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%%%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon et Stéphanie Bercier
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Nouvelle-Calédonie S - 16 novembre 2012},
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie  16 novembre 2012~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}


\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 
%
%\[f(x) = 5\ln (x + 3) - x.\]
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On appelle $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$. Calculer $f^{\prime}(x)$ et étudier son signe sur $[0~;~+ \infty[$.
		
$f$ est une somme de fonctions dérivables sur $[0~;~+ \infty[$  et sur cet intervalle :

$f^{\prime}(x) = 5\times \dfrac{1}{x + 3} - 1 = \dfrac{5 - x - 3}{x + 3} = \dfrac{2 - x}{x + 3}$.

Or $x \geqslant 0 \Rightarrow x + 3 \geqslant 3 > 0$.

$\bullet~~$ $2 - x  > 0 \iff x < 2$. 

$\bullet~~$ $2 - x  < 0 \iff x > 2$. 

$\bullet~~$ $2 - x  = 0 \iff x = 2$.  
		\item %Donner, dans un tableau, les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		
- La fonction $f$ est croissante sur [0~;~2[.

- La fonction $f$ est décroissante sur $]2~;~+ \infty[$.

- $f(2) = 5\ln (5) - 2 \approx 4,047$ est le maximum de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 

On a le tableau de variations suivant :
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2) \psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,2){$x$} \uput[u](1.15,2){$0$} \uput[u](3.5,2){$2$}\uput[u](5.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$f(x)$}\uput[d](3.5,2){$5\ln (5) - 2$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3,1.5) \psline{->}(4,1.5)(5.5,0.5)
\uput[u](1.5,0){$5\ln 3$}\uput[u](5.5,0){$- \infty$}
\uput[u](4.5,2){$\alpha$}\rput(4.5,1.17){$0$}
\end{pspicture}		
\end{center}
 
		\item Comme $x > 0$, on peut factoriser :
		
		%Montrer que, pour tout $x$ strictement positif on a 

%\[f(x) = x\left(5\frac{\ln x}{x} - 1\right) + 5 \ln \left(1 + \dfrac{3}{x}\right).\]
$f(x) = 5\ln (x + 3) - x =  5 \ln \left[ x\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)\right] - x = 5 \ln x + 5\ln \left(1 + \dfrac{3}{x} \right) - x   = 5 \ln x - x + 5\ln \left(1 + \dfrac{3}{x} \right) =$

$f(x) =  x\left(5\dfrac{\ln x}{x} - 1\right) + 5 \ln \left(1 + \dfrac{3}{x}\right)$.
		\item %En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$, donc que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln \left(\dfrac{\ln x}{x}\right) = \ln 1 = 0$, donc finalement :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} 5 \times (- x) = - \infty$.

D'autre part $f(0) = 5\ln 3$.
		\item %Compléter le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
Voir le tableau plus haut.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On notera $\alpha$ cette solution.
Sur l'intervalle  $]2~;~+ \infty[, \: f$ est strictement décroissante de $f(2) > 0$ à $- \infty$. Il existe donc un réel unique $\alpha > 2$, tel  que

$f(\alpha) = 0 \iff 5\ln (\alpha + 3) - \alpha = 0$.		
\item %Après avoir vérifié que $\alpha$ appartient à l'intervalle [14~;~15], donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$f(14) = 5\ln 17  - 14 \approx 0,17 > 0$ et $f(15) = 5\ln 18  - 15 \approx - 0,55 < 0$, donc $14 < \alpha < 15$.

La calculatrice livre :

$f(14,2) = 5\ln (17,2) - 14,2 \approx 0,02 > 0$ et 

$f(14,3) = 5\ln (17,3) - 14,3 \approx - 0,05 < 0$, donc 

\[14,2 < \alpha < 14,3.\]

		\item %En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
Le tableau de variations montre donc que :
		
\begin{itemize}
\item $f(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$ ;
\item $f(x) < 0$ sur $[\alpha~;~+ \infty[$ ;
\item $f(\alpha) = 0$.
\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
	 
