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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
\renewcommand{\(}{\left(}%        parenthèse gauche
\renewcommand{\)}{\right)}%       parenthèse droite  
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
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\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 21 juin 2013}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L Métropole 21 juin 2013~\decofourright \\(sujet dévoilé)
}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\emph{Aucune justification n'était demandée dans cet exercice.} 

\medskip
 
\begin{enumerate}

\item réponse \textbf{b.}

\emph{La fonction $f$ est négative sur $\cd -1\:; 7\cg$ donc l'intégrale est négative.}

\item réponse \textbf{b.}

\emph{L'intervalle de confiance au niveau de confiance 95\,\% est $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt n} \:; f+\dfrac{1}{\sqrt n} \right] $; son amplitude est $\dfrac{2}{\sqrt n}$. 
On résout l'inéquation $\dfrac{2}{\sqrt n} \pp 0,04$ et on trouve $n \pg \np{2500}$.}

\item réponse \textbf{b.}

\emph{On calcule la dérivée de $f$: $f'\(x\)=\dfrac{2\(x+1\)-2x\,\ln x}{x\(x+1\)^2}$ donc $f'\(1\)=1$.\\
Le coefficient directeur de la tangente vaut $1$, ce qui élimine les réponses \textbf{c.} et \textbf{d.} De plus $f\(1\)=1$ donc la courbe et sa tangente passent par le point de coordonnées $\(1\:; 1\)$ ce qui élimine la réponse \textbf{a.}}

\item réponse \textbf{a.}

Il faut d'abord que $x > 0$ et que $3x - 6 > 0$ ou $x > 2$. On cherche donc des solutions dans $]2~;~+ \infty[$.

\emph{$\ln x + \ln 2 \pg \ln\(3x - 6\) \iff \ln\(2x\) \pg \ln\(3x-6\) \iff 2x \pg 3x-6 \iff 6 \pg x$ ; finalement $2 < x \pp  6$.}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

 
\begin{enumerate}

\item
La production diminue de 2\,\% par an ; or diminuer de 2\,\% revient à multiplier par $1-\dfrac{2}{100} = 0,98$.
Donc pour tout $n$, $U_{n+1} = U_n \times 0,98$.

De plus $U_0 = \np{120000}$.

La suite $\(U_n\)$ est donc géométrique de premier terme $U_0 = \np{120000}$ et de raison $q=0,98$.

D'après le cours, on peut déduire que, pour tout entier naturel $n$:

$U_n= U_0 \times q^n = \np{120000} \times 0,98^n$.

\item 
	\begin{enumerate}	
		\item 
Comme $2005 = 2000 + 5$, l'année 2005 correspond à $n=5$.

On cherche donc $U_5$:
$U_5= \np{120000}\times 0,98^5 \approx \np{108470}$

Le nombre de jouets fabriqués en 2005 est  $\np{108470}$.
		\item
Pour déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à \np{100000}, on résout l'inéquation $U_n < \np{100000}$.

$U_n < \np{100000} \iff \np{120000}\times 0,98^n < \np{100000}
\iff 0,98^n < \dfrac{\np{100000}}{\np{120000}}$

$\phantom{U_n < \np{100000}} \iff 0,98^n <  \dfrac{5}{6}
\iff \ln\(0,98^n\) < \ln\(\dfrac{5}{6}\)$

$\phantom{U_n < \np{100000}} \iff n\,\ln\(0,98\) < \ln\(\dfrac{5}{6}\)$

$\phantom{U_n < \np{100000}} \iff n > \dfrac{\ln\(\frac{5}{6}\)}{\ln\(0,98\)}$
 car $\ln\(0,98\)< 0$
 
Or $\dfrac{\ln\(\frac{5}{6}\)}{\ln\(0,98\)} \approx 9,02$ donc $n \pg 10$.

C'est donc à partir de $2000+10=2010$ que le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à \np{100000}.

