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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
%Relecture : 
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pdftitle = {Métropole Sujet 1 20 mars 2023 - Corrigé},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1 - corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Métropole 20 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
%Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.\\
%Les questions sont indépendantes.}

%\medskip
%
Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques.

On sait que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]20\,\% des machines sont sous garantie;
\item[$\bullet~~$]0,2\,\% des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie;
\item[$\bullet~~$]8,2\,\% des machines sont défectueuses.
\end{itemize}

\smallskip

Le technicien teste une machine au hasard.

%\medskip

%\begin{minipage}{0.55\linewidth}
On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$G$: \og la machine est sous garantie \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$D$: \og la machine est défectueuse\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{G}$ et $\overline{D}$ désignent respectivement les évènements contraires de $G$ et $D$.
\end{itemize}
%
%Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s'aider de l'arbre proposé ci-contre.
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.4\linewidth}
%
%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
%{\pstree{\TR{$G$~~}\taput{}}
%{\TR{}\taput{}
%\TR{}\tbput{}
%}
%\pstree{\TR{~}\tbput{}}
%{\TR{}\taput{}
%\TR{}\tbput{}
%}}
%\end{minipage}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité $p_G(D)$ de l'évènement $D$ sachant que $G$ est réalisé est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,002 &\textbf{b.~~} 0,01 &\textbf{c.~~} 0,024 & \textbf{d.~~} 0,2
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
20\,\% des machines sont sous garantie donc $p(G)=0,2$.

0,2\,\% des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie donc $p(G\cap D)=0,002$.

$p_{G}(D) = \dfrac{p(G\cap D)}{p(G)}
= \dfrac{0,002}{0,2}=0,01$
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\item La probabilité $p\left(\overline{G} \cap D\right)$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,01 &b. 0,08 &\textbf{c.~~} 0,1  &\textbf{d.~~} 0,21
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
8,2\,\% des machines sont défectueuses donc $p(D)=0,082$.

D'après la formule des probabilités totales:
$p(D)= p(G\cap D) + p\left(\overline{G} \cap D\right)$. Donc:

$p\left(\overline{G} \cap D\right) 
= p(D) - p(G\cap D) = 0,082 - 0,002 = 0,08$
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\item La machine est défectueuse. La probabilité qu'elle soit sous garantie est
environ égale, à $10^{-3}$ près, à : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,01  &\textbf{b.~~} 0,024  &\textbf{c.~~} 0,082 &\textbf{d.~~} 0,1
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
On cherche:
$p_{D}(G)=\dfrac{p(G\cap D)}{p(D)}=\dfrac{0,002}{0,082}\approx 0,024$
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\end{enumerate}

Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante $n$ machines de l'entreprise, où $n$ désigne un entier naturel non nul. 

On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque lot de $n$ machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,082$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans cette question, on prend $n =50$.

La valeur de la probabilité $p(X > 2)$, arrondie au millième, est de : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,136 &\textbf{b.~~} 0,789 &\textbf{c.~~} 0,864 &d. 0,924
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
$p(X>2) = 1-p(X\leqslant 2)\approx 1-0,2114 \approx 0,789$
\hfill\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\item On considère un entier $n$ pour lequel la probabilité que toutes les machines d'un lot de taille $n$ fonctionnent correctement est supérieure à $0,4$. 

La plus grande valeur possible pour $n$ est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}5 &\textbf{b.~~} 6 &\textbf{c.~~} 10 &d. 11
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} || p{0.93\linewidth}}
Si toutes les machines fonctionnent, le nombre de machines défectueuses est 0; donc on cherche le plus grand $n$ tel que $p(X=0)>0,4$.