\textbf{Partie B}

%\medskip
% 
%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par 
%
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%u_{0} &=& 4\\ 
%u_{n+1}& =& 5 \ln \left(u_{n} + 3\right) \quad \text{pour tout entier naturel }\: n \neq 0
%\end{array}\right.\] 
%
%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 
%
%\[g(x) = 5 \ln (x + 3).\] 
%
%En annexe 1 on a tracé dans un repère orthonormé la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ et la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $g$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Voir l'annexe 1
		%Construire sur l'axe des abscisses de l'annexe 1 les termes $u_{0},\:u_{1},\:u_{2}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant la droite et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction. 
		\item %Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite $\left(u_{n}\right)$
La suite semble être croissante.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
La fonction $g$ a même sens de variation que la fonction $\ln$, soit croissante ; on peut également calculer $g^{\prime}(x) = \dfrac{5}{x + 3} > 0$ comme quotient de deux nombres supérieurs à zéro. 
		\item %Vérifier que $g(\alpha) = \alpha$ où $\alpha$ est défini dans la partie A question 2. a.
On a vu dans la partie que $f(\alpha) = 0 \iff  5\ln (\alpha + 3) - \alpha = 0 \iff  5\ln (\alpha + 3) = \alpha \iff g(\alpha) = \alpha$. 
		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a 
		
%		$0 \leqslant  u_{n} \leqslant \alpha$.
\emph{Initialisation :} On a $0 \leqslant 4 \leqslant \alpha$ : l'encadrement est vrai au rang $0$ ;

\emph{Hérédité :} Supposons que pour   $n \in \N$,\: on ait $0 \leqslant u_{n} \leqslant \alpha$

Comme la fonction $g$ est croissante sur $[0~;~+ \infty[$ donc en particulier sur $[0~;~\alpha]$, on a donc :

$g(0) \leqslant g\left(u_{n}\right) \leqslant g(\alpha)$ c'est-à-dire 

$5\ln 3 \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$ (d'après la question précédente).

On a donc \emph{a fortiori} : $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.

L'encadrement est vrai au rang $n + 1$.

L'encadrement est vrai au rang $0$, et s'il est vrai au rang $n$, il l'est aussi au rang $n + 1$. On a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout naturel $n \in \N$

\[0 \leqslant  u_{n} \leqslant \alpha.\]

		\item %Démontrer alors la conjecture émise à la question 1. b. de la partie B.
On a vu  que sur l'intervalle  $[0~;~\alpha[$, $f(x) > 0$ sur $[0~;~\alpha[$, donc pour tout $u_{n}$ tel que 

$0 \leqslant u_{n} \leqslant \alpha, \:\ln \left(u_{n} + 3\right) - u_{n} > 0 \iff \ln \left(u_{n} + 3\right)   > u_{n} \iff g\left(u_{n}\right) > u_{n} \iff u_{n+1} > u_{n}$, ce qui démontre que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

Cette suite est croissante et majorée par $\alpha$ : elle converge donc vers une limite $\ell$ telle que $\ell \leqslant \alpha$.
		\item %En utilisant la question 2. a. de la partie A, justifier que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha$.
La relation $u_{n+1} = 5 \ln \left(u_{n} + 3\right)$ donne par continuité de la fonction dérivable $g$ et par limiteen plus l'infini:

$\ell = \ln (\ell + 3) \iff \ln (\ell + 3) - \ell = 0 \iff f(\ell) = 0$.

Or on a vu à la question 2. a. de la partie A que $\alpha$ est la seule solution de l'équation $f(x) = 0$ sur $[0~;~+ \infty[$. Conclusion $\ell = \alpha$.

On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \alpha$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère l'algorithme suivant :

%\begin{center}
%
%\begin{tabular}{|l|}\hline 
%$u$ prend la valeur 4\\ 
%Répéter Tant que $u - 14,2 < 0$\\ 
%\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur de $5\ln (u + 3)$\\
%Fin du Tant que\\ 
%Afficher $u$\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
%Justifier que cet algorithme se termine.
Cet algorithme calcule successivement $u_{1},\:u_{2},\:\ldots$. On a vu que cette suite converge vers le nombre $\alpha$ supérieur à $14,2$. La condition $u - 14,2 < 0$ sera donc réalisée et l'algorithme affichera la première valeur de la suite supérieure à $14,02$. 
		\item %Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à $5$ décimales).
Il suffit de taper sur la calculatrice :

