% arara: lualatex
% arara: lualatex if found('log', '(undefined references|Please rerun|Rerun to get)')
%
% pour compiler le document : arara {NOM_FICHIER}.tex
% ou plus simplement lualatex {NOM_FICHIER}.tex (deux compilations pouvant être nécessaires)
% compilation réussie sur distribution TeXLive 2025 full-scheme
%------------------------------------------------------------------------------------------%
% A.P.M.E.P. https://www.apmep.fr/                                                         %
% https://www.apmep.fr/Annales-examens-Brevet-CAP-BEP-Bac-BTS-et-concours-niveau-Terminale %
% Tapuscrit : Aymeric Picaud                                                               %
% Relecture :                                                                              %
% Pensez à déclarer les ressources de l'APMEP dans vos établissements scolaires dans le    %
% cadre de l'enquête du CFC (centre français de copie) si vous faites partie du panel.     %
% https://www.apmep.fr/Ressources                                                          %
%------------------------------------------------------------------------------------------%
\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
% encodage des caractères
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
% polices utilisées
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb} % caractères mathématiques
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol} % environnement pour zone multicolonnes \begin{multicols}{#nb col}…\end{multicols}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx} % tableaux extensibles
\usepackage{booktabs} % tables de valeurs
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem} % personnalisation des listes numérotées et à puces
%\usepackage{textcomp} % pour le symbole degré notamment
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text} % figures avec pstricks
\usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add}
\usepackage{tikz} % figures avec tikz
\usetikzlibrary{calc}  % pour faire des calculs de coordonnées
\usepackage{esvect} % commande pour écrire les vecteurs \vv{arg} ou \vv*{arg}{ind}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
% marges
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15 mm}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}% commande pour écrire les vecteurs \vect{arg}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
% commandes pour les repères
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\text{e}} % commande pour le nombre d'Euler, constante de Neper
\usepackage{fancyhdr} % pied et entête de page
\usepackage{hyperref} % liens et renvois
 % prise en compte des langues
\usepackage[np]{numprint} % pour composer des nombres facilement \np[m]{1.345E3}
\usepackage{physics}% pour avoir les notations simple élément différentiel dx
\usepackage{tkz-tab}% tableaux de signes, de variation dans un environnement tikzpicture
\usepackage{pythonhighlight}% mise en forme code python
\usepackage{qrcode} % pour créer des qrcode facilement
\renewcommand\arraystretch{1.3} % réglage des espacements de lignes tableaux et matrices
%\frenchsetup{StandardLists=true}
%\renewcommand{\degre}{^\circ} % redéfinition de la commande degre en mode math
%\newcommand{\textdegre}{$^\circ$} % définition de la commande degre en mode texte
%
% Zone de définitions propres au sujet
%
% Corrigé du sujet 25-MATJ2ME3
\newcommand{\Auteur}{APMEP}
\newcommand{\APMEP}{\href{https://www.apmep.fr}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\newcommand{\Diplome}{ Baccalauréat }
\newcommand{\Epreuve}{ Épreuve de spécialité }
\newcommand{\Zone}{ Métropole }
\newcommand{\Sujet}{ Corrigé J2 }
\newcommand{\Date}{ 10 septembre 2025 }
%
% métainformations du pdf produit
%
\hypersetup{%
pdfauthor = {\Auteur},
pdfsubject = {\Diplome~\Epreuve},
pdftitle = {\Zone~\Sujet~\Date},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
%
% Début du document

\setlength\parindent{0mm}
% réglage des entêtes et pieds de page
\usepackage[french]{babel}
\rhead{~\APMEP}
\lhead{\small{\Diplome~\Epreuve~\Sujet}}
\lfoot{\small{\Zone}}
\rfoot{\small{\Date}}
\pagestyle{fancy}
%
\begin{document}
% première page
\thispagestyle{empty} % suppression du style fancy
%
% Titre
%
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~\Diplome~\Zone~\Date~\decofourright\\[7pt] \Sujet \\[7pt] \textsc{\Epreuve}}}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1 \hfill 6 points}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès d'une répétition de 10 épreuves de Bernoulli. Les épreuves sont indépendantes deux à deux. La probabilité du succès est $p=\np{0.4}$. Donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres 10 ; \np{0.4} : $X \sim \mathcal{B}(10~;~\np{0.4})$.
	\item
		\begin{enumerate}
			\item $P(X = 2) = \binom{10}{2}\times p^2\times(1-p)^{10-2}= \binom{10}{2}\times\np{0.4}^{2}\times \np{0.6}^{8} \approx \np{0.1209}$
			\item Comme les évènements $ \lbrace X = i\rbrace $ et $\lbrace X = j\rbrace $ sont disjoints pour $i \neq j$ :

