\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
%%%Sujet aimablement fourni par J. Nader
%%% Tapuscrit Denis Vergès
\usepackage{ulem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Pondichéry  26 avril 2017},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage{graphicx}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\  novembre 2009}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par: 

\[f(x) = x^2\text{e}^{-x}.\] 

%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
$\bullet~$ On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^2 = + \infty$ et  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, donc 
		
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
		
$\bullet~$ On sait que pour $n \in\N,\: \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^n \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0.$
		\item %Calculer $f'(x)$ et déterminer le tableau de variations de $f$.
$f$ est le produit de deux fonctions dérivables sur $\R$ et 

$f'(x) = 2x\text{e}^{-x} - x^2 \text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}\left(2x - x^2\right) = \text{e}^{-x}x(2 - x)$.

Comme $\text{e}^{-x} > 0$, quel que soit $x \in \R$,  le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $x(2  - x)$, donc négatif sauf sur $]0~;~2[$.

D'où le tableau de variations de $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2) \psline(0,2.5)(11,2.5)
\psline(2,3)(2,0)\psline(5,2)(5,2.5) \psline(8,2)(8,2.5)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$0$} \uput[u](8,2.5){$2$} \uput[u](10.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$-$} \rput(6.5,2.25){$+$} \rput(9.5,2.25){$-$} \rput(5,2.25){$0$}\rput(8,2.25){$0$}
\rput(1,1){$f$}\uput[u](10.75,0){$0$}\uput[d](2.3,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.6,1.7)(4.5,0.3)\uput[u](5,0){$0$}
\uput[d](8,2){$4\text{e}^{-2}$}
\psline{->}(5.5,0.3)(7.5,1.8)
\psline{->}(8.5,1.8)(10.5,0.3)
\end{pspicture}
\end{center}

		\item %En déduire le signe de $f$ sur $\R$.
Le tableau de variations montre que $f(x) \geqslant 0$, ce qui est évident d'après l'énoncé ($x^2 \geqslant 0$ et $\text{e}^{-x} > 0$)
	\end{enumerate} 
\item %Pour tout nombre réel $a$, on considère l'intégrale : $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner selon les valeurs de $a$ le signe de $I(a)$.
		La fonction étant positive sur $\R$ :
		
$\bullet~$	si $a < 0,\: I(a) < 0$ ;

$\bullet~$	si $a = 0,\: I(a) = 0$ ;

$\bullet~$	si $a > 0,\: I(a) > 0$.	 
		\item %À l'aide d'une double intégration par parties montrer que pour tout nombre réel $a$ : 
%\[I(a) = 2 - 2\text{e}^{-a}\left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).\]
On pose :

$\left\{\begin{array}{l c l}
u(x) &=& x^2\\
v'(x)& =&\text{e}^{-x}
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
u'(x) &=& 2x\\
v(x)& =&- \text{e}^{-x}
\end{array}\right.$

Toutes les fonctions étant continues, on peut intégrer par parties :

$I(a) = \left[- x^2 \text{e}^{-x}  \right]_{0}^a + \displaystyle\int_{0}^a 2x\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[- x^2 \text{e}^{-x}  \right]_{0}^a + J(a)$.

Pour calculer l'intégrale $J(a)$ on fait encore une intégration par parties :

$\left\{\begin{array}{l c l}
u(x) &=& 2x\\
v'(x)& =&\text{e}^{-x}
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
u'(x) &=& 2\\
v(x)& =&-\text{e}^{-x}
\end{array}\right.$

Donc $J(a) = \left[-2x\text{e}^{-x} \right]_{0}^a - \displaystyle\int_{0}^a -2\text{e}^{-x}\:\text{d}x = \left[-2x\text{e}^{-x} \right]_{0}^a - \left[2\text{e}^{-x}\right]_{0}^a$.

