%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{ulem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{lscape}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S},
pdftitle = {Métropole \& La Réunion septembre 2008},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2008}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Métropole  
\&  La Réunion~\decofourright\\ septembre 2008}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.

%La roue A comporte 18~cases noires et 2~cases rouges.
% 
%La roue B comporte 16~cases noires et 4~cases rouges.
%  
%Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.
%   
%La règle du jeu est la suivante :

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] 	Le joueur mise 1~\euro{} et lance la roue A.
%\item[$\bullet~$]	S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
%\item[$\bullet~$]	S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
%\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~ 
% Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$N_{1}$}\taput{$\frac{18}{20}$}}
	  { 
		  \TR{$N_{2}$}\taput{$\frac{18}{20}$}
		  \TR{$R_{2}$}\tbput{$\frac{2}{20}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$R_{1}$}\tbput{$\frac{2}{20}$}}
	  {
		  \TR{$N_{2}$}\taput{$\frac{16}{20}$}
		  \TR{$R_{2}$}\tbput{$\frac{4}{20}$} 
	  }	
}
\end{center}

\item  %Soient E et F les évènements :

%    \begin{itemize}
%\item[] E :  « à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges »
%\item[] F :  « à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ».
%\end{itemize}
%Montrer que $p(\text{E}) =  0,02$ et $p(\text{F}) =  0,17$.
En suivant la dernière branche on a $p(E) = p(R_{1} \cap R_{2} = p(R_{1}) \times p_{R_{1}}(\text{R}_{2}) =  \dfrac{2}{20} \times \dfrac{4}{20} = \dfrac{8}{400} = \dfrac{2}{100} =0,02$.

$p(F) = p(R_{1} \cap \text{N}_{2}) + p(N_{1} \cap  R_{2}) =  \dfrac{18}{20} \times \dfrac{2}{20} + \dfrac{2}{20} \times \dfrac{16}{20} = \dfrac{36}{400} +  \dfrac{32}{400} =  \dfrac{68}{400} =  \dfrac{17}{100} = 0,17$.
\item  %Si les 2~cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10~\euro{}; si une seule des cases est rouge le joueur
%reçoit 2~\euro ; sinon il ne reçoit rien.\\
%$X$ désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1~\euro).
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la loi de probabilité de $X$.
On a la loi de probabilités suivante :
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
issue						&RR		&RN ou NR   		&NN \\ \hline
$X$							&9		&1		          	&$-1$ \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$	&0,02	&0,17	          	&0,81 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

car $p(\text{NN}) = 1 - (0,02 + 0,17) = 0,81$.
		\item   %Calculer l'espérance mathématique de $X$ et en donner une interprétation.
	On a E$(X) = 0,02 \times 9 + 0,17 \times 1 + 0,81 \times (- 1) = 0,18 + 0,17 - 0,81 = - 0,46$~\euro.
	
Ce qui signifie qu'en moyenne on perd à ce jeu près d'un demi-euro par partie.
	\end{enumerate}
\item 
%Le joueur décide de jouer $n$ parties consécutives et indépendantes ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
	\begin{enumerate}
		\item  
		%Démontrer que la probabilité $p_{n}$ qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que $p_{n} =  1 - (0,9)^n$.
On a une épreuve de Bernoulli avec une probabilité de lancer la roue B égale à $\dfrac{2}{20}$. La probabilité de ne jamais lancer la roue B en $n$ parties est égale à $\left(1 - \dfrac{2}{20}\right) = 0,9 ^n$.

Donc la probabilité de lancer au moins une fois la roue B (évènement contraire de l'évènement précédent) est $p_{n} = 1 - 0,9^n$.
		\item   %Justifier que la suite de terme général $p_{n}$ est convergente et préciser sa limite.
Comme $-1 < 0,9 < 1,~\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,9^n = 0$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n} = 1.$ La suite est convergente
		\item   %
		Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $p_{n} > 0,9$ ?
On a $p_{n} > 0,9 \iff 1 - 0,9^n > 0,9 \iff 0,1 > 0,9^n \iff \ln 0,1 > n \ln0,9$, par croissance de la fonction $\ln$.