$u_{0} = 4$ Entrée

$5 \star \ln (\text{ANS}(1) + 3)$ Entrée

Entrée, etc

On obtient $u_{6} \approx \np{14,22315} > 14,2$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}
%
%\medskip
% 
%\emph{Tous les résultats seront donnés sous la forme de fractions.}
%
%\medskip
% 
%On dispose d'une urne U contenant trois boules blanches et deux boules rouges indiscernables au toucher.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

%\medskip
% 
%On considère l'expérience suivante : on tire successivement trois fois de suite une boule de l'urne U, en remettant à chaque fois la boule dans l'urne.
% 
%On appelle $X$ le nombre de fois où on a obtenu une boule rouge.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Les trois tirages sont indépendants, et à chaque tirage la probabilité de tirer une boule rouge est égale à $\dfrac{2}{3 + 2} = \dfrac{2}{5}$ : on a donc  une épreuve de Bernoulli et la vraiable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = \dfrac{2}{5}$.
\item %Calculer la probabilité d'avoir obtenu exactement une fois une boule rouge. 
La probabilité de tirer $k$ ($0\leqslant k \leqslant 3$) boule(s) rouge(s) est égale à 

$p(X = k) = \binom{3}{k}\left(\dfrac{2}{5} \right)^{k}\left(1 - \dfrac{2}{5} \right)^{3 - k} \quad (\star)$.

En particulier : $p(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\dfrac{2}{5} \right)^{1}\left(1 - \dfrac{2}{5} \right)^{3 - 1} = 3 \times \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3^2}{5^2} = \dfrac{54}{125}$.
\item %Déterminer l'espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
On sait que E$(X) = n \times p = 3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5} = 1,2$.

V\'erification : on calcule avec la formule $(\star)$ :

$p(X = 0) = \left(\dfrac{3}{5}\right)^3 = \dfrac{27}{125}$ ;

$p(X = 2) = \dfrac{3!}{2!}\left(\dfrac{2}{5} \right)^{2}\times \dfrac{3}{5} = \dfrac{36}{125}$ ; 

$p(X = 3) = \left(\dfrac{2}{5} \right)^3 = \dfrac{8}{125}$.

On a donc E$(X) = 0 \times \dfrac{27}{125} + 1 \times \dfrac{54}{125} + 2 \times \dfrac{36}{125} + 3 \times \dfrac{8}{125} = \dfrac{54 + 72 + 24}{125} = \dfrac{150}{125} = \dfrac{6}{5}$.

Sur un grand nombre de tirages on tirera  un peu plus d'une boule rouge en moyenne par tirage (en moyenne 150 boules rouges sur 125 tirages).
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

%On procède maintenant à une nouvelle expérience :
% 
%$\bullet~~$ on tire une boule de l'urne U. Si elle est rouge on s'arrête, sinon on la remet dans l'urne et on tire une boule à nouveau ; 
%
%$\bullet~~$ si cette deuxième boule est rouge, on s'arrête, sinon on la remet dans l'urne et on tire une boule pour la troisième fois. 
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Traduire la situation par un arbre pondéré de probabilités.
~

\medskip
\begin{center}
\pstree[treemode=R,treenodesize=8pt,treesep=1.cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\TR{$R$~}\taput{$\frac{2}{5}$}
\pstree{\TR{$B$~}\tbput{$\frac{3}{5}$}}
	{
	\TR{$R$}\taput{$\frac{2}{5}$}
	\pstree{\TR{$B$~}\tbput{$\frac{3}{5}$}}
		{
		\TR{$R$}\taput{$\frac{2}{5}$}
		\TR{$B$}\tbput{$\frac{3}{5}$}
		}
	}	
}
\end{center}

\medskip
 
\item %On appelle $Y$ le nombre de boules rouges obtenues lors d'une expérience. La variable aléatoire $Y$ prend donc la valeur 1 si la dernière boule est rouge et 0 sinon. 
On a $p(Y = 1) = \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}\times \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{25} + \dfrac{18}{125} = \dfrac{50 + 30 + 18}{125} = \dfrac{98}{125}$.

$p(Y = 0) = \dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5} = \dfrac{27}{125}$.

Donc E$(Y) = 1 \times \dfrac{98}{125} + 0 \times \dfrac{27}{125} = \dfrac{98}{125}$.
%Déterminer la loi de probabilité de $Y$ et son espérance mathématique. 
\item %On appelle $N$ le nombre de tirages effectués lors d'une expérience. 