$p(X=0) = \ds\binom{10}{0}\times 0,082^0 \times (1-0,082)^n = 0,918^n$

$p(X=0)>0,4
\iff
0,918^n > 0,4
\iff
\ln\left (0,918^n\right ) > \ln(0,4)$

$\phantom{p(X=0)>0,4}
\iff
n\times \ln(0,918) > \ln (0,4)
\iff
n < \dfrac{\ln(0,4)}{\ln(0,918)}$

$\dfrac{\ln(0,4)}{\ln(0,918)} \approx 10,71$ donc le plus grand entier $n$ inférieur à $\dfrac{\ln(0,4)}{\ln(0,918)}$ est 10.
\hfill\textbf{Réponse c.}

\end{tabular}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par 
$f(x) = x^2 - 8\ln (x)$,
où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On détermine $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.

$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x \to 0} x^2 =0\\
\ds\lim_{x \to 0 \atop x>0} \ln(x)=-\infty
\end{array}
\right \}
\text{ donc }
\ds\lim_{x \to 0\atop x>0} x^2 -8\ln(x)=+\infty
\text{ et donc }
\ds\lim_{x \to 0\atop x>0} f(x)=+\infty$


\item On admet que, pour tout $x > 0$,\: $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)$.

%En déduire la limite: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} =0\\
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x}=0 
\end{array}
\right \}
\text{ donc }
\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} =0
\text{ et donc }
\ds\lim_{x \to +\infty} \left ( 1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right ) =1$

$\left .
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x \to +\infty}  \left ( 1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right ) =1\\
\ds\lim_{x \to +\infty} x^2=+\infty
\end{array}
\right \}
\text{ donc }
\ds\lim_{x \to +\infty}  x^2\left ( 1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}\right ) =+\infty
\text{ et donc }
\ds\lim_{x \to +\infty}  f(x) =+\infty$

\item %Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.
Calcul de la dérivée sur $]0~;~+\infty[$:

$f'(x)=2x -8\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{2x^2-8}{x}=\dfrac{2\left (x^2-4\right )}{x}
=\dfrac{2(x-2)(x+2)}{x}$

\item Pour étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$, on cherche le signe de $f'(x)$.% et dresser son tableau de variations complet.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{3cm}}
$\begin{array}{|c |l *{4}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 2 & \esp  & +\infty \\
\hline
x-2 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x+2 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
x &0  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) &\vline\;\vline  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

$f(2)=4-8\ln(2)$
On en déduit le tableau des  variations de la fonction $f$  sur $]0~;~+\infty[$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{0.8cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*8{c}|}
\hline
x & 0  & \esp &  & \esp & 2 & \esp &  & \esp & +\infty \\ 
\hline
\text{ Signe de $f'$ } &\vline\;\vline  & &   \pmb{-}  & & \vline\hspace{-2.7pt}0   &&  \pmb{+} &&\\ 
\hline
 & \vline\;\vline \Rnode{max1}{~+\infty} & &&&&  &     &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\  
\text{ Variations de $f$ } & \vline\;\vline &  &   && & &   &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline &   &  &  &  \Rnode{min}{4-8\ln(2)} & & & &  \rule{0pt}{\hauteur}    
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

%On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item %Démontrer que, sur l'intervalle ]0~;~2], l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
$4-8\ln(2) \approx -1,55 <0$ donc on complète le tableau de variations.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{0.8cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*8{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \Rnode{alpha}{\alpha} & \esp & 2 & \esp & & \esp & +\infty \\ 
\hline
%\text{ Signe de $f'$ } &\vline\;\vline  & &   \pmb{-}  & & \vline\hspace{-2.7pt}0   &&  \pmb{+} &&\\ 
%\hline
 & \vline\;\vline \Rnode{max1}{~+\infty} & &&&&  &     &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\  
\text{ Variations de $f$ } & \vline\;\vline &  &  \Rnode{zero1}{0} && & &   &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline &   &  &  &  \Rnode{min}{4-8\ln(2)} & & & &  \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{max1}{zero1}  \ncline{->}{zero1}{min}
  \ncline{min}{max2}
  \ncline[linecolor=red,linestyle=dashed]{zero1}{alpha}
%   \ncline[linecolor=red,linestyle=dashed]{zero2}{beta}
 \\ 
%\hline
%\text{ Signe de $f$ } &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & &  \pmb{-} &  &\vline\hspace{-2.7pt}0 &  \pmb{+} &\\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\;;\;+\infty[$ donc continue sur cet intervalle, donc continue sur $]0\;;\;2[$.
Sur l'intervalle $]0\;;\;2[$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante; elle passe d'une valeur positive à une valeur négative donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $]0\;;\;2[$. 
On l'appelle $\alpha$.
%D'après le tableau de variations, on peut dire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $]0\;;\;2[$.