$\ln 0,1 > n \ln  0,9 \iff n > \dfrac{\ln 0,1}{\ln 0,9}$ car $\ln 0,9 < 0$. Finalement $n > 21,8$.

La probabilité de lancer la roue B sera supérieure à 90 \:\% à partir de la 22\up{e} partie.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ vérifiant l'équation différentielle 
%\[(E)~~: \qquad  xf'(x)- (2x + 1)f(x) = 8x^2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  
%		Démontrer que si $f$ est solution de $(E)$ alors la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
%$g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$		est solution de l'équation différentielle $(E')~~: \quad y' = 2y + 8$.
Comme $x \neq 0$ et $f$  dérivable sur  $]0~;~+\infty[,~g$ est dérivable sur cet intervalle et $g'(x) = \dfrac{xf'(x) - f(x)}{x^2}$.

Or $f$ solution de $(E)$ signifie que  $xf'(x)- (2x + 1)f(x) = 8x^2 \iff $

$\dfrac{xf'(x)- (2x + 1)f(x)}{x^2} = 8 ~(\text{car}~ x \neq 0)~\iff  \dfrac{xf'(x)- f(x)}{x^2} - \dfrac{2f(x)}{x} = 8 \iff g'(x) - 2g(x) = 8$ qui signifie que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E')$ :
\[y'  = 2y + 8.\]
		\item  
%Démontrer que si $h$ est solution de $(E')$ alors la fonction $f$ définie par $f(x) =  xh(x)$ est solution de $(E)$. 
$h$ solution de $(E')$ montre que $h$ est dérivable, donc $f$ aussi.

De $f(x) = xh(x)$, on tire  $f'(x) = h(x) + xh'(x)$.

$h$ solution de $(E') \iff h'(x) = 2h(x) + 8 \iff xh'(x) = 2xh(x) + 8x \iff f'(x) - h(x) = 2f(x) + 8x \iff xf'(x)  = 2xf(x) + f(x) + 8x^2 \iff $

$xf'(x) - (2x + 1)f(x) = 8x^2$, ce qui signifie que $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
\item 
%Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$.
Résolution de $y' = 2y + 8$ :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item On sait que la fonction constante $x \longmapsto - \dfrac{8}{2} = -4$ est solution de l'équation ;
\item Les solutions de l'équation $y' = 2y$ sont les fonctions de la forme : 

$x \longmapsto K\text{e}^{2x},~K \in \R$.
\end{itemize}

Les solutions de $(E')$ sont donc les fonctions de la forme 

$x \longmapsto K\text{e}^{2x} - 4,~K \in \R.$
\item %Existe-t-il une fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A$(\ln 2~;~ 0)$ ?  Si oui la préciser.
Il faut chercher une fonction $f$ de la forme $f(x) = Kx\text{e}^{2x} - 4x$ telle que

$f(\ln 2) = 0 \iff K\ln 2\text{e}^{2\ln 2} - 4\ln 2 = 0 \iff  K\ln 2\text{e}^{\ln 2^2} - 4\ln 2 = 0  \iff K\ln 2\text{e}^{\ln 4} - 4\ln 2 = 0 \iff 4K\ln 2 - 4\ln 2 = 0 \iff 4K - 4 = 0 \iff  K = 1.$

Il existe bien une solution de $(E)$ qui s'annule en $\ln 2$ : la fonction 
\[ x \longmapsto x\text{e}^{2x} - 4x.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}\\

%\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}

%
%Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct $\left(\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\right)$. On note I son centre et J le  milieu de [AI].