%Déterminer la loi de probabilité de $N$ et son espérance mathématique.
Toujours d'après l'arbre : $p(N = 1) = \dfrac{2}{5} ; p(N = 2) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$ et $p(N = 3) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5}  = \dfrac{9}{25}$.

On a donc E$(N) = 1 \times \dfrac{2}{5} + 2 \times \dfrac{6}{25}  + 3 \times \dfrac{9}{25} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{12}{25} + \dfrac{27}{25} = \dfrac{10 + 12 + 27}{125} = \dfrac{49}{25}$.
\item %On appelle \emph{proportion moyenne de boules rouges} le rapport de l'espérance du nombre de boules rouges obtenues sur l'espérance du nombre de tirages. 

%Montrer que la proportion moyenne de boules rouges dans l'expérience est la même que la proportion de boules rouges dans l'urne.
On a $\dfrac{\text{E}(Y)}{\text{E}(N)} = \dfrac{\frac{98}{125}}{\frac{49}{25}} = \frac{98}{125}\times \frac{25}{49} = \frac{2}{5}$, soit la proportion de boules rouges dans l'urne. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : restitution organisée de connaissances}

\medskip

%On suppose connu le résultat suivant :
%
%\hspace{0,3cm}\begin{tabular}{|p{11cm}} 
%Soit $a$ un réel.\\ 
%Soit $\left(E_{0}\right)$ l'équation différentielle de fonction inconnue $y$ de variable réelle, dérivable de fonction dérivée $y^{\prime}$ : \\
%\multicolumn{1}{|c}{$y^{\prime} = ay \quad  \left(E_{0}\right)$}\\ 
%Les solutions de $\left(E_{0}\right)$ sont les fonctions de la forme $x \longmapsto C \text{e}^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.\\
%\end{tabular}
%
%\medskip
% 
%On considère $a$ et $b$ deux réels, avec $a$ non nul.
% 
%Démontrer que les solutions de l'équation différentielle de fonction inconnue $y$ de variable réelle, dérivable de fonction dérivée $y^{\prime}$ : 
%
%\[y^{\prime} = ay + b \quad  (E)\]
% 
%sont les fonctions de la forme $x \longmapsto  C\text{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$, où $C$ est une constante réelle.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%Pour chacune des trois affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse : 

\begin{enumerate}
\item %\textbf{Affirmation 1 :} si une fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ est solution de l'équation $y^{\prime} + 3y = 6$ alors la courbe représentant $f$ admet une asymptote horizontale en $+ \infty$.
D'après le résultat de la partie A les fonctions solutions sont de la forme : 

$x \longmapsto C\text{e}^{- 3x} + 2$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} C\text{e}^{- 3x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} C\text{e}^{- 3x} + 2 = 2$ : toutes ces fonctions ont une représentation graphique qui admet la droite horizontale d'équation $y = 2$, comme asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini. Affirmation vraie. 
\item %\textbf{Affirmation 2 :} si une fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ est solution de l'équation $y^{\prime} = y$ alors pour tous réels $\alpha$ et $\beta,$

%$f(\alpha + \beta) = f(\alpha) \times f(\beta)$. 
On sait que $f(x) = C\text{e}^x$.

$f(\alpha + \beta) = C\text{e}^{\alpha + \beta} = C\text{e}^{\alpha} \times \text{e}^{\beta}$ ;

$f(\alpha) \times f(\beta) = C\text{e}^{\alpha} \times C \text{e}^{\beta} = C^2 \text{e}^{\alpha} \times \text{e}^{\beta}$. Affirmation fausse.
 
%\parbox{0.48\linewidth}{\item La courbe d'une fonction solution de l'équation différentielle ${y^{\prime} = -2y}$ coupe  l'axe des ordonnées au point d'ordonnée $\frac{3}{2}$ (\emph{voir figure ci-contre}).
 