\item On admet que, sur l'intervalle $[2~;~ +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$. On complète le tableau de variations de $f$ et on en déduit le signe de $f$ sur $]0\;;\;+\infty[$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{0.8cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|l*8{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & \Rnode{alpha}{\alpha} & \esp & 2 & \esp & \Rnode{beta}{\beta} & \esp & +\infty \\ 
\hline
%\text{ Signe de $f'$ } &\vline\;\vline  & &   \pmb{-}  & & \vline\hspace{-2.7pt}0   &&  \pmb{+} &&\\ 
%\hline
 & \vline\;\vline \Rnode{max1}{~+\infty} & &&&&  &     &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\  
\text{ Variations de $f$ } & \vline\;\vline &  &  \Rnode{zero1}{0} && & &\Rnode{zero2}{0}   &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \vline\;\vline &   &  &  &  \Rnode{min}{4-8\ln(2)} & & & &  \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{max1}{zero1}  \ncline{->}{zero1}{min}
  \ncline{min}{zero2}  \ncline{->}{zero2}{max2}
  \ncline[linecolor=red,linestyle=dashed]{zero1}{alpha}
    \ncline[linecolor=red,linestyle=dashed]{zero2}{beta}
 \\ 
\hline
\text{ Signe de $f$ } & \vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & &  \pmb{-} &  &\vline\hspace{-2.7pt}0 &  \pmb{+} &\\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

%En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item Pour tout réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
$g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k$; donc $g_k(x)=f(x)+k$.

La fonction $g_k$ a donc les mêmes variations que $f$ et elle a donc pour minimum sur $]0~,~+\infty[$ le nombre $4-8\ln(2)+k$.
Pour que $g_k$ soit positive ou nulle, il faut que ce minimum soit positif ou nul, donc $4-8\ln(2)+k\geqslant 0$ soit $k\geqslant 8\ln(2)-4$.

Donc $8\ln(2)-4$ est la plus petite valeur de $k$ telle que $g_k\geqslant 0$ sur $]0\;;\;+\infty[$.

%En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (\og FAQ \fg) sur son site internet.

%\medskip

On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.

\bigskip

\textbf{Partie A : Première modélisation}

\medskip

Dans cette partie, on admet que, chaque mois :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]90\,\% des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
\item[$\bullet~~$]130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.
\end{itemize}

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.

%\medskip

Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le $n$-ième
mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_1 =3$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3$.
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item $u_2 = 0,9\times u_1 +1,3 = 0,9\times 3 + 1,3= 4$ et 
$u_3 =0,9\times u_2 +1,3 = 0,9\times 4 + 1,3= 4,9$
% et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.2. 

On peut estimer à 400 le nombre de questions le 2\up{e} mois, et à 490 le 3\up{e} mois.

\item On va montrer par récurrence la propriété  $u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n$ pour tout $n\geqslant1$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Initialisation}

Pour $n=1$, on a $u_1=3$ et $13 -\dfrac{100}{9}\times 0,9^1=13-\dfrac{90}{9}=3$.

La propriété est vérifiée au rang 1.
\item \textbf{Hérédité}

On suppose la propriété vraie au rang $n$ avec $n\geqslant 1$; autrement dit $u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n$ ; c'est l'hypothèse de récurrence.