\begin{enumerate}
\item  %C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (B, 1) et (D, 1) lorsque :
C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (B, 1) et (D, 1) $\iff ~m + 2 \neq 0$ et C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (I, 2) $\iff m\vect{\text{CA}}+ 2 \vect{\text{CI}} = \vect{0} \iff m\vect{\text{CA}}+ \vect{\text{CA}} = \vect{0} \iff (m + 1) \vect{\text{CA}} = \vect{0} \iff m + 1 = 0 \iff m = - 1$. Réponse \textbf{c.}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
% \textbf{a.}~~$m = -2$& \textbf{b.}~~$m = 2$& \textbf{c.}~~$m = -1$& \textbf{d.}~~$m = 3$\\
% \end{tabularx}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %B est l'image de C par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
Faux car l'angle est de $- \dfrac{\pi}{2}$ ;
		\item  %Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est $\dfrac{2}{3}.$
Faux car le rapport est égal à $\dfrac{3}{2}$ ;
		\item  %Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.
Faux : DAB a pour image BCD ;
		\item  %J est l'image de I par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DB}}$.
Ceci signifie que $\vect{\text{IJ}} = \dfrac{1}{2}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DB}} \iff \vect{\text{IJ}} = $

$\dfrac{1}{4}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\left(\vect{\text{DB}} + \vect{\text{BA}}\right) = $

$\dfrac{1}{4}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DA}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{CD}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DA}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{CA}}$ et cette dernière égalité est vraie. Réponse \textbf{d.}
	\end{enumerate}

\item %L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{C}}\| = \text{AB}$  est :
%	\begin{enumerate}
%		\item  la médiatrice de [AC].
%		\item  le cercle circonscrit au carré ABCD.
%		\item  la médiatrice de [AI].
%		\item  le cercle inscrit dans le carré ABCD.
%	\end{enumerate}
$\left\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{C}}  \right| = \text{AB} \iff \left\|\vect{M\text{I}} + \vect{\text{IA}} + \vect{M\text{I}} + \vect{\text{IC}}  \right\| = \text{AB}  \iff \left\|2\vect{M\text{I}} \right\| = \text{AB}  \iff 2M\text{I} = \text{AB} \iff \text{I}M = \dfrac{1}{2}\text{AB}$, ce qui signifie que $M$ appartient au cercle de centre I et de rayon $\dfrac{1}{2}$AB, qui est bien le cercle inscrit dans le carré. 

Réponse \textbf{d.}
\item %L'ensemble des points $M$ du plan tels que :
%		\[\left(2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{D}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{A}}- \vect{M\text{C}}\right) = 0\]	 est :
%	\begin{enumerate}
%		\item la médiatrice de [AC].
%		\item le cercle circonscrit au carré ABCD.
%		\item la médiatrice de [AI].
%		\item le cercle inscrit dans le carré ABCD.
%	\end{enumerate}
Par associativité, le barycentre de (A, 2), (B, 1) et (D, 1) est celui de (A, 2) et (I, 2) soit le point J de poids 4. Donc $2\vect{\text{JA}} + \vect{\text{JB}} + \vect{\text{JD}}  = \vect{0}$. Il en résulte avec la relation de Chasles que 

$\left(2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{D}}\right){}\cdot{}\left(\vect{M\text{A}}- \vect{M\text{C}}\right) = 0 \iff \left(2\vect{M\text{J}} + \vect{M\text{J}} + \vect{M\text{J}}\right){}\cdot{}\vect{\text{CA}} = 0 \iff 4\vect{M\text{J}}{}\cdot{}  \vect{\text{CA}} = 0  \iff \vect{M\text{J}}{}\cdot{}\vect{\text{CA}} = 0$ qui signifie que ($M$J) est perpendiculaire à (CA), donc $M$ appartient à la médiatrice de [CA]. Réponse \textbf{c.}		
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%On considère la suite numérique $\left(J_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par
%\[ J_{n}  = \int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate}
\item  
%Démontrer que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.
On calcule $J_{n+1} - J_{n}  = \int_{1}^{n+1}  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t - \int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t = \int_{n}^{n+1}  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t$.