Finalement $I(a) = \left[- x^2 \text{e}^{-x} - 2x\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x}\right]_{0}^a = \text{e}^{-a}\left(-a^2 - 2a - 2\right) + 2$

Soit $I(a) = 2 - 2\text{e}^{-a}\left(\dfrac{a^2}{2} + a + 1 \right)$.
		\item %En déduire pour tout nombre réel $a$ :
%		\[\dfrac{1}{2}\text{e}^{a}I(a) = \text{e}^{a} - \left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).  \] 
En multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{2}\text{e}^{a},\: I(a) = 2 - 2\left(\dfrac{a^2}{2} + a + 1 \right) \iff \dfrac{1}{2}\text{e}^{a}I(a) = \text{e}^{a} - \dfrac{a^2}{2} - a - 1 = \text{e}^{a} - \left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).$
	\end{enumerate}
\item %Soient $g$ et $h$ les fonctions définies sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x$ et $h(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$.
 
%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $g$ et $\mathcal{P}$ celle de $h$.
 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ ont la même tangente au point d'abscisse $0$.
		Il faut montrer qu'elles ont un point commun (d'abscisse zéro) et la même tangente en ce point.
		
Il faut donc démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
g(0)&=&h(0)\\
g'(0)&=&h'(0)
\end{array}\right.$

Or $g(0) = 1$ et $h(0) = 1$.

D'autre part $g'(x) = \text{e}^x \Rightarrow g'(0) = 1$ et $h'(x) = 1 + x \Rightarrow h'(0) = 1$.

Les deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ ont la même tangente au point (0~;~1).
 
		\item %Déduire des questions précédentes la position relative des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$.
On a démontré que pour tout $a \in \R,\:\dfrac{1}{2}\text{e}^{a}I(a) = 
\text{e}^{a} - \left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right)$, ce qui signifie que 
$\dfrac{1}{2}\text{e}^{a}I(a) = g(a) - h(a)$.

La différence $g(a) - h(a)$ est du signe de $\dfrac{1}{2}\text{e}^{a}I(a)$, donc du signe de $I(a)$, qui a été démontré à la question 2. a.

Donc si $a < 0, g(a) - h(a) <0$, qui signifie que $\mathcal{C}$ est sous $\mathcal{P}$ ;

Si $a = 0$, les deux courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ ont le point(0~;~1) commun ;

Si $a > 0$, $\mathcal{C}$ est au dessus de $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

%Dans un zoo, l'unique activité d'un manchot est l'utilisation d'un bassin aquatique équipé d'un toboggan et d'un plongeoir.

%On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu'il le reprenne est $0,3$.

%Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu'il le reprenne est $0,8$.
 
%Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d'être choisis.
  
%Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'évènement : 

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item $T_{n}$ : \og le manchot utilise le toboggan lors de son $n$-ième passage. \fg 
%\item $P_{n}$ : \og le manchot utilise le plongeoir lors de son $n$-ième passage. \fg
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On considère alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : 
%\[u_{n} = p\left(T_{n}\right)\] 
%où $p\left(T_{n}\right)$ est la probabilité de l'évènement $T_{n}$.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner les valeurs des probabilités $p\left(T_{1}\right),~ p\left(P_{1}\right)$ et des probabilités conditionnelles $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right),~ p_{P_{1}}\left(T_{2}\right)$.
$T_{1}$ et $P_{1}$ étant équiprobables,  $p\left(T_{1}\right) =  p\left(P_{1}\right) = 0,5.$

D'après l'énoncé la probabilité de prendre le toboggan après avoir pris le plongeoir est égale à $p_{P_{1}}\left(T_{2}\right) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Toujours d'après l'énoncé $p_{T_{1}}\left(T_{2}\right) = 0,3$.
		\item  %Montrer que $p\left(T_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$.
D'après le principe des probabilités totales :

$p\left(T_{2}\right) = p\left(T_{1} \cap T_{2}\right) + p\left(P_{1} \cap T_{2}\right) = 0,5 \times 0,3 + 0,5 \times 0,2 = 0,15 + 0,1 = 0,25 = \dfrac{1}{4}.$ 
		\item  Recopier et compléter l'arbre suivant :
		
\begin{center} 

\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{}\taput{$u_{n}$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$0,3$}
\TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$0,7$}
 		}
	\pstree{\TR{}\tbput{$1 - u_{n}$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$T_{n+1}$}\taput{$0,2$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$P_{n+1}$}\tbput{$0,8$}
 		}
}

