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%%%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon
%%% Tapuscrit Denis Vergès%%
%Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
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\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

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\begin{document}
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\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{17 novembre 2014}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

%\textbf{Durée : 4 heures}
%
%\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[10pt]
17 novembre 2014}}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%\emph{Les trois parties \emph{A, B} et \emph{C} sont indépendantes}

%\medskip 

Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace. 

%\medskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie A}

Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de \np{2000} pour la vente en gros.
 
On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à $0,003$. 

On nomme $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de \np{2000}~cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. 
On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.

%\medskip 

\begin{enumerate}

\item% Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi. 
La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux et on suppose que les \np{2000} tirages sont indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu'un cône soit défectueux est de $0,003$.

On peut donc dire que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=\np{2000}$ et $p=0,003$.

\item Si un client reçoit un lot contenant au moins 12~cônes défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de celui-ci. 

L'événement \og{}un lot n'est pas échangé\fg{} se produit quand le nombre de cônes défectueux est inférieur ou égal à 11, donc correspond à $X \pp 11$.

$P(X \pp 11)= \ds\sum_{k=0}^{11} P(X=k)$

On calcule les probabilités (arrondies à $10^{-5}$):

\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
k & P(X=k) & P(X \pp k)\\\hline
0 & \np{0,00246} & \np{0,00246}\\ \hline
1 & \np{0,01478} & \np{0,01724}\\ \hline
2 & \np{0,04446} & \np{0,06170}\\ \hline
3 & \np{0,08910} & \np{0,15080}\\ \hline
4 & \np{0,13385} & \np{0,28465}\\ \hline
5 & \np{0,16078} & \np{0,44544}\\ \hline
6 & \np{0,16086} & \np{0,60630}\\ \hline
7 & \np{0,13788} & \np{0,74419}\\ \hline
8 & \np{0,10336} & \np{0,84755}\\ \hline
9 & \np{0,06884} & \np{0,91639}\\ \hline
10 & \np{0,04124} & \np{0,95763}\\ \hline
11 & \np{0,02245} & \np{0,98007}\\ 
\hline
\end{array}$
\end{center}

Donc la probabilité qu'un lot ne soit pas échangé est $0,980$ au millième.

\end{enumerate}

%\textbf{Partie B} 
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie B}

Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacée qu'il contient. 

On suppose que $Y$ suit une loi normale $\mathcal{N}\left(110~;~\sigma^2\right)$, d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma$. 

Une glace est considérée comme commercialisable lorsque la masse de crème glacée qu'elle contient appartient à l'intervalle \cd{}104~;~116\cg. 

%Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près du paramètre $\sigma$ telle que la probabilité de l'évènement \og la glace est commercialisable \fg{} soit égale à $0,98$. 

On sait que la probabilité de l'événement \og{}une glace est commercialisable\fg{} est 0,98, ce qui signifie que $P(104 \pp Y \pp 116)=0,98$.

D'après le cours, on sait que, si $Y$ suit la loi normale de paramètres $\mu=110$ et $\sigma$, alors la loi $Z = \dfrac{Y-110}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite (de moyenne 0 et d'écart type 1).\\[5pt]
$104 \pp \ Y \pp 116 \iff -6 \pp Y-110 \pp 6 \iff -\dfrac{6}{\sigma} \pp \dfrac{Y-110}{\sigma} \pp \dfrac{6}{\sigma}$ donc \\[5pt]
$P(104 \pp Y \pp 116)=0,98 \iff P\left ( -\dfrac{6}{\sigma} \pp Z \pp \dfrac{6}{\sigma} \right ) = 0,98$

\smallskip

On peut représenter la situation par le graphique ci-dessous:

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm, yunit=3.5cm, runit=1cm, arrowsize=2pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-4.3}   \def\xmax {4.3}
\def\ymin {-0.18}  \def\ymax {0.55}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\def\m{0} \def\s{1}
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psplot[plotpoints=1000]{-0.5}{8}{\f}
%\uput[ur](5,0.2){$\mathcal C_f$}
\def\inf{-1.7} \def\sup{1.7}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=0]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\uput[d](\inf,0){$-\frac{6}{\sigma}$}
\uput[d](\sup,0){$\frac{6}{\sigma}$}
\psaxes[ticksize=0pt 0pt, labels=none, Dy=0.1]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{linecolor=blue}
\psline(0.5,0.2)(1.1,0.4) \uput[ur](1.1,0.4){\blue $98\,\%$}
\psline(1.9,0.03)(3,0.2) \uput[ur](3,0.2){\blue $1\,\%$}
\psline(-1.9,0.03)(-3,0.2) \uput[ul](-3,0.2){\blue $1\,\%$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On peut en déduire que $P\left ( Z \pp \dfrac{6}{\sigma}\right ) = 0,99$.

\emph{On peut le démontrer en utilisant un résultat connu du cours: $P(-t \pp Z \pp t) = 2 P(Z  \pp t) -1$.}

On cherche donc la valeur $t$ telle que $P(Z \pp t) = 0,99$ sachant que la variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite; on trouve à la calculatrice $t \approx 2,326$.

\smallskip

On a donc: $\dfrac{6}{\sigma}\approx 2,236 \iff \dfrac{6}{2,236} \approx \sigma \iff \sigma \approx 2,58$.

\smallskip

Une valeur approchée à $10^{-1}$ près du paramètre $\sigma$ telle que la probabilité de l'événement \og{}la glace est commercialisable\fg{} soit égale à 0,98 est $2,6$.

\emph{Vérification\\ Si $Y$ suit la loi normale de paramètres $\mu=110$ et $\sigma=2,6$ alors $P(104 \pp Y \pp 116) \approx 0,979$. \\
Si on prend $\sigma=2,5$ on trouve $P(104 \pp Y \pp 116) \approx 0,984$.\\ 
Enfin en prenant $\sigma=2,7$ on trouve $P(104 \pp Y \pp 116) \approx 0,974$. \\
La valeur approchée à $10^{-1}$ près de $\sigma$ qui donne la probabilité la plus proche de 0,98 est $2,6$.} 

%\bigskip
%
%\textbf{Partie C} 
%
%\medskip 

\subsubsection*{Partie C}

Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces était de 84\,\%. 


%Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95\,\% et à partir de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre les années 2000 et 2010 ? 

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ d'un pourcentage $p$ dans une population de taille $n$ est:

\smallskip

\hfill $I=\left[p - 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\,;\,p + 1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n} \right]$\hfill\null

\smallskip

On a $n=900$ et $p = 0,84$ donc l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ du pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces en 2000 est :

\smallskip

\hfill $I = \left[ 0,84 - 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,84\times 0,16}}{\ds\sqrt{900}}\,;\,0,84 + 1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,84\times 0,16}}{\ds\sqrt{900}} \right] \approx  \cd 0,816\,;\, 0,864 \cg$\hfill\null

\smallskip

En 2010, sur $900$ personnes interrogées, $795$ d'entre elles déclarent consommer des glaces, ce qui fait une proportion de $f=\dfrac{795}{900} \approx 0,883$.

Or $f \not\in I$ donc on ne peut pas affirmer, au niveau de confiance de 95\,\%, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre 2000 et 2010.

\newpage

%\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip 
%
%\emph{Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\medskip 
%
%\emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.} 
%
%\medskip 
%
%\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} 

%\medskip 
%
%Dans les questions \textbf{1.} et \textbf{2.}, le plan est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv. 
%
%On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item \textbf{Affirmation 1 : vraie} 

Le point d'affixe $(-1 + \i)^{10}$ est situé sur l'axe imaginaire. 