$			\begin{array}{cl}
			P(X \leqslant 2) 
				&= P(\lbrace X = 0 \rbrace \cup \lbrace X = 1 \rbrace \cup \lbrace X = 2 \rbrace ) \\
				&= \displaystyle\sum_{i=0}^{2} P(X=i)\\ 
				&= \displaystyle\sum_{i=0}^{2}\binom{10}{i}p^{i}(1-p)^{10-i} \\
				&\approx \np{0.1673}
			
\end{array}
$			
			
			La probabilité que le phénomène El Niño soit dominant au plus deux années sur une période de 10~ans est d'environ \np{0.1673}.
		\end{enumerate}
	\item Comme $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~\np{0.4})$ : $E(X) = n\times p = 10 \times \np{0.4} = 4$. En moyenne le phénomène El Nino est dominant quatre années sur une période de 10~ans.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item  \ {}
	
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E_n~$}\taput{$p_n$}}
	{\TR{$E_{n+1}$} \taput{0,5}
	\TR{$\overline{E_{n+1}}$} \tbput{0,5}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E_n}~$}\tbput{$1 - p_n$}}
	{\TR{$E_{n+1}$} \taput{0,3}
	\TR{$\overline{E_{n+1}}$} \tbput{0,7}
	}
}
\end{center}

	\item $p_0 = 0$\\ $1-p_0 = 1$
	
	$p_1 = P\left(E_1\right) = P\left(E_0\right)\times P_{E_{0}}\left(E_1\right) + P\left(\overline{E_0}\right)\times P_{\overline{E_{0}}}\left(E_1\right)
	= 0 \times \np{0.5} + 1 \times  \np{0.3} =   \np{0.3}$
	\item $p_{n+1} = P\left(E_{n+1}\right) = P\left(E_n\right)\times P_{E_{n}}\left(E_{n+1}\right) + P\left(\overline{E_n}\right)\times P_{\overline{E_{n}}}\left(E_{n+1}\right)\\
	= p_n \times \np{0.5} + (1-p_n) \times  \np{0.3} = \np{0.2}\times p_n + \np{0.3}$
	\item
		\begin{enumerate}
			\item En utilisant la calculatrice la suite $\left(p_n\right)$ semble être croissante et avoir pour limite $\np{0.375}$.


\begin{center}
\begin{tabular}{cl}
\toprule
$n$ & \multicolumn{1}{c}{$p_n$} \\
\midrule
0 &\np{0} \\
1 &\np{0.3} \\
2 &\np{0.36} \\
3 &\np{0.372} \\
\vdots & \multicolumn{1}{c}{\vdots} \\
13 &\np{0.3749999996928} \\
14 &\np{0.37499999993856} \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}

			
			\item On formule l'hypothèse de récurrence $\mathcal{H}(n)~:~p_n\leqslant \np{0.375}$.
			
\textbf{On vérifie que $\mathcal{H}(0)$ est vraie (initialisation).}

Comme $p_0 = 0 \leqslant \np{0.375}$,  $\mathcal{H}(0)$ est vraie.

\textbf{Montrons que $\mathcal{H}(n)\Rightarrow \mathcal{H}(n+1)$ (hérédité).}

On suppose que $\mathcal{H}(n)$ est vraie, avec $n \in \N$.

$p_{n+1} = \np{0.2}\times p_n + \np{0.3}$

D'après $\mathcal{H}(n)$, $p_n \leqslant \np{0.375}$, en multipliant par $\np{0.2}$ on obtient :

$ \np{0.2}\times p_n \leqslant \np{0.075}$, en ajoutant  $\np{0.3}$ on obtient :

$ \np{0.2}\times p_n + \np{0.3} \leqslant \np{0.375}$, ainsi on obtient :

$p_{n+1} \leqslant \np{0.375} $ ($\mathcal{H}(n+1)$ est vérifiée)

\textbf{D'après le principe de récurrence},

$\forall n\in \N, n \geqslant 0, p_n\leqslant \np{0.375}$
		\item Pour tout $n\in \N$, $p_n$ désignant une probabilité est un nombre positif.

