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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\rhead{\textbf{A. P{}. M.E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\lfoot{\small{novembre 2003}}
\rfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle--Calédonie~\decofourright\\novembre 2003}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

 \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'espérance d'une variable aléatoire suivant la loi 
binomiale est $np$. Ici E$(S_n) = np = 10$ donc $p = \dfrac{10}{n}$.

Si $S_n$  est la variable aléatoire totalisant le nombre d'accidents, on a
 
P$\left(S_n = k\right) =  {n \choose k}p^k (1 - p)^k = {n \choose k} 
\left(\dfrac{10}{n}\right)^k\left(1 - \dfrac{10}{n}\right)^{n-k}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On en déduit que $\left[\text{P}(S_n = 0)\right] = {n \choose 0}p^0(1 - p)^n = \left(1 - \dfrac{10}{n}\right)^n$.

En supposant $n > 10$, on obtient, en prenant le logarithme 

$\ln \left[\text{P}(S_n 
= 0)\right] = n \ln \left(1 - \dfrac{10}{n}\right) = \dfrac{-10}{-10} 
\times \dfrac{\ln \left(1 - \dfrac{10}{n}\right)}{\frac{1}{n}} = - 10
\times \dfrac{\ln \left(1 - \dfrac{10}{n}\right)}{\dfrac{-10}{n}}$.

En posant $h = - \dfrac{10}{n}$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 
h = 0$ et on sait que  $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\ln (1 + 
h)}{h} = 1$. Donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \ln 
\left[\text{P}(S_n = 0)\right] = - 10$ et par continuité de la fonction 
exponentielle : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = 0\right) =
\text{e}^{-10}$.
 		\item  P$\left(S_n =k+1\right) = {n \choose k+1} 
\left(\dfrac{10}{n}\right)^{k+1} \left(1 - \dfrac{10}{n}\right)^{n-k-1} =$

$\dfrac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\left(\dfrac{10}{n}\right)^{k+1} \left(1 - 
\dfrac{10}{n}\right)^{n-k-1} =$

$ \dfrac{n - k}{k+1} {n \choose k} 
\left(\dfrac{10}{n}\right)^k \left(1 - \dfrac{10}{n}\right)^{n-k} 
\dfrac{\frac{10}{n} \times n}{\left(1 - \frac{10}{n}\right) \times n} = 
\text{P}\left(S_n = k\right) \times \dfrac{n-k}{n-10} \times \dfrac{10}{k+1}$.
		\item  On a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n - k}{n - 10} = 
1$ (problème si $k = n$ !).

Si $\displaystyle\lim_{n \to  + \infty} \text{P}\left(S_n = 
k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k+1\right) = 
\text{e}^{-10}\dfrac{10^{k}}{k!} \times \dfrac{10}{k+1} = 
\text{e}^{-10}\dfrac{10^{k+1}}{(k + 1)!}$ pour $0 \leqslant k+1 \leqslant n$.
		\item  $\bullet~~$Initialisation : la propriété est vraie pour $k = 0$ (démontré au \textbf{a.})

$\bullet~~$Hérédité : Soit  $k \in \N$ avec $k \leqslant n$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k+1\right) = 
\text{e}^{-10}\dfrac{10^{k+1}}{(k+1)!}$   ;

	\begin{itemize}
	\item  soit $k + 1 \leqslant n$ et on a démontré au \textbf{c.} 
que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k+1\right) = 
\text{e}^{-10}\dfrac{10^{k+1}}{(k+1)!}$ et la relation est vraie au rang 
$k + 1$,
	\item soit $k + 1 > n$ et la relation est vraie.
	\end{itemize}
Conclusion : pour tout $k \leqslant n$, alors $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n =  k\right) = 
\text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$.
	\end{enumerate}
\item On considère donc que P$\left(S_n = k \right) \approx 
\text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$.