\emph{Explication}

$z = (-1 + \i)^{10} = \left ((-1 + \i)^{2}\right )^5$;
$(-1 + \i)^{2} = - 2\i$ donc $z=(- 2\i)^{5} = - 32 \i^5$

$\i^2= - 1$ donc $\i^4 = 1$ et donc $\i^5 = \i$; on en déduit que $z = - 32\i$ qui est un imaginaire pur.
\item \textbf{Affirmation 2: fausse} 

Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 
$z - \overline{z} +2 - 4\i = 0$
admet une solution unique. 

\emph{Explication}

On écrit $z$ sous la forme $a+\i b$ où $a$ et $b$ sont des réels et on résout l'équation (E): $z - \overline{z} +2 - 4\i = 0$

$\text{(E)} \iff a+\i b - (\overline{a + \i b}) +2 -4\i = 0 \iff a+\i b - (a - \i b) +2 -4\i = 0\\
\phantom{\text{(E)}} \iff a+\i b - a + \i b + 2 - 4\i = 0 \iff 2\i b + 2 - 4\i = 0 \iff   (2b - 4)\i = - 2$ ce qui est impossible.
\item \textbf{Affirmation 3: vraie} 

\smallskip

$\ln \left(\ds\sqrt{\e^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\e^9 \right)}{\ln \left(\e^2 \right)} = \dfrac{\e^{\ln 2 + \ln 3}}{\e^{\ln 3 - \ln 4}}$ 

\emph{Explication}

$\ln \left(\ds\sqrt{\e^7} \right) = \dfrac{1}{2} \ln\left (\e^7\right ) = \dfrac{7}{2}$;
$\ln\left (\e^9\right ) = 9$ et $\ln\left (\e^2\right ) = 2$ donc
$\dfrac{\ln \left(\e^9 \right)}{\ln \left(\e^2 \right)} = \dfrac{9}{2}$ 

Donc $\ln \left(\ds\sqrt{\e^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\e^9 \right)}{\ln \left(\e^2 \right)} = \dfrac{7}{2} + \dfrac{9}{2} = \dfrac{16}{2}=8$

$\ln 2 + \ln 3 = \ln(2\times 3) = \ln 6$ 
donc $\e^{\ln 2 + \ln 3} = \e^{\ln 6}=6$; 
$\ln 3 - \ln 4 = \ln \dfrac{3}{4}$ 
donc $\e^{\ln 3 - \ln 4} = \e^{\ln \frac{3}{4}}= \dfrac{3}{4}$

Donc $\dfrac{\e^{\ln 2 + \ln 3}}{\e^{\ln 3 - \ln 4}} = \dfrac{6}{\dfrac{3}{4}} = 6 \times \dfrac{4}{3} = 8$  

\item \textbf{Affirmation 4: vraie} 

$\displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\:\text{d}x = - \ln \left(\dfrac{3}{5}\right)$ 

\smallskip

\emph{Explication}

\smallskip

Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)= \e^x+2$; cette fonction est dérivable sur $\R$ et $u'(x)=\e^x$. De plus cette fonction est strictement positive sur $\R$.

Donc l'expression $\dfrac{\e^x}{\e^x+2}$ est de la forme $\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ qui a pour primitive $\ln \left (u(x)\right )$.
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{\e^x+2}$ a pour primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par $F(x)=\ln\left (\e^x+2\right )$.

Donc $\ds\int_0^{\ln 3} \dfrac{\e^x}{\e^x+2} \d x = F(\ln 3)- F(0)$

$F(\ln 3) = \ln\left (\e^{\ln 3}+2 \right ) = \ln\left (3+2 \right ) = \ln 5$;
$F(0) = \ln\left (\e^{0}+2 \right ) = \ln 3$

$\ds\int_0^{\ln 3} \dfrac{\e^x}{\e^x+2} \d x = \ln 5 - \ln 3 = -(\ln 3 - \ln 5) = -\ln \dfrac{3}{5}$
\item \textbf{Affirmation 5: fausse} 

L'équation $\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4$ admet une solution unique dans $\R$. 

\emph{Explication}

L'expression $\ln(x - 1) - \ln(x + 2)$ n'existe que si $x-1>0$ et $x+2>0$ donc on va résoudre l'équation $\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4$ dans l'intervalle $I = \cg{}1\,;\, +\infty\cd$.