Soit ${n\in\N}$

$p_{n+1}-p_{n} = \np{-0.8}\times p_n + \np{0.3} $

$p_{n+1}-p_{n} \geqslant \np{-0.8}\times \np{0.375} + \np{0.3} $

$p_{n+1}-p_{n} \geqslant 0 $

Ceci étant valable quelque soit le choix de $n$, $\forall n \in \N,~p_{n+1}-p_{n} \geqslant 0 $, donc $\left(p_n\right)$ est croissante.
			\item $\left(p_n\right)$ est croissante et majorée donc $\left(p_n\right)$ est convergente vers $l$. De plus ${l\leqslant \np{0.375}}$.
		\end{enumerate}
	\item
		\begin{enumerate}
			\item \ {}
			
			\renewcommand{\arraystretch}{2}
			$\begin{array}{rcl}
			u_{n+1} 	&=& p_{n+1} - \dfrac{3}{8}\\
					&=& \np{0.2}\times p_n + \np{0.3} - \dfrac{3}{8}\\
					&=& \np{0.2}\times p_n +\np{0.2}\times \dfrac{3}{2} - \np{0.2}\times\dfrac{15}{8}\\
					&=& \np{0.2}\times p_n +\np{0.2}\times\left( \dfrac{3}{2} - \dfrac{15}{8}\right)\\
					&=& \np{0.2}\times p_n +\np{0.2}\times\left(  - \dfrac{3}{8}\right)\\
					&=& \np{0.2}\times \left(p_n - \dfrac{3}{8}\right)\\
			\end{array}$

Finalement quel que soit $n$ naturel, $u_{n+1} = \np{0.2}\times u_{n}$ : ceci prouve que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\np{0.2}$.

			$u_0 = p_{0} - \dfrac{3}{8} = 0 - \dfrac{3}{8} = -\dfrac{3}{8}$

			Le premier terme est donné par : ${u_0 = - \dfrac{3}{8}}$

			\item Comme $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\np{0.2}$ de premier terme ${u_0 = - \dfrac{3}{8}}$ :

			$\forall n \in \N~:~u_n = - \dfrac{3}{8} \times \np{0.2}^{n} $

			Comme $\forall n \in \N~:~u_n = p_{n} - \dfrac{3}{8}$,

			$\forall n \in \N~:~p_n = -u_{n} + \dfrac{3}{8} = \left(-\np{0.2}^{n} +1 \right)\times \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}\left(1-\np{0.2}^{n}  \right)$
			
			\item
			Comme $\np{0.2}<1$, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\np{0.2}^{n} = 0$ et donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}p_{n} = \dfrac{3}{8}$
			\item La probabilité d'observer un phénomène El Niño dominant tend vers $\dfrac{3}{8}$ quand le nombre d'années d'observation augmente.
		\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
	\item $\binom{14}{2}\times \binom{10}{2} = \np{4095} \neq 272$. 

\emph{L'énoncé indique \og{}~est-il possible~\fg{} et ne fait pas intervenir le nombre maximum de groupes composés de deux filles et deux garçons.
}
Comme $272 < \np{4095}$, \textbf{l'affirmation est vraie.}
	
	\item $f$ est dérivable comme composée de fonctions dérivables. 

$\forall x \in \R,~ f'(x) = 6\times \cos(2x+\pi)$	

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 6\times \cos\left(2\times\dfrac{\pi}{2} +\pi\right) = 6$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 3\times \sin\left(2\times\dfrac{\pi}{2} +\pi\right) = 0$
	
	L'équation de la tangente au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ est donnée par :
	
	$y = \left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\times f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
	
	$y = 6x- 6\times\dfrac{\pi}{2} $
	
	$y= 6x- 3\pi$
	
	\textbf{L'affirmation est vraie.}
	
	\item $\forall x\in ]0~;~+\infty[, F'(x) = \dfrac{2 x \ln x+2 x+1}{x}$, en particulier $F'(1) = \dfrac{3}{2}$ et $f(1) = 2$. $f$ n'est pas la dérivée de $F$. Ainsi on montre que $F$ n'est pas une primitive de $f$.
	