On a donc P$\left(S_n \geqslant 3\right) = 1 - 
\text{P}\left(S_n = 0\right) - \text{P}\left(S_n = 1\right) - 
\text{P}\left(S_n = 2\right) \approx $

$1 - \text{e}^{-10} - 10\text{e}^{-10} - 
50\text{e}^{-10} \approx 1 - 61\text{e}^{-10} \approx \np{0,997231}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 : enseignement obligatoire \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On a $\vect{\text{AB}}(-3~;~0~;~5)$, 
et $M(x~:~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff  \vect{\text{A}M} = 
\lambda \vect{\text{AB}} \iff$

$ \left\{\begin{array}{l cl}
x & = & 3 - 3\lambda\\
y &=& 0\\
z&=&10 + 5\lambda\\
\end{array}\right.$
		\item  Si $M(x~:~y~;~z) \in (\text{AB})$ et $M$ coupe l'axe des abscisses en E, alors \\$z_{\text{E}} = 10 + 5\lambda = 0 \iff \lambda = - 2$
; d'où  $x = 9$. Donc E(9~;~0~; 0).
		\item C $\in$ (AB) $\iff \left\{\begin{array}{l cl}
0 & = & 3 - 3\lambda\\
20 &=& 0\\
0&=&10 + 5\lambda\\
\end{array}\right.$. La deuxième égalité est fausse ; A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  (OH) hauteur dans OBC, donc 
$\vect{\text{OH}} \cdot \vect{\text{BC}} = 0$. 
D'autre part $\vect{\text{BC}} (0~;~20~;~-15)$ et 
$\vect{\text{OE}}(9~;~0~;~ 0)$, d'où 
$\vect{\text{OE}} \cdot \vect{\text{BC}} = 0$.

Or $\vect{\text{EH}} \cdot \vect{\text{BC}} = 
\left(\vect{\text{EO}} + \vect{\text{OH}}\right) 
\cdot \vect{\text{AB}} = \vect{\text{EO}} \cdot 
\vect{\text{BC}} + \vect{\text{OH}} \cdot 
\vect{\text{BC}} = 0 + 0 = 0$, donc (EH) est la hauteur 
issue de E dans le triangle EBC.
		\item  D'après le \textbf{a.} $\vect{\text{BC}}$ est un 
vecteur normal au plan (OEH). Une équation de ce plan est donc $20y - 
15z + d = 0$, mais O appartient à ce plan donc $d = 0$. Une équation 
réduite est donc : $M(x~:~y~;~ z) \in (\text{OEH}) \iff 4y - 3z = 0$.
		\item  Pour A on a $60 + 120 - 180 = 0$, pour B $180 - 180 = 0$  et pour C $180 - 180 = 0$ égalités toutes vraies. D'après \textbf{1. 
c.} les points A, B et C ne sont pas alignés, donc l'équation proposée 
$20x + 9y + 12z - 180 = 0$ est bien une équation du plan ABC.
		\item  $\left\{\begin{array}{l c l}
x & = & 0\\
4y -3z &= & 0\\
20x + 9y + 12z - 180& =& 0\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x & = & 0\\
4y -3z &= & 0\\
 9y + 12z - 180& =& 0\\
\end{array}\right. \iff $\\

$\left\{\begin{array}{l c l}
x & = & 0\\
16y -12z &= & 0\\
9y + 12z - 180& =& 0\\
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
x & = & 0\\
16y -12z &= & 0\\
25y  - 180& =& 0\\
\end{array}\right.\iff \\
\left\{\begin{array}{l c l}
x & = & 0\\
16y -12z &= & 0\\
z & =& \frac{36}{5}\\
\end{array}\right.$. On en déduit que $z = \dfrac{48}{5}$. Le système 
a bien une solution unique.

$x = 0$ est une équation du plan (OBC) ; $4y - 3z = 0$ une équation 
du plan (OEH) (cf. \textbf{2. b.}) et $20x + 9y + 12z - 180 = 0$ est une 
équation du plan (ABC) (cf. \textbf{2. c.}). Donc ces trois plans ont 
un seul point commun de coordonnées 
$\left(0~;~\dfrac{36}{5}~;~\dfrac{48}{5}\right)$. Ce point est le 
point H qui appartient aux trois plans.

		\item  OH$^2 = \left(\frac{36}{5}\right)^2 + 
\left(\frac{48}{5}\right)^2 = 144$. D'où OH = 12.

Or $\vect{\text{OH}} \cdot \vect{\text{OE}} = 0$ 
entraîne que OEH est rectangle en O et EH$^2 = \text{EO}^2 + 
\text{OH}^2 = 81 + 144 = 225$. Donc EH $= 15$.

Enfin l'aire du triangle EBC est égale  $\dfrac{\text{BC} \times 
\text{EH}}{2} = \dfrac{25 \times 15}{2} = \dfrac{375}{2}$. (On a 
$\vect{\text{BC}}(0~;~20~;~-15)$, donc BC$^2 = 400 + 225 = 
625$, d'où BC $ = 25$.)
	\end{enumerate}
\item En prenant comme base le triangle EOC, la 
hauteur est [OB]. Le volume du tétraèdre est donc V = $ 
\dfrac{\frac{1}{2} \times 20 \times 9}{3} \times 15 = 450$.

