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%%%Sujet aimablement fourni par Sylvie Frieden et Emmanuelle Pernot
%%%Tapuscrit : Didier Flament
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]Série obligatoire  mars 2012}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : }

%\medskip
%
%On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par 
%
%\[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$.
$P\left(\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}} \right) =  \left(\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}}\right)^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)\left(\textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}}\right) - 2\text{i}\sqrt{2} =$

$ - 2\text{i}\sqrt{2} + 4  + 2\text{i}\sqrt{2}  + 2\text{i}\sqrt{2} - 4 - 2\text{i}\sqrt{2} = 0 \iff \textcolor{blue}{\text{i}\sqrt{2}}$\: est solution dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$.
Développons : $\left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right) = z^3 + az^2 + bz - z^2\text{i}\sqrt{2} - az\text{i}\sqrt{2} - b\text{i}\sqrt{2} = z^3  + \left(a - \text{i}\sqrt{2} \right)z^2 + \left(b - a\text{i}\sqrt{2} \right)z  - b\text{i}\sqrt{2}$.

Par identification avec l'énoncé, on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a - \text{i}\sqrt{2}&=&-2 - \text{i}\sqrt{2}\\
b - a\text{i}\sqrt{2} &=&2 + 2\text{i}\sqrt{2}\\
-b\text{i}\sqrt{2}&=&-2\text{i}\sqrt{2}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
a &=&-2 \\
b + 2\text{i}\sqrt{2} &=&2 + 2\text{i}\sqrt{2}\\
-b&=&-2
\end{array}\right. \iff$

$ \left\{\begin{array}{l c l}
a &=&-2 \\
b&=&2\\
b&=&2
\end{array}\right.$

On a donc $P(z) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 - 2z + 2\right)$ 
		\item %En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
En utilisant la factorisation précédente : 

$P(z) = 0 \iff \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 - 2z + 2\right)  \iff \left\{\begin{array}{l c l}
z - \text{i}\sqrt{2}&=&0\\
z^2 - 2z + 2&=&0
\end{array}\right.$

On retrouve la racine  $\text{i}\sqrt{2}$ ; résolution de l'équation du second degré :

$z^2 - 2z + 2=0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 2 = 0 \iff (z - 1)^2  + 1 = 0 \iff$

$ (z - 1)^2 = - 1 \iff (z - 1)^2 = \text{i}^2 \iff  \left\{\begin{array}{l c l}z - 1&=&\text{i}\\
z - 1&=&- \text{i}
\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l c l}z &=&1 + \text{i}\\
z &=&1 - \text{i}
\end{array}\right.$

Les solutions sont donc : $\text{i}\sqrt{2},\quad 1 + \text{i}, \quad 1 - \text{i}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique.
% 
%On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : 
%
%\[z_{\text{A}}  = 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i},\quad  z_{\text{J}} = \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}.\] 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.
\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(1,1)(1,-1)(0,1.414)(1;135)(-1,-1)(-1,1)(-1.414,0)
\uput[ur](1,1){A}\uput[dr](1,-1){B}\uput[l](0,1.414){J}\uput[ul](1;135){K}
\uput[ul](-1,1){D}\uput[d](-1.414,0){L}\uput[dl](-1,-1){C}\uput[dl](0,0){O}
\pspolygon(1,1)(1,-1)(-1,-1)(-1,1)
\end{pspicture}
\end{center} 
\item %Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à $- \sqrt{2}$.

On a $z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}} = \cos \dfrac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{3\pi}{4} = - \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

K est  le milieu du segment [JL] ce qui se traduit en coordonnées par :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x_{\text{K}} &=& \dfrac{1}{2}\left(x_{\text{J}} + x_{\text{L}} \right)\\
y_{\text{K}} &=& \dfrac{1}{2}\left(y_{\text{J}} + y_{\text{L}} \right) 
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
- \dfrac{\sqrt{2}}{2}&=&\dfrac{1}{2}\left(0 + x_{\text{L}} \right)\\
\dfrac{\sqrt{2}}{2}&=&\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2} + y_{\text{L}} \right)
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x_{\text{L}}&=&- \sqrt{2}\\
y_{\text{L}}&=&0
\end{array}\right.$

Conclusion : $z_{\text{L}} = - \sqrt{2}$.
\item %Montrer que les points A, B,  J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
On a $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 1^2 + (- 1)^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{J}} \right|^2 = \left(\sqrt{2} \right)^2 = 2$ 

$\left|z_{\text{L}} \right|^2 =  \left(- \sqrt{2} \right)^2 = 2$.