$\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4 \iff \ln \dfrac{x-1}{x+2} = \ln 4 \iff \dfrac{x-1}{x+2} = 4 \iff \dfrac{x-1 -4 (x+2)}{x+2} = 0 \\[5pt]
\phantom{\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4}  \iff \dfrac{x-1-4x-8}{x+2} = 0 \iff \dfrac{-3x-9}{x+2}= 0 \iff x=-3 \text{ et } x\neq -2$

Mais $-3 \not\in I$ donc l'équation n'a pas de solution dans $\R$.
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}
\subsection*{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. 

On donne les points A$(1~;~0~;~- 1)$, B$(1~;~2~;~3)$, C$(-5~;~5~;~0)$ et D$(11~;~1~;~-2)$. 
Les points I et J sont les milieux respectifs des segments \cd{}AB\cg{} et \cd{}CD\cg. 
Le point K est défini par $\vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BC}}$. 

%\medskip
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 
Le point I est le milieu de \cd{}AB\cg{} donc a pour coordonnées
$\left (\dfrac{1+1}{2}\,;\,\dfrac{0+2}{2}\,;\,\dfrac{-1+3}{2}\right ) = \left (1\,;\,1\,;\,1\right )$.

Le point J est le milieu de \cd{}CD\cg{} donc a pour coordonnées
$\left (\dfrac{-5+11}{2}\,;\,\dfrac{5+1}{2}\,;\,\dfrac{0-2}{2}\right ) = \left (3\,;\,3\,;\,-1\right )$.

Le point K est défini par $\vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BC}}$;
le vecteur  $\vect{\text{BC}}$ a pour coordonnées $(-5-1\,;\,5-2\,;\,0-3)=(-6\,;\,3\,;\,-3)$ donc $\vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BC}}$ a pour coordonnées $(-2\,;\,1\,;\,-1)$.

Donc
$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ }l}
x_{\text K} - x_{\text B} & -2\\
y_{\text K} - y_{\text B} & 1\\
z_{\text K} - z_{\text B} & -1
\end{array}
\right.
\iff 
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ }l}
x_{\text K}  & -2 +1\\
y_{\text K}  & 1 +2\\
z_{\text K}  & -1 +3
\end{array}
\right.
\iff 
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ }l}
x_{\text K}  & -1\\
y_{\text K}  & 3\\
z_{\text K}  & 2
\end{array}
\right.$

Donc le point K a pour coordonnées $(-1\,;\,3\,;\,2)$.
		\item% Démontrer que les points I, J et K définissent un plan. 
Les points I, J et K définissent un plan si et seulement si ces trois points ne sont pas alignés. On va donc regarder si les vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$ sont colinéaires.

Le vecteur $\vect{\text{IJ}}$ a pour coordonnées $(3-1\,;\,3-1\,;\,-1-1)=(2\,;\,2\,;\,-2)$.

Le vecteur $\vect{\text{IK}}$ a pour coordonnées $(-1-1\,;\,3-1\,;\,2-1)=(-2\,;\,2\,;\,1)$.

Or $x_{\vect{\text{IJ}}} \times (-1)= x_{\vect{\text{IK}}}$ et $y_{\vect{\text{IJ}}} \times (-1)\neq y_{\vect{\text{IK}}}$; donc les vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$ ne sont pas colinéaires.

Les trois points I, J et K définissent un plan.
		\item% Montrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées (3~;~1~;~4) est un vecteur normal au plan (IJK). 

%En déduire une équation cartésienne de ce plan. 

Le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées (3~;~1~;~4) est un vecteur normal au plan (IJK) si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.%; on va donc démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\vect{\text{IJ}}$ et $\vect{\text{IK}}$.