%\textbf{Affirmation 3 :} l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations 
respectives 

%$x = 0$ et $x = \ln (3)$, est $\dfrac{2}{3}$} \hfill
%\parbox{0.47\linewidth}{\psset{unit=2cm}\def\pshlabel #1{\footnotesize $#1$}\def\psvlabel #1{\footnotesize $#1$}\begin{pspicture}(-0.3,-0.2)(2.3,2.3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,comma=true,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.3,-0.2)(2.3,2.3)
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.2}{2.3}{1.5 2.71828 2 x mul exp div}
%\uput[d](1.0986,0.06){\footnotesize$\ln 3$}\psline(1.0986,0)(1.0986,0.2)\uput[dr](0,0){O}
%\end{pspicture}} 
Une fonction solution est définie sur $\R$ par $f(x) = C\text{e}^{- 2x}$.

$f(0) = \frac{3}{2} \iff C\text{e}^{- 2 \times 0} = \frac{3}{2} \iff C = \frac{3}{2}$.

Donc sur $\R$, $f(x) = \frac{3}{2}\text{e}^{- 2x}$. Une primitive de cette fonction est $F(x) = \frac{1}{- 2}\times\frac{3}{2}\text{e}^{- 2x} = - \frac{3}{4}\text{e}^{- 2x}$

La fonction est positive sur $[0~;~\ln 3]$, donc l'aire du domaine est égal en unité d'aire à :

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_{0}^{\ln 3} = F(\ln 3) - F(0) = - \frac{3}{4}\text{e}^{- 2\ln 3} + \frac{3}{4}\text{e}^{- 2 \times 0} = \frac{3}{4}\left(1 - \text{e}^{- 2\ln 3}\right) = \frac{3}{4}\left(1 - \frac{1}{\text{e}^{2\ln 3}}\right) =$

$ \dfrac{3}{4}\left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 3^2}}\right) =\dfrac{3}{4}\left(1 - \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 9}}\right) = \dfrac{3}{4}\left(1 - \dfrac{1}{9}\right) = \dfrac{3}{4}\times \dfrac{8}{9} = \dfrac{2}{3}$. Affirmation vraie.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
%\emph{Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}
%
%\medskip
% 
%Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on appelle A le point d'affixe $1$ et $\mathcal{C}$ le cercle de centre A et de rayon $1$.
% 
%La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4~cm pour unité graphique.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
%On considère l'équation 
%
%\[(E) :\quad  z^2 - 2z + 2 = 0,\]
%
% où $z$ est un nombre complexe. On appelle $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions de $(E)$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes $\C$.
$z^2 - 2z + 2 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 2 = 0 \iff (z - 1)^2 + 1 = 0 \iff (z - 1)^2 - \text{i}^2  = 0 \iff $

$(z - 1 + \text{i})(z - 1 - \text{i}) = 0 \iff $

$\left\{\begin{array}
{l}z - 1  + \text{i}=0\:\text{ ou}\\z - 1 - \text{i} = 0
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}
{l}z = 1 - \text{i}\:\text{ ou}\\
z = 1 + \text{i}\end{array}\right.$.

\item %On appelle $M_{1}$ et $M_{2}$ les points d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le repère \Ouv. Montrer que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle $\mathcal{C}$.
Soit $M_{1}$ d'affixe $z_{1} = 1 - \text{i}$. On a A$M_{1} = \left|z_{1} - z_{\text{A}}\right| = \left|1 - \text{i} - 1\right| = |- \text{i}| = 1$. 

De même A$M_{2} = \left|z_{2} - z_{\text{A}}\right| = \left|1 + \text{i} - 1\right| = | \text{i}| = 1$. Ces deux résultats signifient que $M_{1}$ et $M_{2}$ appartiennent au cercle de centre A et de rayon 1 soit au cercle $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
%On considère l'application $f$ du plan complexe qui à tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de A associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 
%
%\[z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2}.\]
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Placer le point A et tracer le cercle $\mathcal{C}$ sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
Voir à la fin de l'écercice. 
\item %Montrer que pour tout complexe $z$ distinct de 1 on a 

%\[\left(z' - 1\right)(z - 1) = \dfrac{1}{2}.\]
$z' = \frac{2z - 1 }{2z - 2} \Rightarrow z'  - 1 = \frac{2z - 1 }{2z - 2} - 1 \iff z' - 1  = \frac{2z - 1 - 2z + 2}{2z - 2} \iff z" - 1 = \dfrac{1}{2(z - 1)} \iff \left(z' - 1 \right)(z - 1) = \frac{1}{2}$.
\item %Montrer que pour tout point $M$ distinct de A on a :