\end{center} 
		\item %Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1,~ u_{n+1} = 0,1 u_{n} + 0,2$.
Toujours d'après le principe des probabilités totales :

$u_{n+1} = p\left(T_{n+1}\right) = p\left(T_{n} \cap T_{n+1}\right) +  p\left(P_{n} \cap T_{n+1} \right) = u_{n} \times 0,3 + \left(1 - u_{n}\right) \times 0,2 = 0,3u_{n} + 0,2 - 0,2u_{n} = 0,1u_{n} + 0,2$.
		\item %À l'aide de la calculatrice, émettre une conjecture concernant la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
La calculatrice donne $u_{1} = 0,5\:;\:u_{2} = 0,25\:;\:u_{3} = 0,225\:;\:u_{4} = 0,225\:;$

$\:u_{5} = 0,2225$.

Il semble que $u_{n}$ ait pour limite $0,222\ldots$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant  1$ par:  
%\[v_{n} = u_{n} - \dfrac{2}{9}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$. Préciser son premier terme.
$v_{n+1} = u_{n+1} - \dfrac{2}{9} = 0,1u_{n} + 0,2 - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{10}u_{n} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{10}u_{n} -  \dfrac{1}{45} = \dfrac{1}{10}\left(u_{n} - \dfrac{2}{9} \right) = \dfrac{1}{10}v_{n}.$

La suite $\left(v_{n}\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ ; son premier terme est $v_{1} = u_{1} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{5}{18}$.
		\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
On sait que $v_{n} = v_{1}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.

Comme $u_{n} = v_{n} + \dfrac{2}{9}$, on a $u_{n} = \dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{18}\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}$.  
		\item %Calculer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Ce résultat permet-il de valider la conjecture émise en 1. e. ?
Comme $0 < \dfrac{1}{10}< 1,\:\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac{1}{10}\right)^{n-1} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}  u_{n} = \dfrac{2}{9}$.

Or $\dfrac{2}{9} = 0,222 \ldots$ ce qui valide la conjecture  faite à la question 1. e.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
% 
%Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

\medskip

%Soit $n$ un entier naturel non nul.
 
\begin{enumerate}
\item  %On considère l'équation notée $(E)$ : 
%\[3x + 7 y = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer un couple $(u~;~v)$ d'entiers relatifs tels que $3 u + 7v = 1$.
Comme $7 = 3 \times 2 + 1 \iff -3 \times 2 + 7 \times 1 = 1$, le couple $(-2~;~1)$ vérifie l'équation $3 u + 7v = 1$.		 
%En déduire une solution particulière $\left(x_{0}~;~ y_{0}\right)$ de l'équation $(E)$.
$3 \times (-2) + 7 \times 1 = 1 $ donne en multipliant par $10^{2n},\: 3 \times \left( 2\times 10^{2n} \right) + 7 \times 10^{2n} = 10^{2n}.$

Le couple $\left( - 2 \times 10^{2n}~;~10^{2n}\right)$ est donc une solution particulière de l'équation $(E)$.

		\item %Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs $(x~; ~y)$ solutions de $(E)$.
$\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 7 y &=& 10^{2n}\\
3\times (-2) + 7\times 1&=&1
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l c l}
3x + 7 y &=& 10^{2n}\\
3\times \left(-2 \times 10^{2n}\right) + 7\times 10^{2n}&=&10^{2n}
\end{array}\right.$

$\Rightarrow \:(\text{par différence})\: 3\left(x + 2\times 10^{2n}\right) + 7\left(y - 10^{2n}\right) = 0 \iff  $

$3\left(x + 2\times 10^{2n}\right) = 7\left(10^{2n} - y\right) \quad (1)$.