On a donc OA = OB = OJ = OL $= \sqrt{2}$ : les points A, B,  J et L appartiennent à un même cercle de centre O et le rayon $\sqrt{2}$.
\item %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \text{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$.
Un argument de $z_{\text{J}}$ est $\dfrac{\pi}{2}$ et un argument de $z_{\text{D}}$ est $\dfrac{3\pi}{4}$, donc l'angle de la rotation est $\dfrac{\pi}{4}$.		 
		\item %Soit C l'image du point L par la rotation $r$. Déterminer l'affixe du point C.
Par définition de la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$, on a :

$z_{\text{C}} - z_{\text{O}} =  \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\left(z_{\text{L}} - z_{\text{O}}\right) \iff z_{\text{C}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}z_{\text{L}} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)\left(- \sqrt{2}\right) = - 1 - \text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
On a successivement :

O est milieu de [BD] et [AC], donc ABCD est un parallélogramme ;

$\text{AC} = \text{BD} = 2\sqrt{2}$, (diagonales de carré de côté 2) donc ABCD est un rectangle ;

(AC) et (BD) sont perpendiculaires, donc ABCD est un losange, donc finalement : ABCD est un carré.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
%
%L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire.
% 
%L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires.
% 
%Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$.
% 
%On considère les évènements suivants :
% 
%$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 
%
%$B$ : \og obtenir une boule noire \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
~		
\begin{center}\psset{}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\frac{1}{6}$}}
	  { 
		  \TR{$B$}\taput{$\frac{1}{4}$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac{3}{4}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{$\frac{5}{6}$}}
	  {
		  \TR{$B$}\taput{$\frac{2}{5}$}
		  \TR{$\overline{B}$}\tbput{$\frac{3}{5}$}
	  }
	}
\end{center}
		\item %Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$.
	D'après la loi des probabilités totales  :
$p(B)  = p(A) \times p_{A}(B) +  p\left(\overline{A}\right) \times p_{\overline{A}}(B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{24} + \dfrac{8}{24} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8} = 0,375$.
		\item %Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé.
$p_{B}(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)} = \dfrac{\frac{1}{6}\times \frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} = \dfrac{1}{24}\times \dfrac{8}{3} = \dfrac{1}{9}$.		 
	\end{enumerate}
\item %On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.
Les parties étant indépendantes la variable X suit une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = \dfrac{3}{8}$.

La probabilité  de gagner exactement trois parties est égale à :

$p(\text{X} = 3) = \displaystyle\binom{10}{3}\left(\dfrac{3}{8}\right)^3 \times \left(1 - \dfrac{3}{8}\right)^{10 -3} = \displaystyle\binom{10}{3}\left(\dfrac{3}{8}\right)^3 \times \left( \dfrac{5}{8}\right)^{7}\approx \np{0,2357} \approx 0,236$ au millième près.
		\item %Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
On a $p(\text{X} \geqslant 1) = 1 - p(\text{X} = 0) = 1 - \times\left(\dfrac{3}{8}\right)^0 \times \left( \dfrac{5}{8}\right)^{10} = 1 - \left(\dfrac{5}{8} \right)^{10} \approx \np{0,9909} \approx 0,991$ au millième près.
		\item %On donne le tableau suivant:~ 
À partir du tableau donné on calcule les probabilités $P(\text{X} = k - 1)$ par différence entre deux valeurs consécutives. On constate que $P(\text{X} = 7)$ est la première valeur inférieure à 0,1. Donc $N = 7$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\medskip

%\hspace{-1cm}
\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
$P(\text{X} < k)$ &\np{0,0091}&\np{0,0637}  &\np{0,2110} &\np{0,4467} &\np{0,6943} &\np{0,8725} &\np{0,9616} &\np{0,9922}& \np{0,9990}&\np{0,9999}\\ \hline
$P(\text{X} = k-1)$&\np{0,0091}&\np{0,0546}&\np{0,1473}&\np{0,2357}&\np{0,2476}&\np{0,1782}&\np{0,0891}&\np{0,0306}&\np{0,0068}&\np{0,0009}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\medskip

%Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg.
 