	\textbf{L'affirmation est fausse.}
	
	\item $g(0) =  45 \times \e^{0} +20 = 65$
	
	$\forall t \in \R\quad g'(t) +\np{0.06}\times g(t) = 45\times \np{0.06}\times \e^{ \np{0.06}t} + \np{0.06}\times\left(45\times\e^{ \np{0.06}t}+20\right) =  \np{5.4}\times\e^{ \np{0.06}t}+\np{1.2}$
	$g$ n'est pas solution de $(E)$.
	
	\textbf{L'affirmation est fausse.}
	
	\item Soit $y$ une solution positive de $\left(E_2\right)$ on peut écrire $\forall x \in \R\quad y'(x) = y(x) + 3\e^{\np{0.4}x}$, comme $\forall x \in \R\quad y(x)\geqslant 0\text{ et } 3\e^{\np{0.4}x}\geqslant 0$, alors  $\forall x \in \R\quad y'(x)\geqslant 0$.
	
	On dérive l'équation différentielle :
	
	$\forall x \in \R\quad y''(x) = y'(x) + \np{1.2}\e^{\np{0.4}x}$. Comme $\forall x \in \R\quad y'(x)\geqslant 0\text{ et } \np{1.2}\e^{\np{0.4}x}\geqslant 0$, alors  $\forall x \in \R\quad y''(x)\geqslant 0$.
	
	$\forall x \in \R\quad y''(x)\geqslant 0$ donc $y$ est convexe sur $\R$.
	
	\textbf{L'affirmation est vraie} : les solutions positives de $\left(E_2\right)$ sont des fonctions convexes sur $\R$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 4 points}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item $-x^2 + 7x + 8 =0$ admet $-1$ comme solution évidente. L'autre solution de l'équation du second degré est donc $8$.

Le trinôme est négatif (du signe du coefficient de $x^2$), sauf entre les racines, d'où le tableau de signes  de $x\longmapsto -x^2 + 7x + 8 $ :
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=5.5,espcl=2]%
	{$x$
	/1,
	signe de $-x^2+7x+8$
	/1
	}
	{$-\infty$ , $-1$ , $8$ , $+\infty$}
	\tkzTabLine{, - , z , + , z, -, }
	\end{tikzpicture}
	
L'ensemble des solutions de l'inéquation 	$-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0$ sur $\R$ est l'intervalle $\left[-1~;~8\right]$
	
	\item Pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~8\right]$, $-x^2 + 7x + 8 \geqslant 0$. D'où en ajoutant 1 à chaque membre $-x^2 + 7x + 9 \geqslant 1$.

	Comme la fonction logarithme népérien est une fonction croissante on a pour tout  $x$ appartenant à $\left]0~;~8\right]$, $\ln\left(- x^2 + 7x + 9\right) \geqslant \ln(1)$. C'est à dire $\ln\left(- x^2 + 7x + 9\right) \geqslant 0$.

Pour tout $x$ appartenant à $\left]0~;~8\right]$, $x>0$ et  $10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right) \geqslant 0$, donc $f(x) = \dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x} \geqslant 0$.

	\item Sur l'intervalle $[0~;~8]$ la courbe représentative est au dessus de l'axe des abscisses.
	
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item Pour $x\in \left]0~;~8\right]$, M$\left(x,\dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x}\right)$ et donc N$\left(x,0\right)$ et P$\left(0,\dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x}\right)$.
	\item Comme pour $x\in \left]0~;~8\right]$, l'abscisse de N est positive et l'ordonnée de P est positive. On peut écrire ON$=x$ et OP$=\dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x}$.
	
	L'aire de ONMP vaut $\text{ON}\times\text{OP}$ donc : 
	
	$\forall x \in \left]0~;~8\right]\quad \mathcal{A}(x) = x\times \dfrac{10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)}{x} = 10\ln\left(-x^2 + 7x + 9\right)$
	\item Sur $\left]0~;~8\right[$, $-x^2 + 7x + 9 > 0$ donc $\mathcal{A}$ est une fonction dérivable de la variable $x$ sur $\left]0~;~8\right[$ comme composée de fonction définies et dérivables. 
	
