 6 = 0$ et $\vect{\text{PQ}} \cdot \vect{\text{IK}} = -1 \times 3 + 3 \times 2 + 3 \times (-1) = -3 + 6 - 3 = 0$.

Le vecteur $\vect{\text{PQ}}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$ donc orthogonal à tout vecteur du plan (IJK).

Conclusion : la droite (PQ) est perpendiculaire au plan (IJK). ($\vect{\text{PQ}}$ est donc un vecteur normal au plan (IJK))
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M(x~:~y~;~z) \in \Delta \iff M\text{I} = M\text{J} = M\text{K}$. Donc $M\text{I}^2 = M\text{J}^2$ et $M\text{I}^2 = M\text{K}^2$ soit 
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 &=&x^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2\\x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 &=&(x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 2)^2\\
\end{array}\right.\\
\iff \left\{\begin{array}{l c l}
4y - 4z&=&0\\
6x + 4y - 2z - 12&=&0\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{r c l}
y - z&=&0\\
3x + 2y - z&=&6\\
\end{array}\right. $

Ces deux dernières équations sont les équations de deux plans de vecteur normal respectif $(0~;~1~;~-1)$ et $(3~;~2~;~- 1)$ qui ne sont manifestement pas colinéaires. Ces deux plans ne sont pas parallèles, ils sont donc sécants en une droite $(\Delta)$.
		\item On a de façon évidente $0 - 0 = 0$ et $3 \times 2 + 2 \times 0 - 0 = 6$ qui sont des égalités vraies.
		
De même $3 - 3 = 0$ et $3 \times 1 + 2\times 3 - 3 = 6$ qui sont aussi vraies.

P et Q sont donc bien des points équidistants des points I, J et K.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On a déjà vu que le vecteur $\vect{\text{PQ}}$ est  un vecteur normal au plan (IJK).
		
Une équation du plan (IJK) est donc $-x + 3y + 3z + d = 0$. Et en écrivant que I $\in$ (IJK) $\iff -0 + 3 + 9 + d = 0 \iff d = - 12$, on trouve qu'une équation du plan (IJK) est :

\[M(x~;~y~;~z) \in \text{(IJK)} \iff - x + 3y + 3z = 12.\]

		\item le point $\Omega$ est le point commun à $(\Delta)$ et au plan (IJK). Ses coordonnées vérifient le système :
		
$\left\{\begin{array}{r c l}
y - z&=&0\\
3x + 2y - z&=&6\\
- x + 3y + 3z&=&12\\
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{r c l}
y&=&z\\
3x + y&=&6\\
- x + 6y&=&12\\
\end{array}\right. \iff\\
\left\{\begin{array}{r c l}
y&=&z\\
y&=&6 - 3x\\
- x + 6(6 - 3x)&=&12\\
\end{array}\right. \iff  
\left\{\begin{array}{r c l}
y&=&z\\
y&=&6 - 3x\\
24&=&19x\\
\end{array}\right. \iff$

$\left\{\begin{array}{r c l}
\dfrac{24}{19}&=&x\\
\dfrac{42}{19}&=&y = z\\
\end{array}\right. $\\
Conclusion :

\[\Omega\left(\dfrac{24}{19}~;~\dfrac{42}{19}~;~\dfrac{42}{19} \right)\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}