En prenant comme base le triangle EBC, soit O$'$ le projeté 
orthogonal de O sur cette base. On a V $ = \dfrac{\text{OO}' \times 
\frac{25 \times 15}{2}}{3}$. En égalant les volumes $450 = \dfrac{125 
\times \text{OO}'}{2} \iff \text{OO}' = \dfrac{36}{5}$.

On a donc $d(\text{O},~\text{(ABC)}) = \dfrac{36}{5}$.

Or on sait que $d(\text{O},~\text{(ABC)}) = 
\dfrac{|20 \times 0 + 9 \times 0 + 12 \times 0 - 180|}{\sqrt{20^2 + 9^2 + 
12^2}} = \dfrac{36}{5}$ (en utilisant le \textbf{2. c.}).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : enseignement de spécialité \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item De trois choses l'une :
	\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $p = 3k, k \in \N$ : terminé, seul le premier est multiple de 3 ;
 \item[$\bullet~$] $p = 3k + 1$, donc $p + 20 = 3k + 21 = 3(k + 7)$ : terminé, seul le troisième est multiple de 3 ;
 \item[$\bullet~$] $p = 3k + 2$, d'où $p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4)$ : terminé, seul le deuxième est multiple de 3.
\end{itemize}
		\item D'après la question précédente l'un seulement des trois naturels est multiple de 3 ; le seul multiple de 3 premier est 3 et ce nombre doit être le premier terme de la suite.
		
Conclusion : les trois nombres sont : 3 ; 13 et 23.
	\end{enumerate}
\item $3u + 13v + 23w = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item $3u + 13v + 23w = 0 \iff 3u + 3v + 3w + 10v + 20w = 0 \iff 10v + 20w = -3(u + v + w) \iff 10v + 20w \equiv 0\quad [3] \iff 10v \equiv - 20w \quad [3] \iff$
		
$9v + v \equiv -21w + w \quad [3]  \iff v \equiv w \quad [3] $
		\item On a donc $3u + 13v + 23w = 0 \iff 3u + 13(3k + r) + 23\left(3k' + r\right) = 0 \iff 3\left(u + 13k + 23k'\right) + 36r  = 0 \iff u + 13k + 23k' + 12r = 0 \iff\\ u = - 13k - 23k' - 12r.$\\
		Les triplets solutions sont donc de la forme :
	
\[(u~;~v~;~w) = (- 13k - 23k' - 12r~;~3k + r~;~3k' + r)\]
		
		\item Les coordonnées des points cherchés sont les triplets précédant, avec $-\dfrac{5}{2} \leqslant x  \leqslant \dfrac{5}{2},~-\dfrac{5}{2} \leqslant y  \leqslant \dfrac{5}{2},~-\dfrac{5}{2} \leqslant z  \leqslant \dfrac{5}{2}.$
		\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $k = 0$, la seule possibilité est $k = k' = 0$ : le point O$(0~;~0~;~0)$ est solution ;
\item[$\bullet~$] Si $k = 1$ : 
	\begin{itemize}
	\item avec $k = 0$ et $k' = 0$, mais $(-12~;~1~;~1)$ n'est pas solution ;
	\item avec $k = 0$ et $k' = -1$, mais $(11~;~1~;~-2)$ n'est pas solution ;
	\item avec $k = -1$ et $k' = 0$, on trouve  A$(1~;~-2~;~1)$ qui est  solution ;
	\item avec $k = -1$ et $k' = -1$, on trouve $(24~;~-2~;~-2)$ qui n'est pas solution.
	\end{itemize}
\item[$\bullet~$] Si $k = 2$ : 
	\begin{itemize}
	\item avec $k = 0$ et $k' = 0$, le point $(- 24~;~2~;~2)$ n'est pas solution ;
	\item avec $k = 0$ et $k' = -1$, le point B$(-1~;~2~;~-1)$ est solution ;
	\item avec $k = -1$ et $k' = 0$, le point $(-11~;~-1~;~2)$ n'est pas solution :
	\item avec $k = -1$ et $k' = -1$, le point $(12~;~-1~;~-1)$ n'est pas solution.
	\end{itemize}
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item $f_{1}(x) = \dfrac{x}{1 + x^2} = \dfrac{1}{\frac{1}{x} + x}$ ; comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} + x = +\infty ,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(x) = 0$.
		 
