%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet} 
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=2.5cm]{geometry}
% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Philippe Legrand
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 13  septembre 2012}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Métropole 13 septembre 2012~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ dont le tableau de variations est donné ci-dessous où $a$ et $b$ désignent deux réels.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,2.5)
%\psframe(6,2.5)
%\psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5)
%\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.5,2){$- \infty$} \uput[u](3.5,2){$a$} \uput[u](5.5,2){$+ \infty$}\uput[u](1.5,0){$- \infty$} 
%\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](3.5,2){$b$}\uput[u](5.5,0){$- \infty$}
%\psline{->}(1.5,0.5)(3,1.5)\psline{->}(4,1.5)(5.5,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le signe de $f^{\prime}(x)$ selon les valeurs de $x$.
D'après le tableau de variations $f$ est croissante puis décroissante, donc :

$\bullet~~$ $f^{\prime}(x) > 0$ sur $]- \infty~;~a[$ ;

$\bullet~~$ $f^{\prime}(x) < 0$ sur $]a~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~$ $f^{\prime}(a) = 0$. 
\item %Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on a tracé deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{1}$. 
 
%Elles coupent l'axe des ordonnées aux points $A$ et $B$ d'ordonnées $- 2$ et $\dfrac{1}{2}$ respectivement.
 
%L'une de ces courbes est la courbe représentative de la fonction dérivée $f^{\prime}$ de $f$ et l'autre la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. 

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(6,2.1)
%\psaxes[linewidth=1pt,labels=none]{->}(0,0)(-3.5,-3.5)(6,2.1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[dr](0,-2){$A$}\uput[r](0,0.5){$B$}\uput[dl](0,0){$O$}
%\uput[u](-2.5,0.8){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[u](-2.5,-2.3){$\mathcal{C}_{1}$}
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{4.25}{1 2.71828 x 0.5 mul exp 0.5 mul sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3.5}{5.225}{x dup mul 2 div  2 x mul add   2.71828 x 0.5 mul exp 2 mul  sub}
%\end{pspicture}
%\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item %Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction $f^{\prime}$.  Justifier la réponse.
Seuls les points de $\mathcal{C}_{2}$ ont des ordonnées positives puis négatives, donc seule $\mathcal{C}_{2}$ peut être la courbe représentative de $f^{\prime}$.

Donc $\mathcal{C}_{1}$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de $f$.
		\item %À l'aide des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{1}$, prouver que $1 < a < 2$ et $b > 0$.
$\mathcal{C}_{2}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse $a$ ; d'après la figure $1 < a < 2$.

La tangente \`a la courbe $\mathcal{C}_{2}$ représentative de $F$ au point d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $F'(a) = f(a) = b$ ; d'après la figure ce coefficient directeur est  supérieur à zéro. Conclusion 

$f(a) = b > 0$.		
	\end{enumerate} 
\item %Dans cette question, on admet que la fonction $f$ est telle que, pour tout réel $x$,

%\[f(x) - 2f^{\prime}(x) = x.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une fonction affine $g$ telle que pour tout réel $x,\: g(x) - 2g^{\prime}(x) = x$.
Si $g(x) = \alpha x + \beta$, alors $g^{\prime}(x) = \alpha$.
		
On a donc :
		
$g(x) - 2g^{\prime}(x) = x \iff \alpha x + \beta - 2 \alpha = x$.

Cette égalité est vraie quel que soit le réel $x$.

En particulier pour $x = 0$, on a 	$\beta - 2 \alpha = 0 \iff \beta = 2 \alpha$.

Pour $x = 1$, on a 	$\alpha  + \beta - 2 \alpha = 1 \iff \alpha = 1$.

Finalement $\alpha = 1$ et $\beta = 2\alpha = 2$.