\emph{À la calculatrice on trouve $U_9 \approx \np{100050}$  et $U_{10} \approx \np{98049}$.}
		\item
L'algorithme donné dans le texte affichera le plus petit entier $n$ tel que $U_n<\np{90000}$ si on complète les lignes 8 et 9 ainsi:

\smallskip

\begin{tabular}{l|l l} 
8&& \hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur {\red $n+1$}\\ 
9&& \hspace{0,5cm}{\red $A$ prend la valeur $A \times 0,98$}\\ 
\end{tabular}
 
\medskip

Autre possibilité:
 
\smallskip

\begin{tabular}{l|l l} 
%1& \textbf{Variables :} &A est un réel\\ 
%2 &&$n$ est un entier naturel\\ 
%3 &&\\
%4 &\textbf{Initialisation :}& Affecter à $A$ la valeur \np{120000}\\ 
%5 &&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ 
%6&&\\ 
%7 &\textbf{Traitement :}& Tant que $A \geqslant  \np{90000}$\\ 
8&& \hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur {\red $n+1$}\\ 
9&& \hspace{0,5cm}{\red $A$ prend la valeur $\np{120000} \times 0,98^n$}\\ 
%10& &Fin Tant que\\ 
%11&&\\ 
%12 &\textbf{Sortie :}& Afficher $n$\\
\end{tabular}
 
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item
$1 + 0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n$ est la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison $0,98$; donc:

$1 + 0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n = 1\times \dfrac{1-0,98^{n+1}}{1-0,98}=\dfrac{1}{0,02}\times\(1-0,98^{n+1}\)\\[5pt]
\phantom{1 + 0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n} = 50\(1-0,98^{n+1}\)$ 		
		
		\item $S_{n} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \cdots	+ U_{n} = U_{0} + U_{0}\times 0,98 + U_{0}\times 0,98^2 + \cdots	+ U_{0}\times 0,98^n\\[3pt]
\phantom{S_{n}} = U_0\(1+0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n\)
		= \np{120000} \times 50\(1-0,98^{n+1}\)\\[3pt]
\phantom{S_{n}} = \np{6000000}\(1-0,98^{n+1}\)$ 
		
		\item
Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années est égal à $U_0 + U_1 + \cdots + U_{14} = S_{14}
= \np{6000000}\(1-0,98^{15}\) = \np{1568585}$ 

Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de production est égal à \np{1568585}.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

 
\begin{enumerate}

\item
Le graphe probabiliste traduisant les données de l'exercice est:

\hspace*{3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
\Rnode{C}{C} \hskip 4cm \Rnode{T}{T}%               définition des sommets
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%    paramètres
\ncarc{->}{C}{T} \Aput{0,03}%                       arc pondéré partant de C
\ncarc{->}{T}{C} \Aput{0,02}%                       arc pondéré partant de T
\nccircle[angleA=90]{->}{C}{4mm}   \Bput{0,97}%     boucle autour de C
\nccircle[angleA=-90]{->}{T}{.4cm} \Bput{0,98}%     boucle autour de T
\end{pspicture}

\item 
$P_1= \begin{pmatrix} c_1 & t_1 \end{pmatrix}$

Or le premier jour, 70\,\% des employés ont choisi un café donc $c_1=0,7$ et donc $t_1=1-c_1=1-0,7 = 0,3$.

Donc $P_1 = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \end{pmatrix}$

\item La matrice de transition $M$ de ce graphe, est $M = \begin{pmatrix}0,97&0,03\\0,02&0,98\end{pmatrix}$. 

La probabilité qu'un employé choisisse du thé le quatrième jour est $t_4$; on va donc chercher $P_4= \begin{pmatrix} c_4 & t_4 \end{pmatrix}$.

On sait que $P_4 = P_3 \times M$ et que $P_3 = P_2 \times M$ donc $P_4 = P_2 \times M^2$; de même $P_2 = P_1 \times M$ donc $P_4 = P_1 \times M^3$.

En effectuant les calculs à la calculatrice, on trouve $P_4 \approx \begin{pmatrix} 0,66 & 0,34 \end{pmatrix}$, donc la probabilité qu'un employé choisisse un thé le quatrième jour est $0,34$. 