$\left.
\begin{array}{@{} l}
\vect{n}.\vect{\text{IJ}} = 3\times 2 + 1\times 2 + 4\times (-2) = 0 \Longrightarrow \vect{n} \perp \vect{\text{IJ}}\\
\vect{n}.\vect{\text{IK}} = 3\times (-2) + 1\times 2 + 4\times 1 = 0 \Longrightarrow \vect{n} \perp \vect{\text{IK}}
\end{array}
\right\rbrace$
donc $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (IJK).

Le plan (IJK) est alors l'ensemble des points M tels que $\vect{\text{IM}}$ et $\vect{n}$ soient orthogonaux.

Si M a pour coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$, le vecteur $\vect{\text{IM}}$ a pour coordonnées $(x-1\,;\,y-1\,;\,z-1)$.

$\vect{\text{IM}} \perp \vect{n} \iff \vect{\text{IM}}.\vect{n}=0 \iff 3(x-1)+1(y-1)+4(z-1)=0 \iff 3x+y+4z-8=0$.

Le plan (IJK) a pour équation $3x +y+4z-8=0$.

	\end{enumerate}

\item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y + 4z - 8 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD). 
La droite (BD) a pour vecteur directeur $\vect{\text{BD}}$ de coordonnées $(11-1\,;\,1-2\,;\,-2-3)=(10\,;\,-1\,;\,-5)$.

La droite (BD) passe par le point B et a pour vecteur directeur le vecteur de coordonnées $(10\,;\,-1\,;\,-5)$ donc elle a pour représentation paramétrique:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l l}
x & 1 +10t \\
y & 2 -t & \text{ où } t\in \R\\
z & 3 -5t
\end{array}
\right. $
		\item% Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (BD). 
Pour chercher si le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants, on résout le système:

$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l }
x & 1 +10t \\
y & 2 -t\\
z & 3 -5t\\
3x+y+4z-8 & 0
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l }
x & 1 +10t \\
y & 2 -t\\
z & 3 -5t\\
3(1+10t)+(2-t)+4(3-5t)-8 & 0
\end{array}
\right.\\
%\iff
%\left\lbrace 
%\begin{array}{r @{\ =\ } l }
%x & 1 +10t \\
%y & 2 -t\\
%z & 3 -5t\\
%3+30t+2-t+12-20t-8 & 0
%\end{array}
%\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l }
x & 1 +10t \\
y & 2 -t\\
z & 3 -5t\\
9 + 9t & 0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l }
x & 1 - 10 \\
y & 2 + 1 \\
z & 3 + 5\\
t & - 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l }
x & - 9 \\
y & 3 \\
z & 8\\
t & - 1
\end{array}
\right.$

Donc la droite (BD) et le plan $\mathcal P$ sont sécants en un point L de coordonnées $(-9\,;\,3\,;\,8)$.
		\item% Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ? 
Le vecteur $\vect{\text{BD}}$ a pour coordonnées $(10\,;\,-1\,;\,-5)$, et  le vecteur $\vect{\text{LB}}$ a pour coordonnées \newline \mbox{$(1- (- 9) \,;\, 2 - 3\,;\,3 - 8) = (10 \,;\, - 1\,;\, -5)$}.
Les vecteurs $\vect{\text{BD}}$ et $\vect{\text{LB}}$ sont égaux donc le point L est  le symétrique du point D par rapport au point B.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\cd{}0~;~+ \infty\cd$ par 
$f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}$.

%On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 

%On a tracé en \textbf{annexe 1}  dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
$f'(x)= 0-\dfrac{0(x+2)-4\times 1}{(x+2)^2}=\dfrac{4}{(x+2)^2}>0$ sur $\cd{}0\,;\,+\infty\cd$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur  $\cd{}0\,;\,+\infty\cd$.
\item% Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. 

%On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 

On résout dans $\cd{}0\,;\,+\infty\cd$ l'équation $f(x)=x$:

$f(x) = x \iff 5-\dfrac{4}{x+2}=x \iff \dfrac{5(x+2)-4 -x(x+2)}{x+2} = 0 \iff 
\dfrac{5x+10-4-x^2-2x}{x+2}=0\\[5pt]
\phantom{f(x)=x} \iff \dfrac{-x^2+3x+6}{x+2}=0 \iff
-x^2+3x+6 = 0 \text{ et }x+2 \neq 0$

On résout $-x^2+3x+6=0$; $\Delta=9-4\times 6\times (-1)=33>0$.