La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x + 2$ vérifie l'équation différentielle. 
		\item %Démontrer que la fonction $f - g$ est une solution de l'équation différentielle $y^{\prime} = \dfrac{1}{2}y$.
La dérivée de la fonction $f - g$ est la fonction $f^{\prime} - g^{\prime}$ et 
		
$f^{\prime}(x)  - g^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2}\left(f(x) - x \right) - 1 = \dfrac{1}{2}(f(x) - x - 2) = \dfrac{1}{2}[f(x) - (x + 2)] = \dfrac{1}{2}[f(x) - g(x)]$.

La fonction $f - g$ est donc une solution de l'équation différentielle $y^{\prime} = \dfrac{1}{2}y$.		 
		\item %Résoudre cette équation différentielle et en déduire l'existence d'un réel $k$ tel que pour tout réel $x,\: f(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} + x + 2$.
		On sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par 
		
$x \longmapsto k\text{e}^{\frac{1}{2}x}$, avec $k \in \R$ quelconque.
		
On a donc $f(x) - g(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} \iff f(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} + g(x) = k\text{e}^{\frac{1}{2}x} + x + 2$. 
		\item %En utilisant les coordonnées des points $A$ et $B$, déterminer les fonctions $f$ et $F$ ainsi que les réels $a$ et $b$.
On a $f^{\prime}(x) = k \times \dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}x} + 1$.

On sait que $f^{\prime}(0) = \dfrac{1}{2} \iff  k \times \dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}\times 0} + 1 = \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{k}{2} + 1 = \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{k}{2} = - \dfrac{1}{2} \iff k = - 1$.

On a donc pour tout réel $x,\:f(x) = x + 2 - \text{e}^{\frac{1}{2}x}$.

Une primitive de la fonction $x \longmapsto x$ est la fonction $x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}$ ;

Une primitive de la fonction $x \longmapsto 2$ est la fonction $x \longmapsto 2x$ ;  

Une primitive de la fonction $x \longmapsto - \text{e}^{\frac{1}{2}x}$ est la fonction $x \longmapsto - 2 \text{e}^{\frac{1}{2}x}$ ;

On a donc $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x - 2 \text{e}^{\frac{1}{2}x} + C$ sur $\R$.

Comme $F(0) = - 2 \iff - 2 + C = - 2 \iff C = 0$, on a finalement

$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x - 2 \text{e}^{\frac{1}{2}x}$ sur $\R$.

Maximum de $f$ : $f'(x) = 0 \iff 1 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}x} = 0 \iff \text{e}^{\frac{1}{2}x} = 2 \iff  \frac{1}{2}x = \ln 2$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $ \iff x = 2 \ln 2$. Donc $a = 2\ln 2$.

Le maximum est donc égal à $f(2\ln 2) = 2\ln 2 + 2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{\frac{1}{2}\times 2\ln 2} = 2\ln 2 + 2 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{\ln 2}$. Donc $b = 2\ln 2$.
	\end{enumerate}		 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.5)(6,2.1)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none](0,0)(-3.5,-3.5)(6,2.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](0,-2){$A$}\uput[r](0,0.5){$B$}\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[u](-2.5,0.8){$\mathcal{C}_{2}$}\uput[u](-2.5,-2.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{4.25}{1 2.71828 x 0.5 mul exp 0.5 mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3.5}{5.225}{x dup mul 2 div  2 x mul add   2.71828 x 0.5 mul exp 2 mul  sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3.5}{4.55}{x 2 add  2.71828 x 0.5 mul exp sub}\uput[u](-3,-1.2){\color{green}$\mathcal{C}_{f}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires indiscernables au toucher.

%\medskip
 
%On prélève au hasard une boule de l'urne. 
%
%Si elle est rouge, on la remet dans l'urne et on prélève au hasard une seconde boule. 
%
%Si la première boule est noire, on prélève au hasard une seconde boule dans l'urne sans remettre la boule tirée. 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Quelle est la probabilité que les boules tirées soient rouges ?
On peut dresser l'arbre suivant :
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R_{1}$}\taput{$\frac{4}{6}$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$R_{2}$}\taput{$\frac{4}{6}$}
\TR{}~[tnpos=r]{$N_{2}$}\tbput{$\frac{2}{6}$}
 		}
	\pstree{\TR{$N_{1}$}\tbput{$\frac{2}{6}$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$R_{2}$}\taput{$\frac{4}{5}$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$N_{2}$}\tbput{$\frac{1}{5}$}
 		}
}
\end{center}

\bigskip

On a $p\left(R_{1} \cap R_{2}\right) = p\left(R_{1}\right) \times p_{R_{1}}\left(R_{2}\right) = \dfrac{4}{6} \times \dfrac{4}{6} = \dfrac{4}{9}$.