%À partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ? 


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{VRAI ou FAUX ?}

\medskip 

\emph{Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Énoncé 1 :} %Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite non constante de réels.
 
%Pour tout entier $n$, on pose $u_{n} = \sin \left(a_{n}\right)$. 

%\emph{Proposition $1$ : \og On peut choisir la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ telle que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \fg}
OUI : exemple $a_{n} = \dfrac{\pi}{4} - \dfrac{1}{2^n}$. 
\item \textbf{Énoncé 2 :} %Dans le plan complexe d'origine O, on considère, pour tout entier naturel non nul $n$, les points $M_{n}$ d'affixe $z_{n} = \text{e}^{\frac{2\text{i}n\pi}{3}}$.
 
%\emph{Proposition $2$ : \og Les points O, $M_{1}$ et $M_{20}$ sont alignés. \fg}
FAUX : on a $z_{1} = \text{e}^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}$ qui a pour argument $\dfrac{2\text{i}\pi}{3}$  et $z_{20} = \text{e}^{\frac{2\text{i}\times 20\pi}{3}} = \text{e}^{\frac{40\text{i}\pi}{3}}$. Or 

$\dfrac{40\pi}{3} = \dfrac{36\pi + 4\pi}{3} = 12\pi + \dfrac{4\pi}{3}$, donc $z_{20}$ a pour argument $\dfrac{4\pi}{3} \neq \dfrac{2\pi}{3}$. Donc les points O, $M_{1}$ et $M_{20}$ ne sont pas alignés.
\item \textbf{Énoncé 3 :} %On considère une fonction $f$, sa dérivée $f^{\prime}$ et son unique primitive $F$ s'annulant en $x = 0$. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous. 

\emph{Proposition }$3$ : %\og La courbe $3$ ci-dessous est la représentation graphique de $f$ \fg.} 

%\psset{xunit=3.14159265cm,yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-1,-5)(1.2,5)
%\psaxes[trigLabels,trigLabelBase=2]{->}(0,0)(-0.5,-5)(2.2,5)
%\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1}{3.2}{0.5  x mul RadtoDeg   sin 4   mul  neg}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1}{3.2}{2  x mul RadtoDeg   sin 4   mul  neg}
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-1}{3.2}{x  RadtoDeg  sin}
%\rput(-3,5){Courbe 1}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$}
%\uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
%\end{pspicture}
% 
%\psset{xunit=0.5cm,yunit=1.25cm}
%\begin{pspicture}(-6.4,-2.2)(14.8,3)
%\psaxes[Dx=50,Dy=2]{->}(0,0)(-6.4,-2.2)(14.8,3)
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-6.4}{14.8}{0.5  x mul RadtoDeg   cos 2 mul}
%\rput(-3.5,3){Courbe 2}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$}
%\uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
%\end{pspicture}
%

%\vspace{2cm}
%\psset{xunit=3.14cm,yunit=2cm,comma=true,trigLabels}
%\begin{pspicture}(-1.1,-1.5)(2.1,1.5)
%\psaxes[Dy=0.5]{->}(0,0)(-1.1,-1.5)(2.1,1.3)
%\rput(-1.5,1.4){Courbe 3} \uput[d](-3.14,0){$- \pi$}
%%\uput[d](3.14,0){$\pi$}\uput[d](6.28,0){$2\pi$}
%\uput[dr](0,0){$0$}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,xunit=1cm]{-1.1}{6.4}{x  RadtoDeg   sin }
%\end{pspicture}
 
FAUX : si la courbe 3 est la représentation graphique de $f$, la courbe 1 est celle de $F$ puisque c'est la seule qui contient l'origine ($F(0) = 0$).

Or on voit sur la courbe 1  que $F^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 0$, mais $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \neq 0$.  Donc la courbe 1 n'est pas la représentation graphique de la primitive $F$.

%Remarques : équation possible pour la courbe 1 : $y = - 4 \sin 0,5x$ ;
%
%équation possible pour la courbe 2 : $y = 2 \cos 0,5x$ ;
%
%équation possible pour la courbe 3 : $y = \sin x$.
\item \textbf{Énoncé 4 :} %On considère, dans un repère orthonormé de l'espace, le point A(0~;~0 ; ~;~3) et le plan P d'équation $2x - y + z = 0$. 