$3$ divise $7\left(10^{2n} - y\right)$ et est premier avec $7$ : il divise donc $10^{2n} - y$. Il existe donc $k \in \Z$ tel que $10^{2n} - y = 3k \iff y = 10^{2n} - 3k.$

En reportant dans l'égalité (1) : $3\left(x + 2\times 10^{2n}\right) = 7\left(10^{2n} - 10^{2n} + 3k\right) \iff x + 2\times 10^{2n} = 7k \iff x = 7k - 2\times 10^{2n}.$
	\end{enumerate} 
\item %On considère l'équation notée $(G)$  
%\[3x^2 + 7 y^2 = 10^{2n}~ \text{où}~ x~ \text{et}~ y~ \text{sont des entiers relatifs.}\] 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $100 \equiv 2~ (\text{modulo}~ 7)$.
$100 = 7 \times 14 + 2 \iff 100 \equiv 2 \mod{7}$.
		 
%Démontrer que si $(x~; ~y)$ est solution de $(G)$ alors $3x^2 \equiv 2^n~ (\text{modulo}~7)$.
$(x~;~y)$ solution de  $(G)$ signifie  $3x^2 + 7 y^2 = 10^{2n} \iff 3x^2 + 7 y^2 = \left(10^{2}\right)^n \iff 3x^2 + 7 y^2 = 100^n$.

Or $100 \equiv 2 \mod{7} \Rightarrow 100^n \equiv 2^n \mod{7}.$

Donc $3x^2 + 7 y^2 \equiv 2^n \mod{7}$.

Mais $7y^2 \equiv 0 \mod{7}$, donc finalement $3x^2 \equiv 2^n \mod{7}.$
		\item ~%Reproduire et compléter le tableau suivant :
		
		\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Reste de la division euclidienne de $x$ par 7& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 \\ \hline%
Reste de la division euclidienne de $3x^2$ par $7$.&0&3&5&6&6&5&3 \\ \hline% 
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item %Démontrer que $2^n$ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
De trois choses l'une :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $n = 3p, p \in N$ ; alors $2^{3p} = \left(2^3 \right)^p = 8^p$. Or $8 \equiv 1 \mod{7} \Rightarrow 8^p \equiv 1 \mod{7}$ ;
\item[$\bullet~$] $n = 3p+1$ ; alors $2^{3p+1} = 2^{3p}\times 2 = 8^p \times 2$. Or $8 \equiv 1 \mod{7} \Rightarrow 8^p \equiv 1 \mod{7} \Rightarrow$

$ 2^{3p}\times 2 \equiv 2 \mod{7}$ ; 
\item[$\bullet~$] $n = 3p+2$ ; alors $2^{3p+2} = 2^{3p}\times 2^2 = 4 \times 2^{3p} = 4 \times 8^p$. Comme 

$8^p \equiv 1 \mod{7}, 4\times 8^p \equiv 4 \mod{7}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		
Conclusion : $2^n$ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.
		 
%En déduire que l'équation $(G)$ n'admet pas de solution.
On vient de voir que les restes dans la division par 7 de $2^n$ ne sont pas les mêmes que ceux de la division de $3x^2$ par 7. Donc $3x^2$ et $2^n$ ne peuvent être congrus modulo 7. D'après le 2. a. il n'y a donc pas de solution pour l'équation $(G)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{A}~ ;~ \vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}} \right)$.

%On considère le cube ABCDEFGH représenté sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.
% 
%On désigne par I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF]. 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
On a B(1~;~0~;~0) et C(1~;~1~;~0), donc I$\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$.

F(1~;~0~;~1), donc J$\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$.

H(0~;~1~;~1), F(1~;~0~;~1), donc K$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$. 
\item %Démontrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~1)$ est orthogonal à $\vect{\text{IK}}$ et à $\vect{\text{IJ}}$.
On a $\vect{\text{IK}}\left(- \dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right)$ ; donc $\vect{n} \cdot \vect{\text{IK}} = -1 + 0 + 1 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux ;

$\vect{\text{IJ}}\left(0~;~- \dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right)$ ; donc  $\vect{n} \cdot \vect{\text{IJ}} = 0 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

%En déduire qu'une équation du plan (IJK) est : $4x + 2y + 2z - 5 = 0$.
Les vecteurs $\vect{\text{IK}}$ et $\vect{\text{IJ}}$ ne sont manifestement pas colinéaires ; ils définissent donc le plan (IJK). Le vecteur $\vect{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est donc normal à ce plan.