	$\forall x\in \left]0~;~8\right[$, $\mathcal{A}'(x) = 10\times \dfrac{-2x + 7}{-x^2 + 7x +9}$.
	
	S'il existe $x\in \left]0~;~8\right[$ telle que $\mathcal{A}(x)$ soit maximale, il faut que $\mathcal{A}'(x) = 0$
	
	Pour $x\in \left]0~;~8\right[$, $-x^2 + 7x +9 > 0 $,  $\mathcal{A}'(x)$ est donc du signe de $-2x + 7$.
	
	$
	\begin{array}{ccc}
	\mathcal{A}'(x) \geqslant 0 &\iff& -2x + 7 \geqslant 0 \\
	\mathcal{A}'(x) \geqslant 0 &\iff& x \leqslant \dfrac{7}{2} \\
	\end{array}
	$

	$\mathcal{A}$ est croissante sur $\left]0~;~\dfrac{7}{2}\right[$ et décroissante sur  $\left]\dfrac{7}{2}~;~8\right[$.
	
	La dérivée s'annule en $\dfrac{7}{2}$, en étant positive avant puis négative après, donc la fonction $\mathcal{A}$ a un maximum sur $]0~;~8[$, : 
	
	$\mathcal{A}\left(\dfrac{7}{2}\right) = 10\ln(17)+ 10\ln(5)-20\ln(2) \approx \np{30.56}$
	
	\end{enumerate}
	
\subsection*{Partie C}

\begin{enumerate}
	\item \ {} 
	
\begin{center}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single, escapechar=|, numbers=left]
from math import *	

def A(x):
	return 10*log(-1 * x**2 + 7*x + 9)
	
def pluspetitevaleur(k):
	x = 3.5
	while A(x) > k:
		x = x + 0.1
	return x	

\end{lstlisting}
\end{center}
	
	\item
	\begin{lstlisting}[language=python]
>>>pluspetitevaleur(30)
4.599999999999998
\end{lstlisting}
	
	\item Lorsque $k=35$, la condition \verb!A(x) > 35! n'est pas vérifiée donc le contenu de la boucle n'est pas exécuté. L'appel \verb!pluspetitevaleur(35)! renvoie \verb!3.5!.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item On calcule les coordonnées de $\vect{\text{AB}}$ et de $\vect{\text{AC}}$.
		
		$\vect{\text{AB}}\left(
		\begin{array}{c}
		-5\\
		2\\
		-5
		\end{array}
		\right)$
et
		$\vect{\text{AC}}\left(
		\begin{array}{c}
		-4\\
		5\\
		2
		\end{array}
		\right)$
		
		On constate que $\dfrac{-5}{2}\neq \dfrac{-4}{5}$. Comme les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, 	$\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$ ne sont pas colinéaires et A, B et C ne sont pas alignés.
		\item
D appartient au plan (ABC) si et seulement si les coordonnées de D vérifient l'équation cartésienne du plan (ABC).

$ 29\times (-3) + 30 \times (-4) - 17 \times 6 = -309 \neq 35$. Les coordonnées de D ne vérifient pas  l'équation cartésienne du plan (ABC), donc les points A, B, C, D ne sont pas coplanaires.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Les coordonnées du milieu de [AB] sont :
$\dfrac{4+(-1)}{2}~;~\dfrac{-1+1}{2}~;~\dfrac{3+(-2)}{2}$ soit $\dfrac32~;~0~;~\dfrac12$.
	
		\item Un vecteur normal au plan $P_1$ médiateur du segment [AB] est le vecteur $\vect{\text{BA}}\left(
		\begin{array}{c}
		5\\
		-2\\
		5
		\end{array}
		\right)$ donc une équation de $P_1$ est $5x - 2y + 5z = k$ avec $k$ tel que les coordonnées du milieu de [AB] vérifient l'équation c'est-à dire si 

$5\times\dfrac{3}{2} - 2\times 0 + 5\times\dfrac{1}{2} =  k =10$

Ainsi $5x - 2y + 5z = 10$ est une équation cartésienne de $P_1$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
	\item \ {}

	$\begin{array}{ccl}\text{MC}^2 &=& (x - 0)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2\\ &=& x^2 + y^2 + z^2 -8y -10z + 16 + 25 \\ &=& x^2 + y^2 + z^2 -8y -10z + 41\end{array}$

	$\begin{array}{ccl}\text{MD}^2 &=&  (x - (-3))^2 + (y - (-4))^2 + (z - 6)^2\\ &=&  x^2 + y^2 + z^2 + 6x + 8y -12z + 9 + 16 + 36 \\&=&  x^2 + y^2 + z^2 + 6x + 8y - 12z + 61\end{array}$
	
	M appartient à $P_2$ est équivalent à $\text{MC}^2 = \text{MD}^2$.
	