\emph{Proposition $4$} : % \og La sphère de centre A et de rayon 2 et le plan P sont sécants. \fg}
Calculons la distance de A au plan P :

$d(\text{A}~;~\text{P}) = \dfrac{\left| 3 \right|}{\sqrt{2^2 + (- 1)^2 + 1^2}}  = \dfrac{3}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,225$.

La distance est inférieure au rayon du cercle : la réponse est VRAI.
\item \textbf{Énoncé 5 :} %On considère l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 4$. Parmi les quatre courbes ci-dessous, l'une représente la solution de (E) vérifiant $y(0) = 0$. 


\emph{Proposition 5 }:% \og La courbe représentative de la solution de (E) vérifiant $y(0) = 0$ est la courbe $C_{4}$. \fg}

On sait que la fonction définie par $x \longmapsto 2$ est une solution particulière de (E).

D'autre part les solutions de l'équation (E$') \::\: y^{\prime} + 2y = 0$ sont les fonctions de la forme $K \text{e}^{- 2x}$.

Les solutions de (E) sont donc les fonctions définies par $y = 2 + K \text{e}^{- 2x}$.

Or $y(0) = 0 \iff 2 + K \text{e}^{0} = 0 \iff 2 + K = 0 \iff K = - 2$.

La fonction solution est donc définie par : $y = 2 - 2\text{e}^{- 2x}$.

On voit avec les limites en $+ \infty$ et $- \infty$ que la représentation graphique est la courbe $C_{3}$. Donc FAUX 
\end{enumerate}

%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture*}(-7.5,-6)(8.5,6)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7.5,-6)(8.5,6)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-7.5}{2.2}{2.71828 x exp 2 sub}
%\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.25pt](-4,-6.2)(-3,-3.4)(-2,-1.75)(0,0)(2,0.6)(4,0.85)(7,1)(8.5,1.05)
%\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-3.95}{8.5}{2 2  2.72818 x 2 mul exp div  sub}
%%\psplot[linewidth=1.25pt]{-3.95}{9.5}{x dup mul 0.05 mul 0.1 x mul add}
%\pscurve(-7.5,-0.8)(-4,-0.5)(-2,-0.3)(0,0)(2,0.5)(4,1.2)(6,2.3)(8,4)(8.5,4.5)
%\rput(8.2,4.75){$C_{2}$}\rput(8.2,2.3){$C_{3}$}\rput(8.2,0.6){$C_{4}$}\rput(2.4,5.4){$C_{1}$}
%\uput[dr](0,0){0}\uput[d](8.3,0){$x$}\uput[l](0,5.8){$y$}
%\end{pspicture*}
%
%\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = x\text{e}^x$.
% 
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.
% 
%Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1].
% 
%Sur la courbe $\mathcal{C}$, tracée en annexe, on a placé les points A et B d'abscisses respectives $a$ et $1$. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe $\mathcal{C}$. On a placé les points A$'(a~;~0)$ et B$'(1~;~0)$. 
%
%Le but de l'exercice est de déterminer la valeur du nombre réel $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale. 

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^x\:\text{d}x = 1$. 
Posons :

$\left\{\begin{array}{l c l}
u^{\prime}(x) &=&\text{e}^x\\
v(x)&=&x
\end{array}\right. \Longrightarrow  \left\{\begin{array}{l c l}
u(x) &=&\text{e}^x\\
v^{\prime}(x)&=&1
\end{array}\right.$

Toutes les fonctions étant continues car dérivables sur [0~;~1], on peut procéder à une intégration par parties :

$\displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^x\:\text{d}x = \left[x\text{e}^x \right]_{0}^1 - \displaystyle\int_{0}^1  \text{e}^x\:\text{d}x = \left[x\text{e}^x \right]_{0}^1 - \left[\text{e}^x \right]_{0}^1 = \text{e} - 0 - (\text{e} - 1) = 1$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'aire du triangle OAA$'$ et montrer que l'aire du trapèze ABB$'$A$'$ est égale à $\dfrac{1}{2}\left(- a^2 \text{e}^a + a\text{e}^a - a\text{e} + \text{e}\right)$.
		$\mathcal{A}(\text{OAA}') = \dfrac{1}{2} a \times a\text{e}^{a} = \dfrac{1}{2} a^2\text{e}^{a}$.
		