Il en résulte que l'axe des abscisses est asymptote à la représentation graphique de $f_{1}$ au voisinage de $+ \infty.$

De même $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(x) = 0$ avec la même conséquence graphique.
		 \item $f_{1}$ est dérivable sur $\R$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\R$, le dénominateur ne s'annulant pas et :
		 
$f'_{1}(x) = \dfrac{1 + x^2 - 2x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2} = \dfrac{1 - x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2}$ qui est du signe du numérateur le dénominateur étant positif.
		 
Donc $f'_{1}(x)$ est négative sauf entre $- 1$ et $1$.

La fonction est donc :

\begin{itemize}
\item décroissante sur $]- \infty~;~-1]$ et sur $[1~;~+ \infty[$,
\item croissante sur $[-1~;~+ 1]$.
\end{itemize}
	\item Tracé de $\Gamma_1$ :
	
\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1)(1.5,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt](0,0)(-1.5,-1)(1.5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-1)(1.5,1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1.5}{1.5}{x x 2 exp 1 add div}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-1.5}{1.5}{x 3 exp  x 2 exp 1 add div}
\uput[u](0.75,0.45){$\textcolor{blue}\Gamma_{1}$}
\uput[d](0.75,0.25){$\textcolor{green}{\Gamma_{3}}$}
\end{pspicture}
\end{center}
		 
	\item I$_{1} = \displaystyle\int_{0}^1 	 \dfrac{x}{1 + x^2}\:\text{d}x = \dfrac{1}{2}\left[\ln \left(1 + x^2 \right)\right]_{0^1} = \dfrac{1}{2}\ln 2$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f_{3}(x) = \dfrac{x^3}{1 + x^2}.$
		
Pour $x \neq 0$, on peut écrire $f_{3}(x) = \dfrac{x}{ \frac{1}{x^2} + 1}$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x^2} + 1 = 1,$

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{3}(x) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{3}(x) = - \infty.$
		\item $f_{3}$ quotient de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$ et
		
$f'_{3}(x) = \dfrac{3x^2\left(1 + x^2\right) - 2x^4}{\left(1 + x^2 \right)^2} = \dfrac{3x^2 + x^4}{\left(1 + x^2 \right)^2} = \dfrac{x^2}{\left(1 + x^2 \right)^2}\times \left(3 + x^2\right)$ positive car tous les termes le sont.

La fonction est donc  croissante sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item $\text{I}_1 + \text{I}_3 = \displaystyle\int_{0}^1 	 \dfrac{x}{1 + x^2}\:\text{d}x  + \displaystyle\int_{0}^1 	 \dfrac{x^3}{1 + x^2}\:\text{d}x  = \displaystyle\int_{0}^1 	 \dfrac{x + x^3}{1 + x^2}\:\text{d}x  = \displaystyle\int_{0}^1 	 x\dfrac{1 + x^2}{1 + x^2}\:\text{d}x  = \displaystyle\int_{0}^1 	 x\:\text{d}x  = \dfrac{1}{2}\left[x^2  \right]_{0}^1 = \dfrac{1}{2}$.\\
Par différence on en déduit que I$_{3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\ln 2 = \dfrac{1}{2}(1 - \ln 2)$.
\item On sait que sur [0 ; 1],  $ x \geqslant x^3$, donc sur [0 ;1], $f_{1}(x) \geqslant f_{3}(x)$. Donc l'aire du domaine situé entre $\Gamma_{1}$ et 
$\Gamma_{3}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est égal à :

\[\displaystyle\int_{0}^1 \left[ \dfrac{x}{1 + x^2} - \dfrac{x^3}{1 + x^2} \right]\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^1   \dfrac{x}{1 + x^2}\:\text{d}x  -  \displaystyle\int_{0}^1   \dfrac{x^3}{1 + x^2}\:\text{d}x =  \text{I}_{1} - \text{I}_{3} =  \ln 2 - \dfrac{1}{2}.\] 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
 	 \begin{enumerate}
	 	 \item $f_{0}(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}.$
		 
On a de façon évidente $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{0}(x) = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} f_{0}(x) = 0$.
\\
l'axe des abscisses est donc asymptote au graphe $\Gamma_{0}$ au voisinage de $-\infty$ et de $+ \infty$.
		\item $f_{0}$ est dérivable sur $\R$ et $f'_{0}(x) = - \dfrac{2x}{\left( 1 + x^2\right)^2}$ qui est du signe de $- x$.
		