	$
	\begin{array}{ccl}
	\text{MC}^2 = \text{MD}^2 & \iff & \text{MC}^2 - \text{MD}^2 = 0\\
	& \iff & x^2 + y^2 + z^2 -8y -10z + 41 \\&&- x^2 - y^2 - z^2 - 6x - 8y + 12z - 61 = 0\\
	& \iff & - 6x - 16y + 2z - 20 = 0\\
	& \iff & - 6x - 16y + 2z  = 20\\
	& \iff & - 3x - 8y + z  = 10\\
	\end{array}
	$
	
	On obtient l'équation cartésienne de $P_2$ : $- 3x - 8y + z  = 10$.
	\item Un vecteur normal à $P_1$ est le vecteur de coordonnées $\left(
	\begin{array}{c}
	5\\
	-2\\
	5
	\end{array}
	\right)$.
	
	Un vecteur normal à $P_2$ est le vecteur de coordonnées $\left(
	\begin{array}{c}
	-3\\
	-2\\
	5
	\end{array}
	\right)$
	
	On remarque que $\dfrac{5}{-2} \neq \dfrac{-3}{-2}$
	
	Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car leur coordonnées ne sont pas proportionnelles.
		
	Comme les vecteurs normaux à $P_1$ et  $P_2$ ne sont pas colinéaires, alors les plans $P_1$ et  $P_2$ sont sécants.
	\end{enumerate}
	\item $\forall t \in \R\quad 5\times(-2-\np{1.9}t) - 2\times t + 5 \times (4+\np{2.3}t) = -10 -\np{9.5}t- 2t + 20 +  \np{11.5}t = 10 $
	
	Tout point de $\Delta$ appartient à $P_1$.
	
	$\forall t \in \R\quad -3\times(-2-\np{1.9}t) - 8\times t + (4+\np{2.3}t) = 6 +\np{5.7}t- 8t + 4 +  \np{2.3}t = 10 $
	
	Tout point de $\Delta$ appartient à $P_2$.
	
	$\Delta$ est donc la droite d'intersection de   $P_1$ et $P_2$.
	\item D'après la représentation paramétrique de $\Delta$, un vecteur directeur de $\Delta$ est le vecteur $\vect{\delta}$ de coordonnées $\left(
		\begin{array}{c}
		19\\
		-10\\
		23
		\end{array}
		\right)$.
		
		Le plan  $P_3$ admet un vecteur normal $\vect{n_3}$ de coordonnées $\left(
		\begin{array}{c}
		8\\
		-10\\
		-4
		\end{array}
		\right)$.
		
La droite $\Delta$ et le plan $P_3$ ne sont pas sécants si et seulement si un vecteur directeur de $\Delta$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $P_3$.
		
On calcule le produit scalaire des deux vecteurs précités :
\renewcommand\arraystretch{1}

$\vect{\delta} \cdot \vect{n_3} = 19 \times 8 + (-10) \times (-10) + 23 \times (-4) = 160 \neq 0$

		
Le produit scalaire n'est pas nul, les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux, $\Delta$ et $P_3$ sont donc sécants.
	\item On considère le point H équidistant des points A, B, C, D. Comme AH~=~BH, H appartient à $P_1$. Comme DH~=~CH, H appartient à $P_2$. Ainsi H appartient à l'intersection des deux plans, la droite $\Delta$. Comme AH~=~CH, H appartient au plan $P_3$. Ainsi H est l'intersection de  $\Delta$ et de  $P_3$.
	
	\emph{Le point équidistant des sommets d'un tétraèdre est l'intersection des plans médiateurs de ses arêtes.}
	
On peut déterminer les coordonnées de H.
	
Il suffit de résoudre l'équation :
	
$8(-2-\np{1.9}t) -10t -4(4+\np{2.3}t) = -15$


\end{enumerate}

\end{document}