Pour $t \in [n~;~n+1],~\sqrt{1 + t} > 0$ et $\text{e}^{-t} > 0$.

L'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle o\`u $n < n+1$ est positive, donc $J_{n+1} - J_{n} \geqslant 0 \iff J_{n+1}  J_{n} \geqslant  J_{n}$, ce qui montre que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.
\item   %\emph{Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}

%On définit la suite $\left(I_{n}\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :
%\[ I_{n} =  \int_{1}^n (t + 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que, pour tout $t \geqslant  1$, on a $\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1$.
Posons $u = t + 1$, donc $u \geqslant 2$ ; or $0 \leqslant \sqrt{u} \leqslant u,~\text{sur}~[2~;~+ \infty]$, car $0 \leqslant u \leqslant u^2$.

Remarque : en fait relation est vraie pour $t \geqslant 0$.
		\item  %En déduire que $J_{n}  \leqslant I_{n}$.
$\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1 \iff \sqrt{t + 1}\text{e}^{-t}  \leqslant  (t + 1)\text{e}^{-t}$ ce qui entraîne que 

$\displaystyle\int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t \leqslant \displaystyle\int_{1}^n  \text{e}^{-t}(1 + t)\:\text{d}t \iff J_{n} \leqslant I_{n}$.
		\item  %Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que la suite $\left(J_{n}\right)$ est majorée par un nombre réel (indépendant de $n$).
Intégrons par parties :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u(t) &=& t + 1\\
\text{d}v(t) &=& \text{e}^{-t}\\
\end{array}\right. \quad 
\left\{\begin{array}{l c l}
\text{d}u(t)&=&1\\
v(t)&=&- \text{e}^{-t}\\
\end{array}\right. \]

Les fonctions dérivées ci-dessus étant continues 

$I_{n}= \left[-(t + 1)\text{e}^{-t}\right]_{1}^n - \displaystyle\int_{1}^n -\text{e}^{-t}\:\text{d}t  = \left[-(t + 1)\text{e}^{-t}  \right]_{1}^n + \left[\text{e}^{-t}\right]_{1}^n = $

$\left[- (t + 2) \text{e}^{-t}  \right]_{1}^n = $\fbox{$- (n + 2)\text{e}^{-n} + 3 \text{e}^{-1}$}.

Comme $(n + 2)\text{e}^{-n} \geqslant 0,~I_{n}$ est donc majorée par $3\text{e}^{-1}$.
		\item  %Que peut-on en conclure pour la suite $\left(J_{n}\right)$ ?
L'inégalité démontrée au \textbf{b.} montre que $J_{n} \leqslant 3\text{e}^{-1}.$

La suite $\left(J_{n}\right)$ est donc majorée et croissante : elle a donc une limite inférieure ou égale à $3\text{e}^{-1}.$
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.
%On réalisera une figure en prenant 2~cm comme unité graphique sur chaque axe.

% On considère les points A, B et I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,~z_{\text{B}} = 5$ et $z_{\text{I}} =  3 + \text{i}$.
% 
%On note ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon $1$, ($\Delta$) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle
%($\mathcal{C}$) en A.

% À tout point $M$ d'affixe $z$, différent de A, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
% \[z' = \dfrac{z - 5}{z - 1}.\]
%Le point $M'$ est appelé l'image de $M$.

\medskip
	
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I$'$ image de I. 
$z_{I'} = \dfrac{z_{\text{I}} - 5}{z_{\text{I}} - 1} = \dfrac{ 3 +\text{i} - 5}{ 3 +\text{i} - 1} \dfrac{- 2 + \text{i} }{2  + \text{i}} = \dfrac{(- 2 +\text{i})(2 - \text{i})}{4 + 1} = - \dfrac{3}{5} + \text{i}\dfrac{4}{5}$.
%Vérifier que I$'$ appartient à ($\mathcal{C}$).