%\[\begin{array}{@{\bullet~~} l} 
%\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2} ;\\ 
%M' \neq \text{A} ;\\ 
%\left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:\: \text{est un entier relatif}
%\end{array}\] 
Le résultat précédent entra\^{\i}ne :

$\bullet~~$ en termes de modules :  $\text{A}M \times \text{A}M' = \frac{1}{2}$ ;

$\bullet~~$ le produit des deux complexes étant non nul aucun des deux facteurs ne peut l'être, et en particulier $z' - 1 \neq 0 \iff z' \neq 1$, soit $M' \neq \text{A}$ ;

$\bullet~~$en termes d'argument : arg$\left[\left(z' - 1\right)(z - 1) \right] = 0 + 2k\pi$. Or

arg$\left[\left(z' - 1\right)(z - 1) \right] = \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M'}\right)$, donc 
$\left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M'}\right) = 0 + 2k\pi,\: \text{où }\: k\:$

est un entier relatif.
\item %On considère le point P d'affixe $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Construire le point P.
On a  $z_{\text{P}} = 1 + \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \iff z_{\text{P}} - 1 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \Rightarrow \left|z_{\text{P}} - 1  \right| = \left|  \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right| \iff \left|z_{\text{P}} - 1  \right| = 1$.

Cette dernière égalité montre que P appartient au cercle de centre A et de rayon 1, donc au cercle $\mathcal{C}$.

Il ne reste plus qu'à construire sur ce cercle le point tel que $\left(\vect{u},~\vect{\text{AP}}\right) = \frac{\pi}{4}$.
\item %En utilisant la question 3, expliquer comment construire le point P$'$, image de P par $f$, et réaliser cette construction.
On a AP $ \times \text{AP}' = \frac{1}{2}$ ; or AP $ = 1$, donc AP$'  = \frac{1}{2}$. Le point P$'$ appartient au cercle $\mathcal{C}_{1}$ de centre A et de rayon  $\frac{1}{2}$. 
D'autre part on a $\left(\vect{u},~\vect{\text{AP}'}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

On peut donc construire P$_{1}$ symétrique sur le cercle $\mathcal{C}$ du point P autour de l'axe horizontal contenant A. Le point P$'$ est le point commun à [AP$_{1}$] et au cercle $\mathcal{C}_{1}$. Voir plus bas.
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Soit un point $M$ appartenant à la droite D d'équation $x = \frac{3}{4}$. Soit $M'$ son image par $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$.
On a donc $z = \frac{3}{4} + \alpha \text{i}$ avec $\alpha \in \R$. D'o\`u :

$z' = \dfrac{2(\frac{3}{4} + \alpha \text{i}) - 1}{2(\frac{3}{4} + \alpha \text{i}) - 2} = \dfrac{\frac{3}{2} + 2\alpha \text{i} - 1}{\frac{3}{2} + 2\alpha \text{i} - 2} = \dfrac{\frac{1}{2} + 2\alpha \text{i}}{- \frac{1}{2} + 2\alpha \text{i}} = \dfrac{\left(\frac{1}{2} + 2\alpha \text{i}\right)\left(- \frac{1}{2} - 2\alpha \text{i}\right)}{\left(- \frac{1}{2} + 2\alpha \text{i}\right)\left(- \frac{1}{2} - 2\alpha \text{i}\right)} = \dfrac{- \frac{1}{4} - \alpha \text{i} - \alpha \text{i} + 4\alpha^2}{\frac{1}{4} + 4\alpha^2} = $

$z' = \dfrac{- \frac{1}{4} - 2\alpha \text{i}  + 4\alpha^2}{\frac{1}{4} + 4\alpha^2}$.

D'où $\left|z'\right|^2  = \dfrac{\left(- \frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} + \dfrac{4\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} = \dfrac{\frac{1}{16} + 16\alpha^4 - 2\alpha^2 + 4\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} = \dfrac{\frac{1}{16} + 16\alpha^4 + 2\alpha^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} =$

$\dfrac{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2}{\left(\frac{1}{4} + 4\alpha^2\right)^2} = 1$.
D'où $\left|z' \right| = 1$ : le point $M'$ appartient au cercle $\mathcal{C}'$ de centre O de rayon $1$.
		\item %Tout point de $\mathcal{C}'$ a-t-il un antécédent par $f$ ?
Un point $M'$ de $\mathcal{C}'$ a une affixe qui peut s'écrire $z' = \text{e}^{\text{i}a}$ avec $a \in \R$. Son ou ses antécédents par $f$ vérifient :