		\item %Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit noire.
$p_{N_{2}} = p_{R_{1}}\left(N_{2}\right) + p_{N_{1}}\left(N_{2}\right) = \dfrac{4}{6} \times \dfrac{2}{6} + \dfrac{2}{6} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{10 + 3}{45} = \dfrac{13}{45}$.
		 
%Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est noire.
On a $p_{N_{2}}\left(R_{1}\right) = \dfrac{p\left(N_{2} \cap R_{1} \right)}{p\left(N_{2}\right)} = \dfrac{p\left(R_{1} \cap N_{2} \right)}{p\left(N_{2}\right)} = \dfrac{\frac{4}{6}\times \frac{2}{6}}{\frac{13}{45}} = \dfrac{\frac{2}{9}}{\frac{13}{45}} = \dfrac{2}{9} \times \dfrac{45}{13} = \dfrac{10}{13}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
 
%Une urne contient quatre boules rouges et $n$ boules noires indiscernables au toucher.
 
%On prélève successivement et au hasard quatre boules de l'urne en remettant dans l'urne la boule tirée après chaque tirage.
 
%La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre tirages suit la loi binomiale de paramètres $4$ et $p$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'expression de $p$ en fonction de $n$.
La probabilité de tirer une boule rouge, sachant qu'il y a 4 rouges et $n$ noires pour un total de $n + 4$ boules est égale à :
$p = \dfrac{4}{n + 4}$. 
		\item %Démontrer que la probabilité $q_{n}$ que l'une au moins des quatre boules tirées soit noire est telle que $q_{n} = 1 - \left(\dfrac{4}{n + 4}\right)^4$.
La probabilité de tirer quatre boules rouges est égale à  $\left(\dfrac{4}{n + 4} \right)^4$, donc l'évènement contraire, soit l'une au moins des boules est noire, a une probabilité de $q_{n} = 1 - \left(\dfrac{4}{n + 4}\right)^4$.
		\item %Quel est le plus petit entier naturel $n$ pour lequel la probabilité $q_{n}$ est supérieure ou égale à \np{0,9999} ?
On a $q_{n} \geqslant \np{0,9999} \iff 1 - \left(\dfrac{4}{n + 4}\right)^4 \geqslant \np{0,9999} \iff \np{0,0001} \geqslant \left(\dfrac{4}{n + 4}\right)^4 \iff 0,1 \geqslant \dfrac{4}{n + 4} \iff 0,1(n + 4) \geqslant 4 \iff 0,1n + 0,4 \geqslant 4 \iff 0,1n \geqslant 3,6 \iff n \geqslant 36$.

On a donc $q_{36} = \np{0,9999}$.
	\end{enumerate}  
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

%L'objet de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par 
%  
%\[u_{0} = 3\quad  \text{et pour tout entier naturel}\: n,\: u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{7}{u_{n}}\right) \quad (\star)\]
%
%On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} > 0$. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

%\[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{7}{x}\right).\]
 
%Démontrer que la fonction $f$ admet un minimum.
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{7}{x^2}\right) = \dfrac{1}{2x^2}\left(x^2 - 7\right)$ qui est du signe de $x^2 - 7$.

Donc $f^{\prime}(x) = 0 \iff x^2 - 7 = 0 \iff \left(x - \sqrt{7} \right)\left(x + \sqrt{7} \right) = 0 \iff x = \sqrt{7}\quad \text{ou} \quad x = \sqrt{7}$.

Il y a donc une solution dans l'intervalle  $]0~;~+\infty[$ : $\sqrt{7}$.