Une équation du plan (IJK) est donc :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJK}) \iff 2x + 1y + 1z + d = 0$.

Comme I appartient à ce plan on a I$\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right) \in (\text{IJK}) \iff 2 + \dfrac{1}{2} + d = 0 \iff d = - \dfrac{5}{2}$. Donc 

\[M(x~;~y~;~z) \in (\text{IJK}) \iff 2x + y + z - \dfrac{5}{2} = 0 \iff 4x + 2y + 2z - 5 = 0.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite (CD).
On calcule $\vect{\text{DC}}(1~;~0~;~0)$, donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{CD}) \iff \vect{\text{D}M} = \alpha	\vect{\text{DC}} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 0&=&\alpha \times 1\\
y - 1 &=&\alpha \times 0\\
z - 0&=&\alpha \times 0	
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&\alpha\\
y &=&1\\
z &=& 0	
\end{array}\right. \alpha \in \R$. 
		\item  %En déduire que le point d'intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées $\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~ 0\right)$.
Les coordonnées de R vérifient l'équation de (IJK) et les équations paramétriques de (DC), donc le système :
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\alpha\\
y &=&1\\
z &=& 0\\
4x + 2y + 2z - 5 &=&0	
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\alpha\\
y &=&1\\
z &=& 0\\
4\alpha + 2  - 5 &=&0	
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\alpha\\
y &=&1\\
z &=& 0\\
\alpha &=&\dfrac{3}{4}	
\end{array}\right. $

$\iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&\dfrac{3}{4}\\
y &=&1\\
z &=& 0\\
\alpha &=&\dfrac{3}{4}	
\end{array}\right.$ Donc R$\left(\dfrac{3}{4}~;~1~;~0 \right)$.  
		\item  %Placer le point R sur la figure.
Cf. la figure plus bas.
	\end{enumerate} 
\item %Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité les précédentes.
Cf. la figure plus bas.

Section avec la face BCGF : [IJ]

Section avec la face ABCD : [IR]

Pour la section avec EFGH : on utilise la propriété : \og si deux plans sont parallèles tout plan sécant à l'un est sécant à l'autre et les droites d'intersection sont parallèles \fg.

On trace donc la parallèle à la droite (IR) contenant K qui coupe [FE] et [GH] en deux points que l'on joint à J et à R. Le contour de l'intersection est colorée en bleu. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la distance du point G au plan (IJK) est $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
Comme G(1~;~1~;~1), $d(\text{G}, (\text{IJK})) = \dfrac{\left|4 + 2 + 2 - 5  \right|}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 2^2}}  = \dfrac{3}{\sqrt{24}}= \dfrac{3}{2\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{4}$.
		\item %Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre G passant par F.
 
%Justifier que la sphère $\mathcal{S}$ et le plan (IJK) sont sécants.
La sphère $\mathcal{S}$ et le plan (IJK) sont sécants si la distance de G au plan (IJK) est inférieure au rayon de la sphère. Ce rayon est égal à GF.

GF$^2  = 0^2 + (-1)^2 + 0^2 = 1 \Rightarrow \text{GF} = 1$.

Or $\dfrac{\sqrt{6}}{4} < 1$ (car $6 < 4^2 \Rightarrow \sqrt{6} < 4$).