\item 
	\begin{enumerate}

		\item
L'état stable $\begin{pmatrix} c & t \end{pmatrix}$ est l'unique état tel que
$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ }l}
c+t & 1\\
\begin{pmatrix} c & t \end{pmatrix} \times M & \begin{pmatrix} c & t \end{pmatrix}
\end{array}
\right. $

On calcule:

$\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} \times M
= \begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}0,97&0,03\\0,02&0,98\end{pmatrix}\\
\phantom{\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} \times M}= \begin{pmatrix} 0,4\times 0,97 + 0,6 \times 0,02 & 0,4 \times 0,03 + 0,6 \times 0,98 \end{pmatrix}\\
\phantom{\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix} \times M}= \begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}$

De plus $0,4+0,6=1$

Donc $\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}$ est l'état stable du système.
		\item
Puisque l'état stable est $\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \end{pmatrix}$, la probabilité qu'a un employé de prendre du café tend vers 0,4 donc la société CAFTH\'E qui pensait que la machine à café serait toujours la plus utilisée avait tort.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item
Par définition $P_{n+1}=P_n \times M$ donc 
$\begin{pmatrix} c_{n+1} & t_{n+1} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} c_n & t_n \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}0,97&0,03\\0,02&0,98\end{pmatrix}$

ce qui équivaut à
$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
c_{n+1} & 0,97\,c_n + 0,02 \,t_n\\
t_{n+1} & 0,03\,c_n + 0,98 \,t_n
\end{array}
\right. $

On en déduit que $c_{n+1} = 0,97\,c_n + 0,02 \,t_n$; or $t_n = 1-c_n$ donc\\ $c_{n+1} = 0,97\,c_n + 0,02 \(1-c_n\) \iff c_{n+1} = 0,97\,c_n + 0,02 - 0,02\,c_n\\
 \iff c_{n+1} = 0,95\,c_n + 0,02$
\item
En faisant tourner l'algorithme proposé, voici l'état des variables à chaque étape:

\medskip

\begin{center}
\def\tab{0.5cm}
{\renewcommand\arraystretch{1.2}
$\begin{array}{|l|c|c|l|c|}
\hline 
\text{Variables} & \hspace*{\tab}n \hspace*{\tab} & \hspace*{\tab} i \hspace*{\tab} & \hspace*{\tab} \ A \hspace*{\tab} & \text{ Jour }\\ 
\hline 
\text{Saisie de }n & 3 &  &  & \\ 
\hline 
\text{Initialisation de } A & 3 &  & 0,70 & 1 \\ 
\hline \text{1\ier{} tour de boucle} & 3 & 1 & 0,685 & 2 \\ 
\hline 
\text{2\ieme{} tour de boucle} & 3 & 2 & \np{0,67075} & 3\\ 
\hline 
\text{3\ieme{} tour de boucle} & 3 & 3 & \np{0,6572125} & 4\\ 
\hline
\end{array}$
}
\end{center} 
 
La valeur affichée par l'algorithme quand la valeur de $n$ est égale à 3 est \np{0,6572125}. 

Cet algorithme permet de déterminer le pourcentage d'employés prenant un café le jour $n+ 1$; pour $n = 3$, donc le quatrième jour, il y a à peu près $66\,\%$ des employés qui prennent un café.

	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A : Étude du processus de mise en bouteille}
 
\begin{enumerate}

\item% Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 

Voici l'arbre pondéré traduisant l'énoncé:

\bigskip

\begin{center}

\pstree[treemode=R,nodesepB=4pt,nodesepA=0pt,levelsep=40mm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\taput{\red $1-0,05= 0,95$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{\red $1-0,04=0,96$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{0,04}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{R}$}\tbput{$0,05$}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{0,08}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{\red $1-0,08=0,92$}	
	  }
}
\end{center}

\medskip

\item L'évènement \og{}la bouteille est correctement remplie et elle a un bouchon\fg{} est l'évènement $R \cap B$.