$\text{e}^{\text{i}a} = \dfrac{2z - 1}{2z - 2} \iff 2z\text{e}^{\text{i}a} - 2\text{e}^{\text{i}a} = 2z - 1 \iff 2z\left(\text{e}^{\text{i}a} - 1 \right) = 2\text{e}^{\text{i}a} - 1 \iff z = \dfrac{2\text{e}^{\text{i}a} - 1}{\text{e}^{\text{i}a} - 1 }$\:si $\text{e}^{\text{i}a} - 1 \neq 0$.

Or $\text{e}^{\text{i}a} - 1 = 0 \iff \text{e}^{\text{i}a} = 1 \iff a = 0 \iff z = 1$. C'est le point A et on sait que ce point n'a pas d'image par $f$. La réponse est : non.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%\emph{Les deux parties sont indépendantes.}
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

%\medskip
% 
%On considère deux carrés directs ABCD et DCEF de côté 1. Le point I est milieu de [BC] et le point J est milieu de [EFJ (voir figure ci-dessous).
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On considère la rotation $r$ de centre D qui transforme A en C. Justifier que $r(\text{I}) = \text{J}$.
DB = DE $= \sqrt{2}$ et de fa\c{c}on évidente $\left(\vect{\text{DB}},~\vect{\text{DE}} \right) = \dfrac{\pi}{2}$, donc B a pour image E par $r$.

D'autre part l'image de C par $r$ est le point F

Comme B et C ont pour  images respectives par $r$, E et F, l'image du segment [BC] sert le segment [EF] et l'image du milieu I de [BC] est le milieu J de [EF]. 
\item %Justifier que $r$ est l'unique similitude directe qui transforme A en C et I en J.
Comme A est différent de I et B différent de J, on sait qu'il existe une seule similitude transformant A en C et et I en J : c'est donc la rotation $r$. 
\item %On appelle $s$ la similitude directe qui transforme A en I et C en J.
 
%On se place dans le repère $\left(\text{A}~ ;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les affixes des points A, C, I et J.
$z_{\text{A}} = 0 ; z_{\text{C}} = 1 + \text{i}, z_{\text{I}} = 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}$ et $z_{\text{J}} = \dfrac{1}{2} + 2\text{i}$. 
		\item %Montrer que l'écriture complexe de $s$ est 
		
%		\[z' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\right) z + 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}.\]
$s$ étant une similitude directe, on sait que son écriture cxomplexe est de la forme :

$z' = az + b$, avec $a \in \C,\:b \in \C$.

En utilisant les deux points donnés et leurs images, on obtient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
1 + \dfrac{1}{2}\text{i} &=& a\times 0 + b\\
\dfrac{1}{2} + 2\text{i} &=& a \times (1 + \text{i}) + b
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 + \dfrac{1}{2}\text{i} &=& b\\
\dfrac{1}{2} + 2\text{i} &=& a \times (1 + \text{i}) + 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
1 + \dfrac{1}{2}\text{i} &=& b\\
-\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i} &=& a \times (1 + \text{i})
\end{array}\right.$

D'où $a = \dfrac{-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\text{i}}{1 + \text{i}} = \dfrac{(-1 + 3\text{i})(1 - \text{i})}{2(1 + \text{i})(1 - \text{i})} = \dfrac{- 1  + 3 + \text{i} + 3\text{i}}{2(1 + 1)} = \dfrac{1}{2} + \text{i}$.

L'écriture complexe de $s$ est $z' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\right) z + 1 + \dfrac{1}{2}\text{i}$.		 
		\item %Montrer que le point D est le centre de $s$.
Recherche du point invariant (le centre de la similitude) :

$z =  \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\right)z + 1 + \dfrac{1}{2}\text{i} \iff z\left(\frac{1}{2}  - \text{i}\right) = 1 + \frac{1}{2}\text{i} \iff z = \dfrac{1 + \frac{1}{2}\text{i}}{\frac{1}{2}  - \text{i}} = \dfrac{\left(1 + \frac{1}{2}\text{i}\right)\left(\frac{1}{2} + \text{i}\right)}{\left(\frac{1}{2} - \text{i}\right)\left(\frac{1}{2} + \text{i}\right)} =$

$ \dfrac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \text{i}  + \text{i}\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + 1} = \dfrac{\frac{5}{4}\text{i}}{\frac{5}{4}} = \text{i}$.