$u_{n+1} = 0,9u_n+1,3 = 0,9 \left (13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n\right ) +1,3
= 0,9\times 13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}+0,1\times 13\\
\phantom{u_{n+1}}
= 13- \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}$

Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
\item \textbf{Conclusion}

La propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire pour tout $n\geqslant 1$; d'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout $n\geqslant 1$.
\end{list}

Donc pour tout $n\geqslant 1$, on a: $u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n$.

\item  %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n\geqslant 1$, on a:

$u_{n+1}-u_n
=\left (13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1}\right ) - \left (13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n}\right ) 
= 13-\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n+1} - 13+\dfrac{100}{9}\times 0,9^{n}\\
\phantom{u_{n+1}-u_n}
= \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n}\left (1-0,9\right )
= \dfrac{100}{9}\times 0,9^{n} \times 0,1>0$

donc la suite $(u_n)_{n\in\N*}$ est croissante.

\item On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.

\begin{minipage}{0.72\linewidth}

%Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.

Ce programme renvoie la plus petite valeur $n$ telle que $u_n>\texttt{p}$; donc \texttt{seuil(8.5)} renvoie la plus petite valeur $n$ telle que $u_n>8,5$. On résout cette inéquation.

$u_n>8,5
\iff
13 -\dfrac{100}{9}\times 0,9^n > 8,5
\iff
4,5 > \dfrac{100}{9}\times 0,9^n\\
\phantom{u_n>8,5}
\iff
\dfrac{4,5\times 9}{100}> 0,9^n
\iff
\ln(0,405) > \ln \left (0,9^n\right )\\
\phantom{u_n>8,5}
\iff
\ln(0,405) >n \times \ln  (0,9)
\iff
\dfrac{\ln(0,405)}{\ln(0,9)} <n$
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.25\linewidth}
\renewcommand\arraystretch{0.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|} \hline
def seuil(p) :\\
\qquad n=1\\
\qquad u=3\\
\qquad while u<=p :\\
\qquad  \qquad n=n+1\\
\qquad \qquad u=0.9*u+1.3 \\
\qquad return n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

$\dfrac{\ln(0,405)}{\ln(0,9)} \approx 8,6$ donc la valeur renvoyée par \texttt{seuil(8.5)} est 9.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Une autre modélisation}

\medskip

Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle
suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par:
$v_n = 9 - 6 \times \e^{-0,19\times(n - 1)}$.

Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ.

\medskip

\begin{enumerate}
\item % Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.
$v_1=9-6\e^{0}=3$ et $v_2=9-6\e^{-0,19}\approx 4,04$

\item On résout l'inéquation $v_n > 8,5$.

$v_n > 8,5
\iff
9 - 6 \times \e^{-0,19\times(n - 1)} > 8,5
\iff 
0,5 > 6 \times \e^{-0,19\times(n - 1)}
$\\

$\phantom{v_n > 8,5}\iff\dfrac{0,5}{6} > \e^{-0,19\times(n - 1)}$ et par croissance de la fonction logarithme népérien\\
$\phantom{v_n > 8,5}
\iff
\ln \left (\dfrac{0,5}{6}\right ) > -0,19\times (n-1)
\iff
-\dfrac{\ln \left (\frac{0,5}{6}\right )}{0,19} < n - 1 \iff n > 1 -\dfrac{\ln \left (\frac{0,5}{6}\right )}{0,19}$

Or $-\dfrac{\ln \left (\frac{0,5}{6}\right )}{0,19}\approx -13,08$ et 1 + 13,08 = 14,08 donc la plus petite valeur telle que $v_n > 8,5$ est $n = 15$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Comparaison des deux modèles}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ. 

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Selon le 1\ier{} modèle, il y a plus de 850 questions sur la FAQ quand $u_n>8,5$, c'est-à-dire le 9\up{e} mois.
\item Selon le 2\up{e} modèle, il y a plus de 850 questions sur la FAQ quand $v_n>8,5$, c'est-à-dire le 15\up{e} mois.
\end{list}

C'est la première modélisation qui conduit à procéder le plus tôt à cette modification.