$P\(R \cap B\) = P\(R\) \times P_R\(B\) = 0,95\times 0,96 = 0,912 $

La probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu'elle ait un bouchon est égale à $0,912$.
\item D'après la formule des probabilités totales:

$P\(B\) = P\(R \cap B\) + P\(\overline R \cap B\) = 0,912 + 0,05 \times 0,08 = 0,912 + 0,04 = 0,916$

La probabilité que la bouteille ait un bouchon est donc égale à $0,916$.
\item On cherche la probabilité de l'évènement $R$ sachant $B$:

$P_B\(R\)=\dfrac{P\(B \cap R\)}{P\(B\)} = \dfrac{0,912}{0,916} \approx 0,996$

Sachant que la bouteille a un bouchon,  la probabilité qu'elle soit correctement remplie est égale à $0,996$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Production journalière}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu = \np{2000}$ et $\sigma = 200$ et on cherche $P\(X \in \cd \np{1800}\:; \np{2200}\cg\)$.

Or $\np{1800} = \mu - \sigma$ et $\np{2200} = \mu + \sigma$ et on sait que $P\left(X \in \cd \mu - \sigma~;~\mu + \sigma\cg \right) \approx 0,683$ donc la probabilité que la production journalière soit comprise entre \np{1800} et \np{2200} bouteilles est approximativement de $0,683$.

\item On demande $P\(X < \np{1600}\)$; à la calculatrice, on trouve $P\(X < \np{1600}\) \approx 0,023$.

Donc la probabilité que le service de maintenance intervienne sur les machines est approximativement de $0,023$.

On peut aussi utiliser ce que l'on sait sur la courbe en cloche associée à une loi normale.

On remarque d'abord que $\np{1600} = \np{2000}-2\times 200 = \mu - 2\sigma$. 

D'après le rappel de cours, on sait que $P\(X \in \cd\mu-2\sigma \:; \mu+2\sigma\cg\) \approx 0,954$, ce qui correspond à l'aire hachurée en rouge dans le dessin ci-dessous. Pour des raisons de symétrie, les deux aires en blanc sous la courbe sont égales et leur somme vaut $1-0,954=0,046$; chacune d'elle vaut alors la moitié de $0,046$ soit $0,023$.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm, yunit=6cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-4}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.2} \def\ymax {0.35}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(-3,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{4} \def\s{2}
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{1} \def\sup{7}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath%     indispensable !
}

\uput[d](\m,0){\small $\mu$} 
\uput{14pt}[d](\m,0){\small $=\np{2000}$}
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){\small $\mu - 2\sigma$}
\uput{14pt}[d](\inf,0){\small $=\np{1600}$}
\uput[d](\sup,0){\small $\mu + 2\sigma$}
\uput{14pt}[d](\sup,0){\small $=\np{2400}$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $0,954$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8.25,0.2)(7.25,0.02)
\uput[ur](8.25,0.2){$\frac{1-0,954}{2}=0,023$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(0.25,0.2)(0.75,0.02)
\uput[u](0.25,0.2){$\frac{1-0,954}{2}=0,023$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}% \section{exercice 4}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\textbf{Partie A :}% \subsection{partie A}

\begin{enumerate}

\item Le nombre de milliers d'insectes est donné par $f\(t\) = 25\e^{- 0,5t}$ où $t$ est exprimé en années; donc le nombre d'insectes au départ est $f\(0\)\times \np{1000} = \np{25000}$, et le nombre d'insectes au bout d'un an est $f\(1\) \times \np{1000} \approx \np{15163}$.

Le pourcentage d'évolution est $\dfrac{\np{15163}-\np{25000}}{\np{25000}} \times 100 \approx - \np{39,35}$.

Le pourcentage de diminution du nombre d'insectes la première année est approximativement de $39\,\%$. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $F$ définie sur $\cd 0~;~4\cg$ par	$F\(t\) = -50\e^{-0,5t}$ est une primitive de $f$ si, pour tout $t$ de $\cd 0~;~4\cg$,  $F'\(t\)=f\(t\)$.