La fonction $f_{0}$ est donc :
\begin{itemize}
\item croissante sur $]- \infty~;~0]$ ; 
\item décroissante sur $[0~;~+ \infty[.$
\end{itemize}
	\end{enumerate}
	\item $a_n = \displaystyle\int_0^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f_{0}$ est positive ; $a_{n}$ représente donc la mesure de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma_{0}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x  = n$.
		\item Par linéarité de l'intégrale : $a_{n+1} - a_{n} = \displaystyle\int_n^{n+1} \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$, intégrale positive puisque intégrale d'une fonction positive avec $n < n+1$. La suite est donc croissante.
		\item Comme $t^2 > 0,~1 < 1 + t^2 \iff \dfrac{1}{1 + t^2} < 1$.
		
En intégrant ces deux fonctions positives entre $0$ et $1$, on obtient \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t < \displaystyle\int_0^n 1\:\text{d}t \iff a_{1} < 1.$
		\item Quel que soit le réel $t,~t^2 \geqslant 0$.Donc $t^2 < 1 + t^2 \iff \dfrac{1}{1+t^2} < \dfrac{1}{t^2}$.

En intégrant ces deux fonctions positives on obtient l'inégalité 

$\displaystyle\int_1^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t < \displaystyle\int_1^n \dfrac{1}{ t^2}\:\text{d}t \iff \displaystyle\int_0^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t < \left[ - \dfrac{1}{t} \right]_{1}^n \iff$

$ \displaystyle\int_0^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t < 1 - \dfrac{1}{n}$.
\item On a $a_{n} = a_{1} + \displaystyle\int_1^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$, d'où en utilisant les résultats des deux questions précédentes :

$a_{n} < 1 + \left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \iff a_{n} < 2 - \dfrac{1}{n}$.

Conclusion : quel que soit $n$ : $a_{n} \leqslant 2$.

On peut donc dire que la suite $\left(a_{n}\right)$ est croissante et majorée par $2$ : elle est donc convergente vers un réel inférieur ou égal à $2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\[ F'(x) = \dfrac{1}{1 +  x^2},~F(0) = 0. \]

\begin{enumerate} 
 \item Sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[,~H(x) = F[\tan(x)]$
	 \begin{enumerate}
		\item $H(0) = F[\tan(0)] = F(0) = 0$ (par définition)
		\item La fonction $x \mapsto \tan x $ est dérivable sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$, donc $F$ est dérivable comme fonction composée de deux fonctions dérivables et $H'(x) = F'[\tan x] \times \left(\tan x \right)' = \dfrac{1}{1 + \tan^2 x} \times \dfrac{1}{\cos^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x + \sin ^2 x}\times \dfrac{1}{\cos^2 x} = 1$.
		
Donc une primitive de $H'(x)$ est $x + K$ et comme $H(0) = 0$, il en résulte que $K = 0$.

Conclusion : pour tout $x$ de $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[,~ H(x) =  x$.
		\item On a par définition $H(x) = F[\tan x]$, donc si $x = \dfrac{\pi}{4},~\tan x = 1$ et $F[1] = H\left(\frac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item $k(x) = F\left( \dfrac{1}{x + 1}\right) + F\left( \dfrac{x}{x + 2}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item $k$ est dérivable comme somme de fonctions composées de fonctions dérivables sur $\R_{+}$ et $k'(x) = F'\left( \dfrac{1}{x + 1}\right) \times \left(- \dfrac{1}{(x + 1)^2} \right) + F'\left( \dfrac{x}{x + 2}\right) \times \left( \dfrac{2}{(x + 2)^2} \right) = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{(x+2)^2}}\times \left(- \dfrac{1}{(x + 1)^2}\right) + \dfrac{1}{1 + \left(\frac{x}{x+2}\right)^2}\times \dfrac{2}{(x + 2)^2} = \dfrac{-1}{(x+1)^2 + 1} + \dfrac{2}{(x + 2)^2 + x^2} = \dfrac{-1}{x^2 + 2x + 2} + \dfrac{2}{2x^2 + 4x + 4} =  \dfrac{-1}{x^2 + 2x + 2} + \dfrac{1}{x^2 + 2x + 2} = 0$.
		
Conclusion : la fonction $k$ est constante.
		\item On a $k(0) = F(1) + F(0) = \dfrac{\pi}{4} + 0 = \dfrac{\pi}{4}$.
		
D'autre part $F\left(\dfrac{1}{2} \right) + F\left(\dfrac{1}{3} \right) = k(1)$.

Conclusion : $F\left(\dfrac{1}{2} \right) + F\left(\dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}