%Justifier votre réponse.
\item Pour savoir pour quelle modélisation il y a le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme, on cherche les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $u_n=13 - \dfrac{100}{9}\times 0,9^n$

$-1<0,9 <1$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} 0,9^n=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} u_n=13$.

À long terme il y aura \np{1300} questions pour la 1\up{e} modélisation..
\item $v_n = 9 - 6 \times \e^{-0,19\times(n - 1)}$

$\ds\lim_{n\to +\infty} -0,19\times (n-1) = -\infty$ et $\ds\lim_{X\to -\infty} \e^{X}=0$ donc $\ds\lim_{n\to +\infty} \e^{-0,19\times(n - 1)}=0$; on en déduit que $\ds\lim_{n\to +\infty} v_n=9$.

À long terme il y aura \np{900} questions pour la 2\up{e} modélisation..
\end{list}

C'est donc pour la 1\up{re} modélisation qu'il y aura le plus de questions à long terme.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.48\linewidth}
On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1.

On appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.
\end{minipage} \hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.3,5.7)
\psframe(0.8,0.3)(4.8,4.3)
\psline(4.8,0.3)(6.3,1.3)(6.3,5.3)(4.8,4.3)%BCGF
\psline(6.3,5.3)(2.3,5.3)(0.8,4.3)%GHE
\psline(4.8,0.3)(6.3,5.3)%BG
\psline[linestyle=dashed](0.8,0.3)(2.3,1.3)(6.3,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](2.3,1.3)(2.3,5.3)%DH
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](4.8,0.3)(2.3,1.3)(6.3,5.3)%BDG
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.2pt](0.8,4.3)(6.3,1.3)%EC
\uput[d](0.8,0.3){A} \uput[d](4.8,0.3){B} \uput[dr](6.3,1.3){C} \uput[d](2.3,1.3){D}
\uput[u](0.8,4.3){E} \uput[u](4.8,4.3){F} \uput[u](6.3,5.3){G} \uput[u](2.3,5.3){H}
\uput[dl](4.5,2.27){I} \uput[dl](3.55,0.8){J}
\psdots(4.5,2.27)(3.55,0.8)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner dans ce repère les coordonnées des points E, C, G.
On a:
E\;$\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}$,
C\;$\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}$ et
G\;$\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$.

\item La droite (EC) a pour vecteur directeur 
$\vectt{EC}\;\begin{pmatrix} 1-0\\1-0\\0-1\end{pmatrix}$
soit $\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}$.

Donc la droite (EC) a pour représentation paramétrique;

$\left\{
\begin{array}{l !{=} l l}
x & x_{\text E} + 1\times t\\
y & y_{\text E} + 1\times t & t\in\R\\
z & z_{\text E} + (-1)\times t
\end{array}
\right.$
soit
$\left\{
\begin{array}{l !{=} r l}
x & t\\
y & t & t\in\R\\
z & 1- t
\end{array}
\right.$

\item %Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (GBD).
Les points G, B et D ne sont pas alignés donc (GDB) est un plan de vecteurs directeurs $\vectt{GB}$ et $\vectt{BD}$.

$\vectt{GB}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix} 1-1\\0-1\\0-1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0\\-1\\-1 \end{pmatrix}$
et
$\vectt{BD}$ a pour coordonnées
$\begin{pmatrix} 0-1\\1-0\\0-0 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-1\\1\\0 \end{pmatrix}$.

$\vectt{EC}.\vectt{GB}=1\times 0 + 1\times (-1) + (-1)\times (-1)=0-1+1=0$ donc $\vectt{EC}\perp\vectt{GB}$

$\vectt{EC}.\vectt{BD}=1\times (-1) + 1\times 1 + (-1)\times 0=-1+1+0=0$ donc $\vectt{EC}\perp\vectt{BD}$

Le vecteur $\vectt{EC}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (GDB) donc la droite (EC) est orthogonale au plan (GDB).