$F'\(t\)= -50\times \(-0,5\) \e^{-0,5t}=25 \e^{-0,5t}=f\(t\)$

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\cd 0~;~4\cg$.
		
		\item  $\displaystyle\int_{2}^4  25\e^{-0,5t}\d t = F\(4\)-F\(2\)= \(-50\e^{-2}\) - \(-50\e^{-1}\) = 50\,\dfrac{\e - 1}{\e^2}$ 

		\item On calcule la valeur moyenne de la fonction $f$ entre 2 et 4:\\
$\dfrac{1}{4-2}\displaystyle\int_{2}^4  25\e^{-0,5t}\d t = \dfrac{1}{2}\times 50\,\dfrac{\e - 1}{\e^2} = 25\,\dfrac{\e - 1}{\e^2} \approx \np{5,814}$

La population moyenne d'insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième année est de \np{5814}. 

	\end{enumerate}

\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B :}

\begin{enumerate}
\item Si $g\(t\) = 20\e^{-0,1t^2} + t - 4,65$, alors:\\
 $g'\(t\)=20\times \(-0,1\times 2t\) \e^{-0,1t^2} +1 =  - 4t\e^{-0,1t^2} + 1$
\item On admet que la fonction $g'$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $\cd 4~;~10\cg$.

$g'\(4\)= 1-16 \e^{-1,6} \approx -2,23 <0$ et 
$g'\(10\)= 1-40\e^{-10} \approx 0,998 >0$

On établit le tableau de variation de la fonction $g'$ sur l'intervalle $\cd 4\:; 10\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 t & 4   & \hspace*{2cm} & 10 \\
 \hline
%B'\(x\) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &   &    & \Rnode{max}{0,998}   \\
g' \(t\) & &  &   \\
 &     \Rnode{min}{-2,23} & & 
\ncline{->}{min}{max}
\rput(-2,0.6){\Rnode{zero}{\fcolorbox{white}{white}{\red 0}}}
\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\fcolorbox{white}{white}{\red $\alpha$}}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

D'après le tableau de variation de $g'$ on peut déduire que l'équation $g'\(t\)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\cd 4\:; 10\cg $.

$\left. 
\begin{array}{l @{\ \approx\ } l}
g'\(5\) & -0,64<0\\
g'\(6\) & 0,34>0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
\alpha \in \cd 5\:; 6 \cg 
$;
$\left. 
\begin{array}{l @{\ \approx\ } l}
g'\(5,5\) & -0,07<0\\
g'\(5,6\) & 0,03 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
\alpha \in \cd 5,5\:; 5,6 \cg
$

$
\left. \begin{array}{l @{\ \approx\ } l}
g'\(5,57\) & -0,001<0\\
g'\(5,58\) & 0,008 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
\alpha \in \cd 5,57\:; 5,58 \cg
$

Donc la valeur arrondie au dixième de $\alpha$ est $5,6$.

\emph{On peut aussi faire référence au tableau de valeurs trouvé à la calculatrice pour donner ce résultat.}

\item
	\begin{enumerate}
		\item% En déduire le signe de $g'(t)$ sur l'intervalle [4~;~10]. 
D'après le tableau de variation de la fonction $g'$ sur $\cd 4\:; 10 \cg$, on peut dire que:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $g'\(t\) < 0$ sur $\cd 4\:; \alpha\cd$;
\item $g'\(t\) = 0$ si $t= \alpha$;
\item $g'\(t\) > 0$ sur $\cg \alpha \:; 10\cg$.
\end{list}
		\item
\begin{list}{\textbullet}{On en déduit que:}
\item la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\cd 4\:; \alpha\cg$;
\item la fonction $g$ est strictement croissante sur $\cd \alpha \:; 10\cg$.
\end{list}				
		\item
D'après les résultats des questions précédentes, on peut voir que le nombre d'insectes commence à remonter à partir de $t=\alpha$, c'est-à-dire à partir de la sixième année puisque $\alpha \approx 5,7$.

Donc le traitement semble efficace sur la population d'insectes à partir de la sixième année.		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}