Donc la sphère et le plan sont sécants en un cercle  de centre O$'$ et de rayon $r$ tel que, d'après le théorème de Pythagore : 

$\text{GF}^2 = \text{GO}'^2 + \text{FO}'^2 \iff 1^2 = \left(\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)^2 + r^2 \iff r^2 = 1 - \left(\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)^2 \iff$

$ r^2 = 1 - \dfrac{6}{16} = \dfrac{10}{16} \Rightarrow r = \dfrac{\sqrt{10}}{4}.$ 
%Déterminer le rayon de leur intersection.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
%Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3},~z_{\text{B}} = 2\text{i}$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle.
Calcul du module : $\left|z_{\text{A}} \right|^2 = 1^2 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} \right| = 2.$

On peut donc écrire $z_{\text{A}} = 2 \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin  \frac{\pi}{3}\right) = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}.$

De façon évidente $z_{\text{B}} = 2\text{i} = 2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$. 
		\item %Placer les points A et B sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice.
On obtient A en traçant la perpendiculaire à  [OU] contenant U(0~;~1) et le cercle de centre O et de rayon 2 et B est le symétrique de O autour de V(0~;~1).

Voir la figure plus bas. 
		\item %Déterminer la nature du triangle OAB.
Comme OA = OB = 2, le triangle est isocèle ; $\left(\vect{\text{OA}},\: \vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6}$, donc le triangle n'est ni  équilatéral, ni rectangle.
	\end{enumerate} 
\item %On note $r$ la rotation de centre O qui transforme A en B. Pour tout point $M$ d' affixe $z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$ l'affixe du point $M'$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer un argument du quotient $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$. Interpréter géométriquement ce résultat.
$\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \dfrac{2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}{2 \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}.$

Un argument de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ est donc $\dfrac{\pi}{6}.$

On peut donc en déduire que $\left(\vect{\text{OA}}~;~ \vect{\text{OB}} \right) = \dfrac{\pi}{6} \mod 2\pi$, cet angle étant celui de la rotation.  
		\item  %En déduire l'écriture complexe de la rotation $r$.
		La rotation $r$ est donc la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}.$ Son écriture complexe est donc $z' = z\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
	\end{enumerate} 
\item %Soient $\Gamma$ le cercle de centre A passant par O et $\Gamma '$ le cercle de centre B passant par O.
 
%Soit C le deuxième point d'intersection de $\Gamma$ et $\Gamma '$ (autre que O). On note $z_{\text{C}}$ son affixe. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que le cercle $\Gamma '$ est l'image du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$.
		L'image de $\Gamma$ cercle de centre A et passant par O est le cercle de même rayon OA de centre $r(\text{A}) = $B passant par $r'(\text{O}) = $ O, c'est-à-dire $\Gamma '$. 
		\item %Calculer l'affixe $z_{\text{I}}$ du milieu I de [AB].
On a $z_{\text{I}} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$. 
		\item %Déterminer la nature du quadrilatère OACB.
C est sur les deux cercles  $\Gamma$ et $\Gamma '$ de centres respectifs A et B et de rayon 2, donc CA = CB = 2.

Or OA = OB = 2, donc OA = AC = CB = BO = 2 : le quadrilatère OACB est un losange.
		\item %En déduire que I est le milieu de [OC] puis montrer que l'affixe de C est : 
%\[z_{\text{C}} = 1 + \left(2 + \sqrt{3}\right)\text{i}.\]
D'après la question précédentes les diagonales [AB] et [OC] ont le même milieu ; or le milieu de [AB] est I qui est aussi celui de [OC].

I milieu de [OC] $ \iff \vect{\text{OC}} = 2\vect{\text{OI}} \iff z_{\text{C}} = 2z_{\text{I}} = 1 + \text{i}\left(2 + \sqrt{3}\right)$
 
	\end{enumerate} 
\item  %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 2\text{i}\sqrt{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que le point D appartient au cercle $\Gamma$. Placer D sur la figure.
Calculons AD : $\left|z_{\text{D}} - z_{\text{A}} \right| = \left|2\text{i}\sqrt{3} - 1 - \text{i}\sqrt{3}\right| = \left|- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right| = \sqrt{1 + 3} = 2.$ [AD] est bien un rayon de $\Gamma$. 
		\item  %Placer D$'$ image de D par la rotation $r$ définie à la question 2.
Comme D appartient à $\Gamma$, son image appartient à $\Gamma '$ et au cercle de centre O et de rayon [OD].
		 