Le trinôme $x^2 - 7$ est positif sauf entre ses racines donc ici sur $\left]0~;~\sqrt{7}\right[$.

Conclusion : $f$ est décroissante sur $\left]0~;~\sqrt{7}\right[$ puis croissante sur $\left]\sqrt{7}~;~+ \infty\right[$ ; donc $f\left(\sqrt{7} \right)$ est le minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

$f\left(\sqrt{7} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{7} + \dfrac{7}{\sqrt{7}} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{7} + \sqrt{7} \right) = \sqrt{7}$.
%En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \geqslant \sqrt{7}$.
Par définition du minimum, on a donc pour tout entier naturel $n,\: u_{n} \geqslant \sqrt{7}$ y compris $u_{0} = 3$, car $3^2 > 7$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Soit $n$ un entier naturel quelconque.
		 
%Étudier le signe de $u_{n+1} - u_{n}$.
$u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{7}{u_{n}}\right) - u_{n} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{u_{n}} - u_{n} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7 - u_{n}^2}{u_{n}} \right)$.

Comme $\dfrac{1}{2} > 0, \:u_{n}> 0$ et que $u_{n}\geqslant \sqrt{7} \Rightarrow u_{n}^2 \geqslant 7 \Rightarrow  u_{n}^2 - 7 \geqslant 0 \Rightarrow  7 - u_{n}^2  \leqslant 0$, on en conclut que 

\[u_{n+1} - u_{n} \leqslant 0\]

Donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
		\item %Pourquoi peut-on en déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente ?
		La suite $\left(u_{n}\right)$ étant décroissante et minorée par $\sqrt{7}$ est donc convergente vers une limite supérieure ou égale à $\sqrt{7}$. 
		\item %On déduit de la relation $(\star)$ que la limite $\ell$ de cette suite est telle que $\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{7}{\ell}\right)$.
$\ell = \dfrac{1}{2}\left(\ell + \dfrac{7}{\ell}\right) \iff 2 \ell  = \ell + \dfrac{7}{\ell} \iff \ell = \dfrac{7}{\ell} \iff \ell^2 = 7 \iff \ell = \sqrt{7}$ (puisque la limite est positive).		 
%Déterminer $\ell$.
	\end{enumerate} 
\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$,  $u_{n+1} - \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\left(u_{n} - \sqrt{7}\right)^2}{u_{n}}$.
$u_{n+1} - \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{7}{u_{n}}\right) - \sqrt{7} =  \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{7}{u_{n}} - 2\sqrt{7} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{u_{n}^2 + 7 - 2u_{n}\sqrt{7}}{u_{n}}\right) =  \dfrac{1}{2}\dfrac{\left(u_{n} - \sqrt{7}\right)^2}{u_{n}}$. (identité remarquable) 
\item %On définit la suite $\left(d_{n}\right)$ par :
 
%\[d_{0} = 1 \quad \text{et pour tout entier naturel}\: n,\:d_{n+1} = \dfrac{1}{2}d^2_{n}.\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, 

%\[u_{n} - \sqrt{7} \leqslant d_{n}.\]
\emph{Initialisation} : $u_{0} - \sqrt{7} = 3 - \sqrt{7} \approx 0,35$ et $d_{0} = 1$.

On a bien $u_{0} - \sqrt{7}\leqslant d_{0}$.

\emph{Hérédité} : 

Remarque préliminaire : on a démontré que $u_{n} \geqslant \sqrt{7}$, donc $u_{n} > 1$ ou encore $\dfrac{1}{u_{n}}< 1 \quad (2)$.

Supposons qu'il existe un naturel $n$ tel que $u_{n} - \sqrt{7} \leqslant d_{n}$. 

On a démontré à la question 3 que :

$u_{n+1} - \sqrt{7} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\left(u_{n} - \sqrt{7}\right)^2}{u_{n}}$. Donc comme $u_{n} - \sqrt{7} \leqslant d_{n} \Rightarrow \left(u_{n} - \sqrt{7} \right)^2  \leqslant d_{n}^2$, l'égalité du 3 donne :

$u_{n+1} - \sqrt{7} <  \dfrac{1}{2}d_{n}^2 \times \dfrac{1}{u_{n}} < \dfrac{1}{2}d_{n}^2$ d'après l'inégalité (2) ci-dessus.