On a $\left| z_{\text{I}'}  \right|^2 = \left(\dfrac{3}{5} \right)^2 +   \left(\dfrac{4}{5} \right)^2 = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1 \Rightarrow \left| z_{\text{I}'}  \right| = 1$.

Donc I$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}.$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a : O$M' = \dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$.
$z' = \dfrac{z - 5}{z - 1} \Rightarrow |z'| = \left|\dfrac{z - 5}{z - 1}\right| \iff |z'| = \dfrac{|z - 5|}{|z - 1|}| \iff \text{O}M' = \dfrac{\text{B}M}{\text{A}M} = \dfrac{M\text{B}}{\text{A}M}.$		
		\item % Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a :\\ $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$.
De même avec les arguments : $z' = \dfrac{z - 5}{z - 1} \Rightarrow \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}M'} \right) = \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{B}M}\right)  = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

%\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

% \medskip
% 
%Dans la suite de l'exercice, $M$ désigne un point quelconque de ($\Delta$). On cherche à construire géométriquement son image $M'$.

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que $M'$ appartient à ($\mathcal{C}$).
Si $M$ appartient à $(\Delta)$, il a pour affixe $3 + \alpha\text{i}$.

On a $\text{O}M' =   |z'| = \dfrac{|- 2 + \alpha\text{i}|}{|2 + \alpha\text{i}|} = \dfrac{\sqrt{4 + \alpha^2}}{\sqrt{4 + \alpha^2}} = 1$, donc $M' \in \mathcal{C}$.
\item  %On note ($d$) la droite symétrique de la droite (A$M$) par rapport à la tangente (T). ($d$) recoupe ($\mathcal{C}$) en $N$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que les triangles A$M$B et AO$N$ sont isocèles.
$M$ appartient à la médiatrice de [AB], donc est équidistant de A et de B ; $M$A = $M$B entra\^{\i}ne que que $M$AB est isocèle en $M$.

A et $N$ appartiennent à au cercle $\mathcal{C}$, donc OA = O$N$ et le triangle AO$N$ est isocèle en O.
		
%Après avoir justifié que $\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{A}N}\right) = \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{AB}}\right)$	démontrer que \\$\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}N}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$.
Par symétrie autour de (T), $\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{A}N} \right) = \left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{A}M} \right) \Rightarrow \left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{O}N} \right) = $

$\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}} \right).$
		\item  %En déduire une construction de $M'$.
Le point image $M'$ est le point $N$. On peut au lieu d'utiliser la symétrie autour de (T) construire le symétrique $M_{1}$ de $M$ autour de [O$x$). La droite (A$M_{1}$) coupe le cercle $\mathcal{C}$ en $M'$.	
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

%On réalisera une figure en prenant 4~cm comme unité graphique sur chaque axe.

% On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} =  1$.

\medskip
	
\textbf{Partie A}

\medskip

%$k$ est un réel strictement positif ; $f$ est la similitude directe de centre O de rapport $k$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

%On note A$_{0}$ =  A et pour tout entier naturel $n,~A_{n+1} = f\left(A_{n}\right)$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Étant donné un point $M$ d'affixe $z$, déterminer en fonction de $z$ l'affixe $z'$ du point $M'$ image de $M$ par $f$.
L'écriture complexe de la similitude est $z' = kz\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$
		\item  %Construire les points A$_{0}$, A$_{1}$,~A$_{2}$ et A$_{3}$ dans le cas particulier où $k$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.
A$_{0}$ = A ; son affixe est 1 ;

A$_{1} = f\left(\text{A}_{0}\right)$ : son affixe est  $\dfrac{1}{2} \times 1 \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2}  + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{1}{4} +  \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ; 

A$_{2} = f\left(\text{A}_{1}\right)$ : son affixe est $\dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{4} +  \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4} \right)  \left(\dfrac{1}{2}  + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)  = -\dfrac{1}{8}  + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ ; 

A$_{3} = f\left(\text{A}_{2}\right)$ : son affixe est $\dfrac{1}{2} \times \left(-\dfrac{1}{8}  + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{8}\right)\left(\dfrac{1}{2}  + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)  = -\dfrac{1}{8}$.