Les solutions sont donc $\dfrac{-3-\ds\sqrt{33}}{-2}=\dfrac{3+\ds\sqrt{33}}{2}$ et $\dfrac{3-\ds\sqrt{33}}{2}$. 

Cette deuxième solution est négative donc l'unique solution de l'équation $f(x)=x$ dans l'intervalle $\cd{}0\,;\,+\infty\cd$ est $\alpha=\dfrac{3+\ds\sqrt{33}}{2}\approx 4,37$.
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$. 

Sur la figure de \textbf{annexe 1}, on place les points $M_0$, $M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$; voir page \pageref{annexe1obl}. 

%Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? 

On peut conjecturer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et converge vers $\alpha$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$
%où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2. 
Soit $\mathcal P_n$ la propriété $0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \emph{Initialisation} : pour $n=0$, $u_n = u_0=1$ et $u_{n+1}=u_1=f(u_0)=5-\dfrac{4}{1+2}=\dfrac{11}{3}$; de plus $\alpha \approx 4,37$.
 
On a $0 \pp 1 \pp \dfrac{11}{3} \pp \alpha$ ce qui veut dire que la propriété est vraie au rang 0.
\item \emph{Hérédité} : on suppose  que quel que soit l'entier $p > 0$, \:$0\pp u_p \pp u_{p+1} \pp \alpha$.

On sait d'après la question \textbf{1.} que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd{}0\,;\,+\infty\cd$; donc: 
$0\pp u_p \pp u_{p+1} \pp \alpha \Longrightarrow f(0) \pp f(u_p) \pp f(u_{p+1}) \pp f(\alpha)$ 

$f(0)=3 \pg 0$, $f\left(u_p\right) = u_{p+1}$ et $f\left(u_{p+1}\right) = u_{p+2}$. 

De plus, $\alpha$ est solution de l'équation $f(x)=x$ donc $f(\alpha)=\alpha$.

On a donc $0 \pp u_{p+1} \pp u_{p+2} \pp \alpha$; on peut dire que la propriété est vraie au rang $p+1$.

\item La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire ; donc d'après le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{list} 

On a donc démontré que, pour tout entier naturel $n$, $0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
		\item% Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
Pour tout $n$, $u_n \pp u_{n+1}$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

Pour tout $n$, $u_n \pp \alpha$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $\alpha$.

Donc, d'après le théorème de la convergence monotone, la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par 
$S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item% Calculer $S_0$, $S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près. 
$S_0=u_0=1$;
$S_1=u_0+u_1 = 1+\dfrac{11}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4,67$

$S_2= u_0+u_1+u_2 = S_1+u_2$; $u_2=f(u_1)=f\left(\dfrac{11}{3}\right ) = \dfrac{73}{17}$ donc
$S_2 = \dfrac{14}{3}+\dfrac{73}{17} = \dfrac{457}{51} \approx 8,960$ donc $S_2 \approx 8,96$.

		\item On complète l'algorithme donné en annexe 2  pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur ; voir page \pageref{annexe2obl}. 

		\item% Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+\infty$. 
On sait que la suite $(u_n)$ est croissante donc, pour tout $n$ de $\N$, $u_n\pg u_0$.

Or $u_0 = 1$, donc, pour tout $n$, $u_n \pg 1$ et donc
$S_n = u_0+ u_1 + \ldots + u_n \pg n+1$.