Finalement $u_{n+1} - \sqrt{7} <  \dfrac{1}{2}d_{n}^2 \iff u_{n+1} - \sqrt{7} < d_{n+1}$.

L'hérédité est établie.

Pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n} - \sqrt{7} \leqslant d_{n}.\]
		\item %Voici un algorithme :
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline 
%Variables :&$n$ et $p$ sont des entiers naturels\\ 
%&$d$ est un réel.\\ 
%Entrée :& 	Demander à l'utilisateur la valeur de $p$.\\ 
%Initialisations :& Affecter à $d$ la valeur 1.\\
%&Affecter à $n$ la valeur $0$\\
%Traitement :& Tant que $d > 10^{- p}$.\\
%&\begin{tabular}{l|l}
%~~& Affecter à $d$ la valeur $0,5d^2$\\
%~~& Affecter à $n$ la valeur $n + 1$.\\
%\end{tabular}\\ 
%Sortie :& Afficher $n$.\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center} 

%En entrant la valeur 9, l'algorithme affiche le nombre 5. 
%
%Quelle inégalité peut-on en déduire pour $d_{5}$ ? 
%
%Justifier que $u_{5}$ est une valeur approchée de $\sqrt{7}$ à $10^{- 9}$ près.
L'algorithme indique que pour que $d_{n} \leqslant 10^{- 9}$ il faut que $n \geqslant 5$.

On a donc $d_{5} \leqslant 10^{- 9}$.

Comme $u_{5} - \sqrt{7}< u_{5}$ c'est-à-dire  $u_{5} - \sqrt{7}< 10^{- 9}$, on en déduit que $u_{5}$ est une valeur approchée par excès de $\sqrt{7}$ à $10^{- 9}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip  
 
%\emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ 
%Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse.\\ 
%Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée.}
%
%\medskip
% 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %L'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1 + 2\text{i}| = |z + 3 - 4\text{i}|$ est une droite passant par le point $H$ d'affixe $5 + 5\text{i}$.
Soit A le point d'affixe $1 - 2\text{i}$ et B le point d'affixe $- 3 + 4\text{i}$.

On a  $|z - 1 + 2\text{i}| = |z + 3 - 4\text{i}| \iff \left|z - z_{\text{A}}  \right| = \left|z - z_{\text{B}} \right| \iff \text{A}M = \text{B}M$.

Les points $M$ équidistants de A et de B appartiennent à la médiatrice de [AB].

On vérifie que $|5 + 5\text{i} - 1 + 2\text{i}|^2 = |4 + 7\text{i}|^2 = 16 + 49 = 65$ et que $|5 + 5\text{i} + 3 - 4\text{i} |^2  = |8 + \text{i}|^2 = 64 + 1 = 65$.

Le point H est bien un point de la médiatrice. VRAIE
\item %On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $2 - \text{i},\: 1 + \text{i}$ et $3 - 2\text{i}$.
 
%L'image du point $B$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $- 2$ est le point $C$.
Il faut vérifier si effectivement $\vect{AC} = - 2\vect{AB}$ c'est-à-dire si $z_{\vect{AC}} = - 2 z_{\vect{AB}}$.

$z_{\vect{AC}} = 3 - 2\text{i} - (2 - \text{i}) = 1 - \text{i}$ ;

$- 2\vect{AB} = - 2\left(1 + \text{i} - (2 - \text{i}) \right) = - 2(- 1 + 2\text{i}) = 2 - 4\text{i}$. Affirmation FAUSSE.   
\item %Soit $f$ la transformation complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

%\[z' = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 - \text{i})z.\]
 
%L'image d'une droite $d$ du plan par la transformation $f$ est une droite qui est perpendiculaire à la droite $d$.
On a $z' = - \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 - \text{i})z = z\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = z\left(\cos \frac{3\pi}{4}  + \text{i}\sin \frac{3\pi}{4}\right) = z \times \text{e}^{\frac{3\pi}{4}}$.