Le point invariant a pour affixe $\text{i}$ : c'est le point D.

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(3.2,6.3)
%\psframe(3,6)\psline(0,3)(3,3)
%\uput[dl](0,0){A}  \uput[dr](3,0){B} \uput[r](3,3){C} \uput[l](0,3){D} 
%\uput[ur](3,6){E} \uput[ul](0,6){F} \uput[r](3,1.5){I} \uput[u](1.5,6){J}
%\psdots(3,1.5)(1.5,6)
%\end{pspicture}
%\end{center}
		\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

%\medskip
%
%Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct \Ouv{} on considère trois points $M, N, P$ distincts entre eux et distincts du point O. On appelle $m, n, p$ leurs affixes respectives.
% 
%On définit la similitude directe $s_{1}$ qui transforme O en $M$ et $N$ en $P$ et la similitude directe $s_{2}$ qui transforme O en $N$ et $M$ en $P$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que l'écriture complexe de $s_{1}$ est

%\[ z' = \frac{p - m}{n}z + m.\]
On sait que l'écriture complexe de la similitude $s_{1}$ est de la forme :

$z' = az + b$. En utilisant le fait que O a pour image $M$ et que $N$ a pour image $P$, on obtient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
m&=&a \times 0 + b\\
p&=&an + b
\end{array}\right.\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
m&=& b\\
p&=&an + m
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
m&=& b\\
p - m&=&an
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
n&=& b\\
\dfrac{p - m}{n}&=&a
\end{array}\right.$

Donc $s_{1}$ a pour écriture complexe :

$z' = \dfrac{p - m}{n}z + m$.

On admet que l'écriture complexe de $s_{2}$ est $z' = \frac{p - n}{m}z + n$.  
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que si O$MPN$ est un parallélogramme alors $s_{1}$ et $s_{2}$ sont des translations.
O$MPN$ est un parallélogramme $\iff \vect{\text{O}M} = \vect{NP} \iff m = p - n \iff p - m = n$.

L'écriture complexe de $s_{1}$ devient $z' = \frac{n}{n}z + m \iff z' = z + m$ : cette écriture est celle d'une translation de vecteur $\vect{\text{O}M}$.

De même l'écriture complexe de $s_{2}$ s'écrit puisque $p - n  = m$, 

$z' = z + n$ : c'est la translation de vecteur $\vect{\text{O}N}$.
		\item %On suppose que O$MPN$ n'est pas un parallélogramme. Justifier que $s_{1}$ et $s_{2}$ ont chacune un centre, et montrer que ces deux points sont confondus.
On suppose donc que $p - m \neq n$ (donc $s_{1}$ et $s_{2}$ ne sont pas des translations.

Le point fixe de $s_{1}$ a une affixe $z$ qui vérifie :

$z = \frac{p - m}{n}z + m \iff nz = (p - m)z + n \iff z(m + n - p) = n \iff z = \dfrac{n}{m + n - p}$. $s_{1}$ a donc un centre.

De même le point fixe de $s_{2}$ a une affixe $z$ qui vérifie :

$z = \frac{p - n}{m}z + n \iff mz = (p - n)z + n \iff z(m + n - p) = n \iff z = \dfrac{n}{m + n - p}$. $s_{2}$ a donc un centre et c'est le même que celui de $s_{1}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 1}

\textbf{(Exercice 1)}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,5cm}

\emph{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(23,17)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(23,17)
\psplot{0}{17}{x}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{23}{x 3 add ln 5 mul}
\uput[ul](16,16){$\mathcal{D}$}\uput[dr](22,16){$\mathcal{C}$}\uput[dr](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=2.5pt 3](4,0)(4,9.73)(9.73,9.73)(9.73,0)\uput[ur](4,0){$u_{0}$}\uput[ul](9.73,0){$u_{1}$}\uput[ur](12.72,0){$u_{2}$}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=2.5pt 3](9.73,0)(9.73,12.72)(12.72,12.72)(12.72,0)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=2.5pt 3](12.72,0)(12.72,13.77)(13.77,13.77)(13.77,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}