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier qu'une équation cartésienne du plan (GBD) est :  $x + y - z - 1 = 0$.
La droite (EC) est orthogonale au plan (GDB) donc tout vecteur directeur de la droite (EC) est un vecteur normal au plan (GDB), en particulier le vecteur $\vectt{EC}$ de coordonnées $(1\;;\;1\;;\;-1)$.
Donc le plan (GDB) a une équation de la forme $x+y-z+d=0$ où $d$ est un réel à déterminer.

Le point B appartient au plan (GDB) donc $x_{\text B} + y_{\text B} -z_{\text B}+d=0$; autrement dit: $1+0-0+d=0$ donc $d=-1$.

Le plan (GDB) a donc pour équation: $x+y-z-1=0$.
			
		\item %Montrer que le point I a pour coordonnées $\left(\dfrac23~;~\dfrac23~;~ \dfrac13\right)$.
On appelle I le point d'intersection du plan (GBD) avec la droite (EC).

Donc les coordonnées de I sont solutions du système:
$\left \{
\begin{array}{r !{=} l}
x	& t\\
y & t\\
z & 1-t\\
x+y-z-1 & 0
\end{array}
\right .$

On a donc: $t+t-(1-t)-1=0$ donc $t=\dfrac{2}{3}$.

On en déduit les coordonnées de I:
$x_{\text I}=t=\dfrac{2}{3}$, $y_{\text I}=t=\dfrac{2}{3}$ et $z_{\text I}=1-t=\dfrac{1}{3}$,
soit $\left( \dfrac{2}{3}\;;\;\dfrac{2}{3}\;;\;\dfrac{1}{3}\right )$. 
		
		\item %En déduire que la distance du point E au plan (GBD) est égale à $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.
La droite (EC) est orthogonale au plan (GDB) donc la distance du point E au plan (GDB) est la longueur EI.

$\text{EI}^2 = \left ( \dfrac{2}{3} - 0\right )^2 + \left ( \dfrac{2}{3} - 0\right )^2 + \left ( \dfrac{1}{3} - 1\right )^2 = \dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{12}{9}$;
donc $\text{EI} = \ds\sqrt{\dfrac{12}{9}} = \dfrac{\ds\sqrt{12}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

La distance du point I au plan (GDB) est donc de $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que le triangle BDG est équilatéral.
Les côtés [BD], [DG] et [GB] du triangle BDG sont les diagonales respectives des carrés ABCD, CDHG et BCGF qui sont superposables; donc leurs diagonales ont la même longueur. Ce qui veut dire que le triangle BDG est équilatéral.

		\item %Calculer l'aire du triangle BDG.
		On appelle J le milieu du segment [BD]; donc le segment [GJ] est la médiane issue de G dans le triangle BDG. Or ce triangle est équilatéral donc [GJ] est la hauteur issue de G dans ce triangle.
L'aire du triangle BDG est donc:
$\mathcal A = \dfrac{\text{BD}\times \text{GJ}}{2}$.

B\;$\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\\end{pmatrix}$
et
D\;$\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\\end{pmatrix}$
donc
J\;$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\\\end{pmatrix}$

$\text{GJ}^2 = \left ( \dfrac{1}{2} -1\right )^2 + \left ( \dfrac{1}{2}-1 \right )^2 + \left (0-1 \right )^2 = \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+1 = \dfrac{6}{4}$ donc $\text{GJ}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

[BD] est la diagonale du carré ABCD de côté 1 donc $\text{BD}=\sqrt{2}$.

L'aire de BDG est donc: $\mathcal A= \dfrac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{6}}{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{12}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
	\end{enumerate}

\item %Justifier que le volume du tétraèdre EGBD est égal à $\dfrac13$.
Le volume du tétraèdre EGBD est:
$\dfrac{1}{3} \left (\mathcal A \times \text{EI} \right )
= \dfrac{1}{3}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right )
=\dfrac{1}{3}$

%\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac13 Bh$ où $B$ est  l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.}
\end{enumerate}
\end{document}