$f$ est donc la rotation de centre O et d'angle $\frac{3\pi}{4}$. Comme $\frac{3\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2}$ l'affirmation est FAUSSE.
\medskip
 
%\emph{Pour les questions suivantes, l'espace est rapporté à un repère orthonormé}\: \Oijk.

%\medskip
 
\item  %Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y - 7 = 0$ et $\mathcal{D}$ la droite dont une représentation paramétrique  est $\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 2 - t\\ 
%y &=& 1 + 3t\\
%z &=&t\\
%\end{array}\right., \quad  t \in \R.$
%  
%La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.
 Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de  $\mathcal{D}$.
 
 Comme $3(2 - t) + 1 + 3t - 7 = 6 - 3t  + 1 + 3t - 7 = 0$ tout point de $\mathcal{D}$ est un point de $\mathcal{P}$. La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$, donc lui est parallèle.
 
\emph{Autre méthode} : le plan a un vecteur normal $\vect{n}(3~;~1~;~0)$ et la droite  $\mathcal{D}$ a un vecteur directeur $\vect{u}(- 1~;~3~;~1)$.

Or $\vect{n} \cdot \vect{u} = - 3 + 3 + 0 = 0$.

Un vecteur directeur de  $\mathcal{D}$ est orthogonal à un vecteur normal de $\mathcal{P}$, donc la droite $\mathcal{D}$ est bien parallèle au plan $\mathcal{P}$. Affirmation VRAIE.
\item %Soient $\mathcal{P}$ le plan d'équation $x + 3y - 4z + 1 = 0$ et $A$ le point de coordonnées $(1~;~4~;~- 1)$.
 
%La sphère $\mathcal{S}$ de centre $A$ et de rayon $4$ est sécante au plan $\mathcal{P}$.
La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à :

$d(A, \mathcal{P}) = \dfrac{|1 + 12 + 4 + 1 |}{\sqrt{1^2 + 3^2 + 4^2}} = \dfrac{18}{\sqrt{26}}$.

$d^2(A, \mathcal{P}) = \dfrac{18^2}{26} = \dfrac{324}{26}\approx 12,46 < 16$ carré du rayon de la sphère, donc la sphère et le plan  sont  sécants. Affirmation VRAIE. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 
 
%\emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\
%Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse.\\ 
%Un point sera attribué pour chaque réponse correctement justifiée. Aucun point ne sera attribué à une réponse non justifiée.}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $(E)\quad  5x + 6y = 3$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
 
%Les seuls couples qui sont solutions de l'équation $(E)$ sont les couples $(18k + 3,~-15k - 2)$ où $k$ est un entier relatif. 
Une solution \og évidente \fg{} de cette équation est le couple $(- 3~;~3)$ car :

$5 \times (- 3) + 6\times 3 = 3$. Or $18k + 3 = - 3 \iff 18k = - 6 \iff 3k = - 1$ et cette équation n'a pas de solution entière. Ces couples sont bien solutions mais ils ne représentent pas tous les couples solutions.

L'affirmation est FAUSSE.
\item %Le reste de la division euclidienne de $3^{\np{2012}}$ par $7$ est égal à $6$.
On a successivement :

$3^0 \equiv 1 \quad [7]$ ;

$3^1 \equiv 3 \quad [7]$ ;

$3^2 \equiv 2 \quad [7]$ ;

$3^3 \equiv 6 \quad [7]$ ;

$3^4 \equiv 4 \quad [7]$ ;

$3^5 \equiv 5 \quad [7]$ ;

$3^6 \equiv 1 \quad [7]$.

On a $\np{2012} = 6 \times 335 + 2$, donc $3^{\np{2012}} = 3^{6 \times 335 + 2} = 3^{6 \times 335} \times 3^2 = \left(3^6\right)^{335} \times 3^2$.