%On note $z_{\text{D}'}$ l'affixe de D$'$.
 
%Montrer que $z_{\text{D}'} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$.
Par définition : $z_{\text{D}'} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\times 2\text{i}\sqrt{3} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2} \right)\times 2\text{i}\sqrt{3} = - \sqrt{3} + 3\text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item %Montrer que les vecteurs $\vect{\text{DC}}$ et $\vect{\text{DD}'}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?
On a  $\vect{\text{DC}}\left(1 ~;~ (2 + \sqrt{3}) - 2\sqrt{3} \right)$ ou $\vect{\text{DC}}\left(1 ~;~ (2 - \sqrt{3}) \right)$ ;

$\vect{\text{DD}'}\left(- \sqrt{3} ~;~ 3 - 2\sqrt{3} \right)$.

Le coefficient de colinéarité ne peut être que $- \sqrt{3}$ et $- \sqrt{3}\left(2 - \sqrt{3} \right) = 3 - 2\sqrt{3}$, donc on a bien $\vect{\text{DD}'} = - \sqrt{3}\vect{\text{DC}}$, ce qui signifie que les points C, D et D$'$ sont alignés. 
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.1)(3.5,4.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2.5,-2.1)(3.5,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psdots(0,0)(1,1.732)(0,2)(1,3.732)(0,3.464)(-1.732,3)(0.5,1.866)%OABCDD'I
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](1,1.732){A} \uput[ul](0,2){B} \uput[ur](1,3.732){C} \uput[ul](0,3.464){D} \uput[ul](-1.732,3){D$'$} \uput[ur](0.5,1.866){I}\uput[d](1,0){U}\uput[l](0,1){V}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\pscircle(0,0){2} \pscircle(1,1.732){2} \pscircle(0,2){2}
\psline(0,0)(1,1.732)(1,3.732)(0,2)
\psline(-1.732,3)(1,3.732) \psline(1,1.732)(0,2) \psline(1,3.732)
\uput[r](3,2){$\Gamma$} \uput[l](-2,2){$\Gamma '$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{0,2cm}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,2cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0.5cm}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,12)
\psline(2.8,7)(7,6.3)(8.8,8.5)(4.6,9.1)(2.8,7)(2.8,3.1)(7,2.4)(8.8,4.5)(8.8,8.5)%FGHEFBCDH
\psline(7,2.4)(7,6.3)%CG
\uput[l](4.6,5.1){A} \uput[l](2.8,3.1){B} \uput[dr](7,2.4){C} 
\uput[dr](8.7,4.5){D} \uput[ul](4.6,9.1){E} \uput[l](2.8,7){F} 
\uput[ul](7,6.3){G} \uput[ur](8.8,8.5){H}\uput[r](7.425,2.925){R}
\uput[d](4.9,2.75){I} \uput[l](2.8,5.5){J} \uput[ul](5.8,7.75){K}
\psdots(4.9,2.75)(2.8,5.5)(5.8,7.75)(7.425,2.925)%IJKR 
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(2.8,3.1)%AB
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(8.7,4.5)%AD
\psline[linestyle=dashed](4.6,5.1)(4.6,9.1)%AE
\psline(8.8,8.5)(2.8,7)
\pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=blue,fillstyle=vlines](4.9,2.75)(2.8,5.5)(3.275,7.575)(8.325,7.925)(7.425,2.925)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](3.275,7.575)(8.325,7.925)%parallèle à (IR)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](4.9,2.75)(2.8,5.5)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=1.25pt](4.9,2.75)(7.425,2.925)%IR
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](7.425,2.925)(8.325,7.925)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.8,5.5)(3.275,7.575)
\psline{->}(2.8,3.1)(0.5,0.5) \uput[dl](0.5,0.5){$z$}%Bx
\psline{->}(8.8,4.5)(12,4) \uput[r](12,4){$y$}%Dy
\psline{->}(4.6,9.1)(4.6,12)\uput[u](4.6,12){$z$}%Ez
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}