$\mathcal{A}(\text{ABB}'\text{A}') = \dfrac{1}{2} \left(a\text{e}^{a} + \text{e}\right)\times (1 - a) = \dfrac{1}{2}\left(a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a + \text{e} - a\text{e} \right)$.	 
		\item %En déduire que l' aire de la partie du plan hachurée est égale à $\dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)$.
Les segments [OA] et [AB] étant au dessus de la courbe $\mathcal{C}$ l'aire de la partie hachurée est égale à la somme des aires du triangle et du trapèze précédents diminuée de l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$, soit :

$\dfrac{1}{2} a^2\text{e}^{a} + \dfrac{1}{2}\left(a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a + \text{e} - a\text{e} \right) - \displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^x\:\text{d}x = $

$\dfrac{1}{2}\left(a^2\text{e}^{a} + a\text{e}^{a} - a^2 \text{e}^a  + \text{e} - a\text{e}\right) - 1 = \dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)$.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 
%
%\[g (x) = x\left(\text{e}^x - \text{e}\right) + \text{e} - 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item %Soit $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$. 
Toutes les fonctions sont dérivables sur $[0~;~ +\infty[$, donc :

$g^{\prime}(x) = \text{e}^x - \text{e} + x\text{e}^x$.

%Vérifier que la fonction dérivée seconde $g^{\prime\prime}$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g^{\prime\prime}(x) = (2 + x) \text{e}e^x$.
Puis $g^{\prime\prime}(x) =  \text{e}^x + \text{e}^x + x\text{e}^x  = \text{e}^x (2 + x)$.
\item %En déduire les variations de la fonction $g^{\prime}$ sur $[0~;~+\infty[$.
On sait que  $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, et sur $[0~;~ +\infty[,\:2 + x \geqslant 2 > 0$ : donc sur $[0~;~ +\infty[, \:g^{\prime\prime}(x) > 0$ : on conclut que la fonction $g^{\prime}$ est croissante (strictement) sur $[0~;~ +\infty[$.
\item %Établir que l'équation $g^{\prime}(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
On a $g^{\prime}(0) = 1 - \text{e} < 0$ et $g^{\prime}(1) = \text{e} > 0$.

Donc la fonction $g^{\prime}$ monotone croissante et croissante sur [0~;~1] de $g^{\prime}(0) < 0$ à $g^{\prime}(1)  > 0$ s'annule une seule fois sur cet intervalle.


Il existe donc un réel $\alpha \in[0~;~1]$ tel que $g^{\prime}(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne : $0,5 < \alpha < 0,6$.
%Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. 
\item %En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
Sur l'intervalle $[0~;~\alpha],\:g'(x) < 0$ : la fonction est donc décroissante sur cet intervalle.

Sur l'intervalle $[\alpha~;~+ \infty],\:g'(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur cet intervalle. 
\item %En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de $a$.
D'après tous les résultats précédents, l'aire de la surface hachurée est égale à :
$\dfrac{1}{2}g(a)$. Or on a vu que la fonction $g$ a sur $[0~;~+ \infty[$ et également  sur [0~;~1] un minimum en $x = \alpha$.

L'aire minimum est donc égale à :  $\dfrac{1}{2}g(\alpha)$

\emph{Non demandé} : cette aire vaut approximativement \np{0,0882} unité d'aire.

\end{enumerate}

%\newpage
%
%\begin{center}
%\textbf{Annexe}
%
%\vspace{0,5cm}
% 
%\textbf{CETTE PAGE N'EST PAS À RENDRE AVEC LA COPIE} 
%
%\vspace{2cm}
%
%\psset{xunit=10cm,yunit=4cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.1,-0.25)(1.15,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.25)(1.15,3)
%\multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)}
%\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(1.15,\n)}
%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{2.71828 x exp x mul}
%\pscustom[fillstyle=vlines]{
%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{0.5}{2.71828 x exp x mul}
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%\pscustom[fillstyle=vlines]{
%\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.5}{1}{2.71828 x exp x mul}
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%\uput[dr](0.5,0.8244){A}\uput[r](1,2.71828){B}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.7,1.35){$\mathcal{C}$}
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%\uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,2.9){$y$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}