On fait à chaque fois une rotation de centre O d'angle  $\frac{\pi}{3}$, puis une homothétie de centre O et de rapport $\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-0.5)(1.25,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.25,-0.5)(1.25,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dr](0,0){O}
\SpecialCoor
\psdots[dotstyle=*](1;0)(0.5;60)(0.25;120)(0.125;180)
\uput[dr](1;0){A$_{0}$}\uput[dr](0.5;60){A$_{1}$}\uput[dl](0.25;120){A$_{2}$}\uput[d](0.125;180){A$_{3}$}
\psline(0;0)(0.5;60)\psline(0;0)(0.25;120)\psline(0;0)(0.125;180)
\psline(0;0)(1;60) \psarc{->}(0;0){1}{0}{60}
\psline(0;0)(0.5;120) \psarc{->}(0;0){0.5}{60}{120}
\psline(0;0)(0.25;180) \psarc{->}(0;0){0.25}{120}{180}
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$, l'affixe $z_{n}$ du point $A_{n}$ est égale à $k^n \text{e}^{\frac{\text{i}n\pi}{3}}$.
\emph{Initialisation} : $z_{0} = k^0\text{e}^{\frac{\text{i}\times 0\pi}{3}} = 1$ la relation est vraie au rang $0$ ;

\emph{Hérédité} : soit $n \in \N $ tel que $z_{n} = k^n \text{e}^{\frac{\text{i}n\pi}{3}}$. 

Alors $z_{n+1} = kz_{n}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}  = kk^n \text{e}^{\frac{\text{i}n\pi}{3}}  \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}} = k^{n+1}\text{e}^{\text{i}(n+1)\frac{\pi}{3}}$. La relation est donc vraie au rang $n + 1$.

La relation est vraie au rang 0, et si elle est vraie au rang $n$, elleest vraie au rang $n + 1$ : on a donc démontré  par le principe de récurrence que pour tout entier $n$, l'affixe $z_{n}$ du point $A_{n}$ est égale à $k^n \text{e}^{\frac{\text{i}n\pi}{3}}$.
		\item  %En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles le point $A_{n}$ appartient à la demi droite $\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$ et, dans ce cas, déterminer en fonction de $k$ et de $n$ l'abscisse de $A_{n}$.
$A_{n} \in \left[\text{O}~;~ \vect{u}\right) \iff z_{n}$  a un argument nul à $2\pi$ près.

Soit  $\dfrac{n\pi}{3} \equiv 0 \quad [2\pi] \iff n \equiv 0 \quad [6]$ ou encore si $n$ est multiple de 6.		

 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
	
\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Désormais, $k$ désigne un entier naturel non nul.

\begin{enumerate}
\item  %Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.
$\nombre{2008} = 2^3 \times 251$
\item  %Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel $k$ pour laquelle $k^6$ est un multiple de 2008.
$k^6$ est un multiple de 2008 si et seulement s'il existe $\alpha \in \N$ tel que 

$k^6 = \alpha \times 2^3 \times 251$

Il faut donc que dans la décomposition de $k$ il y ait au moins un facteur 2 et un facteur 251, 2 et 251 étant premiers entre eux : la plus petite valeur de $k$ est donc $2 \times 251 = 502$. 
\item  %Pour quelles valeurs des entiers $n$ et $k$ le point $A_{n}$ appartient-il à la demi droite $\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$ avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?
On a vu qu'il fallait que $n$ soit multiple de 6 et que la plus petite valeur de $k$ est 512.

Donc $z_{n}$ est un entier multiple de 2008, si $n$ est un multiple de 6 et $k$ un multiple de 502.
\end{enumerate} 
  
\end{document}