On a vu (résultats ci-dessus) que $3^6 \equiv 1 \quad [7] \Rightarrow \left(3^6\right)^{335} \equiv 1^{335} \quad [7]$ et $3^2 \equiv 2 \quad [7]$, d'o\`u par produit :

$\left(3^6\right)^{335} \times 3^2 \equiv 1 \times 2 \quad [7]$ et finalement 
$3^{\np{2012}} \equiv 2 \quad [7]$

Affirmation FAUSSE : le reste est égal à $2$.
\medskip
 
%\emph{Pour les questions suivantes, le plan est muni d'un repère orthonormé direct}\: \Ouv.
 
%On note A le point d'affixe $2 - \text{i}$ et B l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
 
%Le point C est le milieu du segment [AB].

\medskip
 
\item %Le point C est l'image du point O par la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
On a $z_{\text{A}} = 2 - \text{i},\:  z_{\text{B}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}z_{\text{A}} = \text{i}z_{\text{A}} = \text{i}(2 - \text{i}) = 1 + 2\text{i}.$ 

Enfin $z_{\text{C}} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$.

Soit C$'$ l'image de O dans similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.

On a par définition :

$z_{\text{O}'} - z_{\text{A}} = \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{2}}(\left(z_{\text{O}} - z_{\text{A}} \right) = - \text{i}\sqrt{2}(\left(z_{\text{O}} - z_{\text{A}} \right)$.

D'o\`u : $z_{\text{O}'} = z_{\text{A}} - \text{i}\sqrt{2}(\left(z_{\text{O}} - z_{\text{A}} \right) = 2 - \text{i} - \text{i}\sqrt{2}(- 2 + \text{i}) = 2 - \text{i} + 2\sqrt{2}\text{i} + \sqrt{2} = 2 + \sqrt{2} + \text{i}\left(2\sqrt{2} - 1\right)$.

Cette affixe n'est pas celle de C. Affirmation FAUSSE.
\item %Soit $f$ la similitude directe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = (- 1 + \text{i})z$.
 
%La transformation composée $f \circ f$ transforme la droite (AB) en une droite qui est perpendiculaire à (AB).
On a $(f \circ f)(z = (- 1 + \text{i})(- 1 + \text{i})z = (1 - 1 - 2\text{i})z = - 2\text{i}z = 2 \text{e}^{- \frac{\pi}{2}}$.

On reconnait la similitude de centre >O, de rapport 2 et d'angle $- \frac{\pi}{2}$.

La droite (AB) est donc bien transformée en une droite perpendiculaire. Affirmation VRAIE.
 
\item %La transformation complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = (1- \text{i})z + 3 - \text{i}$, est la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$.
Dans  la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$ un point $M$ d'affixe $z$ a pour image le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

$z' - z_{\text{A}} = \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}\left(z - z_{\text{A}}\right)$ ou encore $z' - (2 - \text{i}) = \sqrt{2}\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}\left(z - (2 - \text{i})\right)$.

Donc $z' = 2 - \text{i} + \sqrt{2}\left(\cos - \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin - \frac{\pi}{4} \right)(z - 2 + \text{i})$.

$z' = 2 - \text{i} + \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}- \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(z - 2 + \text{i})$.

$z' = 2 - \text{i} + (1 - \text{i})(z - 2 + \text{i})$.

$z' = 2 - \text{i} + (1 - \text{i})z + (1 - \text{i})(- 2 + \text{i})$, soit enfin

$z' = 2 - \text{i} + (1 - \text{i})z  - 2 + \text{i} - 2\text{i} + 1$

$z' = (1 - \text{i})z + 1 - 2\text{i}$. Ce n'est pas l'écriture proposée. Affirmation FAUSSE.

\emph{Rem.} On pouvait aussi dire que la similitude directe de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$ transforme le point O en le point B d'affixe $1 + 2\text{i}$.

Or l'écriture proposée donne comme affixe de l'image de O : $(1 - \text{i})\times 0 + 3 - \text{i} = 3 - \text{i}$ qui n'est pas l'affixe de B.
\end{enumerate}
\end{document}