Or $\ds\lim_{n \to +\infty} n+1=+\infty$ donc, d'après les théorèmes de comparaison sur les limites: 

\hfill $\ds\lim_{n\to +\infty} S_n=+\infty$ \hfill\null
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

%\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère l'algorithme suivant, où $A$ et $B$ sont des entiers naturels tels que $A < B$ : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
& \\[-5pt]
\textbf{Entrées :}& $A$ et $B$ entiers naturels tels que $A < B$\\
&\\ 
\textbf{Variables :}& $D$ est un entier\\ 
&Les variables d'entrées $A$ et $B$ \\
&\\
\textbf{Traitement :} 
&Affecter à $D$ la valeur de $B - A$\\ 
&Tant que $D > 0$\\ 
&\hspace{0,5cm} $B$ prend la valeur de $A$\\ 
&\hspace{0,5cm} $A$ prend la valeur de $D$\\ 
&\hspace{1cm}Si $B > A$ Alors\\ 
&\hspace{1.5cm}$D$ prend la valeur de $B - A$\\ 
&\hspace{1cm} Sinon\\ 
&\hspace{1.5cm}$D$ prend la valeur de $A - B$\\ 
&\hspace{1cm}Fin Si\\ 
&Fin Tant que\\ 
&\\
\textbf{Sortie :} &Afficher $A$\\[5pt] \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On entre $A = 12$ et $B = 14$. 
On remplit le tableau donné en \textbf{annexe}; voir page \pageref{annexespe}. 

La valeur affichée par l'algorithme est 2. 

\item Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres $A$ et $B$. 

En entrant $A = 221$ et $B = 331$, l'algorithme affiche la valeur 1. 
	\begin{enumerate}
		\item% Justifier qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation 
%		\[(\text{E})\qquad  221x - 331y = 1.\]
On a fait tourner l'algorithme pour $A=221$ et $B=331$ donc le PGCD de 221 et 331 est 1; ces deux nombres sont donc premiers entre eux.

D'après le théorème de Bézout, on peut dire qu'il existe des entiers relatifs $x$ et $y$ tels que $221x - 331 y = 1$ (équation (E)). 		 
		\item% Vérifier que le couple $(3~;~2)$ est une solution de l'équation (E). 
$221\times 3 - 331 \times 2 = 663 - 662 = 1$ donc le couple $(3~;~2)$ est une solution de (E).

%En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). 

$\begin{array}{ c c @{\ -\ } c @{\ =\ } l l}
\hspace{2cm} \text{(E)} 	& 221\times x 			& 331\times y & 1 \\
 			& 221\times 3	& 331 \times 2 & 1 \\ 
 			\cline{2-4}
 			& 221(x-3)		& 331 (y-2)		& 0 & \text{par soustraction}	
\end{array}$

Donc $221(x - 3) = 331(y - 2)$ et donc 221 divise $331(y - 2)$. Or on sait que 221 et 331 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, 221 divise $y-2$. 

On peut donc dire que $y - 2 = 221k$ où $k\in \Z$ et donc que $y = 2 + 221k$.

De $221(x - 3) = 331(y - 2)$ on déduit $221(x-3)=331\times 221k$ ce qui équivaut à $x-3=331k$; donc $x = 3 + 331k$.

L'ensemble solution de l'équation (E) est 
$\left\lbrace \left (3+331k\,;\,2 + 221k \rule{0pt}{9pt} \right ) \right\rbrace_{k\in \Z}$

	\end{enumerate}
	
\item On considère les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par 

\smallskip

\hfill 
$u_n = 2 + 221n$ et 
$\left\lbrace
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
v_0    &  3 \\ 
v_{n+1} &  v_n + 331
\end{array}
\right.$ \hfill \null 

	\begin{enumerate}
		\item% Exprimer $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$. 
La suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r=331$ et de premier terme $v_0=3$; donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0+n\times r=3+331n$.
		\item% Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(p~;~q)$ tels que $u_p = v_q,\:\: 0 \leqslant p \leqslant  500$ et $0 \leqslant q \leqslant  500$. 
$u_p=v_q \iff 2+221p = 3+331q \iff 221p-331q=1$

D'après les questions précédentes, on a: $(p\,,\,q)= (3+331k\,,\,2+221k)_{k\in \Z}$

$\left.
\begin{array}{l}
0 \pp p\pp 500 \iff 0 \pp 3+331k \pp 500 \Longrightarrow k\in \left\lbrace 0\,,\,1 \rule{0pt}{9pt}\right\rbrace\\
0 \pp q\pp 500 \iff 0 \pp 2+221k \pp 500 \Longrightarrow k\in \left\lbrace 0\,,\,1\,,\, 2 \rule{0pt}{9pt}\right\rbrace 
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow k\in \left\lbrace 0\,,\, 1 \rule{0pt}{9pt}\right\rbrace$

Pour $k=0$, $(p\,,\,q)=(3\,,\,2)$ donc $u_3=v_2=665$.

Pour $k=1$, $(p\,,\,q)=(334\,,\,223)$ donc $u_{334}=v_{223}= \np{73816}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage


\subsection*{\centering Annexe 1 de l'exercice 4}
\label{annexe1obl}

\begin{center}

%\bigskip 

\textbf{réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,arrowsize=2pt 3]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\psset{linecolor=red}
\psline(1,0)(1,3.67)
\psline(0,3.67)(3.67,3.67)
\psline(3.67,0)(3.67,4.294)
\psline(0,4.294)(4.294,4.294)
\psline(4.294,0)(4.294,4.364)
\uput*{8pt}[d](1,0){\red $M_0$}
\uput*{8pt}[d](3.67,0){\red $M_1$} \uput[l](0,3.67){\red $u_1$} 
\uput*{8pt}[d](4.294,0){\red $M_2$} \uput[l](0,4.294){\red $u_2$}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](4.37,0)(4.37,4.37)
\uput[dr](4.37,0){\blue $\alpha$}
\end{pspicture}
\end{center}

%\newpage

\vfill

\subsection*{\centering Annexe 2 de l'exercice 4} 
\label{annexe2obl}

\begin{center}

%\textbf{Annexe 2 de l'exercice 4 à rendre avec la copie}

\bigskip 

\textbf{réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.2}

 %%% <= terminer le paragraphe
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entrée :}&$n$ un entier naturel \\
\textbf{Variables :}		&$u$ et $s$ sont des variables réelles\\ 
							&$n$ et $i$ sont des variables entières\\
\textbf{Initialisation :}	& $u$ prend la valeur 1 \\
							&$s$ prend la valeur $u$ \\
							&$i$ prend la valeur 0\\ 
							&Demander la valeur de $n$ \\
\textbf{Traitement :}		& Tant que $\red i < n$\\ 
							& \hspace*{1cm} Affecter à $i$ la valeur $i + 1$\\
							& \hspace*{1cm} Affecter à $u$ la valeur $\red 5 - \dfrac{4}{u + 2}$\\ 
							& \hspace*{1cm} Affecter à $s$ la valeur $\red s+u$\\ 
							&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie :}			&Afficher $s$\\ \hline
\end{tabular}

\end{center}

\newpage

\subsection*{\centering Annexe de l'exercice 4 -- Spécialité} 
\label{annexespe}
  
\begin{center}

\bigskip

\textbf{réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\vspace{2cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\hspace{1cm} $A$ \hspace{1cm} & \hspace{1cm}  $B$ \hspace{1cm} & \hspace{1cm}     $D$ \hspace{1cm} \\ 
\hline   
 12	 	&   14		&	\red 2 \\ 
\hline    
\red 2	&	\red 12	&	\red 10		\\ 
\hline
\red  10 & \red 2	& \red 8\\ 
 \hline
\red 8 & \red 10	& \red 2\\ 
\hline
\red 2& \red 8	& \red 6\\ 
\hline
\red 6& \red 2 	& \red 4\\ 
\hline
\red 4& \red 6	& \red 2\\ 
\hline
\red 2 & \red 4	& \red 2\\ 
\hline
\red 2 & \red 2	& \red 0\\ 
\hline
\end{tabular}

\end{center}


\end{document}